Ejercicio resuelto: Simplificación de expresiones algebraicas
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El documento presenta la solución para simplificar una expresión algebraica compleja. A través de factorización y cancelación de términos, la expresión puede simplificarse a la forma -x + 2y / x - 2y.
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- 1. HKV TEX Victor Solano Mora 1 Tema: Expresiones algebraicas Simplificar la expresión (x − y)2 − ‹x2 − 2y 2 x2 − y y + x − 2y x ÷ ‹x2 − 2y 2 − (x − y)2 x + 2y x − x2 + y y Solución: Para facilitar la explicación se trabajarán por separado cada una de las partes de cada fracción. Lo que se busca es factorizar cada sección para luego realizar las cancelaciones que se presenten. Empecemos con la primer fracción, en el numerador (por diferencia de cuadrados): (x − y)2 − ‹x2 − 2y 2 = ‹x − y + x2 − 2y ‹x − y − x2 + 2y = 3 ‹x2 − y ‹x2+ y Ahora con la segunda fracción, en el numerador (por diferencia de cuadrados): ‹x2 − 2y 2 − (x − y)2 = ‹x2 − 2y + x − y ‹x2 − 2y − x + y = 3 ‹y − x2 ‹y − x2 Regresamos con la primer fracción, en el denominador (suma de fracciones): x2 − y y + x − 2y x = x2 2 − yx yx + yx − 2y2 yx = x2 2 − xy + yx − 2y2 yx = x2 2 − 2y2 yx = Šºx 2 − º 2y Šºx 2 + º 2y yx Continuamos con la segunda fracción, en el denominador (resta de fracciones): x + 2y x − x2 + y y = yx + 2y2 yx − x2 2 + yx yx = yx + 2y2 − x2 2 − yx yx = 2y2 − x2 2 yx = Š º 2y − ºx 2 Š º 2y + ºx 2 yx Regresando a la expresión original: (x − y)2 − ‹x2 − 2y 2 x2 − y y + x − 2y x ÷ ‹x2− 2y 2 − (x − y)2 x + 2y x − x2 + y y = (x − y)2 − ‹x2 − 2y 2 x2 − y y + x − 2y x x + 2y x − x2 + y y ‹x2 − 2y 2 − (x − y)2 Reemplazando los factores obtenidos anteriormente: (x − y)2 − ‹x2 − 2y 2 x2 − y y + x − 2y x x + 2y x − x2 + y y ‹x2 − 2y 2 − (x − y)2 = 3 ‰x2 − yŽ ‰x2 + yŽ Šºx 2 − º 2y Šºx 2 + º 2y yx Š º 2y − ºx 2 Š º 2y + ºx 2 yx 3 ‰y − x2 Ž ‰y − x2 Ž
- 2. HKV TEX Victor Solano Mora 2 Multiplicando las expresiones: 3 ‰x2 − yŽ ‰x2 + yŽ Š º 2y − ºx 2 Š º 2y + ºx 2 yx Šºx 2 − º 2y Šºx 2 + º 2y yx 3 ‹y − x2 ‹y − x2 Realizando las cancelaciones de los denominadores xy puesto que a c e c = a e , entonces: 3 ‰x2 − yŽ ‰x2 + yŽ Š º 2y − ºx 2 Š º 2y + ºx 2 Šºx 2 − º 2y Šºx 2 + º 2y 3 ‰y − x2 Ž ‰y − x2 Ž Se cancelan los factores 3 y Šºx 2 + º 2y, se obtiene: ‰x2 − yŽ ‰x2 + yŽ Š º 2y − ºx 2 Šºx 2 − º 2y ‰y − x2 Ž ‰y − x2 Ž Sacando un factor−1 en (y − x2 ) y en ºx 2 − º 2y se obtiene: ‰x2 − yŽ ‰x2 + yŽ Š º 2y − ºx 2 −Š º 2y − ºx 2 −‰x2 − yŽ ‰y − x2 Ž Cancelando las expresiones ‰x2 − yŽ y ‰x2 − yŽ, se llega a: ‰x2 + yŽ − − ‰y − x2 Ž De donde se concluye que la simplificación queda: ‰x2 + yŽ ‰y − x2 Ž Sacando un factor −1, se deja organizada de la forma: − x2 + y x2 − y Amplificando la fracción (multiplicar numerador y denominador) por 2, se obtiene: −x + 2y x − 2y