Este documento contiene un examen parcial de matemática para ingeniería que incluye 7 problemas. El primer problema presenta 4 límites para ser calculados. El segundo problema pide hallar los valores de a y b para que una función sea continua. El tercer problema contiene 4 partes relacionadas con operaciones entre funciones.

1. Facultad de Ciencias
e
Ingeniería
E.A.P. de:
Ingeniería de Sistemas
Ingeniería Electrónica
UCH
CICLO I
MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA I 2016 II
Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Email – mitagi@jacobiperu.com
1 | P á g i n a
TEMA: SOLUCIONARIO http://jacobiperu.com/
TURNO: NOCHE AULA: FECHA:
Examen parcial tomado en la UCH 2015 - I
1. Calcula los siguientes límites:
a)
x
x
lim
x  110
b) 







 xxxx
lim
x 2
2
2
3
222
c)
x
x
x x
xx 2
23
2
2
2
1
1
lim

 









d)
xx
xtag
x cos3
4
lim 2
2
0 
2. Sea  









12
1
12
xsi
xsib
xsiaxx
xf
x
, hallar a y b
para que  xf sea continua.
3. Dadas las funciones  
1
1


x
xf y
 
9
1
2



x
x
xg , calcular:
a)   xgf b)   xfg 
c)  xf 1
d)
 





xg
f
1
4. Representa gráficamente la siguiente función
definida a trozos:
 









12
111
12
2
xsixx
xsi
xsix
xf
5. Halla el dominio de las siguientes funciones:
a)  
1
2


x
x
xf b)   13  xxg
c)  
1
42



x
x
xh
6. En la gráfica de la figura, halla:
a) Los siguientes límites cuando: 
 2x ,

 2x , 2x , 
 0x , 
 0x , 0x ,

 2x , 
 2x , 2x , x , x .
b) Dominio, imagen, ¿es continua?
7. Halla las asíntotas de las siguientes funciones y
sitúa las curvas respecto a las asíntotas:
a)
12
3


x
x
y b)
54
52
2
2



xx
x
y

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Solución
 
   
 
 
0
0
0
0
) lim
01 1
1 1
lim
1 1 1 1
1 1
lim
1 1
x
x
x
x
a
x
x x
x x
x x
x



 
     
  

    
  

 
 
 0 0
1 1
lim lim 1 1
1 1 2
x x
x x
x
x 
  
   
  
 
     
2 2
2
2
3 2
) lim
2 2
3 2
lim
1 2 2
x
x
b
x x x x
x x x x


 
     
   
 
         
 
   
   
2
2
3 2 1
lim
1 2
2 1
lim
1 2 6
x
x
x x
x x x
x
x x x


   
       
 
       
2
2
2
3 2
22
2
3 2
1 2
2 2
2
3 2
2 4
2
1
) lim 1
1
1
lim
1
1
lim 1 1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
c
x
x x
x
x x
x







  
      
 
         
   
     
  
2
3 2
2 2 4
2
1 1
lim 1
1
x
x
x
x x x
x


     
   
  
2
2
3 2
4
2
3 2
4
2
lim 1
1
1
lim 1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x




 
 
 
 
 
   
 
 
 
2 2
2
2
2 2
3
3
1 3 2
41
2
3 2
1 41
2
3 2 3lim
4 4 4
1
lim 1
1
1
lim 1
1
x
x x x
x xx
x
x x
x xx
x
x
x x
x x
x
x
x
x
e e
 
 



 
 




 
 
  
 
 
 
 
  
  
      
  
 
 
2
20
2
2 20
2 20
4 0
) lim
3 cos 0
4
lim
cos 4 3 cos
4 4
lim
cos 4 3 cos
x
x
x
tag x
d
x x
sen x
x x x
sen x sen x
x x x



 
    
 
 


 
2 20
2 20
4 4 4 4
lim
4 4 cos 4 3 cos
4 4
1 1 lim
cos 4 3 cos
x
x
sen x sen x x x
x x x x x
x x
x x x


 
   
  
 
   
  
2
2 20
2
16
1 1 lim
cos 4 3 cos
16 16 16
cos 0 3 cos0 1 3 1 3
x
x
x x x
 
    
  
 
   

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2. Se mira en primer lugar la continuidad de cada
trozo en su dominio:
 axxy  2
, es una función polinómica,
luego es continua en  1,
 x
y 2 , es una función exponencial, luego
es continua en  ,1
Se estudia la continuidad en el punto de unión
1x :
   bf 1

 
121
222lim
1lim
1
1
22
1











aa
aaxx
x
x
x
, ya que tienen que coincidir los límites
laterales
     21lim1
1


abxff
x
2
1


b
a
   2
2
2 2
2
2 2
2
1
3. )
9
1 1
1 1 91
9 9
1 9
10 10
9
x
a f g x f
x
x x x
x x
x
x x x x
x
 
  
 
  
   
 


   

     
 
 
 
2
2
2
2
1
)
1
1 1 1
1
1 1
11 99
11
1
1 9 1
1
b g f x g f x g
x
x
x x
xx
x
x
x
x
 
   
 
 

  
     

 
 

 
 
 
   
 
 
 
2
2 2
2
2
2 2
11
1 9 1 1 1 9 2 1
1
1 1
1 1 9 18 9 9 18 8
x
xxx
x x x x
x
x xx x
x x x x x

  
        

    
 
             
c) Para calcular la inversa de f se intercambian
x e y y se despeja la y :
 
1 1
; 1 1;
1 1
1
1;
y x x y
x y
x
x xy y
x
     
 

   
 
x
x
xf

 11
 
2
2
2 2
1 9 1
)
91
1
1
1 1
9 1 10
1
x
d f f
xg x x
x
x
x x x x
x
   
         


 
    

4. Se tiene
 









12
111
12
2
xsixx
xsi
xsix
xf
Primer trozo, 2 xy , es una función lineal en
valor absoluto, para valores de x mayores de 1.
Tiene forma de V, hay que localizar el vértice de la
V, que se da cuando 0y .
202  xx . Damos un valor a la
izquierda y otro a la derecha de 2x :
x y
2 0
1 1
4 2

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Segundo trozo, 1y , es una función lineal, una
recta horizontal que pasa a la altura 1, para
valores comprendidos entre -1 y 1.
Tercer trozo, xxy 22
 , es una función
cuadrática, para valores de x menores de -1.
Tiene forma de parábola, hay que localizar el
vértice de la parábola, que se calcula
    11211
2
2
2
2



 vv y
a
b
x
Damos algunos valores más a la izquierda de
1x :
5. a)  
1
2


x
x
xf , es una función racional, hay que
quitar de su dominio el valor que anula el
denominador(x=1)   1fdom .
b)   13  xxg , es una función irracional, el
radicando tiene que ser mayor o igual a cero:
3
1
013  xx
  





 ,
3
1
gdom .
c)  
1
42



x
x
xh , es una función racional, hay
que quitar de su dominio el valor que anula el
denominador(x=-1), además es una función
irracional, el radicando tiene que ser mayor o igual
a cero:
    ;022;042
 xxx No hay que quitar
x=-1, ya que está en el intervalo  2,2 que no
está en el dominio.
      ,22,hdom .
6.- En la gráfica de la figura, halla:
a) Los siguientes límites cuando: 
 2x ,

 2x , 2x , 
 0x , 
 0x , 0x ,

 2x , 
 2x , 2x , x , x .
b) Dominio, imagen, ¿es continua?
a)
  
     xfexisteno
xf
xf
x
x
x
2
2
2
lim
lim
lim











;
  
     xfexisteno
xf
xf
x
x
x
2
2
2
lim
lim
lim











  
      0lim
0lim
0lim
0
0
0












xf
xf
xf
x
x
x
;
  
   







0lim
0lim
xf
xf
x
x
x y
-1 1
-2 0
-3 -3
-4 -8
+--+
-2 2

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b)    2,2fdom ;   fIm ; Es
continua en  2,2 .
a)
12
3


x
x
y
 Asíntotas horizontales: 
 1
lim 2
3
x
x
x
, no
hay asíntotas horizontales.
 Asíntotas verticales:
   



  11
lim
1
lim
3
12
3
1 xx
x
x
x
xx
, hay
dos A.V.: 1x
Estudiamos la posición de la curva respecto de las
asíntotas, para ello analizamos los límites a la
derecha y a la izquierda de las asíntotas:
3
2
1
3
2
1
lim
1
1
lim
1
1
x
x
x
x
a la izquierda de x se va a
x
x
a la derecha de x se va a





  
   

  
 

    
3
2
1
3
2
1
lim
1
1
lim
1
1
x
x
x
x
a la izquierda de x se va a
x
x
a la derecha de x se va a





  
  

  
 

   
 Asíntotas oblicuas: Se hace la división.
11 22
3


 x
x
x
x
x
, hay una A.O.: xy 
Estudiamos la posición de la curva respecto de la
asíntota, para ello analizamos el signo de
12
x
x
para valores grandes y pequeños de x .
 Para valores grandes de x , por ejemplo
1000x , queda 0001,0
11000
1000
2


,luego
la curva se aproxima a la asíntota por arriba.
 Para valores pequeños de x , por ejemplo
1000x , queda
 
0001,0
11000
1000
2



,luego la curva
se aproxima a la asíntota por abajo.
b)
54
52
2
2



xx
x
y
Asíntotas horizontales: 2
54
52
lim 2
2



 xx
x
x
, hay
una asíntota horizontal, 2y
Estudiamos la posición de la curva respecto de la
asíntota, para ello analizamos el valor de
54
52
2
2


xx
x
para valores grandes y pequeños de
x .
 Para valores grandes de x , por ejemplo
1000x , queda
2008,2
5100041000
510002
2
2



, luego la curva
se aproxima a la asíntota por arriba.

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 Para valores pequeños de x , por ejemplo
1000x , queda
 
   
2992,1
5100041000
510002
2
2



, luego la
curva se aproxima a la asíntota por abajo.
 Asíntotas verticales: 


 54
52
lim 2
2
xx
x
kx
, este
límite nunca se hace  , ya que el denominador
no se anula:
2
44
2
20164
;0542 


 xxx ,
no tiene solución  no tiene A.V.
Asíntotas oblicuas no tiene ya que numerador y
denominador son del mismo grado.