El documento presenta el método de pendiente deflexión para analizar vigas. Explica cómo calcular los momentos y diagramas de momento y cortante para diferentes ejemplos de vigas continuas y discontinuas, considerando cargas, asientos en apoyos y ecuaciones de equilibrio. Resuelve paso a paso los ejemplos y encuentra las pendientes y momentos en cada tramo.

1. Carlos Alberto Riveros Jerez
Departamento de Ingeniería
Sanitaria y Ambiental
Facultad de Ingeniería
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
Análisis Estructural
Método de Pendiente Deflexión

2. MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 3
Calcular los momentos de la viga. Los asentamientos en los
soportes son:
A=32mm B=62mm C=70mm D=28mm
E=210GPa I=800 (10^6) mm4
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

3. MOMENTOS POR CARGAS EXTERNAS:
• Tramo AB:
• Tramo BC:
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 3
2 2
AB 2 2
2 2
BA 2 2
(Pab ) (300)(3)(3 )
FEM =- =- = -225 kNm
l 6
(Pab ) (300)(3)(3 )
FEM = = =225 kNm
l 6
2 2
BC 2 2
2 2
BA 2 2
Pab (200)(3)(3 )
FEM =- =- = -150 kNm
l 6
(Pab ) (200)(3)(3 )
FEM = = =150 kNm
l 6

4. • Tramo CD(igual al tramo AB):
EFECTOS DE ASENTAMIENTO:
• Tramo AB:
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 3
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
2 2
CD 2 2
2 2
DC 2 2
(Pab ) (300)(3)(3 )
FEM =- =- = -225 kNm
l 6
(Pab ) (300)(3)(3 )
FEM = = =225 kNm
l 6
0.03m
= =0.005
6ml
△

5. • Tramo BC:
• Tramo CD:
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 3
0.008m
= =0.00133
6ml
△
0.042m
= =0.007
6ml
△

6. ECUACIÓN DE MOMENTO:
Sabiendo que EI=16800 kNm
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE
DEFLEXIÓN
Solución 3
AB AB A B
AB A B
BA BA A B
BA A B
BC BC B C
BC B C
CB CB B C
CB
2EI 3
M =FEM + (2θ +θ - )
L L
M =-225+56000(2θ +θ -0.015)
2EI 3
M =FEM + ( +2 - )
L
M =225+56000( +2 -0.015)
2EI 3
M =FEM + (2 + - )
L
M =-150+56000(2 + -0.00399)
2EI 3
M =FEM + ( +2 - )
L
M =150+
L
L
L
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
△
△
△
△
B C
CD CD C D
CD C D
DC DC C D
DC C D
56000( +2 -0.00399)
2EI 3
M =FEM + (2 + - )
L
M =-225+56000(2 + +0.021)
2EI 3
M =FEM + ( +2 - )
L
M =225+56000(2 + +0.021)
L
L
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
△
△

7. • Ecuaciones de equilibrio:
luego como las rotulas y las articulaciones no soportan
momentos; se tiene:
Luego de (1):
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 3
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
AB
BA BC
CB CD
DC
M =0 (1)
M +M =0 (2)
M +M =0 (3)
M =0 (4)
A B-225+56000(2 + -0.015)=0 (a)θ θ

8. De (2):
De (3):
De (4):
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 3
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
A B B C225+56000( +2 -0.015)-150+56000(2 + -0.00399)=0 ( b)θ θ θ θ
B C C D150+56000( +2 -0.00399)-225+56000(2 + -0.021)=0 (c)θ θ θ θ
C D225+56000(2 + -0.021)=0 (d)θ θ

9. Resolviendo (a), (b), (c) y (d):
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 3
AB
BA
BC
CB
CD
DC
M =0
M =153.88 kNm
M =-153.88 kNm
M =-107.08 kNm
M =107.08 kNm
M =0
A
B
C
D
=0.0081 rad
=0.0028 rad
=-0.0017 rad
=-0.0117 rad
θ
θ
θ
θ

10. Encontrar los diagramas de momento y cortante para una viga
continúa de dos luces de igual longitud .
W
MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO:
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 4
2 2
AB BC
2 2
CB BA
-WL -WL
FEM = FEM =
12 12
WL WL
FEM = FEM =
12 12

11. ASENTAMIENTOS:
Δ=0
ECUACIONES DE PENDIENTE DEFLEXION:
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 4
2
AB A B
2
BA A B
2
BC B C
2
CB B C
2EI WL
M = (2 + )- (1)
L 12
2EI WL
M = ( +2 )+ (2)
L 12
2EI WL
M = (2 + )- (3)
L 12
2EI WL
M = ( +2 )+ (4)
L 12
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ

12. Además se sabe que:
Organizando las ecuaciones (6) en (1) y (7) en (4) se obtiene:
De (2):
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 4
BA BC
AB
CB
M +M =0 (5)
M =0 (6)
M =0 (7)
2
A B
2
B C
4EI 2EI WL
+ - =0 (8)
L L 12
2EI 4EI WL
+ + =0 (9)
L L 12
θ θ
θ θ
2
BA A B
2EI 4EI WL
M + + (10)
L L 12
θ θ=

13. De (3) :
De (5):
De (8) se tiene que:
De (13) en (12) se tiene que:
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 4
2
BC B C
4EI 2EI WL
M + - (11)
L L 12
θ θ=
A B C
2 EI 8EI 2EI
+ + =0 (12)
L L L
θ θ θ
3
B
A
WL
= - (13)
48EI 2
θ
θ
3
B C
WL 2
=- - (14)
168EI 7
θ θ

14. De (14) en (9) se tiene que:
De (15) en (14) se tiene que:
De (16) en (13) se tiene que:
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 4
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
3
C
WL
=- (15)
48EI
θ
B=0 (16)θ
3
A
WL
= (17)
48EI
θ

15. • Momentos:
Sustituyendo (15), (16) y (17) en (10) se obtiene:
Sustituyendo (15), (16) y (17) en (11) se obtiene:
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Solución 4
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
2
BA
WL
M = (18)
8
2
BC
WL
M =- (19)
8

16. Diagrama de
cortante y
momentos
MÉTODO
PENDIENTE
DEFLEXIÓN
Solución 4
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

17. Encontrar los diagramas de momento y cortante para la viga de
la figura, la cual sufre un desplazamiento en el apoyo C de 12
mm.
MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO:
En este caso no se presentan momentos de empotramiento.
ASENTAMIENTOS:
Δc=12mm
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5

18. Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO
PENDIENTE
DEFLEXIÓN
Solución 5
AB A B
BA A B
BC B C
CB B C
2EI
M = (2 + ) (1)
L
2EI
M = ( +2 ) (2)
L
2EI 3
M = (2 + - ) (3)
L
2EI 3
M = ( +2 - ) (4)
L
L
L
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
△
△
CD C D
DC C D
DE D E
ED D E
2EI 3
M = (2 + + ) (5)
L
2EI 3
M = ( +2 + ) (6)
L L
2EI
M = (2 + ) (7)
L
2EI
M = ( +2 ) (8)
L
L
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
△
△

19. Además se sabe que:
Organizando las ecuaciones para Δ=0.012m y L=7m con (12) en
(1) y (13) en (8) se obtiene:
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
BA BC
CB CD
DC DE
AB
ED
M +M =0 (9)
M +M =0 (10)
M +M =0 (11)
M =0 (12)
M =0 (13)

20. Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
A B
A B BA
B C BC
B C CB
C D CD
C D DC
D E DE
D
4EI 2EI
+ =0 (14)
7 7
2EI 4EI
+ -M =0 (15)
7 7
4EI 2EI 9EI
+ - -M =0 (16)
7 7 6125
2EI 4EI 9EI
+ - -M =0 (17)
7 7 6125
4EI 2EI 9EI
+ + -M =0 (18)
7 7 6125
2EI 4EI 9EI
+ + -M =0 (19)
7 7 6125
4EI 2EI
+ -M =0 (20)
7 7
2EI
+
7
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ E
4EI
=0 (21)
7
θ

21. Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene que:
• (2) y (3) en (9):
• (4) y (5) en (10):
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
A B B C
A B C
2EI 4EI 4EI 2EI 9EI
+ + + - =0
7 7 7 7 6125
2 8 2 9
+ + - =0 (22)
7 7 7 6125
θ θ θ θ
θ θ θ
B C C D
B C D
2EI 4EI 9EI 4EI 2EI 9EI
+ - + + + =0
7 7 6125 7 7 6125
2 8 2
+ + =0 (23)
7 7 7
θ θ θ θ
θ θ θ

22. • (6) y (7) en (11):
• Despejando θA de (14) y remplazando en (22):
• (25) en (23):
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
C D D E
C D E
2EI 4EI 9EI 4EI 2EI
+ + + + =0
7 7 6125 7 7
2 8 9 2
+ + + =0 (24)
7 7 6125 7
θ θ θ θ
θ θ θ
B B C
B C
1 8 2 9
- + + - =0
7 7 7 6125
2 9
=- + (25)
7 6125
θ θ θ
θ θ
C D
D
24 18 8 2
- + + + =0
49 42875 7 7
7 9
=- - (26)
26 22750
C
C
θ θ θ
θ θ

23. • (26) en (24):
• (27) en (21):
• (28) en (27)
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
D D E
D E
1 9 8 9 2
- - + + + =0
13 79625 7 6125 7
26 108
=- - (27)
97 84875
θ θ θ
θ θ
E E
E
52 216 4
- - + =0
679 594125 7
9
= (28)
12250
θ θ
θ
D
9
=- (29)
6125
θ

24. • (29) en (26):
• (30) en (25):
• (31) en (14)
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
C =0 (30)θ
B
9
= (31)
6125
θ
A
9
=- (32)
12250
θ
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

25. CALCULO DE LOS MOMENTOS:
• (32) y (31) en (15):
• (31) y (30) en (16):
• (31) y (30) en (17):
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
BA
27
M = (33)
42875
BC
27
M =- (34)
42875
CB
9
M =- (35)
8575

26. • (30) y (29) en (18):
• (30) y (29) en (19):
• (29) y (28) en (20):
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
CD
9
M = (36)
8575
DC
27
M = (37)
42875
DE
27
M =- (38)
42875
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA

27. CALCULO DE LAS REACCIONES:
Tramo AB:
Tramo BC:
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
B AB BA
AB
AB
Y AB BA
BA
M =0: -R (7)-M =0
27
-R (7)- =0
300125
27
R =-
300125
F =0: -R +R =0
27
R =
300125
∑
∑
C BC BC CB
BC
BC
Y BC CB
CB
M =0: - R (7)+M +M =0
27 9
-R (7)+ + =0
42875 8575
72
R =
300125
F =0: R +R =0
72
R =-
300125
∑
∑

28. • Tramo CD:
• Tramo DE:
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5
D CD CD DC
CD
CD
Y CD DC
DC
M =0: -R (7)-M -M =0
9 27
-R (7)- - =0
8575 42875
72
R =-
300125
F =0: -R +R =0
72
R =
300125
∑
∑
D ED DE
ED
ED
Y ED DE
DE
M =0: R (7)+M =0
27
R (7)+ =0
300125
27
R =-
300125
F =0: -R +R =0
27
R =
300125
∑
∑

29. DIAGRAMA DE MOMENTO Y CORTANTE:
Obras Civiles – Ingeniería Sanitaria UdeA
MÉTODO PENDIENTE DEFLEXIÓN
Ejemplo 5