Este documento trata sobre derivadas parciales. Define las derivadas parciales de una función de dos variables como límites. Explica cómo calcular derivadas parciales de primer y segundo orden. También cubre conceptos como interpretación geométrica, teorema de derivadas cruzadas y gradiente.

1. DERIVADAS
PARCIALES
sancristobal,25 de juliodel2018
República Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Superior
Instituto Politécnico Santiago Mariño (IUPSM)
San Cristóbal, Edo “Táchira”
Elaborado por:
Ely Johana C.I. – 26.407.144
Sección: S1

2. CONCEPTO: DADA UNA FUNCIÓN DE
DOS VARIABLES 𝑓 𝑥, 𝑦 , SE DEFINE LAS
DERIVADAS PARCIALES DE LA
FUNCIÓN CON RESPECTO A LAS
VARIABLES X , Y COMO EL LIMITE DE
LA FUNCIÓN INCREMENTADA, ASÍ
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 − 𝑓(𝑥, 𝑦)
∆𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= lim
∆𝑦→0
𝑓 𝑥, 𝑦 + ∆𝑦 − 𝑓(𝑥, 𝑦)
∆𝑦

3. 𝜕𝑓
𝑑𝑥
; 𝑓𝑥 ; 𝐷1 𝑓
𝜕𝑓
𝑑𝑦
; 𝑓𝑦 ; 𝐷2 𝑓
LAS DERIVADAS PARCIALES TAMBIÉN
SE DENOTAN DE LA SIGUIENTE
MANERA.

4. INTERPRETACION GEOMETRICA
DE LAS DERIVADAS PARCIALES

6. CALCULO DE DERIVADAS
PARCIALES
Aplicar la definición de derivadas parciales para
encontrar
𝜕𝑓
𝜕𝑥
;
𝜕𝑓
𝑑𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2
𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 − 𝑓(𝑥, 𝑦)
∆𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= lim
∆𝑥→0
3 𝑥 + ∆𝑥 2 𝑦 − 3𝑥2 𝑦
∆𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= lim
∆𝑥→0
3 𝑥2 + 2𝑥∆𝑥 + ∆𝑥 2 𝑦 − 3𝑥2 𝑦
∆𝑥

7. 𝜕𝑓
𝜕𝑥
= lim
∆𝑥→0
3𝑥2
𝑦 + 6𝑥∆𝑥𝑦 + 3 ∆𝑥 2
𝑦 − 3𝑥2
𝑦
∆𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= lim
∆𝑥→0
3𝑥2
𝑦 + 6𝑥∆𝑥𝑦 + 3 ∆𝑥 2
𝑦 − 3𝑥2
𝑦
∆𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= lim
∆𝑥→0
6𝑥∆𝑥𝑦 + 3 ∆𝑥 2 𝑦
∆𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆𝑥 6𝑥𝑦 + 3∆𝑥𝑦
∆𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= lim
∆𝑥→0
6𝑥𝑦 + 3∆𝑥𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 6𝑥𝑦

8. 𝜕𝑓
𝜕𝑦
= lim
∆𝑦→0
𝑓 𝑥, 𝑦 + ∆𝑦 − 𝑓(𝑥, 𝑦)
∆𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= lim
∆𝑦→0
3𝑥2 𝑦 + ∆𝑦 − 3𝑥2 𝑦
∆𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= lim
∆𝑦→0
3𝑥2
𝑦 + 3𝑥2
∆𝑦 − 3𝑥2
𝑦
∆𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= lim
∆𝑦→0
3𝑥2
𝑦 + 3𝑥2
∆𝑦 − 3𝑥2
𝑦
∆𝑦

9. 𝜕𝑓
𝜕𝑦
= lim
∆𝑦→0
3𝑥2
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 3𝑥2
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= lim
∆𝑦→0
3𝑥2∆𝑦
∆𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2
𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 6𝑥𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 3𝑥2

12. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 4𝑥3
𝑦5
− 3𝑥2
𝑦4
+ 2𝑥 + 5𝑦 − 8
EJEMPLO
Encontrar las derivadas parciales de la función
Buscamos la derivada parcial con respecto a x.
𝑓 𝒙, 𝑦 = 𝟒𝒙 𝟑 𝑦5 − 𝟑𝒙 𝟐 𝑦4 + 𝟐𝒙 + 5𝑦 − 8
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝟏𝟐𝒙 𝟐 𝑦5 − 𝟔𝒙𝑦4 + 𝟐

13. Buscamos la derivada parcial con respecto a y.
𝑓 𝑥, 𝒚 = 𝟒𝑥3 𝒚 𝟓 − 𝟑𝑥2 𝒚 𝟒 + 2𝑥 + 𝟓𝒚 − 8
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝟐𝟎𝑥3
𝒚 𝟒
− 𝟏𝟐𝑥2
𝒚 𝟑
+ 𝟓

14. Encuentre las derivadas parciales de las siguientes funciones
𝑓 𝑥, 𝑦 = 5𝑥2 𝑦 + 6𝑥3 𝑦−2 + 𝐿𝑛 5𝑥 + 3𝑦2
𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥3 𝑦2 𝑒 𝑆𝑒𝑛(2𝑥𝑦)
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑆𝑒𝑛𝑒3𝑥𝑦 + 𝐿𝑛 𝐶𝑜𝑠(3𝑥 + 4𝑦)
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 3𝑦 + 𝑇𝑎𝑛(3𝑦2 + 2𝑥𝑦)
𝑓 𝑥, 𝑦 = 4𝑥3 𝑒2𝑥2 𝑦 + 𝐿𝑛
3 𝑥2 + 5𝑥𝑦
𝑥2 + 2𝑦2

15. DERIVAS PARCIALES DE ORDEN
SUPERIOR

16. Determine las segundas derivadas de la función
𝑓 𝑥, 𝑦 = 4𝑥3 𝑦2 + 2𝑥4 𝑦5 + 2𝑥 − 3𝑦
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑓𝑥 = 12𝑥2
𝑦2
+ 8𝑥3
𝑦5
+ 2
𝑓𝑦 = 8𝑥3
𝑦 + 10𝑥4
𝑦4
− 3
𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑓𝑥𝑥 = 24𝑥𝑦2 + 24𝑥2 𝑦5
𝑓𝑥𝑦 = 24𝑥2
𝑦 + 40𝑥3
𝑦4
𝑓𝑦𝑦 = 8𝑥3 + 40𝑥4 𝑦3 − 3
𝑓𝑦𝑥 = 24𝑥2
𝑦 + 40𝑥3
𝑦4

17. Teorema de las derivadas cruzadas
Sea 𝑓( 𝑥 , 𝑦) una función cuyas segundas derivadas
existen, entonces se verifica que
𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑦𝑥(𝑥, 𝑦)

18. DETERMINE LAS SEGUNDAS
DERIVADAS DE
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 𝑒 𝑥𝑦2
+ 𝑆𝑒𝑛(2𝑥𝑦)
𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 + 3𝑦 3
+ 4𝑥2
𝑦2
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑆𝑒𝑛(𝑒2𝑥𝑦) + 𝑒 𝑆𝑒𝑛(2𝑥𝑦)
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝐿𝑛
𝑥2
𝑦2 + 2
+ 𝑇𝑎𝑛(𝑥2 + 𝑦2)

19. GRADIENTE
Dada una función 𝑓 𝑥, 𝑦 cuyas primeras derivadas existen,
se llama gradiente de f al vector cuyas componentes son las
primeras derivadas parciales de la función. El gradiente se
representa por 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓 𝑥, 𝑦 𝑜 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 𝛻 𝑛𝑎𝑏𝑙𝑎
𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑖 + 𝑓𝑦 𝑗
El vector gradiente es normal a la superficie dada

20. 𝛻𝑓
𝛻𝑓
𝛻𝑓