1) El documento analiza los puntos de inflexión de dos funciones. La primera función, Y=x/x^2-1, tiene un punto de inflexión en (0,0). La segunda función, Y=3x/x^2+1, tiene puntos de inflexión en (√3,√3) y (-√3,-√3). 2) Se calculan los puntos de inflexión de dos funciones adicionales. La primera función, Y=x^3-9x^2+27x-26, es convexa desde (-∞,3) y desde (3,+∞

1. 1.) puntos de inflexión y curvatura
a) Y= x b) Y= 3x
x2
-1 x2
+1
Para los puntos de inflexión se debe calcular la segunda derivada de la función e igual a
cero (0) para despejar (x) luego se evalúa su equivalencia en (y). si la segunda derivada
es una función positiva (+) es convexa, mientas si la derivada es negativa (-)es
cóncava.
a) Y= x
x2
-1 Y’(X)=(1)(X2
-1)-(X)(2X)
( X2
-1)2
Y’(X)=X2
-1 -2X2
(X2
-1)2
Y’(X)= - X2
-1
(X2
-1)2
Y’’(X)= (-2X)( X2
-1)2
-( -X2
-1)(4X)
( X2
-1)3
Y’’(X)= -2X(X2
-1)-(- X2
-1)(4X)
(X2
-1)3
Y’’(X)= -2X3
+2X+4X3
+4X
(X2
-1)3
Y’’ (X)= 2X3
+6X
(X2
-1)3
Y’’(X)= 3X3
+6X
(X2
-1)3
Igualamos a cero
0 = 3X3
+6X/(X2
-1)3
=> 0 = 3X3
+6X => X=0
Evaluamos en la función X = 0 y se obtiene Y = 0 por lo que tiene un punto de inflexión en X = 0
y Y = 0.
Consideración: (X2
-1)3
≠ 0
=> X2
-1 ≠ 0
=> X2
-1 ≠ 1
=> X ≠ ± 1
(x) no puede tomar el valor de (-1) o (1) ya que produce una indeterminación por la
que decidimos que (y) tiene al -∞ y +∞
Gráfica:

2. Obs. Para los X>1 es convexa y para X>-1 es cóncava, con punto de flexión en el origen.
Cont.
b)
y= 3X
X2
+1 Y’(X)=3(X2
+1)-(3X)(2X)
( X2
+1)2
Y’(X)=3X 2
+3-6 X2
( X2
+1)2
Y’(X)= -3X 2
+3
( X2
+1)2
Y’’(X)=(-6X)(X2
+1)2
-(-3X2
+3)(2)(X2
+1)1
(2X)
( X2
+1)4
Y’’(X)= (-6X)(X2
+1)-(-3X2
+3)(4X)
( X2
+1)3
Y’’(X)=-6X3
-6X+12X3
-12X
(X2
+1)3
Y’’(X)= 6X3
-18X
(X2
+1)3
Igualamos a cero
0 = 6x3
-18x => 6X3
= 18X => X2
=3 => X = ± √3
Posee punto de inflexión en X = √3 y X = -√3
Cont.
Para los X>0 la función es convexa mientas que para los X<0 la función es cóncava.
GRAFICA.
x Y
-2 -2/3
-3/2 6/5
-1 ∞
-1/2 2/3
0 0
1/2 -2/3
1 ∞
3/2 -6/5
2 2/3

3. 2.) a) => Y=x3
– 9x2
+ 27x-26 b) => y = -x3
+3x2
-2
=> Y’
(x) = 3x2
– 18x +27 => Y’ (x) = -3x2
+ 6x
=> Y’’ (x) 6x – 18 => Y’’ (x) = - 6x + 6
=> 0= 6x – 18 => 0 = - 6x + 6
=> X= 3 => X = 1
El punto de inflexión para la evaluamos antes y después del punto de inflexión en
la segunda derivada
Y’’ (X) 6x – 18 Y’’ (x) = -6x +6
Para x= 2 => y’ (2) = -6 Para x = 0 => y’’ (0) = 6
Para x= 4 => y’ (4) = 6 Para x = 2 => y’’ (2) = - 6
Resultado:
a) Convesa desde (-∞,3) b) convesa desde -∞ hasta x=1
y convesa desde (3,+ ∞) convesa desde + 1 hasta x =+∞
3.) calcular los máximos y los mínimos relativos que determinan las monotonía ( intervalos de
crecimientos y de crecimientos de las siguientes funciones)
X Y
2 3/5
1 3/5
0 0
1 3/2
2 3/5

4. a) y = x4 +1 b) Y= x2
__ c) y= √x2
+ 4
x2
x2 -
9
para los máximos y mínimos calculamos la primera derivada
y = x4 +1
X2
Y’ (x) = 4 x3
(x2
) – (x4
+ 1) (2X)
X4
Y’ (x) = 4x4
-2 x4
-2
X3
Y’ (x) 2 x4
– 2
X3
Y’ (x) = 2 ( x4
-1)
X3
Se considera x ≠ o ya que genere una indeterminación entonces
0 = 2 ( x4
- 1 )
 X = ± 1)
Para x = - 1
X = - 2
Y’ (- 2) = 2 ( (2)4
– 1)
(-2)3
Y’ (-2) = 15
-4
X= -1/2
Y’(-1/2) = 2 ( -1/2)4
- 1 )
(-1/2)3
Y’(-1/2) = 2(1/16- 16/16
-1/8
Y’(-1/2) = 2(-15) . 8
-16
Y’ (-1/2)= + 15
Para x =-1 al considerar los valores por debajo y por encima notamos que pasa de
negativo (-) a positivo (+) lo que se convierte en un punto mínimo por lo que da de -∞
hasta 1 es decreciente y de 1 a o es creciente

5. Para X = ½ X = 2
Y (1/2)= 2 ( (1/2)4
- 1 ) Y’ (2) = 2((2)4
-1)
(1/2)3
(2)3
Y’ (1/2) = 2(1/16- 16/16) y’(2)=2(16-1)
1/8 2-4
Y’ (-1/2) = 2(-15) (8) Y’=(2) = +15
16 4
Y’(-1/2)= - 15
Para X = 1 al considerar los valores por debajo y por encima notamos que pasa de
negativo (-) a positivo (+) lo que desde o hasta 1 es decreciente y desde 1 hasta (+∞)
es creciente
x y
2 17/4
1 2
1/2 17/4
0 +∞
1/2 17/4
1 2
2 17/4

6. Y= x2
_
X2
-9
Antes que nada se considera x2
-9 ≠ 0 ya que produce una indeterminación por lo que
para x= ± 3 ; (y) tiende al infinito.
Resultado una función de tres partes: (-∞, -3) ; (-3,3) ; (3,+ ∞)
Ahora bien calculamos los mínimos u máximos con la primera derivada.
Y’(X) = 2x(x2
-9)- x2
(2x)
(x2
– 9)2
Y’ (x) = 2 x3
- 18x – 2 x3
( x2 – 9)2
Y’ (x) = - 18x__
(x2
. 9)2
0 = -18 x => x = -1
La raíz se considera x = 1 y x = - 1 para el crecimiento
Y’ (-1) = - 18_(-1) Y’ (1) -18 (1)
((1-1)2
-9)2
(1)2
-9 )2
Y’ (-1) = +18 Y’ (1) = -18
64 64
Ya que va de positivo (+) a negativo (-) es un punto máximo.
Considerando lo anterior calculamos X para ciertos valores y tener noción de la Grafica
Para X=4 => Y= 16 = 2,2
7
X=-5 => Y= 25 = 1,5
16
X=-6 => Y= 36 = 1,3
27
A medida que X crecía y se hace más pequeño y esto pasa también para el lado positivo ya que
la función es de exponentes par