Este documento describe diferentes tipos de curvas y superficies geométricas como curvas de Bezier, esferas, hiperboloides y cómo se pueden representar mediante programas de diseño. Explica que una esfera es un cuerpo limitado solo por curvas donde cada punto está a la misma distancia del centro, y cómo cortar una esfera con un plano produce una circunferencia. También describe cómo una hiperboloide de un manto se obtiene al rotar una hipérbola sobre uno de sus ejes.

1. Universidad Nacional Autónoma de México
Diseño y Comunicación Visual
FES Cuautitlán
Geometría l
Curvas de segundo grado
Carlos Ernesto Carrillo Garza
Gpo. 9000

2. Curva lineal de Bézier
Esta curva se obtiene si de una recta A, A´ la
trasladamos progresivamente hasta hasta que A
toma el lugar de A´ y esta última toma el lugar
de E.
Todos los puntos de la curva serán siempre
tangentes a estos segmentos de recta
imaginarios.
A´
A
E

4. Esfera
Cuerpo limitado solo por curvas.
Cada punto de ésta superficie se
encuentran a la misma distancia de
un punto llamado centro.
La distancia entre el centro y
cualquier punto de la superficie se
denomina radio r.
Para encontrar todos los puntos que
dan forma a este cuerpo dentro de
un plano cartesiano, existe la
llamada formula general, la cual
proviene del famoso teorema de
Pitágoras.
F.G. (x-h)²+(y-k)²=r²

5. Mediante algunos programas computarizados podremos crear esferas con las características necesarias para dar la sensación de
tridimensionalidad. AutoCad, Solidedge, Mathemathics, cal k 3D prof, Tec Plot 360, etc. Ahora veremos algunos ejemplos de
esferas creados con distintos de estos programas, con los cuales también podemos dar distintos efectos.

7. Si a una de estas esferas se le corta con un plano, entonces obtendremos una curva; de la cual si hacemos uso
nuevamente del teorema de Pitágoras, entonces podremos obtener el radio de su circunferencia.
r r

8. Determinemos el radio de una de las circunferencias.
En este caso r = √r²-d²
r
d

9. Ahora haremos la representación de diez cortes en una esfera de 50 unidades en su radio que representan
100u en el diámetro. Cada corte se hará a 10u de distancia. El primer y último corte representarán un punto en
el cual el plano es tangente por lo tanto si se mide el radio de la circunferencia que corta en ese punto el valor
será de cero. Ahora veamos el ejemplo con una montea.
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0Y
z
x
Planta
Alzado
·

10. Ahora tenemos una nueva superficie llamada hiperboloide de un manto.
Como su nombre lo indica, proviene de una hipérbola. Ésta es una de las llamadas superficie de revolución, ya que se obtiene al rota una
hipérbola sobre uno de sus ejes. La hipérbola girará de tal forma que si las dos curvas pintaran su recorrido, entonces quedaría una sola
superficie curva, la cual veremos en la siguiente imagen creada en el programa Tec Plot 360 2009.

11. Como proceso inverso, si un plano cualquiera corta la hiperboloide de un manto sin pasar por su centro
entonces encontraremos también una hipérbola, aun que no será la misma que dio origen a nuestra superficie
de revolución.