La banda de Möbius es una superficie con una sola cara y un solo borde. Fue descubierta por los matemáticos August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858. Tiene propiedades únicas como tener una sola cara y un solo borde. La banda de Möbius tiene aplicaciones en diversos campos como la impresión, el diseño, la química, la ingeniería y la arquitectura.

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2. QUE ES LA BANDA DE
MOEBIUS?
La banda de Moebius o cinta de Moebius (pronunciado /'møbis/ o en
español a menudo "moebius", pero nunca "mobius") es una
superficie con una sola cara y un solo borde, o componente de
contorno.
Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable.
También es una superficie reglada. Fue co-descubierta en forma
independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand
Möbius y Johann Benedict Listing en 1858.

3. PROPIEDADES
Tiene sólo una cara:
Si se colorea la superficie de una cinta de Möbius, comenzando por la
"aparentemente" cara exterior, al final queda coloreada toda la cinta, por
tanto, sólo tiene una cara y no tiene sentido hablar de cara interior y cara
exterior (véase en la imagen).
Tiene sólo un borde:
Se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, apreciando que se
alcanza el punto de partida habiendo recorrido "ambos bordes", por tanto,
sólo tiene un borde.
Esta superficie no es orientable:
Una persona que se desliza «tumbada» sobre una banda de Möbius,
mirando hacia la derecha, al dar una vuelta completa aparecerá mirando
hacia la izquierda. Si se parte con una pareja de ejes perpendiculares
orientados, al desplazarse paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al
punto de partida con la orientación invertida.

4. GEOMETRIA
Donde:

5. CURVATURA GAUSSIANA
En coordenadas cilíndricas

6. TEOREMA DE STOKES
=
Si fabricamos con papel y pegamento un modelo B de la banda de Moebius
vemos que, dado cualquier punto de la banda, se puede dibujar un camino
continuo dentro de la banda que empieza en ese punto por una cara determinada
y acaba en el mismo punto pero por la otra cara, y sin tocar en ningún momento
el borde de la banda.
Si ahora intentamos transportar continuamente a lo largo de este camino un
vector de norma uno n perpendicular a la superficie, vemos que al volver al punto
inicial el vector apunta en sentido opuesto.
Esto hace ver que es imposible definir un campo de vectores de norma uno y
perpendiculares a B que sea continuo en todos los puntos, es decir, B no es
orientable.

7. Por otra parte, no es difícil ver que el teorema de Stokes falla en B. En efecto,
podemos dividir B en dos superficies para métricas simples B1 y B2 obtenidos al
cortar B transversalmente por dos sitios diferentes. Pero resulta imposible orientar
B1 y B2 de modo que, en los segmentos donde se pegan, las orientaciones del borde
de B1 y del borde de B2 sean opuestas. Esto supone que si aplicamos el teorema de
Stokes a B1 y B2 y sumamos las igualdades obtenidas vamos a deducir que:
y también:

8. Por tanto, si el teorema de Stokes fuera cierto en
B para uno de estos campos
F llegaríamos a que una contradicción.
Conclusión:
Existen superficies que no son orientables y a las
que no se
les puede aplicar el teorema de Stokes.

9. Aplicaciones
Es un cartucho con cinta de tinta para escribir o imprimir. La banda
tintada tiene un medio giro, en forma de lazo de Möbius, que dobla su
longitud efectiva. La tinta depositada en la cinta (que se mueve por
medio de un rodillo transportador) puede volverse a llenar por medio
de una almohadilla de tinta que está en contacto con la cinta.

10. Diseño y Escultura
La mesa de café de moebius está compuesta por una base en madera
veteada y una superficie de cristal suspendida

11. Laboratorios químicos
La molécula de Möbius no se encuentra en la naturaleza, sino que se ha
sintetizado en el laboratorio, el proceso comienza con la síntesis de una
molécula en forma de escalera con tres escalones (cada escalón es una
cadena carbón-carbón doble).
La escalera se curva hasta que sus finales se juntan para formar un lazo. En la
mitad de los casos, el lazo es sencillamente una banda circular, pero en la
otra mitad, el lazo es una banda de Möbius.

12. Máquinas
Dos cables metálicos se extienden a lo largo de todo el raíl. Un cuerpo en
movimiento con ruedas de material magnético está magnéticamente enganchado a
los cables.

13. Textileria
Elisabeth Zimmermann introdujo en 1983 las bufandas de Möbius, excelentes para
el frío, que no han dejado de ser imitadas por numerosas firmas.
Arquitectura
En arquitectura se puede encontrar varios ejemplos de proyectos basados en la
banda de mobius, ya sea en términos de forma, estructura y espacial

14. Conclusiones:
En el presente trabajo se ha hecho una breve semblanza
biográfica de August Ferdinand Möbius.
Su descubrimiento de la Cinta de Möbius, variedad
bidimensional, no-orientable superficie de una sola cara.
Además se presentan algunas de las características
peculiares de estas entidades topológicas y otras derivadas
de ellas.
En particular, se enfatiza las aplicaciones de la cinta de
mobius las cuales se encuentran en todos los campos de la
ciencia

15. GRACIAS