El documento describe el método de demostración por reducción al absurdo en la lógica matemática. Este método consiste en suponer la negación de la proposición a demostrar y derivar una contradicción para invalidar dicha suposición, validando así la proposición original. Se provee un ejemplo de demostración por reducción al absurdo para mostrar que si m y n son enteros tales que n + n2 + n3 = m + m2, entonces n es par.

1. Primera etapa:
Socializar la conceptualización y mínimo tres ejemplos de alguna de las terminologías de
los diferentes tipos de Demostración en la Lógica Matemática (sólo selecciona una e
informa en el foro cual escogió, para que no sea escogido por otro integrante), la
terminología es la siguiente:
1. Demostraciones Directas e Indirectas.
2. Demostración por Contraposición.
3. DEMOSTRACIÓN POR CONTRADICCIÓN (REDUCCIÓN AL ABSURDO).
4. Demostración por Contraejemplo.
5. Demostración por el Principio de Inducción Matemática.
El método de demostración por reducción al absurdo se fundamenta en la condición de no
contradicción para una teoría, básicamente la estrategia consiste en suponer explícitamente
la negación de la proposición a demostrar, a partir de esta hipótesis se trata de generar una
contradicción, esto es: que la teoría con ese supuesto es inconsistente y, en consecuencia,
tal hipótesis es falsa, o lo que es equivalente, que su negación es verdadera, quedando
validada la proposición inicial.
Reductio ad absurdum, expresión latina por Reducción al absurdo, es un método de
demostración lógico. Es usado para demostrar la validez de proposiciones categóricas; se
parte por suponer como hipotética la negación o falsedad de la tesis de la proposición a
demostrar, y mediante una concatenación de inferencias lógicas válidas se pretende derivar
una contradicción lógica, un absurdo; de derivarse una contradicción, se concluye que la
hipótesis de partida (la negación de la original) ha de ser falsa, y la original es verdadera y
la proposición o argumento es válido.
A este método también se le conoce como prueba por contradicción o prueba ad absurdum.
Parte de la base es el cumplimiento del principio de exclusión de intermedios: una
proposición que no puede ser falsa necesariamente es verdadera.
La demostración por reducción al absurdo es un tipo de argumento lógico muy empleado
en demostraciones matemáticas. Consiste en demostrar que una proposición matemática
es verdadera probando que si no lo fuera conduciría a una contradicción.
Ejemplo: Supóngase que se desea demostrar una proposición P. El procedimiento consiste
en demostrar que asumiendo como cierta la falsedad de P (o sea P negada) conduce a una
contradicción lógica. Esta P debería no ser falsa. Por lo tanto habría de ser verdadera.
Demuestre que si m y n son enteros tales que n + n2
+ n3
= m + m2
, entonces n es par
Solución: Supongamos que n es impar. A partir de esto debemos conseguir una
contradicción.
Como n es impar, entonces n2
y n3
son ambos impares, de donde n + n2
+ n3
es impar (ya
que esla suma de tres impares). Entonces, como m + m2
= n + n2
+ n3
, setiene que m + m2
es impar.
Sin embargo m + m2
es siempre par (ya que m + m2
= m (m + 1) y necesariamente alguno
de los números m ó m+1 es par). Hemos llegado a una contradicción. De allí se tiene que
n es par, que es lo que queríamos demostrar.

2. Términos y Predicados:
Todos los hombres son mortales.
Sócrates es hombre.
Luego, Sócrates es mortal.
Esta estructura deductiva, tratada con la hipótesis que sirve de base al cálculo
proposicional, tendría la siguiente representación matemática:
p
q
_____________
r
Por tanto, ninguna de las proposiciones p, q, r, puede describirse mediante partes de las
mismas dotadas de significado propio, unidas por conectivas, que sean comunes en
algunas de ellas y, la relación entre premisas y conclusión que hace la deducción correcta,
no puede detectarse con este nivel de representación. Esto se debe a que la relación entre
las proposiciones está en la propia estructura interna de éstas, en efecto: se afirman en
ellas las mismas propiedades o relaciones para distintas personas o conjuntos de
personas. Las propiedades son “Ser Hombre”, “Ser mortal”, las personas objeto de
atribución de estas propiedades son colectivos, en la primera proposición, e individuos
concretos, Sócrates, en las otras, por ello, para tratar matemáticamente este tipo de
estructuras deductivas es preciso crear una teoría que no tome como base la simbolización
matemática de la proposición total sino la de sus componentes, es decir:
• Qué se afirma.
• De quién o quiénes se afirma
El primer elemento se define como el predicado y el segundo, como los sujetos o
términos. Así en la frase:
• Juan es negro.
“Es negro” es el predicado y “Juan” el sujeto o término de la proposición.
Puede haber proposiciones con varios términos, por ejemplo:
• Juanita está en clase entre Pedro y Manuela.
En este caso el predicado es “-está en clase entre - y-” y los términos son Juanita, Pedro y
Manuela. Los predicados que se refieren a un único término se denominan predicados
absolutos o monádicos. Los que se refieren a varios sujetos se denominan predicados de
relación o poliádicos (según el número de términos pueden ser diádicos, triádicos, etc.).

3. Simbolización:
Una vez definidos los componentes de la proposición se plantea su representación
matemática en base a términos y predicados. Para la simbolización de términos se supone
como base de referencia un dominio genérico, no vacío. Los términos se representan por
variables o constantes cuyos valores posibles forman parte del dominio anterior.
 x, y, z, t... letras de variables, representan cualquier elemento del dominio.
 a, b, c, d... letras de constantes, representan elementos concretos del dominio.
 Para la simbolización de predicados se utiliza la notación funcional: f, g, h...
Así, la proposición “Juan es negro”, que en la lógica proposicional se simboliza con p, en la
lógica de predicados queda:
 f (a) o bien n (j) donde n: ser negro; j: Juan.
De la misma manera:
 x es negro n(x)
 Juanita está en clase entre Pedro y Manuela f(a, b, c,)
 x está en clase entre y y, z, f(x, y, z) donde los sujetos x, y, z están indeterminados.
Segunda etapa:
Socializar la conceptualización y mínimo tres ejemplos de alguna de las terminologías de
las leyes de inferencia lógica (sólo selecciona una e informa en el foro cual escogió, para
que no sea escogido por otro integrante), la terminología de las leyes de inferencia es la
siguiente:
1. Modus Ponendo Ponens y Modus tollendo Tollens.
2. SILOGISMO HIPOTÉTICO Y SILOGISMO DISYUNTIVO.
3. Dilema Constructivo y Absorción.
4. Simplificación y Ley de la conjunción.
5. Ley de Adición y Tollendo Ponens.
SILOGISMO HIPOTÉTICO (S: H)
p → q Se lee: si p entonces q
q → r Se lee: si q entonces r
..
. p → r Se lee: de donde
Si p entonces r
Es un argumento que se expresa simbólicamente así:
[( p → q ) Ʌ (q → r )] → ( p → r )

4. Ejemplo 1.
Premisa 1. Si el agua se hiela, entonces sus moléculas forman cristales.
Premisa 2. Si las moléculas forman cristales, entonces el agua aumenta de
volumen. Conclusión. Si el agua se hiela, entonces el agua aumenta de volumen.
Simbólicamente:
Sean las proposiciones p: El agua se hiela
q: Sus moléculas forman cristales
r: El agua aumenta de volumen
Premisa 1. p → q
Premisa 2. q → r
Conclusión. p → r
SILOGISMO DISYUNTIVO (S. D) O MODUS TOLLENDO PONENS (MTP)
p Ú q
~ p
..
. q
Esta ley se enuncia así:
Si una disyunción es verdadera y una de sus proposiciones simples es falsa, entonces
necesariamente la otra proposición será verdadera.
Simbólicamente se escribe así:
[( p V q ) Ʌ ~p] ~ q o [( p V q ) Ʌ ~q] → p
Ejemplo 1
Premisa 1: O la energía interna de un átomo puede cambiar con continuidad o cambia sólo
a saltos.
Premisa 2: La energía interna de un átomo no puede cambiar con continuidad
Conclusión: La energía interna de un átomo cambia sólo a saltos.
Simbólicamente:
p: La energía de un átomo puede cambiar con continuidad
q: La energía de un átomo sólo cambia a saltos
Premisa 1: p v q

5. Premisa 2: ~p
Conclusión: p
Tercera etapa:
Planteamiento y resolución (utilizando las operaciones necesarias de las tablas de verdad)
y la aplicabilidad de las leyes de inferencia lógica de uno de los problemas de enunciados
tipo argumento del ANEXO 1; además adjuntar un pantallazo de la comprobación de la tabla
de verdad con el simulador TRUTH dicho simulador está dispuesto en el entorno de
Aprendizaje Práctico. En el foro de Interacción y Producción encontrará un link que le
permitirá descargar un PDF con un ejemplo de cómo realizar el proceso de demostración
de la validez del argumento con el uso de la tabla de verdad... (Recuerde sólo seleccionar
uno e informar en el foro el seleccionado para que no sea escogido por otro integrante).
1. En un colegio de la ciudad se está buscando brindar un premio al estudiante con
el mejor promedio académico; para lo cual se quiere exonerar a dicho estudiante
de los exámenes finales. Es así que en la reunión académica se hace el siguiente
análisis: “Si Jaime posee un promedio más alto que Pablo, entonces Martha
posee un promedio más bajo que Aura. Martha no tiene un nivel académico
más bajo que Aura. Si Jaime y Lina tienen el mismo promedio, entonces
Jaime está con un promedio más alto que Pablo. Por consiguiente Jaime y
Lina no tienen el mismo promedio”. Con el uso de las dos maneras de la tabla
de verdad y con el uso de las leyes de inferencia comprobar la validez del
razonamiento hecho.
SOLUCIÓN
Variables:
P: Jaime posee un promedio más alto que Pablo
Q: Martha posee un promedio más bajo que Aura
R: Martha no tiene un nivel académico más bajo que Aura
S: Jaime y Lina tienen el mismo promedio
 Se prueba validez por TABLA DE VERDAD
{[(( 𝑷 → 𝑸) ∧ (¬𝑹)) ∧ ( 𝑺 → 𝑷)] → (¬𝑺)}
( 𝑷 → 𝑸) 𝑷𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓𝒂 𝑷𝒓𝒆𝒎𝒊𝒔𝒂
(¬𝑹) 𝑺𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒂 𝑷𝒓𝒆𝒎𝒊𝒔𝒂
( 𝑺 → 𝑷) 𝑻𝒆𝒓𝒄𝒆𝒓𝒂 𝑷𝒓𝒆𝒎𝒊𝒔𝒂
(¬𝑺) 𝑪𝒐𝒏𝒄𝒍𝒖𝒔𝒊ó𝒏

6. P Q R S (P→
Q)
¬
R
((P→Q)∧(
¬R))
(S→
P)
[((P→Q)∧(¬R))∧
(S→P)]
¬
S
{[((P→Q)∧(¬R))∧(S→
P)]→(¬S)}
V V V V V F F V F F V
V V V F V F F V F V V
V V F V V V V V V F F
V V F F V V V V V V V
V F V V F F F V F F V
V F V F F F F V F V V
V F F V F V F V F F V
V F F F F V F V F V V
F V V V V F F F F F V
F V V F V F F V F V V
F V F V V V V F F F V
F V F F V V V V V V V
F F V V V F F F F F V
F F V F V F F V F V V
F F F V V V V F F F V
F F F F V V V V V V V
¡ARGUMENTO NO VALIDO!
 APLICO SIMULADOR TRUTH TABLE

7.  Se prueba validez por REGLAS DE INFERENCIA
( 𝑷 → 𝑸) 𝑷𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓𝒂 𝑷𝒓𝒆𝒎𝒊𝒔𝒂
(¬𝑹) 𝑺𝒆𝒈𝒖𝒏𝒅𝒂 𝑷𝒓𝒆𝒎𝒊𝒔𝒂
( 𝑺 → 𝑷) 𝑻𝒆𝒓𝒄𝒆𝒓𝒂 𝑷𝒓𝒆𝒎𝒊𝒔𝒂
(¬𝑺) 𝑪𝒐𝒏𝒄𝒍𝒖𝒔𝒊ó𝒏
𝑪𝒖𝒂𝒓𝒕𝒂 𝒑𝒓𝒆𝒎𝒊𝒔𝒂 = ( 𝑺 → 𝑸) 𝑺𝑯
 Teniendo en cuenta las anteriores premisas, y aplicando las diferentes leyes de
inferencia notamos que no existe resultado para la comprobación de:
(¬𝑺) 𝑪𝒐𝒏𝒄𝒍𝒖𝒔𝒊ó𝒏