Este documento presenta las soluciones a varios problemas de cálculo que involucran hallar áreas de regiones delimitadas por curvas y longitudes de arcos. En la primera sección, se calculan áreas entre curvas mediante integrales definidas. Luego, en la segunda sección se calculan volúmenes al rotar curvas alrededor de ejes, usando métodos como discos y capas cilíndricas. Finalmente, en la tercera sección se hallan longitudes de arcos mediante integrales.

1. ELIAS SANCHEZ C.I: 23.852.443
Halla el área de la región encerrada por los gráficos:
Solución:
1.- Puntos donde se intersectan las funciones.
Igualando F(x) = G(x) para encontrarlos,
Puntos de corte con los ejes de coordenadas Eje X (Y=0):
Procedemos a dibujar: Profesor no supe como graficar las curvas con un programa por eso las gráficas se las hice a mano y se las escanee:

2. ELIAS SANCHEZ C.I: 23.852.443
Así el área viene dada por :
Entonces el área es igual:
b)
Solución:
A continuación se presenta la gráfica:

3. ELIAS SANCHEZ C.I: 23.852.443
Nos damos cuenta que se nos presenta dos áreas:
que va desde x=-2 hasta x=0
que va desde x=0 hasta x=2; para hacer los cálculos más sencillos vemos que por simetría calculamos la integral de una sola área la multiplicamos por 2, es decir:
c)
Solución:
Esta es la gráfica correspondiente:

4. ELIAS SANCHEZ C.I: 23.852.443
La integral del área para este caso particular viene dada de la siguiente manera:
d)
Solución:
La integral nos queda.

5. ELIAS SANCHEZ C.I: 23.852.443
Solución del apartado 2:
a) Un arco de y= cos 2x que gira alrededor del eje x
Solución:
Veamos donde se hace cero la función y= cos 2x
Aplicando el método del disco :
Entonces evaluamos:
[
Por lo tanto :

6. ELIAS SANCHEZ C.I: 23.852.443
b) Rotar alrededor del eje x la elipse
Solución:
Al rotar la elipse alrededor del eje x nos queda como un balón de futbol americano lo veremos en la gráfica bueno algo parecido.
De la ecuación de la elipse despejamos a y
Por simetría al eje x multiplicamos por 2 la integral por lo que nos queda:

7. ELIAS SANCHEZ C.I: 23.852.443
c) Región encerrada por
Solución:
Por lo que la parábola corta al eje x en 2 y -2
Así usaremos el método de las capas cilíndricas para resolverlo:
Entonces:

8. ELIAS SANCHEZ C.I: 23.852.443
3) Hallar la longitud de la curva dada
a)
Solución:
La ecuación de la longitud de arco viene dada por:
Ahora integrando se tiene que:
L=
b)
Solución: Derivando la función se tiene que: =

9. ELIAS SANCHEZ C.I: 23.852.443