Este documento presenta 14 temas sobre transformaciones lineales. Cada tema contiene una transformación lineal específica y solicita determinar el núcleo, la imagen, y sus bases y dimensiones. Se proveen definiciones de espacios vectoriales y transformaciones lineales. El objetivo general es aplicar conceptos de álgebra lineal como núcleo, imagen, bases y dimensionalidad para analizar diversas transformaciones lineales.

1. Ramiro J. Saltos
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
Instituto de Ciencias Matemáticas
Algebra Lineal (B)
Deber # 11: Núcleo e Imagen de Transformaciones Lineales
Tema 1
Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas justificando apropiadamente su respuesta.
a) Sea :T V W una transformación lineal donde V y W son espacios vectoriales de dimensión finita,
entonces se cumple que ( ) ( ) dimv T T W 
b) Si 2:L P R es una transformación lineal tal que  2
L ax bx c a c    , entonces  2 Im L
c) Sea :T V W una transformación lineal donde V y W son espacios vectoriales de dimensión finita, si el
 Nu T V entonces  Im WT O
d) Sea :T V W una transformación lineal donde V y W son espacios vectoriales de dimensión finita, si el
  VNu T O entonces  Im T W
e) Sea :T V W una transformación lineal donde V y W son espacios vectoriales de dimensión finita, si el
 Nu T V y la    dim dimV W , entonces  Im WT O
f) Sea :T V W una transformación lineal donde V y W son espacios vectoriales de dimensión finita, si el
  VNu T O y la    dim dimV W , entonces  Im T W
g) Sea  , ,S v w u un conjunto linealmente independiente en un espacio vectorial V y sea :T V W una
transformación lineal. Si  w Nu T , entonces el conjunto       , ,G T v T w T u es linealmente
dependiente en el espacio vectorial W
Tema 2
Sea 222: xMPT  una aplicación definida por:
  










 

ca
bc
cbxaxT
12
112
Determine el ( )Ker T y la Im( )T así como una base y la dimensión de los mismos
Tema 3
Sea
32
: RRT  una aplicación definida por:
2 2
a b
a
T a b
b
a b
 
   
    
    
Determine el ( )Ker T y la Im( )T así como una base y la dimensión de los mismos
Tema 4
Sea
2
1: RPT  una aplicación definida por:
  








ba
ba
baxT
32
Determine el ( )Ker T y la Im( )T así como una base y la dimensión de los mismos

2. Ramiro J. Saltos
Tema 5
Sea 2222: xx DST  una aplicación definida por:














ba
cba
cb
ba
T
30
0
Determine el ( )Ker T y la Im( )T así como una base y la dimensión de los mismos
Tema 6
Sea 222: xMPT  una aplicación definida por:
  












cb
ba
cbxaxT
11
112
Determine el ( )Ker T y la Im( )T así como una base y la dimensión de los mismos
Tema 7
Sea 222: PST x  una aplicación definida por:
     cbaxcbaxcba
cb
ba
T 98765432 2






Determine el ( )Ker T y la Im( )T así como una base y la dimensión de los mismos
Tema 8
Sea 222: xMPT  una aplicación definida por:
  






)3()2(
)1()0(
)(
pp
pp
xpT
Determine el ( )Ker T y la Im( )T así como una base y la dimensión de los mismos
Tema 9
Sea 1
2
: PRT  una aplicación definida por:
)5()2( baxba
b
a
T 





Determine el ( )Ker T y la Im( )T así como una base y la dimensión de los mismos
Tema 10
Dada la transformación lineal 2 2 2: xT M P donde:
     2
3 9 8 7 7 8 4 9 4 8
a b
T a b c d x a b c d x b c d
c d
 
             
 
Determine:
a) Una base y la dimensión del núcleo de T
b) Una base y la dimensión del recorrido de T

3. Ramiro J. Saltos
Tema 11
Sea
3
2 2: xT R S una transformación lineal definida por:
8 5 6 2 6
6 2 6 9 5 4
a
b c a b c
T b
a b c a b c
c
 
    
         
 
Determine:
a) Las condiciones, una base y la dimensión del núcleo de T
b) Las condiciones, una base y la dimensión del recorrido de T
Tema 12
Sea  / ,V ax b a b R   junto con las operaciones de suma:        1 1 2 2 1 2 1 2 1a x b a x b a a x b b       
y de multiplicación:      1ax b a x b        un espacio vectorial. Sea
2
W R con operaciones
usuales otro espacio vectorial. Sea :T V W una transformación lineal tal que:
 
3 1
2 2
a b
T ax b
b
  
   
 
Determine:
a) El núcleo de T así como una base y su dimensión
b) La imagen de T así como una base y su dimensión
Tema 13
Sea / ,
a
V a b R
b
  
   
  
junto con las operaciones:
1 2 1 2
1 2 1 2
2a a a a
b b b b
      
      
     
y
2 2a a
b b
 


    
   
   
 un
espacio vectorial. Sea 1W P con operaciones usuales. Se define la transformación lineal :T V W como:
   3 6 2
a
T a x a b
b
 
     
 
Determine:
a) El núcleo de T así como una base y su dimensión
b) La imagen de T así como una base y su dimensión
Tema 14
Sean los espacios vectoriales:
 / ,
a
V a b R
b
  
   
  
con las operaciones
1 2 1 2
1 2 1 2
2
2
a a a a
b b b b
      
      
      
y
2 2
2 2
a a
b b
 

 
    
   
    

 / , ,
x
W y x y z R
z
  
  
   
  
  
con las operaciones
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1
1
x x x x
y y y y
z z z z
      
     
       
           
y
1
1
x x
y y
z z
 
 
 
    
   
   
       

Se define la transformación lineal :T V W como:
1
4 8
2 5
a b
a
T a
b
b
  
   
    
    
Determine el núcleo y la imagen de T así como una base y la dimensión de ellos