calculo de ecuaciones diferenciales

1. UNIVERSIDAD PRIVADA “DOMINGO SAVIO”
FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA
CARRERA
“Ecuaciones Diferenciales” MAT-0133
Docente: Ing. Luis Alberto Sánchez Sivila Clase N º 10-10-22

2. Definición. – Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas de una función desconocida de una o
más variables.
Definición. – Una ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes respecto a una o más variables independientes,
se dice que es una ecuación diferencial.
Ing. Luis Alberto Sánchez Sivila
Ecuaciones diferenciales
Definición. – Se denomina ecuación diferencial a la ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes respecto a
una o más variables independientes.
Ingeniería Civil
Definición. –
Ecuaciones Diferenciales

3. ⮚ Clasificación de las ecuaciones diferenciales
▪ Clasificación por Tipo de ecuaciones diferenciales
Ecuación Diferencial Ordinaria
•
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 7𝑦 + 𝑥𝑒𝑥
;
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 − 2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 3𝑦 = 𝑥 ;
𝑑𝑦
𝑑𝑡
−
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 7𝑦 + 𝑥𝑒𝑥
Ecuación Diferencial Parcial
•
𝜕𝑢
𝜕𝑦
=
𝜕𝑣
𝜕𝑥
;
𝜕2𝑢
𝜕𝑦2 = −
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2 ;
𝜕2𝑢
𝜕𝑥2 = −
𝜕2𝑢
𝜕𝑡2 +
𝜕𝑢
𝜕𝑡
Si una ecuación diferencial contiene solamente derivadas de una o más variables dependientes respecto a una sola variable
independiente se denomina ecuación diferencial ordinaria.
Si una ecuación diferencial contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes de dos o más variables
independientes se denomina ecuación diferencial parcial.
Ing. Luis Alberto Sánchez Sivila
“MATEMATICAS III” CIV-211
Estas ecuaciones contienen únicamente derivadas ordinarias respecto a una sola variable independiente.
Contienen derivadas parciales respecto de dos o más variables independientes.
Ingeniería Civil
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 7𝑦 + 𝑥𝑒𝑥
𝜕𝑢
𝜕𝑦
=
𝜕𝑣
𝜕𝑥

4. ▪ Clasificación Por Grado
▪ Clasificación Por Linealidad
▪ Clasificación Por Orden
El orden de una ecuación diferencial es el orden de la mayor derivada que contiene la ecuación diferencial.
El grado de la ecuación diferencial es el grado de la derivada mayor orden que contiene la ecuación diferencial..
Una ecuación diferencial de n-esimo orden se dice que es lineal si la función es lineal en: 𝑦, 𝑦′
… … … 𝑦 𝑛
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
4
− 2
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
5
− 2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
6
+ 3𝑦 = 𝑥 . Es de tercer orden
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
4
− 2
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
5
− 2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
6
+ 3𝑦 = 𝑥. Es de cuarto grado
Una ecuación diferencial ordinaria lineal es una ecuación que puede ser escrita en la forma:
Ing. Luis Alberto Sánchez Sivila
“MATEMATICAS III” CIV-211
𝑎0 𝑥 𝑦 𝑛
+ 𝑎1 𝑥 𝑦 𝑛−1
+. . +𝑎𝑛−1 𝑥 𝑦′
+ 𝑎𝑛 𝑥 𝑦 = 𝐹 𝑥
Se llama orden de una ecuación diferencial al orden de la derivada superior que interviene en la ecuación.
Donde :
𝐹 𝑥 ; y los coeficientes 𝑎0 𝑥 , 𝑎1 𝑥 , ……… 𝑎𝑛 𝑥 son funciones dadas de "𝑥" y 𝑎0 𝑥 diferente de cero. Una ecuación que no se puede
escribirse de esa manera se llama ecuación diferencial no-lineal.
Ingeniería Civil

5. Ecuaciónes Diferenciales

6. Ecuaciónes Diferenciales

7. Ecuaciónes Diferenciales
Determine si cualquiera de las funciones a) 𝑦1 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 , b) 𝑦2 = 𝑥 c) 𝑦1 =
1
2
𝑠𝑒𝑛 2𝑥
Es una solución de 𝑦′′
+ 4𝑦′
= 0

8. Ecuaciónes Diferenciales
𝑦 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 𝐶2𝑐𝑜𝑠 2𝑥 Hallar la ecuación diferencial.

9. Ecuaciónes Diferenciales
𝑦 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 𝐶2𝑐𝑜𝑠 2𝑥 Hallar la ecuación diferencial.

10. Ecuaciónes Diferenciales
𝑦 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 𝐶2𝑐𝑜𝑠 2𝑥 Hallar la ecuación diferencial.
𝑦 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 𝐶2𝑐𝑜𝑠 2𝑥

11. Ecuaciónes Diferenciales
𝑦 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 𝐶2𝑐𝑜𝑠 2𝑥 Hallar la ecuación diferencial.

12. Ecuaciónes Diferenciales
𝑦 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 𝐶2𝑐𝑜𝑠 2𝑥 Hallar la ecuación diferencial.
𝑦 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 𝐶2𝑐𝑜𝑠 2𝑥

13. Ecuaciónes Diferenciales
𝑦 = 𝐶1𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 𝐶2𝑐𝑜𝑠 2𝑥
Hallar las constantes de integración con las siguientes condiciones ; 𝑦 0 = 0 ; 𝑦 0
′
= 1

14. Ecuaciónes Diferenciales
Formar la ecuación diferencial a partir de la solución general.:
𝑦 𝑥 = 𝐴𝑒𝑥

15. Ecuaciónes Diferenciales
Derivadas implícitas

16. Ecuaciónes Diferenciales
Verificar que las funciones dadas son las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales
indicadas.:
𝑦 = −
1
3𝑥 + 𝑐
; 𝑦′
− 3𝑦2
= 0

17. Ecuaciónes Diferenciales
Verificar que las funciones dadas son las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales
indicadas.:
𝑦 = −
1
3𝑥 + 𝑐
; 𝑦′
− 3𝑦2
= 0

18. Ecuaciónes Diferenciales
Verificar que las funciones dadas son las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales
indicadas.:
𝑥 = 𝑦𝑒𝑐𝑦+1
; 𝑦′
=
𝑦
𝑥 𝑙𝑛𝑥 − 𝑙𝑛𝑦

19. Ecuaciónes Diferenciales
Verificar que las funciones dadas son las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales
indicadas.:
𝑥 = 𝑦𝑒𝑐𝑦+1
; 𝑦′
=
𝑦
𝑥 𝑙𝑛𝑥 − 𝑙𝑛𝑦

20. Ecuaciónes Diferenciales
Verificar que las funciones dadas son las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales
indicadas.:
𝑥 = 𝑦𝑒𝑐𝑦+1
; 𝑦′
=
𝑦
𝑥 𝑙𝑛𝑥 − 𝑙𝑛𝑦

21. Ecuaciónes Diferenciales
Verificar que las funciones dadas son las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales
indicadas.:
𝑥 = 𝑦𝑒𝑐𝑦+1
; 𝑦′
=
𝑦
𝑥 𝑙𝑛𝑥 − 𝑙𝑛𝑦

22. Ecuaciónes Diferenciales
Verificar que las funciones dadas son las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales
indicadas.:
𝑥 = 𝑦𝑒𝑐𝑦+1
; 𝑦′
=
𝑦
𝑥 𝑙𝑛𝑥 − 𝑙𝑛𝑦

23. Ecuaciónes Diferenciales
Verificar que las funciones dadas son las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales
indicadas.:
𝑥 = 𝑦𝑒𝑐𝑦+1
; 𝑦′
=
𝑦
𝑥 𝑙𝑛𝑥 − 𝑙𝑛𝑦

24. Ecuaciónes Diferenciales
Verificar que las funciones dadas son las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales
indicadas.:
𝑥 = 𝑦𝑒𝑐𝑦+1
; 𝑦′
=
𝑦
𝑥 𝑙𝑛𝑥 − 𝑙𝑛𝑦

25. Ecuaciónes Diferenciales
Formar la ecuación diferencial a partir de la solución general.:
𝑦 𝑥 = 𝐶1𝑒−2𝑥
+ 𝐶2𝑒3𝑥

26. Ecuaciónes Diferenciales
Formar la ecuación diferencial a partir de la solución general.:
𝑦 𝑥 = 𝐶1𝑒−2𝑥
+ 𝐶2𝑒3𝑥
𝑦 𝑥 = 𝐶1𝑒−2𝑥
+ 𝐶2𝑒3𝑥

27. Ecuaciónes Diferenciales
Verificar que las funciones dadas son las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales
indicadas.:
𝑦 =
𝑐
𝑐𝑜𝑠𝑥
; 𝑦′
− 𝑡𝑎𝑛𝑥 ∗ 𝑦 = 0

28. Ecuaciónes Diferenciales
Formar la ecuación diferencial a partir de la solución general.:
𝑦 𝑥 = 𝐶1𝑒𝑥
+ 𝐶2𝑒2𝑥
+ 𝑥

29. GRACIAS POR SU ATENCIÓN!
• MATERIA “ECUACIONES DIFERENCIALES”
• DOCENTE: ING. LUIS ALBERTO SÁNCHEZ SIVILA

30. Ecuaciónes Diferenciales