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![Ejemplos 4 y 5
La función de mínimos (Leontieff):
𝑈 = min[𝛼𝑦1, 𝛽𝑦2]
No existe pendiente
La función cuasi-lineal:
𝑈 = 𝑦1
0.5
+ 2𝑦2
Su pendiente
𝑅𝑀𝑆𝐶𝑦1𝑦2
= −
1
4𝑦1
0.5 No depende de 𝑦2](https://image.slidesharecdn.com/2-teoradelconsumidor1-230407161422-5c145d7d/75/2-Teoria-del-consumidor-1-pptx-22-2048.jpg)
![Elección óptima del
consumidor
𝐼 = 𝑃1𝑦1 + 𝑃2𝑓(𝑦1, 𝑃1, 𝑃2)
Despejamos 𝑦1 para obtener la curva de demanda
individual de dicho bien:
𝑦1
𝑑
= 𝑦1
𝑑
(𝑃1, 𝑃2, 𝐼)
Reemplazamos esta curva en 𝑦2 = 𝑓 𝑦1, 𝑃1, 𝑃2, 𝐼
𝑦2 = 𝑓[𝑦1
𝑑
𝑃1, 𝑃2, 𝐼 , 𝑃1, 𝑃2]
Para obtener la demanda individual del bien 𝑦2:
𝑦2
𝑑
= 𝑦2
𝑑
(𝑃1, 𝑃2, 𝐼)](https://image.slidesharecdn.com/2-teoradelconsumidor1-230407161422-5c145d7d/75/2-Teoria-del-consumidor-1-pptx-37-2048.jpg)
![Función de utilidad
indirecta (FUI)
La función de utilidad indirecta se obtiene
reemplazando las funciones de demanda derivadas
a partir de la función de utilidad directa. Si las
curvas de demanda son:
𝑦1
𝑑
= 𝑦1
𝑑
𝑃1, 𝑃2, 𝐼 𝑦2
𝑑
= 𝑦2
𝑑
𝑃1, 𝑃2, 𝐼
Entonces:
𝑉 = 𝑈[𝑦1
𝑑
𝑃1, 𝑃2, 𝐼 , 𝑦2
𝑑
𝑃1, 𝑃2, 𝐼 ]
𝑉 = 𝑉 𝑃1, 𝑃2, 𝐼](https://image.slidesharecdn.com/2-teoradelconsumidor1-230407161422-5c145d7d/75/2-Teoria-del-consumidor-1-pptx-49-2048.jpg)
![Propiedades de la FUI
𝜕𝑉
𝜕𝑃1
= 𝜆 𝜕[𝑃1𝑦1
𝑑+𝑃2𝑦2
𝑑]
𝜕𝑃1
En este caso no podemos hacer la derivada igual a
1 ya que es una derivada parcial. Entonces partimos
de que la derivada total del ingreso con respecto a
uno de los precios es igual a cero, porque ambas
son variables exógenas:
𝑑𝐼
𝑑𝑃1
= 0 = 𝑦1
𝑑
+ 𝜕[𝑃1𝑦1
𝑑+𝑃2𝑦2
𝑑]
𝜕𝑃1](https://image.slidesharecdn.com/2-teoradelconsumidor1-230407161422-5c145d7d/75/2-Teoria-del-consumidor-1-pptx-59-2048.jpg)
![Propiedades de la FUI
Entonces:
𝜕[𝑃1𝑦1
𝑑+𝑃2𝑦2
𝑑]
𝜕𝑃1
= −𝑦1
𝑑
Por lo tanto:
𝜕𝑉
𝜕𝑃1
= −𝜆 𝑦1
𝑑
Identidad de Roy
Esta propiedad nos dice que si se eleva el precio de
un bien, nuestra utilidad cae por dos causas, el
cambio en la utilidad marginal del ingreso (+) y el
cambio en los precios (-)](https://image.slidesharecdn.com/2-teoradelconsumidor1-230407161422-5c145d7d/75/2-Teoria-del-consumidor-1-pptx-60-2048.jpg)
![Función de gasto mínimo
Suponga que un individuo desea
mantener su nivel de utilidad, gastando lo
menos posible:
𝑀𝑖𝑛 𝐺 = 𝑃1𝑦1 + 𝑃2𝑦2
𝑠. 𝑎. 𝑈0 = 𝑈(𝑦1, 𝑦2)
La ecuación de Lagrange:
𝐿 = 𝑃1𝑦1 + 𝑃2𝑦2 + 𝜆[𝑈0 − 𝑈(𝑦1, 𝑦2)]
Este es el problema dual de la
maximización de utilidad](https://image.slidesharecdn.com/2-teoradelconsumidor1-230407161422-5c145d7d/75/2-Teoria-del-consumidor-1-pptx-101-2048.jpg)
![Función de gasto mínimo
Entonces, despejamos 𝑦2:
𝑦2 = 𝑔(𝑦1, 𝑃1, 𝑃2)
Reemplazando en la restricción de
utilidad:
𝑈0 = 𝑈[𝑦1, 𝑔(𝑦1, 𝑃1, 𝑃2)]
Si despejamos 𝑦1, obtenemos la curva de
demanda compensada a la Hicks:
𝑦1
ℎ
= 𝑦1
ℎ
(𝑃1, 𝑃2, 𝑈0)](https://image.slidesharecdn.com/2-teoradelconsumidor1-230407161422-5c145d7d/75/2-Teoria-del-consumidor-1-pptx-103-2048.jpg)
![Función de gasto mínimo
Remplazando en la expresión anterior:
𝑦2 = 𝑔[𝑦1
ℎ
(𝑃1, 𝑃2, 𝑈0), 𝑃1, 𝑃2]
Despejamos 𝑦2, y obtenemos su curva de
demanda compensada a la Hicks:
𝑦2
ℎ
= 𝑦2
ℎ
(𝑃1, 𝑃2, 𝑈0)
Ambas funciones dependen solo de los
precios relativos, dado un nivel de utilidad](https://image.slidesharecdn.com/2-teoradelconsumidor1-230407161422-5c145d7d/75/2-Teoria-del-consumidor-1-pptx-104-2048.jpg)
![La ecuación de Slutsky
Existen 4 proposiciones de dualidad:
𝑚[𝑃1, 𝑃2, 𝑉 𝑃1, 𝑃2, 𝐼 ] ≡ 𝐼
𝑉[𝑃1, 𝑃2, m(𝑃1, 𝑃2, 𝑈0)] ≡ 𝑈0
A partir de las expresiones anteriores se
derivan las siguientes:
𝑦1
𝑑
𝑃1, 𝑃2, 𝐼 ≡ 𝑦1
ℎ
[𝑃1, 𝑃2, 𝑉 𝑃1, 𝑃2, 𝐼 ]
𝑦1
ℎ
𝑃1, 𝑃2, 𝑈0 ≡ 𝑦1
𝑑
[𝑃1, 𝑃2, m(𝑃1, 𝑃2, 𝑈0)]](https://image.slidesharecdn.com/2-teoradelconsumidor1-230407161422-5c145d7d/75/2-Teoria-del-consumidor-1-pptx-131-2048.jpg)
![La ecuación de Slutsky
Para derivar la ecuación de Slutsky
emplearemos la tercera expresión:
𝑦1
𝑑
𝑃1, 𝑃2, 𝐼 ≡ 𝑦1
ℎ
[𝑃1, 𝑃2, 𝑉 𝑃1, 𝑃2, 𝐼 ]
Derivamos esta expresión con respecto a
𝑃1:
𝜕𝑦1
𝑑
𝜕𝑃1
= 𝜕𝑦1
ℎ
𝜕𝑃1
+
𝜕𝑦1
ℎ
𝜕𝑈0
𝜕𝑈0
𝜕𝑉
𝜕𝑉
𝜕𝑃1](https://image.slidesharecdn.com/2-teoradelconsumidor1-230407161422-5c145d7d/75/2-Teoria-del-consumidor-1-pptx-132-2048.jpg)
![Roy y shepard[1]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/royyshepard1-100429170130-phpapp02-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
![[ADM-303] T1-02. La Utilidad y las Curvas de Indiferencia.pptx](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/adm-303t1-02-250529210916-762d58f7-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
2 - Teoría del consumidor 1.pptx
- 1. Teoría del consumidor -I Notas de clase CECILIA GARAVITO
- 2. El problema delconsumidor El consumidor busca maximizar su bienestar, dada su capacidad de compra El bienestar del consumidor está representado por la función de utilidad Las capacidad de compra del consumidor está representada por el conjunto factible y la recta de presupuesto
- 3. La función deutilidad La función de utilidad busca representar el bienestar de un individuo representativo, basado en su consumo de bienes Para construir esta función, necesitamos un conjunto de supuestos Es una función subjetiva, que busca representar las preferencias del consumidor
- 4. Supuestos de elección racional El individuo elige entre canastas de bienes, las cuales contienen diferentes cantidades de éstos. Podemos representar una canasta 𝑌 de la siguiente manera: 𝑌 = 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑚 Donde tenemos 𝑚 bienes.
- 5. Supuestos de elección racional Partimos dela existencia de un conjunto convexo 𝛺 de canastas de bienes. Si cada canasta tiene solamente 2 bienes, tenemos los siguientes supuestos: 1. Reflexividad: la canasta de bienes no puede estar vacía Sea la canasta 𝑌 = (𝑦1, 𝑦2) entonces: 𝑌 ≽ 𝑌 La canasta 𝑌 es al menos tan buena como sí misma
- 6. Supuestos de elección racional 2. Completitud:Dadas dos canastas 𝑌 = (𝑦1, 𝑦2) y 𝑌′ = 𝑦1 ′ , 𝑦2 ′ , se cumple una de las siguientes relaciones: 𝑌 ≻ 𝑌′ 𝑌 es preferida a 𝑌′ 𝑌 ≺ 𝑌′ 𝑌′ es preferida a 𝑌 𝑌 ∼ 𝑌′ 𝑌 es equivalente a 𝑌′
- 7. Supuestos de elección racional 3. Transitividad:Dadas tres canastas 𝑌 = 𝑦1, 𝑦2 , 𝑌′ = 𝑦1 ′ , 𝑦2 ′ , y 𝑌" = 𝑦1 " , 𝑦2 " , se cumple una de las siguientes relaciones: Si 𝑌 ≻ 𝑌′ y 𝑌′ ≻ 𝑌" entonces 𝑌 ≻ 𝑌" Si 𝑌 ∼ 𝑌′ y 𝑌′ ∼ 𝑌" entonces Y ∼ 𝑌"
- 8. Supuestos de elección racional 4. Nosaturación: Un consumidor siempre preferirá más a menos. Entonces, dadas dos canastas 𝑌 = 𝑦1, 𝑦2 y 𝑌′ = 𝑦1 ′ , 𝑦2 ′ , 𝑌 ≻ 𝑌′ en los siguientes casos: Si 𝑦1 = 𝑦1 ′ y 𝑦2 > 𝑦2 ′ Si 𝑦1 > 𝑦1 ′ y 𝑦2 > 𝑦2 ′
- 9.
- 10. Supuestos de elección racional 5. Continuidad:Los individuos eligen entre canastas, no entre los bienes dentro de las canastas. Sean dos conjuntos: Ψ1 = 𝑌/𝑌 ≻ 𝐴 Ψ2 = 𝑌/𝑌 ≺ 𝐴 Donde 𝐴 es una canasta cualquiera, cada conjunto es cerrado y limitado por su frontera. Esto excluye a las preferencias lexicográficas
- 11.
- 12. La función de utilidad A partir de los supuestos anteriores, se puede derivar una función de utilidad: 𝑈 = 𝑈(𝑦1, 𝑦2) Esta función expresa el bienestar (utilidad directa) que obtienen los consumidores del consumo de los bienes
- 13. La función de utilidad Si tenemos dos canastas de bienes, 𝑌 y 𝑌′ , se cumple lo siguiente: 𝑈 𝑌 > 𝑈 𝑌′ ⟺ 𝑌 ≻ 𝑌′ 𝑈(𝑌) ≥ 𝑈(𝑌′) ⟺ 𝑌 ≽ 𝑌′ 𝑈 𝑌 = 𝑈(𝑌′) ⇔ 𝑌 ∼ 𝑌′ La función de utilidad sobre el conjunto convexo Ω será estrictamente cuasi cóncava. Esto quiere decir, que sus contornos (en este caso, curvas de indiferencia) son cóncavos.
- 14.
- 15. Curvas de indiferencia Una curva de indiferencia es el lugar geométrico de las canastas de consumo que dan al individuo el mismo nivel de utilidad. Por ejemplo, para la función de utilidad 𝑈 = 𝑈 𝑦1, 𝑦2 , la curva de indiferencia será: 𝑈 = 𝑈(𝑦1, 𝑦2)
- 16.
- 17. Curvas de indiferencia La pendiente de la curva de indiferencia se obtiene tomando diferenciales: 𝑑𝑈 = 0= 𝜕𝑈 𝜕𝑦1 𝑑𝑦1 + 𝜕𝑈 𝜕𝑦2 𝑑𝑦2 Entonces, la relación marginal de sustitución en el consumo será: 𝑅𝑀𝑆𝐶𝑦1𝑦2 = 𝑑𝑦2 𝑑𝑦1 = − 𝜕𝑈 𝜕𝑦1 𝜕𝑈 𝜕𝑦2
- 18. Ejemplo 1 Funciónde utilidad de Cobb-Douglas: 𝑈 = 𝐴𝑦1 𝛼 𝑦2 𝛽 Si hacemos la utilidad constante: 0 = 𝐴𝛼𝑦1 𝛼−1 𝑦2 𝛽 𝑑𝑦1 + 𝐴𝛽𝑦1 𝛼 𝑦2 𝛽−1 𝑑𝑦2 𝑅𝑀𝑆𝑦1𝑦2 = − 𝛼 𝛽 𝑦2 𝑦1
- 19. Ejemplo 2 Funciónde utilidad CES: 𝑈 = 𝐴 𝛽𝑦1 −𝐶 + (1 − 𝛽)𝑦2 −𝐶 −𝑣 𝐶 Si hacemos la utilidad constante: 0 = {[𝐴 −𝑣 𝐶 𝛽𝑦1 −𝐶 + (1 −
- 20. Ejemplo 2 Entonces: 𝑅𝑀𝑆𝐶𝑦1𝑦2 = − 𝛽 1−𝛽 𝑦2 𝑦1 𝑐+1 Notar que si 𝐶 = 0 la función sería una Cobb- Douglas Si 𝐶 = −1 la pendiente sería constante
- 21. Ejemplo 3 Lafunción lineal: 𝑈 = 𝛼𝑦1 + 𝛽𝑦2 La pendiente sería: 𝑅𝑀𝑆𝐶𝑦1𝑦2 = − 𝛼 𝛽 =constante
- 22. Ejemplos 4 y5 La función de mínimos (Leontieff): 𝑈 = min[𝛼𝑦1, 𝛽𝑦2] No existe pendiente La función cuasi-lineal: 𝑈 = 𝑦1 0.5 + 2𝑦2 Su pendiente 𝑅𝑀𝑆𝐶𝑦1𝑦2 = − 1 4𝑦1 0.5 No depende de 𝑦2
- 23. Ejemplo 6 Lasiguiente función: 𝑈 = 2𝑦1 0.5 Es neutra en el bien 𝑦2 Su pendiente 𝑅𝑀𝑆𝐶𝑦1𝑦2 = − 𝑦1 −0.5 0 que tiende a infinito Por lo tanto las curvas de indiferencia son líneas verticales paralelas
- 24. Ejemplo 7 Lasiguiente función: 𝑈 = 𝑦2 0.5 − 4𝑦1 0.4 En este caso, 𝑦1 es un mal Su pendiente será positiva: 𝑅𝑀𝑆𝐶𝑦2𝑦1 = − 0.5𝑦2 −0.5 −1.6 𝑦1 −0.6 = 𝑦1 0.6 3.2𝑦2 0.5
- 25. Ejemplos para resolver 𝑈 = (𝑦1 − 𝑎)0.5 𝑦2 − 𝑏 0.5 Stone−Geary 𝑈 = (𝑦1 − 𝑎)0.5 + 𝑦2 − 𝑏 0.5 𝑈 = 𝑦1 0.5 𝑦2 0.2 𝑦3 0.1 𝑈 = 𝑦1 𝛿 𝛿 + 𝑦2 𝛿 𝛿
- 26. Conjunto factible Elconjunto factible representa la capacidad de compra del individuo, la cual depende de los ingresos que obtiene y de los precios de los bienes que compra, todos variables exógenas. Si asumimos que existen 𝑚 bienes, el conjunto factible será: 𝐼 ≥ 𝑃1𝑦1 + 𝑃2𝑦2 + ⋯ + 𝑃𝑚𝑦𝑚 Si solo son dos bienes: 𝐼 ≥ 𝑃1𝑦1 + 𝑃2𝑦2
- 27. Recta de presupuesto Dado que los individuos siempre prefieren más a menos, éstos consumirán todo su ingreso, sobre la recta de presupuesto: 𝐼 = 𝑃1𝑦1 + 𝑃2𝑦2 Si tomamos diferenciales obtenemos la relación de intercambio del mercado: 𝑑𝐼 = 0 = 𝑃1𝑑𝑦1 + 𝑃2𝑑𝑦2 𝑅𝐼𝑦1𝑦2 = − 𝑃1 𝑃2 que es la pendiente de la R.P.
- 28.
- 29. Cambio en el ingreso y2 I’/P2 0y1 I’/P1 I/P2 I/P1
- 30. Efecto ingreso puro Sea la siguiente recta de presupuesto: 𝐼 = 𝑃1𝑦1 + 𝑃2𝑦2 La pendiente es: 𝑅𝐼 = − 𝑃1 𝑃2 Si el ingreso aumenta en 10%: 1.1𝐼 = 𝑃1𝑦1 + 𝑃2𝑦2 La pendiente es la misma: 𝑅𝐼 = − 𝑃1 𝑃2
- 31. Cambio en uno delos precios y2 0 y1 I/P2 I/P1 I/P1'
- 32. Efecto precio Seala siguiente recta de presupuesto: 𝐼 = 𝑃1𝑦1 + 𝑃2𝑦2 La pendiente es: 𝑅𝐼 = − 𝑃1 𝑃2 Si el precio del bien 𝑦1 cae en 5%: 𝐼 = 0.95𝑃1𝑦1 + 𝑃2𝑦2 La pendiente cambia: 𝑅𝐼 = −0.95 𝑃1 𝑃2
- 33. Elección óptima del consumidor El consumidor buscará maximizar su función de utilidad sujeta a su recta de presupuesto: 𝑀𝑎𝑥 𝑈 = 𝑈 𝑦1, 𝑦2 𝑠. 𝑎. 𝐼 = 𝑃1𝑦1 + 𝑃2𝑦2 En este modelo tenemos dos variables endógenas, que son los consumos, y tres exógenas que son el ingreso y los precios
- 34. Elección óptima del consumidor La ecuación de Lagrange será: 𝐿 = 𝑈 𝑦1, 𝑦2 + 𝜆(𝐼 − 𝑃1𝑦1 − 𝑃2𝑦2) Donde 𝜆 es el multiplicador de Lagrange. Las condiciones de primer orden nos darán un punto óptimo: 𝜕𝐿 𝜕𝑦1 = 𝜕𝑈 𝜕𝑦1 − 𝜆𝑃1=0 𝜕𝐿 𝜕𝑦2 = 𝜕𝑈 𝜕𝑦2 − 𝜆𝑃2=0 𝜕𝐿 𝜕𝜆 = 𝐼 − 𝑃1𝑦1 − 𝑃2𝑦2=0
- 35. Elección óptima del consumidor Si dividimos la primera expresión entre la segunda, obtenemos la condición de óptimo del consumidor: 𝜕𝑈 𝜕𝑦1 𝜕𝑈 𝜕𝑦2 = 𝑃1 𝑃2 Lo cual es equivalente a: 𝑅𝑀𝑆𝐶𝑦1𝑦2 = 𝑅𝐼𝑦1𝑦2
- 36. Elección óptima del consumidor La expresión denota un conjunto de puntos óptimos de acuerdo a los valores del ingreso y de los precios, así como a la forma de la función de utilidad Podemos escribir la expresión anterior de la siguiente forma: 𝑦2 = 𝑓(𝑦1, 𝑃1, 𝑃2) Reemplazamos esta expresión en la tercera condición de óptimo
- 37. Elección óptima del consumidor 𝐼 = 𝑃1𝑦1 + 𝑃2𝑓(𝑦1, 𝑃1, 𝑃2) Despejamos 𝑦1 para obtener la curva de demanda individual de dicho bien: 𝑦1 𝑑 = 𝑦1 𝑑 (𝑃1, 𝑃2, 𝐼) Reemplazamos esta curva en 𝑦2 = 𝑓 𝑦1, 𝑃1, 𝑃2, 𝐼 𝑦2 = 𝑓[𝑦1 𝑑 𝑃1, 𝑃2, 𝐼 , 𝑃1, 𝑃2] Para obtener la demanda individual del bien 𝑦2: 𝑦2 𝑑 = 𝑦2 𝑑 (𝑃1, 𝑃2, 𝐼)
- 38. Elección óptima del consumidor Para asegurarnos que es un máximo calculamos el determinante de la matriz Hessiana Orlada: 0 2 0 11 2 2 12 2 1 22 2 1 22 21 2 12 11 1 2 1 U P U P P U P U U P U U P P P H
- 39.
- 40. La función dedemanda ordinaria La función de demanda es homogénea de grado cero en los precios y en el ingreso. Es decir, el dinero no afecta las decisiones reales, ya que si elevamos el ingreso de un individuo y los precios de los bienes que compra, en la misma proporción, la canasta de consumo no cambia.
- 41. Ejemplo 8 Parala siguiente función de utilidad: 𝑈 = 𝑦1 − 2 0.5 𝑦2 − 1 0.5 Donde 𝑦1 > 2, 𝑦2 > 1 Podemos partir de la condición de óptimo: 0.5 𝑦1−2 −0.5 𝑦2−1 0.5 0.5 𝑦1−2 0.5 𝑦2−1 −0.5 = 𝑃1 𝑃2 (𝑦2−1) (𝑦1−2) = 𝑃1 𝑃2
- 42. Ejemplo 8 Despejamos𝑦2: 𝑦2 = 𝑃1 𝑃2 𝑦1 − 2 + 1 Lo reemplazamos en la recta de presupuesto: 𝐼 = 𝑃1𝑦1 + 𝑃2 𝑃1 𝑃2 𝑦1 − 2 + 1 𝐼 = 2𝑃1𝑦1 − 2𝑃1 + 𝑃2 Entonces: 𝑦1 𝑑 = (𝐼−𝑃2) 2𝑃1 + 1
- 43. Ejemplo 8 Entonces: 𝑦2 𝑑 = (𝐼−2𝑃1) 2𝑃2 + 0.5
- 44. Ejemplo 9 Parala siguiente función de utilidad: 𝑈 = 𝑦1 0.5 𝑦2 0.5 𝑦3 0.5 Las condiciones de óptimo serán: 0.5𝑦1 −0.5 𝑦2 0.5 𝑦3 0.5 = 𝜆𝑃1 0.5𝑦1 0.5 𝑦2 −0.5 𝑦3 0.5 = 𝜆𝑃2 0.5𝑦1 0.5 𝑦2 0.5 𝑦3 −0.5 = 𝜆𝑃3 𝐼 = 𝑃1𝑦1 + 𝑃2𝑦2 + 𝑃3𝑦3
- 45. Ejemplo 9 Dividimosla primera expresión entre la segunda y entre la tercera: 𝑦2 𝑦1 = 𝑃1 𝑃2 𝑦3 𝑦1 = 𝑃1 𝑃3 Despejamos 𝑦2 y 𝑦3, y reemplazmos en la restricción de presupuesto: 𝐼 = 3𝑃1 𝑦1
- 46. Ejemplo 9 Lastres curvas de demanda serán: 𝑦1 𝑑 = 𝐼 3𝑃1 𝑦2 𝑑 = 𝐼 3𝑃2 𝑦3 𝑑 = 𝐼 3𝑃3
- 47. Ejemplo 10 Parala siguiente función de utilidad: 𝑈 = 4𝑦1 + 𝑦2 En este caso no se puede hacer una ecuación de Lagrange Entonces: 𝑅𝑀𝑆𝐶𝑦1𝑦2 = −4 𝑅𝐼𝑦1𝑦2 = − 𝑃1 𝑃2
- 48. Ejemplo 10 Si𝑃1 𝑃2 > 4 𝑦1 𝑑 = 0 𝑦2 𝑑 = 𝐼 𝑃2 Si 𝑃1 𝑃2 < 4 𝑦1 𝑑 = 𝐼 𝑃1 𝑦2 𝑑 = 0 Si 𝑃1 𝑃2 = 4 0 ≤ 𝑦1 𝑑 ≤ 𝐼 𝑃1 𝐼 𝑃2 ≥ 𝑦2 𝑑 ≥ 0
- 49. Función de utilidad indirecta(FUI) La función de utilidad indirecta se obtiene reemplazando las funciones de demanda derivadas a partir de la función de utilidad directa. Si las curvas de demanda son: 𝑦1 𝑑 = 𝑦1 𝑑 𝑃1, 𝑃2, 𝐼 𝑦2 𝑑 = 𝑦2 𝑑 𝑃1, 𝑃2, 𝐼 Entonces: 𝑉 = 𝑈[𝑦1 𝑑 𝑃1, 𝑃2, 𝐼 , 𝑦2 𝑑 𝑃1, 𝑃2, 𝐼 ] 𝑉 = 𝑉 𝑃1, 𝑃2, 𝐼
- 50. Función de utilidad indirecta(FUI) Se llama indirecta, porque la utilidad directa depende del consumo de los bienes, pero el consumo de los bienes depende de los precios y del ingreso del individuo. Si calculamos el punto óptimo (𝑦1 ∗ , 𝑦2 ∗ ), dados los precios y los ingresos, entonces: 𝑈(𝑦1 ∗ , 𝑦2 ∗ ) = 𝑉 𝑃1, 𝑃2, 𝐼
- 51. Ejemplo 11 𝑈= 𝐼 3𝑃1 0.5 𝐼 3𝑃2 0.5 𝐼 3𝑃3 0.5 La FUI será: 𝑉 = 𝐼 3 1.5 𝑃1𝑃2𝑃3 −0.5 Si 𝑃1 = 2, 𝑃2 = 4, 𝑃3 = 1, 𝐼 = 100 𝑦1 ∗ = 100 3∗2 = 16.67 𝑦2 ∗ = 100 3∗4 = 8.33
- 52. Ejemplo 11 𝑦3 ∗ =100 3∗1 = 33.33 Entonces, tomando raíz cuadrada a cada consumo óptimo encontrado: 𝑈 = 4.08 ∗ 2.88 ∗ 5.77 = 67.79 ≈ 68 La FUI será: 𝑉 = 100 3 1.5 2 ∗ 4 ∗ 1 −0.5 = 192.45 2.83 = 68.04 ≈ 68
- 53. Ejemplo 12 𝑈= 4𝑦1 + 𝑦2 Si 𝑃1 𝑃2 < 4 𝑦1 𝑑 = 𝐼 𝑃1 𝑦2 𝑑 = 0 𝑈 = 4 𝐼 𝑃1 + 0 La FUI será: 𝑉 = 4 𝐼 𝑃1 𝑈 = 4 𝐼 𝑃1 = 𝑉
- 54. Ejemplo 12 𝜕𝑉 𝜕𝐼= 4 1 𝑃1 > 0 𝜕𝑉 𝜕𝑃1 = −4 𝐼 𝑃1 2 < 0 𝜕𝑉 𝜕𝑃2 = 0
- 55. Propiedades de laFUI Si derivamos la FUI con respecto al ingreso: 𝜕𝑉 𝜕𝐼 = 𝜕𝑈 𝜕𝑦1 𝜕𝑦1 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝐼 + 𝜕𝑈 𝜕𝑦2 𝜕𝑦2 𝜕𝑦2 𝑑 𝜕𝑦2 𝑑 𝜕𝐼 Sabemos que: 𝜕𝑈 𝜕𝑦1 = 𝜆𝑃1 𝜕𝑈 𝜕𝑦2 = 𝜆𝑃2 Entonces: 𝜕𝑉 𝜕𝐼 = 𝜆𝑃1 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝐼 + 𝜆𝑃2 𝜕𝑦2 𝑑 𝜕𝐼
- 56. Propiedades de laFUI 𝜕𝑉 𝜕𝐼 = 𝜆 𝜕𝑃1𝑦1 𝑑 𝜕𝐼 + 𝜕𝑃2𝑦2 𝑑 𝜕𝐼 = 𝜆 𝜕𝐼 𝜕𝐼 Por lo tanto: 𝜕𝑉 𝜕𝐼 = 𝜆 Es decir, la derivada de la utilidad indirecta con respecto al ingreso es igual a 𝜆, que representa la utilidad marginal del ingreso
- 57. Ejemplo 13 Sea: 𝑉 = 𝐼 3 1.5 𝑃1𝑃2𝑃3 −0.5 Entonces: 𝜕𝑉 𝜕𝐼 = 1.5 𝐼 3 0.5 1 3 𝑃1𝑃2𝑃3 −0.5 𝜕𝑉 𝜕𝐼 = 0.5 𝐼 3 0.5 𝑃1𝑃2𝑃3 −0.5 > 0
- 58. Propiedades de laFUI Si derivamos la FUI con respecto a uno de los precios: 𝜕𝑉 𝜕𝑃1 = 𝜕𝑈 𝜕𝑦1 𝜕𝑦1 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝑃1 + 𝜕𝑈 𝜕𝑦2 𝜕𝑦2 𝜕𝑦2 𝑑 𝜕𝑦2 𝑑 𝜕𝑃1 Haciendo los reemplazos: 𝜕𝑉 𝜕𝑃1 = 𝜆𝑃1 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝑃1 + 𝜆𝑃2 𝜕𝑦2 𝑑 𝜕𝑃1
- 59. Propiedades de laFUI 𝜕𝑉 𝜕𝑃1 = 𝜆 𝜕[𝑃1𝑦1 𝑑+𝑃2𝑦2 𝑑] 𝜕𝑃1 En este caso no podemos hacer la derivada igual a 1 ya que es una derivada parcial. Entonces partimos de que la derivada total del ingreso con respecto a uno de los precios es igual a cero, porque ambas son variables exógenas: 𝑑𝐼 𝑑𝑃1 = 0 = 𝑦1 𝑑 + 𝜕[𝑃1𝑦1 𝑑+𝑃2𝑦2 𝑑] 𝜕𝑃1
- 60. Propiedades de laFUI Entonces: 𝜕[𝑃1𝑦1 𝑑+𝑃2𝑦2 𝑑] 𝜕𝑃1 = −𝑦1 𝑑 Por lo tanto: 𝜕𝑉 𝜕𝑃1 = −𝜆 𝑦1 𝑑 Identidad de Roy Esta propiedad nos dice que si se eleva el precio de un bien, nuestra utilidad cae por dos causas, el cambio en la utilidad marginal del ingreso (+) y el cambio en los precios (-)
- 61. Ejemplo 14 Sea: 𝑉 = 𝐼 3 1.5 𝑃1𝑃2𝑃3 −0.5 Entonces: 𝜕𝑉 𝜕𝑃2 = −0.5 𝐼 3 1.5 𝑃1𝑃2𝑃3 −1.5 𝑃1𝑃3 𝜕𝑉 𝜕𝑃2 = −0.5 𝐼 3 1.5 𝑃1𝑃3 −0.5 𝑃2 −1.5 < 0 Asimismo, sabemos que: 𝜕𝑉 𝜕𝑃2 = −𝜆𝑦2 = − 𝜕𝑉 𝜕𝐼 𝑦2
- 62. Ejemplo 14 Porlo tanto: −0.5 𝐼 3 1.5 𝑃1𝑃3 −0.5 𝑃2 −1.5 = − 0.5 𝐼 3 0.5 𝑃1𝑃2𝑃3 −0.5 𝑦2 (𝐼 3)𝑃2 = 𝑦2 Entonces: 𝑦2 𝑑 = 𝐼 3𝑃2
- 63. Estática comparativa Sipartimos de una curva de demanda cualquiera: 𝑦1 𝑑 = 𝑦1 𝑑 (𝑃1, 𝑃2, 𝐼) Tomando diferenciales: 𝑑𝑦1 𝑑 = 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝑃1 𝑑𝑃1 + 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝑃2 𝑑𝑃2 + 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝐼 𝑑𝐼 Vamos a ver los efectos de cada variable exógena sobre el consumo del bien
- 64. Efecto ingreso ycurva de Engel ¿Qué sucede cuando el ingreso cambia y los precios se mantienen constantes? Cuando cambia el ingreso, la capacidad de compra aumenta, porque ha aumentado el ingreso real. Si un aumento del ingreso – ceteris paribus – lleva a un aumento del consumo del bien, éste es normal Si un aumento del ingreso – c.p. – lleva a una caída en el consumo del bien, éste es inferior
- 65. Trayectoria de expansión del ingreso Biennormal I’/P2 0 y2 y1 I’/P2 TEI I/P2 I/P1
- 66. Trayectoria de expansión del ingreso Bieninferior 𝒚𝟐 I’/P2 0 y2 y1 I’/P2 I/P2 I/P1 TEI
- 67. Curva de Engel Biennormal 0 y1 I Δ(P1/P2)=0
- 68. Ejemplos de Curvasde Engel Si tomamos las siguientes curvas de demanda: 𝑦1 𝑑 = 𝐼 3𝑃1 𝑦1 𝑑 = (𝐼−𝑃2) 2𝑃1 + 1 𝑦1 𝑑 = 𝑃2 2 16𝑃1 2 Vemos que también son curvas de Engel, ya que nos dan la relación entre la cantidad consumida y el ingreso
- 69. Ejemplos de Curvasde Engel En el caso de la primera: 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝐼 = 1 3𝑃1 > 0 𝜕2𝑦1 𝑑 𝜕𝐼2 = 0 Vemos que la curva de Engel parte del origen, y tiene una pendiente constante, dados los precios relativos.
- 70. Ejemplos de Curvasde Engel En el caso de la segunda: 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝐼 = 1 2𝑃1 > 0 𝜕2𝑦1 𝑑 𝜕𝐼2 = 0 Vemos que la curva de Engel parte del origen, y tiene una pendiente constante, dados los precios relativos En este caso la pendiente es mayor que en el caso anterior
- 71. Ejemplos de Curvasde Engel En el caso de la tercera: 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝐼 = 0 Vemos que la curva de Engel no depende del ingreso Eso quiere decir que se consume la misma cantidad del bien sea cual sea 𝐼
- 72. Elasticidad-ingreso de demanda Laelasticidad-ingreso de demanda nos muestra en qué porcentaje varía el consumo óptimo de un bien ante cambios en el ingreso, dados los precios relativos 𝜂𝑦1,𝐼 = 𝜕𝑦1 𝑦1 𝜕𝐼 𝐼 = 𝜕𝑦1 𝜕𝐼 𝐼 𝑦1 La elasticidad-ingreso de demanda está relacionada al tipo de bien
- 73. Elasticidad-ingreso de demanda Asívemos: 𝜂𝑦1,𝐼 > 1 Bienes no esenciales 𝜂𝑦1,𝐼 = 1 Servicios de consumo 0 < 𝜂𝑦1,𝐼 < 1 Bienes esenciales 𝜂𝑦1,𝐼 < 0 Bienes inferiores
- 74.
- 75. Ejemplo 15 Parala siguiente curva de Engel: 𝑦1 𝑑 = (𝐼−𝑃2) 2𝑃1 + 1 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝐼 = 1 2𝑃1 𝐼 𝑦1 𝑑 = 𝐼∗2𝑃1 𝐼−𝑃2+2𝑃1 Entonces: 𝜂𝑦1,𝐼 = 𝐼 𝐼−𝑃2+2𝑃1 = ?
- 76. Ejemplo 16 Parala siguiente curva de Engel: 𝑦1 𝑑 = 𝐼 2𝑃1 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝐼 = 1 2𝑃1 𝐼 𝑦1 𝑑 = 𝐼∗2𝑃1 𝐼 = 2𝑃1 Entonces: 𝜂𝑦1,𝐼 = 1 La curva de Engel tiene elasticidad unitaria
- 77. Efecto precio ycurva de demanda ordinaria ¿Qué sucede cuando uno de los precios cambia, y el ingreso y los otros precios se mantienen constantes? Cuando cambia el precio de un bien, la capacidad de compra sube (cae) si dicho precio cae (sube). Entonces el ingreso real aumenta (cae).
- 78. Trayectoria de expansióndel precio Bien normal ¿Qué sucede cuando uno de los precios cambia, y el ingreso y los otros precios se mantienen constantes? Cuando cambia el precio de un bien, la capacidad de compra sube (cae) si dicho precio cae (sube). Entonces el ingreso real aumenta (cae).
- 79.
- 80. Efecto sustitución ycurvas de demanda compensada Cuando cambia el precio de un bien, la variación en su consumo se denomina efecto precio Este efecto se puede separar en dos: un efecto sustitución y un efecto ingreso El efecto sustitución es el cambio en la cantidad consumida, cuando los precios relativos cambian, manteniendo el ingreso real constante
- 81. Efecto sustitución ycurvas de demanda compensada Para poder determinar el efecto sustitución, es necesario definir el ingreso real Hay dos definiciones: - La de Hicks - La de Slutsky
- 82. Ingreso real ala Hicks De acuerdo a Hicks, ante un cambio en los precios relativos, un consumidor mantiene su ingreso real constante si su nuevo consumo está sobre la curva de indiferencia inicial Es solo después de encontrar en punto de sustitución 𝐶𝐻 que se puede medir el efecto ingreso
- 83. Efecto sustitución a la Hicksy efecto ingreso 0 y2 y1 I/P2 y1 B I/P1 A Ch B I/P1' y1 A y1 Ch ESH EI EP
- 84. Ingreso real ala Slutsky De acuerdo a Slutsky, ante un cambio en los precios relativos, un consumidor mantiene su ingreso real constante si a los nuevos precios aún podría consumir la canasta inicial Es solo después de encontrar en punto de sustitución 𝐶𝑆 que se puede medir el efecto ingreso
- 85. Efecto sustitución a la Slutsky yefecto ingreso 0 y2 y1 I/P2 I/P1 B I/P1' A Cs Ch ESS EI EP y1 A y1 Cs y1 B
- 86. Curvas de demanda compensadas Las curvas de demanda compensadas son aquellas que solamente toman en cuenta el efecto sustitución Se llaman compensadas porque para mantener el ingreso real si un precio se eleva (cae), es como si se diera (quitara) ingreso al individuo
- 87. Curvas de demanda– bien normal 0 y1 P1 A P1A P1B y1A y1Ch y1Cs y1B cdo cdch cdcs cdch cdcs cdo
- 88. Curvas de demanda– bien inferior 0 y1 P1 A P1A P1B y1A yB y1Ch y1Cs cdch cdcs cdo cdo cdch cdcs
- 89. Bien Giffen Unbien Giffen tiene las siguientes características: - Es un bien inferior - Su efecto ingreso es mayor que su efecto sustitución, ambos en valor absoluto)
- 90. Curvas de demanda– bien Giffen 0 y1 P1 P1A P1B y1A y1Ch y1Cs cdch cdcs cdch cdcs cdo cdo A y1B
- 91. Elasticidad-precio de demanda Laelasticidad-precio de demanda nos muestra en qué porcentaje varía el consumo óptimo de un bien ante cambios en su precio, dados el ingreso y los demás precios 𝜂𝑦1,𝑃1 = 𝜕𝑦1 𝑦1 𝜕𝑃1 𝑃1 = 𝜕𝑦1 𝜕𝑃1 𝑃1 𝑦1 La elasticidad-precio de demanda está relacionada al tipo de bien
- 92. Elasticidad-precio de demanda Asívemos: 𝜂𝑦1,𝑃1 < −1 Bienes no esenciales 𝜂𝑦1,𝑃1 = −1 Servicios de consumo −1 < 𝜂𝑦1,𝑃1 < 0 Bienes esenciales 𝜂𝑦1,𝑃1 > 0 Bienes Giffen
- 93.
- 94. Ejemplo 17 Seala siguiente curva de demanda: 𝑦1 𝑑 = 𝐼 2𝑃1 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝑃1 = −𝐼 2𝑃1 2 𝑃1 𝑦1 𝑑 = 2𝑃1 2 𝐼 Entonces: 𝜂𝑦1,𝑃1 = −1
- 95. Ejemplo 18 Seala siguiente curva de demanda: 𝑦1 𝑑 = 𝑃2 2 4𝑃1 2 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝑃1 = −𝑃2 2 2𝑃1 3 𝑃1 𝑦1 𝑑 = 4𝑃1 3 𝑃2 2 Entonces: 𝜂𝑦1,𝑃1 = −2
- 96. Elasticidad-precio cruzada de demanda La elasticidad-precio cruzada de demanda nos muestra en qué porcentaje varía el consumo óptimo de un bien ante cambios en otros precios, dados el ingreso y el precio del bien 𝜂𝑦1,𝑃2 = 𝜕𝑦1 𝑦1 𝜕𝑃2 𝑃2 = 𝜕𝑦1 𝜕𝑃2 𝑃2 𝑦1 La elasticidad-precio cruzada de demanda está relacionada al tipo de bien
- 97. Elasticidad-precio cruzada de demanda Así vemos: 𝜂𝑦1,𝑃2 > 0 Bienes sustitutos 𝜂𝑦1,𝑃2 = 0 No hay relación entre los bienes 𝜂𝑦1,𝑃2 < 0 Bienes complementarios
- 98.
- 99. Ejemplo 19 Parala función de demanda cruzada: 𝑦3 𝑑 = 𝑃1 0.5𝑃2 0.5 𝑃3 𝜕𝑦3 𝜕𝑃1 = 0.5𝑃2 0.5 𝑃1 0.5𝑃3 𝑃1 𝑦3 = 𝑃1 0.5𝑃3 𝑃2 0.5 Entonces: 𝜂𝑦3,𝑃1 = 0.5 > 0
- 100. Ejemplo 19 Parala misma función: 𝑦3 𝑑 = 𝑃1 0.5𝑃2 0.5 𝑃3 𝜕𝑦3 𝜕𝑃2 = 0.5𝑃1 0.5 𝑃2 0.5𝑃3 𝑃2 𝑦3 = 𝑃2 0.5𝑃3 𝑃1 0.5 Entonces: 𝜂𝑦3,𝑃1 = 0.5 > 0
- 101. Función de gastomínimo Suponga que un individuo desea mantener su nivel de utilidad, gastando lo menos posible: 𝑀𝑖𝑛 𝐺 = 𝑃1𝑦1 + 𝑃2𝑦2 𝑠. 𝑎. 𝑈0 = 𝑈(𝑦1, 𝑦2) La ecuación de Lagrange: 𝐿 = 𝑃1𝑦1 + 𝑃2𝑦2 + 𝜆[𝑈0 − 𝑈(𝑦1, 𝑦2)] Este es el problema dual de la maximización de utilidad
- 102. Función de gastomínimo En equilibrio: 𝑃1 = 𝜆 𝜕𝑈 𝜕𝑦1 𝑃2 = 𝜆 𝜕𝑈 𝜕𝑦2 𝑈0 = 𝑈(𝑦1, 𝑦2) A partir de las dos primeras ecuaciones: 𝑃1 𝑃2 = 𝜕𝑈 𝜕𝑦1 𝜕𝑈 𝜕𝑦2
- 103. Función de gastomínimo Entonces, despejamos 𝑦2: 𝑦2 = 𝑔(𝑦1, 𝑃1, 𝑃2) Reemplazando en la restricción de utilidad: 𝑈0 = 𝑈[𝑦1, 𝑔(𝑦1, 𝑃1, 𝑃2)] Si despejamos 𝑦1, obtenemos la curva de demanda compensada a la Hicks: 𝑦1 ℎ = 𝑦1 ℎ (𝑃1, 𝑃2, 𝑈0)
- 104. Función de gastomínimo Remplazando en la expresión anterior: 𝑦2 = 𝑔[𝑦1 ℎ (𝑃1, 𝑃2, 𝑈0), 𝑃1, 𝑃2] Despejamos 𝑦2, y obtenemos su curva de demanda compensada a la Hicks: 𝑦2 ℎ = 𝑦2 ℎ (𝑃1, 𝑃2, 𝑈0) Ambas funciones dependen solo de los precios relativos, dado un nivel de utilidad
- 105.
- 106. Función de gastomínimo Si reemplazamos ambas curvas de demanda en la ecuación del gasto: 𝐺 = 𝑃1𝑦1 ℎ 𝑃1, 𝑃2, 𝑈0 + 𝑃2𝑦2 ℎ (𝑃1, 𝑃2, 𝑈0) Entonces tenemos la función de gasto mínimo: 𝑚 = 𝑚(𝑃1, 𝑃2, 𝑈0)
- 107. Ejemplo 20 Seala siguiente función de utilidad: 𝑈 = 𝑦1 0.5 𝑦2 0.5 + 2𝑦3 0.5 Encuentre las funciones de demanda hicksianas y la función de gasto mínimo 𝑀𝑖𝑛 𝐺 = 𝑃1𝑦1 + 𝑃2𝑦2 + 𝑃3𝑦3 𝑠. 𝑎. 𝑈0 = 𝑦1 0.5 𝑦2 0.5 + 2𝑦3 0.5 Planteamos y resolvemos la ecuación de Lagrange:
- 108. Ejemplo 20 𝑃1= 𝜆(0.5 𝑦1 −0.5 𝑦2 0.5 ) 𝑃2 = 𝜆(0.5 𝑦1 0.5 𝑦2 −0.5 ) 𝑃3 = 𝜆(𝑦3 −0.5 ) Entonces: 𝑃1 𝑃2 = 𝑦2 𝑦1 𝑦2 = 𝑃1 𝑃2 𝑦1 𝑃1 𝑃3 = 0.5𝑦3 0.5 𝑦2 𝑦1 0.5 = 0.5𝑦3 0.5 𝑃1 𝑃2 0.5 𝑦3 0.5 = 2 𝑃1 0.5𝑃2 0.5 𝑃3
- 109. Ejemplo 20 Porlo tanto: 𝑦3 ℎ = 4 𝑃1𝑃2 𝑃3 2 Reemplazamos la relación entre los bienes 𝑦1 y 𝑦3 , y la curva de demanda compensada 𝑦3 ℎ en la función de utilidad: 𝑈0 = 𝑦1 0.5 𝑃1 𝑃2 0.5 𝑦1 0.5 + 4 𝑃1 0.5𝑃2 0.5 𝑃3
- 110. Ejemplo 20 Despejamos𝑦1: 𝑦1 ℎ = 𝑃2 𝑃1 0.5 𝑈0 − 4 𝑃2 𝑃3 Reemplazamos: 𝑦2 ℎ = 𝑃1 𝑃2 0.5 𝑈0 − 4 𝑃1 𝑃3 Para obtener la función de gasto mínimo, reemplazamos cada función hicksiana en la función de gasto que minimizamos
- 111. Ejemplo 20 𝐺= 𝑃1𝑃2 0.5 𝑈0 − 4 𝑃1𝑃2 𝑃3 + 𝑃1𝑃2 0.5 𝑈0 − 4 𝑃1𝑃2 𝑃3 + 4 𝑃1𝑃2 𝑃3 Entonces: 𝑚 = 2 𝑃1𝑃2 0.5𝑈0 − 4 𝑃1𝑃2 𝑃3 Es la función de gasto mínimo
- 112. Propiedades de laFunción de gasto mínimo Si derivamos la función de gasto mínimo con respecto a uno de sus precios: 𝜕𝑚 𝜕𝑃1 = 𝑦1 ℎ + 𝑃1𝜕𝑦1 ℎ 𝜕𝑃1 + 𝑃2𝜕𝑦2 ℎ 𝜕𝑃1 𝜕𝑚 𝜕𝑃1 = 𝑦1 ℎ + 𝜕(𝑃1𝑦1 ℎ+𝑃2𝑦2 ℎ) 𝜕𝑃1 = 𝑦1 ℎ + 𝜕𝐼 𝜕𝑃1
- 113. Propiedades de laFunción de gasto mínimo Por lo tanto: 𝜕𝑚 𝜕𝑃1 = 𝑦1 ℎ Que es el Lema de Shephard.
- 114. Propiedades de laFunción de gasto mínimo Por otro lado, si existe una función 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , cuyas derivadas parciales existen y son continuas, Entonces se cumple que 𝑓𝑥𝑦 = 𝑓𝑦𝑥 Dado que 𝑚 = 𝑚 𝑃1, 𝑃2, 𝑈0 cumple con las mismas condiciones, entonces: 𝜕2𝑚 𝜕𝑃2𝑃1 = 𝜕2𝑚 𝜕𝑃1𝑃2 𝜕 𝜕𝑚 𝜕𝑃1 𝜕𝑃2 = 𝜕 𝜕𝑚 𝜕𝑃2 𝜕𝑃1
- 115. Propiedades de laFunción de gasto mínimo Entonces: 𝜕 𝑦1 ℎ 𝜕𝑃2 = 𝜕 𝑦2 ℎ 𝜕𝑃1 Lo cual implica que los efectos sustitución cruzados en una demanda compensada a la Hicks son simétricos.
- 116. Propiedades de laFunción de gasto mínimo Finalmente, si se eleva el precio de uno de los bienes en un porcentaje 𝑥, entonces el gasto se elevará también, pero en un porcentaje menor: 𝜕2𝑚 𝜕𝑃1 2 < 0 𝜕 𝜕𝑚 𝜕𝑃1 𝜕𝑃1 < 0 𝜕 𝑦1 ℎ 𝜕𝑃1 < 0
- 117. Propiedades de laFunción de gasto mínimo Lo cual nos dice que las funciones de demanda compensadas siempre tienen pendiente negativa ya que solamente tienen efecto sustitución
- 118. Ejemplo 21 Parala siguiente función de utilidad directa: 𝑈 = 𝑦1 0.5 + 𝑦2 Las curvas de demanda ordinaria para cada bien serán: 𝑦1 𝑑 = 𝑃2 2 4𝑃1 2 𝑦2 𝑑 = 𝐼 𝑃2 − 𝑃2 4𝑃1
- 119. Ejemplo 21 Lascurvas de demanda hicksianas para cada bien serán: 𝑦1 ℎ = 𝑃2 2 4𝑃1 2 𝑦2 ℎ = 𝑈0 − 𝑃2 2𝑃1 La función de gasto mínimo será: 𝑚 = 𝑃1 ∗ 𝑃2 2 4𝑃1 2 + 𝑃2 ∗ 𝑈0 − 𝑃2 2𝑃1
- 120. Ejemplo 21 Entonces: 𝑚 = 𝑃2𝑈0 − 𝑃2 2 4𝑃1 2
- 121. Función de demanda compensadaa la Slutsky Para calcular esta función debemos tomar en cuenta que el punto de sustitución de Slutsky se encuentra sobre una recta de presupuesto imaginaria que pasa por el punto inicial Por lo tanto el ingreso de esta recta de presupuesto imaginaria es menor que el ingreso 𝐼
- 122. Efecto sustitución a la Slutsky yefecto ingreso 0 y2 y1 I/P2 I/P1 B I/P1' A Cs Ch ESS EI EP y1 A y1 Cs y1 B
- 123. Función de demanda compensadaa la Slutsky Como vemos en el gráfico anterior, tanto el punto 𝐴 como el punto 𝐶𝑠están sobre esta recta de presupuesto imaginaria: 𝐼𝐴 = 𝑃1 ′ 𝑦1 + 𝑃2𝑦2 < 𝐼 Como conocemos 𝑦1 𝐴 y 𝑦2 𝐴 entonces: 𝐼𝐴 = 𝑃1 ′ 𝑦1 𝐴 + 𝑃2𝑦2 𝐴
- 124. Función de demanda compensadaa la Slutsky Para encontrar las curvas de demanda compensada a la Slutsky: 𝑀𝑎𝑥 𝑈 = 𝑈(𝑦1, 𝑦2) 𝑠. 𝑎. 𝑃1 ′ 𝑦1 𝐴 + 𝑃2𝑦2 𝐴 = 𝑃1 ′ 𝑦1 + 𝑃2𝑦2 Las curvas serán: 𝑦1 𝑠 = 𝑦1 𝑠 (𝑃1, 𝑃2, 𝑦1 𝐴 , 𝑦2 𝐴 ) 𝑦2 𝑠 = 𝑦2 𝑠 (𝑃1, 𝑃2, 𝑦1 𝐴 , 𝑦2 𝐴 )
- 125. Ejemplo 21 Empleamosla misma función de utilidad anterior: 𝑈 = 𝑦1 0.5 + 𝑦2 Los consumos óptimos serán: 𝑦1 𝑑 = 𝑃2 2 4𝑃1 2 = 𝑦1 𝐴 𝑦2 𝑑 = 𝐼 𝑃2 − 𝑃2 4𝑃1 = 𝑦2 𝐴 Si 𝐼 = 450, 𝑃1 = 10 𝑦 𝑃2 = 5
- 126. Ejemplo 21 Entonces: 𝑦1 𝑑 = 1 16 = 0.063 = 𝑦1 𝐴 𝑦2 𝑑 = 90 − 1 8 = 89.875 = 𝑦2 𝐴 La restricción de presupuesto será que pasa por el punto 𝐴 será: 0.063𝑃1 + 89.875𝑃2 = 𝑃1𝑦1 + 𝑃2𝑦2 Por lo tanto:
- 127. Ejemplo 21 Entonces: 𝑀𝑎𝑥 𝑈 = 𝑦1 0.5 + 𝑦2 𝑠. 𝑎 0.063𝑃1 + 89.875𝑃2 = 𝑃1𝑦1 + 𝑃2𝑦2 Las curvas de demanda compensadas serán: 𝑦1 𝑠 = 𝑃2 2 4𝑃1 2 𝑦2 𝑆 = 𝑃1 16𝑃2 + 89.875 − 𝑃2 4𝑃1
- 128. Ejemplo 21 Siel nuevo precio del bien 𝑦1 es: 𝑃1 ′ = 4 𝑦1 𝑠 = 𝑃2 2 4𝑃1 2 = 25 64 > 1 16 𝑦2 𝑠 = 𝑃1 16𝑃2 + 89.875 − 𝑃2 4𝑃1 = 88.938 < 89.875
- 129. La ecuación deSlutsky La ecuación de Slutsky es la expresión matemática de los efectos precio, sustitución e ingreso Esta ecución se puede trabajar tanto con el efecto sustitución a la Hicks como con el efecto sustitución a la Slutsky Nosotros vamos a trabajar con el efecto sustitución a la Hicks
- 130. La ecuación deSlutsky Sabemos que: 𝑉 𝑃1, 𝑃2, 𝐼 = 𝑀𝑎𝑥 𝑈 = 𝑈 𝑦1, 𝑦2 𝑠. 𝑎. 𝐼 = 𝑃1𝑦1 + 𝑃2𝑦2 También que: 𝑚 𝑃1, 𝑃2, 𝑈0 = 𝑀𝑖𝑛 𝐺 = 𝑃1𝑦1 + 𝑃2𝑦2 𝑠. 𝑎. 𝑈0 = 𝑈 𝑦1, 𝑦2
- 131. La ecuación deSlutsky Existen 4 proposiciones de dualidad: 𝑚[𝑃1, 𝑃2, 𝑉 𝑃1, 𝑃2, 𝐼 ] ≡ 𝐼 𝑉[𝑃1, 𝑃2, m(𝑃1, 𝑃2, 𝑈0)] ≡ 𝑈0 A partir de las expresiones anteriores se derivan las siguientes: 𝑦1 𝑑 𝑃1, 𝑃2, 𝐼 ≡ 𝑦1 ℎ [𝑃1, 𝑃2, 𝑉 𝑃1, 𝑃2, 𝐼 ] 𝑦1 ℎ 𝑃1, 𝑃2, 𝑈0 ≡ 𝑦1 𝑑 [𝑃1, 𝑃2, m(𝑃1, 𝑃2, 𝑈0)]
- 132. La ecuación deSlutsky Para derivar la ecuación de Slutsky emplearemos la tercera expresión: 𝑦1 𝑑 𝑃1, 𝑃2, 𝐼 ≡ 𝑦1 ℎ [𝑃1, 𝑃2, 𝑉 𝑃1, 𝑃2, 𝐼 ] Derivamos esta expresión con respecto a 𝑃1: 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝑃1 = 𝜕𝑦1 ℎ 𝜕𝑃1 + 𝜕𝑦1 ℎ 𝜕𝑈0 𝜕𝑈0 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑃1
- 133. La ecuación deSlutsky Entonces: 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝑃1 = 𝜕𝑦1 ℎ 𝜕𝑃1 + 𝜕𝑦1 ℎ 𝜕𝑈0 1 −𝜆𝑦1 𝑑 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝑃1 = 𝜕𝑦1 ℎ 𝜕𝑃1 − 𝜆 𝜕𝑦1 ℎ 𝜕𝑈0 𝑦1 𝑑 El primer término es el efecto precio El segundo término es el efecto sustitución El tercero es el efecto ingreso
- 134. La ecuación deSlutsky Por otro lado, trabajamos con la ecuación inicial y la derivamos con respecto al ingreso: 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝐼 = 𝜕𝑦1 ℎ 𝜕𝑈0 𝜕𝑈0 𝜕𝑉 𝜆 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝐼 = 𝜆 𝜕𝑦1 ℎ 𝜕𝑈0 Si reemplazamos esta expresión en la ecuación anterior:
- 135. La ecuación deSlutsky 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝑃1 = 𝜕𝑦1 ℎ 𝜕𝑃1 − 𝜆 𝜕𝑦1 ℎ 𝜕𝑈0 𝑦1 𝑑 Obtenemos la ecuación de Slutsky: 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝑃1 = 𝜕𝑦1 ℎ 𝜕𝑃1 − 𝑦1 𝑑 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝐼
- 136. La ecuación deSlutsky En términos de elasticidades: 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝑃1 𝑃1 𝑦1 𝑑 = 𝜕𝑦1 ℎ 𝜕𝑃1 𝑃1 𝑦1 𝑑 − 𝑦1 𝑑 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝐼 𝑃1 𝑦1 𝑑 Dado que podemos asumir que estamos en el punto donde 𝑦1 𝑑 = 𝑦1 ℎ : 𝜂𝑦1 𝑑𝑃1 = 𝜂𝑦1 ℎ𝑃1 − 𝑦1 𝑑 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝐼 𝑃1 𝑦1 𝑑 𝐼 𝐼
- 137. La ecuación deSlutsky 𝜂𝑦1 𝑑𝑃1 = 𝜂𝑦1 ℎ𝑃1 − 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝐼 𝐼 𝑦1 𝑑 𝑃1𝑦1 𝑑 𝐼 Entonces: 𝜂𝑦1 𝑑𝑃1 = 𝜂𝑦1 ℎ𝑃1 − 𝑘 ∗ 𝜂𝑦1 𝑑𝐼 Donde 𝑘 = 𝑃1𝑦1 𝑑 𝐼 es la proporción del gasto en el bien 𝑦1 con respecto al ingreso total
- 138. Ecuación de Slutsky cruzada Si derivamos 𝑦1 𝑑 con respecto a 𝑃2: 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝑃2 = 𝜕𝑦1 ℎ 𝜕𝑃2 + 𝜕𝑦1 ℎ 𝜕𝑈0 1 −𝜆𝑦2 𝑑 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝑃1 = 𝜕𝑦1 ℎ 𝜕𝑃1 − 𝜆 𝜕𝑦1 ℎ 𝜕𝑈0 𝑦2 𝑑 Sabemos que: 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝐼 = 𝜆 𝜕𝑦1 ℎ 𝜕𝑈0 Entonces:
- 139. Ecuación de Slutsky cruzada Si derivamos 𝑦1 𝑑 con respecto a 𝑃2: 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝑃2 = 𝜕𝑦1 ℎ 𝜕𝑃2 + 𝜕𝑦1 ℎ 𝜕𝑈0 1 −𝜆𝑦2 𝑑 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝑃2 = 𝜕𝑦1 ℎ 𝜕𝑃2 − 𝑦2 𝑑 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝐼 En términos de elasticidades, multiplicamos todo por 𝑃2 𝑦1 : 𝜂𝑦1 𝑑𝑃2 = 𝜂𝑦1 ℎ𝑃2 − 𝑦2 𝑑 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝐼 𝑃2 𝑦1
- 140. Ecuación de Slutsky cruzada Seguimos operando: 𝜂𝑦1 𝑑𝑃2 = 𝜂𝑦1 ℎ𝑃2 − 𝑦2 𝑑 𝜕𝑦1 𝑑 𝜕𝐼 𝑃2 𝑦1 𝑦2 𝑦2 𝐼 𝐼 𝜂𝑦1 𝑑𝑃2 = 𝜂𝑦1 ℎ𝑃2 − 𝑃2𝑦2 𝑑 𝐼 𝜂𝑦1 𝑑,𝐼 Entonces: 𝜂𝑦1 𝑑𝑃2 = 𝜂𝑦1 ℎ𝑃2 − 1 − 𝑘 𝜂𝑦1 𝑑,𝐼
- 141. Ejemplo 22 Seala siguiente función de utilidad: 𝑈 = 4𝑦1 0.5 + 2𝑦2 Obtenga las curvas de demanda ordinaria y compensadas a la Hicks 1.6𝑦1 −0.5 2 = 𝑃1 𝑃2 0.8 𝑦1 0.5 = 𝑃1 𝑃2 Entonces:
- 142. Ejemplo 22 𝑦1 𝑑 =0.64 𝑃2 𝑃1 2 = 𝑦1 ℎ Para obtener la demanda ordinaria de 𝑦2: 𝐼 = 0.64 𝑃2 2 𝑃1 + 𝑃2𝑦2 Entonces: 𝑦2 𝑑 = 𝐼 𝑃2 − 0.64 𝑃2 𝑃1
- 143. Ejemplo 22 Lademanda compensada de 𝑦2: 𝑈0 = 3.2 𝑃2 𝑃1 + 2𝑦2 Entonces: 𝑦2 ℎ = 𝑈0 2 − 1.6 𝑃2 𝑃1 Hallar el efecto ingreso para el bien 𝑦2 usando la ecuación de Slutsky Sabemos que: 𝐸𝐼 = 𝐸𝑃 − 𝐸𝑆
- 144. Ejemplo 22 Entonces: 𝐸𝐼 = 𝜕𝑦2 𝑑 𝜕𝑃2 − 𝜕𝑦2 ℎ 𝜕𝑃2 𝐸𝐼 = − 𝐼 𝑃2 2 − 0.64 𝑃1 − −1.6 1 𝑃1 Por lo tanto: 𝐸𝐼 = − 𝐼 𝑃2 2 − 0.36 𝑃1
- 145. Función de demanda agregada La función de demanda agregada es igual a la suma horizontal de las demandas individuales Si tenemos 𝑛 consumidores del bien 𝑦1: 𝑌1 𝐷 = 𝑛𝑦1 𝑑 𝑃1, 𝑃2, 𝐼 = 𝑌1 𝑑 𝑃1, 𝑃2, 𝐼 Si ahora tenemos 𝑛1 consumidores del bien 𝑦1 con la siguiente función de demanda: 𝑦1 𝑑1 = 𝑓 𝑃1, 𝑃2, 𝐼
- 146. Función de demanda agregada Y 𝑛2 consumidores del bien 𝑦1 con la siguiente función de demanda: 𝑦1 𝑑2 = 𝑔 𝑃1, 𝑃2, 𝐼 , entonces: 𝑌1 𝐷 = 𝑛1𝑓 𝑃1, 𝑃2, 𝐼 + 𝑛2𝑔 𝑃1, 𝑃2, 𝐼 = 𝑌1 𝑑 𝑃1, 𝑃2, 𝐼
- 147. Función de demanda agregada Y yj 00 P P y2 P2 P2 y1 YD =y1 +y2 P1 P1
- 148. Ejemplo 23 Supongaque existen 𝑛 consumidores del bien 𝑦1 con las siguientes funciones de demanda: 𝑦1 𝑑1 = 𝑃2 2 𝑃1 2 𝑛1 personas 𝑦1 𝑑2 = (𝐼−𝑃2) 2𝑃1 + 1 𝑛2 personas
- 149. Ejemplo 23 𝑦1 𝑑3 =𝐼 2𝑃1 𝑛3 personas Donde 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 = 𝑛 Entonces: 𝑌1 𝐷 = 𝑛1 ∗ 𝑃2 2 𝑃1 2 + 𝑛2 ∗((𝐼−𝑃2) 2𝑃1 + 1) + 𝑛3* 𝐼 2𝑃1
- 150. Ejemplo 23 Entonces,si 𝑛1 = 𝑛2 = 25 y 𝑛3 = 50: 𝑌1 𝐷 = 25 ∗ 𝑃2 2 𝑃1 2 + 25 ∗((𝐼−𝑃2) 2𝑃1 ) + 25 + 50* 𝐼 2𝑃1 𝑌1 𝐷 = 25 𝑃2 2 𝑃1 2 + 12.5 ∗((𝐼−𝑃2) 𝑃1 ) + 25 + 25 𝐼 𝑃1 La demanda agregada será: 𝑌1 𝐷 = 25 + 12.5 𝑃2 2 𝑃1 2 + 37.5(𝐼 𝑃1 )
- 151. Ejemplo 23 Derivamosla demanda agregada con respecto a las variables exógenas para comprobar los signos: 𝜕𝑌1 𝐷 𝜕𝑃1 = 12.5𝑃2 2 𝑃1 3 − 18.75𝐼 𝑃1 2 < 0 𝜕𝑌1 𝐷 𝜕𝑃2 = 25𝑃2 𝑃1 2 > 0 𝜕𝑌1 𝐷 𝜕𝐼 = 37.5 𝑃1 > 0