Este documento presenta 10 temas sobre transformaciones lineales entre espacios vectoriales. En cada tema se proporciona una función o transformación y se pide determinar si es una transformación lineal evaluando si cumple con las propiedades de aditividad y homogeneidad.

1. Ramiro J. Saltos
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
Instituto de Ciencias Matemáticas
Algebra Lineal (B)
Deber # 10: Transformaciones Lineales
Tema 1
Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas justificando apropiadamente su respuesta.
a) Sean V y W dos espacios vectoriales. Sea :T V W una transformación lineal, R  y v V . Si
  WT v O  entonces 0 
b) Sean V y W dos espacios vectoriales. Sea :T V W una transformación lineal, R  y v V . Si
  WT v O  entonces Vv O
c) Sean V y W dos espacios vectoriales. Sea :T V W una transformación lineal, , R   y v V . Si
   T v T v  entonces  
d) Sean V y W dos espacios vectoriales. Sea :T V W una transformación lineal, R  y ,v w V . Si
   T v T w  entonces v w
e) Sean V y W dos espacios vectoriales. Sea :T V W una transformación lineal y ,v w V . Si
   T v T w entonces v w
Tema 2
Sea 1
2
: PRT  una función tal que
)5()2( baxba
b
a
T 





Determine si T es una transformación lineal
Tema 3
Sea
3
2: RPT  una función con regla de correspondencia
 













0
2
2
2
ba
ba
cbxaxT
Determine si T es una transformación lineal
Tema 4
Sea RRT 3
: una función dada por





















z
y
x
z
y
x
T
63
52
41
det
Determine si T es una transformación lineal
Tema 5
Sea nxnA M y RMT nxn : . Determine si las siguientes funciones son transformaciones lineales
a) )det()( AAT 
b) )()( AtrazaAT 

2. Ramiro J. Saltos
Tema 6
Sea 222: xMPT  de modo que   2p x P  se define por
 
(0) (1)
(2) (3)
p p
T p x
p p
 
    
 
Determine si T es una transformación lineal
Tema 7
Sea A una matriz cuadrada de orden n . Considere la transformación nxnnxn MMT : dada por
BAABAT )( ( B es una matriz fija de orden n ). Demuestre que T es una transformación lineal
Tema 8
Sea  / ,V ax b a b R   junto con las operaciones de suma:        1 1 2 2 1 2 1 2 1a x b a x b a a x b b       
y de multiplicación:      1ax b a x b        un espacio vectorial. Sea
2
W R con operaciones
usuales otro espacio vectorial. Se define la función :T V W como:
 
3 1
2 2
a b
T ax b
b
  
   
 
Determine paso a paso si T es una transformación lineal sobre los espacios vectoriales dados
Tema 9
Sea / ,
a
V a b R
b
  
   
  
junto con las operaciones:
1 2 1 2
1 2 1 2
2a a a a
b b b b
      
      
     
y
2 2a a
b b
 


    
   
   
 un
espacio vectorial. Sea 1W P con operaciones usuales. Se define la función :T V W como:
   3 6 2
a
T a x a b
b
 
     
 
Determine si esta función es una transformación lineal
Tema 10
Sean los espacios vectoriales:
 / ,
a
V a b R
b
  
   
  
con las operaciones
1 2 1 2
1 2 1 2
2
2
a a a a
b b b b
      
      
      
y
2 2
2 2
a a
b b
 

 
    
   
    

 / , ,
x
W y x y z R
z
  
  
   
  
  
con las operaciones
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1
1
x x x x
y y y y
z z z z
      
     
       
           
y
1
1
x x
y y
z z
 
 
 
    
   
   
       

Se define la función :T V W como:
1
4 8
2 5
a b
a
T a
b
b
  
   
    
    
Determine si ésta función es una transformación lineal