Clase 7 Espacio de estado

UNEFA 6º Semestre
Teoría de Control Automático
Coord. Ing. Electrónica
30/05/11
UNIDAD 5: Diseño de controladores en espacio de estados
OBJETIVO: Diseñar sistemas de control en el espacio de estados en tiempo continuo y/o tiempo discreto

Contenido:
- Repaso de modelado en espacio de estados
- Controlabilidad
- Observabilidad
- Diseño de reguladores con realimentación de estado
- Diseño de observadores
- Diseño de sistemas de seguimiento mediante realimentación de estado y control
integral

Prof. Camilo Duque - camilorene@gmail.com

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30/05/11

Repaso de modelado en espacio de estados:
Las n ecuaciones de estado de un sistema dinámico de orden n se representan como:

La i-ésima variable de estado es xi(t) con i=1,2,...,n
La j-ésima variable de entrada es uj(t) con j=1,2,...,p
La k-ésima variable de perturbación wk(t) con k=1,2,...,v

Mientras las q ecuaciones de salida del mismo sistema serán:

La j-ésima variable de salida yj(t) con j=1,2,...,q

El conjunto de ecuaciones de estado y ecuaciones de salida conforman el modelo en
espacio de estados del sistema dinámico en cuestión.

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El estado de un sistema es el conjunto de variables (llamadas variables de estado),
tales que cuyo conocimiento y de las funciones de entrada, junto con las ecuaciones
que describen la dinámica, permiten predecir su salidas y los estados futuros.

Las variables de estado describen la respuesta futura de un sistema, conociendo el
estado presente, las señales de excitación y las ecuaciones que describen la dinámica
del sistema.


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Por facilidad de expresión y manipulación es conveniente representar los modelos en
espacio de estados en forma matricial. Para esto, se definen los siguientes vectores:

Vector de Estado Vector de Salida

Vector de Entrada Vector de Perturbación


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Mediante la utilización de estos vectores el modelo en espacio de estados queda:

Si se considera un sistema lineal de tiempo invariante (LTI) el modelo en espacio
de estados sería:


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Para este caso es preciso definir las matrices del modelo:


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A partir de esto se tiene la Matriz de transición de estado, que es representa la solución
lineal homogenea:

Esta matriz representa la respuesta libre del sistema debida solo a las condiciones
inciales y esta asociada con la respuesta temporal transitoria, ya que define por copleto
la transición de estado desde el tiempo inicial t=0 a cualquier tiempo t cuando las
entradas son cero.


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En el espacio de estados también hay una representación gráfica en diagrama de
bloques o el Grafo equivalente, llamada Diagrama de Estados:

A partir de su análisis se obtienen tanto la ecuación de estado como la de salida.


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Diagramas de bloques de un sistema MIMO y SISO:

a) Función de Tranferencia. b) Representación en espacio de estados.


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Como el modelo en espacio de estados es principalmente para sistemas MIMO, se
tendrán q funciones de transferencia que se obtienen a aprtir de la siguiente expresión:

El término es fundamental en el modelo en espacio de estados, ya que
con esto se obtiene la E.C. Del sistema, que es la misma para todas las funciones de
transferencia.

La E.C. De un sistema dado por su modelo en espacio de estados se obtiene con:

Mientras que los autovalores de A proporcionan la solución a la E.C. Es decir los polos
del sistema.


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Ejemplo 7.1: Sea el sistema dado por las ecuaciones matriciales de estado siguientes:

Obtener las siguientes representaciones:
a) El diagrama de bloques equivalente.
b) El diagrama de señalamiento de flujo equivalente.
c) La Función de Transferencia total del sistema.
d) La E.C. Del sistema.
e) Las raices del sistema.


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Controlabilidad:
Se dice que un sistema es completamente controlable si a cada variable de estado se
le puede imponer una regla de control sin restricciones, tal que desde un estado inicial
cualquiera, se pueda alcanzar un estado deseado en un tiempo finito.

La interpretación más importante de esto es que se puede determinar si sobre un
sistema se puede obetener una regla de control para lograr ubicar su funcionamiento
de acuerdo a una ubicación de polos deseada.

Para determinar la controlabilidad de los sistemas se define la siguiente matriz S o
Matriz de Controlabilidad:

Para que el sistema sea completamente controlable basta con que el rango de S = n


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Observabilidad:
Se dice que un sistema es completamente controlable si cada variable de estado afecta
alguna de las salidas.

Para determinar la observabilidad de los sistemas se define la siguiente matriz V o
Matriz de Observabilidad:

Para que el sistema sea completamente observable basta con que el rango de V = n


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Diseño de reguladores con retroalimentación de los estados:
Sea un sistema de control dado por su modelo en espacio de estados como el
siguiente:

Donde:
u es la entrada al sistema
r es la señal de referencia
K es el vector de retroalimentación de los estados (1 ganancia por cada estado)


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En forma general:
u(t) = r(t) – K x(t)

Si r(t) = 0 se tiene un regulador cuya regla de control es K que se escoje para cumplir
un cierto desempeño deseado. En este caso, estaríamos en presencia de un control
cuya finalidad es la de llevar al sistema desde un estado inicial hasta un estado
deseado en un tiempo finito.

Si r(t) <> 0 se tiene un sistema de seguimiento cuya regla de control es K pero a
diferencia del caso anterior, el interés es que el sistema adopte los estados impuestos
por la referencia r.


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Si r(t)=0 se puede plantear que:

u = -K x

El objetivo de diseño es el de obtener el vector K para obtener un comportamiento
deseado en lazo cerrado. Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación de estado
correspondiente se obtiene la expresión en lazo cerrado:

Esto produce que al cerrar el lazo la matriz A original se transforma en A-BK y por tanto
la E.C. Del sistema en lazo cerrado es:
Det( s I – (A-BK) = 0
Y los polos en lazo cerrado son:
Autovalores(A-BK)


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Ejemplo 7.2:
Encontrar el vector K que logre que el siguiente sistema dado en espacio de estado
tenga en lazo cerrado los polos s=-5+-8j.

Para esto realice lo siguiente:
a) Obtenga la matriz de observavilidad
b) Obtenga la matriz de controlabilidad
c) Verifique si el sistema es completamente observable
d) Verifique si el sistema es completamente controlable
e) Obtenga la FT.
f) Calcule las raices del sistema original
g) Obtener el vector K
h) simular en Matlab/Simulink

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De lo anterior, si se tiene una forma de respuesta deseada dada a partir de una
ubicación de polos del sistema en lazo cerrado, el problema de diseño consiste en
resolver la E.C. Para despejar los valores del vector K que satisfagan la ubicación de
polos deseada.

Para que este diseño sea viable es necesario que se cumplan dos supuestos:
El sistema es completamente controlable
Es posible medir todos las variables de estado (retroalimentación total)

La primera condición se solventa verificando la controlabilidad del sistema antes de
realizar el diseño, para asegurar que haya una solución posible. Si no es
completamente controlable no se puede obtener ningun K para la exigencia deseada.

Si la segunda condición no se cumple, entonces es necesario diseñar un observador o
estimador para el estado o estados no medibles y así proceder con el procedimento de
obtener K.


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Diseño de observadores de estado:
En la práctica real, poder medir todas variables de estado o es imposible o es muy
costoso, por lo que se requiere tener alternativas para los casos en los que no se mida
una de ellas o un conjunto de ellas.


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