Este documento resume los pasos para calcular diferentes probabilidades asociadas a una distribución normal con media 200 y desviación estándar 15. Explica cómo transformar la variable aleatoria original X a una variable estándar Z para poder usar tablas. Luego, calcula las probabilidades de: a) P(X>224), b) P(191<=X<=209), c) P(X>230), y d) el valor de X que corresponde a una probabilidad de 0.25.

1. el 9 ene. 14
La distribución de probabilidad es una N(200, 15)
La tipificaremos restando la media y dividiendo entre la desviación, asi
Z = (X-200) / 15
es una N(0,1) y podremos consultar la probabilidad en las tablas
a) P(X>224) = P[Z>(224-200)/15] = P(Z > 1.6) =
1 - P(Z < 1.6) = 1 - tabla(1.6) = 1 - 0.9452 = 0.0548
b) P(191 <= X <= 209) =
P(X<=209) - P(X<=191) =
P[Z<=(209-200)/15] - P[Z<=(191-200)/15] =
P(Z<=0.6) - P(Z<= -0.6) =
Por simetría
= P(Z<=0.6) - P(Z >= 0.6) =
por probabilidad complementaria
= P(Z<=0.6) - [1 - P(Z <= 0.6)] =
2·P(Z <=0.6) - 1 =
2 · 0.7257 -1 = 0.4514
c) Calculamos la probabilidad de que salgan más de 230 mm
P(X> 230) = P[Z > (230-200)/15] =
P(Z > 2) = 1 - P(Z <=2) =
1 - 0.9772 = 0.0228
Esa es la probabilidad de un bebida, cuando se sirven 1000 los vasos que se espera
que se derramen son
1000 · 0.0228 = 22.8
Si te piden un número entero lo redondeas a 23
d) Debemos buscar el valor que un una normal da probabilidad 0.25. Pero lo que pasa
es que en las tablas salen los valores que dan más de 0.5.
Por simetría sera el valor opuesto al que da 0.75.

2. El que da 0.75 no sale en la tabla, tenemos
tabla(0.67) = 0.7486
Tabla(0.68) = 0.7517
Hay que calcular el valor que daría 0.7500 por interpolación
la diferencia es 0.7517 - 0.7486 = 0.0031
Hay que sumar 0.0014 para alcázar 0.7500 o sea 14/31 de la diferencia, con lo cual el
vlor será
0.67 + (14/31) · 0.01 = 0.674516129
Y el opuesto es -0.674516129
luego
P(Z<=-0.674516129) = 0.25
P[(X-200)/15 <= -0.674516129] = 0.25
Y calculamos X
(X-200) / 15 <= -0.674516129
X-200 <= -10.11774194
X <= 189.8822581
Por debajo de esa cantidad se obtienen el 25% de las bebidas más pequeñas,
redondéala como tengáis costumbre de redondear.
Y eso es todo.