Este documento presenta fórmulas fundamentales para integrales de funciones trigonométricas y sus derivadas, así como reglas para integrales de la forma senmcosnx, tanmsecnx y sustituciones trigonométricas que permiten simplificar ciertas integrales.

1. Formulas fundamentales de integración<br />∫ sec 2 x dx = tan x + c<br />∫ csc2 x dx = -cot x + c<br />∫ sec x tan x dx = sec x+c<br />∫ csc x cot x dx = - csc x+c<br />∫ dx a 2 - x2 =arcsen xa+ c<br />∫ dxa2+ x2=1a cot xa+ c<br />∫ dxxx2- a2=1a arcsecxa+ c<br />∫ dxx2- a2=12alnx-ax+a+c<br />∫ dxa2- x2=12a lna+xa-x+c<br />∫ dxx2- a2=ln x+x2+a2+c<br />∫ dxx2- a2=lnx+x2-a2+c<br />∫ a2-x2dx=12xa2- x2+ 12a2 arcsen xa+c<br />∫ x2+a2dx=12xx2+ a2+ 12a2 lnx+ x2+a2+c<br />∫ x2-a2dx=12xx2- a2- 12a2 lnx+ x2-a2+c<br />ddxfxdx= fx+c<br />∫ fx+gx dx= ∫ fx dx + ∫ gx dx<br />∫ af xdx=a∫ fx dx , siendo a una constante arbitraria <br />∫ xm dx= xm+1m+1+ c, m≠ -1<br />∫ dxx=lnx+c<br />∫ axdx=axlna+c , a>0, a≠1<br />∫ exdx= ex+ c<br />∫ senx dx= -cosx+c<br />∫ cosx dx= senx +c<br />∫ tanx dx= lnsenx+c<br />∫ cotx dx= lnsenx+c<br />∫ secx dx=lnsecx+tanx+c<br />∫ cscx dx= lncscx-cotx+c<br />Integración por partes<br />dxa2 ± x2m= 1a2x2m-2a2± x2m-1+2m-32m-2 dxa2± x2m-1, m≠1<br />a2± x2m dx= xa2± x2m2m+1+ 2ma22m+1∫ a2± x2m-1dx, m ≠ - 12<br />∫ dxx2- a2m= -1a2 x2m-2x2-a2m-1+ 2m-32m-2 ∫ dxx2- a2m-1 m ≠1<br />∫x2- a2m dx= xx2- a2m2m+1- 2m a22m+1∫x2-a2m-1 dx, m≠-12<br />∫ xm ea x dx= 1a xmea x- ma∫xm-1ea x dx<br />∫ senmx dx=- senm-1xcosxm+ m-1m∫ senm-2 xdx<br />∫ cosmx dx= cosm-1x sen xm+ m-1m ∫ cosm-2xdx<br />∫senmx cosnx dx= senm+1x cosn-1 xm+n+n-1m+1∫sen mx cosn-2x dx=<br />= - senm-1x cosn+1xm+n+m-1m+n∫senm-2x cosnx dx, m≠-n<br />∫ xm sen bx dx= - xmbcosbx+ mb ∫ xm-1cosbx dx<br />∫xmcosbx dx= xmbsen bx- mb∫xm-1 sen bx dx<br />Integrales trigonométricas<br />sen2x+cos2x=1<br />1+ tan2x=sec2x<br />1+ cot2 x=csc2 x<br />sen 2x= 121-cos2x<br />cos2x= 121+cos2x<br />sen x cosx =12sen 2x<br />senx cosy= 12senx-y+senx+y<br />senx seny = 12cosx-y-cosx+y<br />cosx cosy=12cosx-y+cosx+y<br />1 –cosx =2 sen212x<br />1+cosx= 2 cos212x<br />1±senx=1±cos12π-π<br />Dos reglas muy útiles en ciertos casos simples:<br />Para senmcosnx dx: si m es impar, sustituir u= cosx. <br />Si n es par, sustituir u = senx.<br />Para tanmsecnx dx: si n es par, sustituir u=tanx.<br />Si m es impar, sustituir u = secx<br />Sustituciones trigonométricas<br />Algunas integrales se pueden simplificar gracias a las siguientes sustituciones<br />Si un integrando contiene a2- x2, sustituir x = a sen z.<br />Si un integrando contienea2+ x2 , sustituir x = a tan z.<br />Si un integrando contiene x2-a2 , sustituir x = a sec z.<br />Más generalmente, un integrando que contenga una de las formas <br />a2-b2x2, a2+b2x2, o b2x2-a2, pero ningún otro factor irracional, puede ser tr4ansformado en otro que contenga funciones trigonométricas de una nueva variable como sigue:<br />Para usar para obtener<br />a2-b2x2 x=ab senz a1-sen2z=acosz<br />a2+b2x2 x=ab tanz a1-tan2z=asecz<br />b2x2-a2 x=ab secz asec2z-1=a tanz<br />