Este documento presenta un examen de cálculo con 3 problemas. El primer problema pide resolver una ecuación de ondas en una dimensión usando el método de separación de variables. El segundo problema pide encontrar la serie de Fourier de una función y usarla para probar una igualdad. El tercer problema pide resolver una ecuación de valor límite usando también el método de separación de variables.

1. UNIVERSIDAD DEL BIO-BIO
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
JCV/FM/JB
Certamen 2 de C´alculo IV (220014) - Semestre 2012-1
Nombre: ................................................................................
1. Resolver el problema:



utt = uxx, 0 < x < π, t > 0
ux(0, t) = ux(π, t) = 0, t ≥ 0
u(x, 0) = 2 + 7 cos(6x), 0 ≤ x ≤ π
ut(x, 0) = −5 + cos(4x), 0 ≤ x ≤ π.
utilizando el m´etodo de separaci´on de variables. Detallar cada paso del proce-
dimiento.
(25 Ptos.)

2. 2. Considere la funci´on f(x) = cos(x/2), −π < x < π.
(a) Encontrar el desarrollo en serie de Fourier de f, y trazar la gr´afica de la serie obtenida.
(b) Usar la serie obtenida en (a) para probar que:
∞∑
k=1
1
4k2 − 1
=
1
2
Justificar la validez de esta igualdad.
(Indicaci´on: cos(α)cos(β) = 1
2 [cos(α + β) + cos(α − β)]).
(25 Ptos.)

3. 3. Resolver el problema de valor l´ımite:
{
ut = ux − 2u
u(x, 0) = 10e−x
− 6e−4x
.
utilizando el m´etodo de separaci´on de variables. Detallar cada paso del proce-
dimiento.
(10 Ptos.)