Este documento presenta varios problemas relacionados con ecuaciones exponenciales, logarítmicas y sistemas de ecuaciones. Incluye resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas individuales, sistemas de ecuaciones logarítmicas y exponenciales, y aplicaciones como el interés compuesto, crecimiento exponencial de bacterias y desintegración radiactiva.

1. ECUACIONES LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES
1.- Resolver las ecuaciones exponenciales:
( ) ( )
x
a) a x = a 24
b) a x ( x − 2) = a x
c) 6 x ( x −1) = 36
6
d) 13x = 371293
e) 100x = 0,0001
f) 3 8 x = 262144
g) 35x + 2 = 6561
2
1
h) 5 x − 5 x =
625
i) 3x + 9x – 1 = 4
2.- Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:
a)
b)
c)
d)
e)
2x+1 – 5 · 2x + 3 = 0
9x – 90 · 3x + 729 = 0
36x – 42 · 6x + 216 = 0
2x + 2x + 1 + 2x + 2 = 7
2x + 2x + 1 + 2x – 2 + 2x – 3 = 960
f) 2x + 2 + 4x – 320 = 0
g) 9x + 1 – 2 · 3x + 3 + 81 = 0
x
1
x+3
h) 4 =  
2
i)
3x
2
+1
− 3x
2
−1
= 216
x
3
j) 4x = 8 + 2
k) 25 x
2
−
1
4
= 52x – 1
3.- Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas:
a) log x – log 36 = 3
1
b) log x – log 5 =
2
c) log (3x + 1) – log (2x – 3) = 1 – log 5
d) log (2x + 1)2 + log (3x – 4)2 = 2
e) log 3x + 10 – log x + 2 = 1 – log
5
log (16 − x 2 )
f)
=2
log (3x − 4)
g) log (x + 1) – log x = log x
4.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones logarítmicas:
log x + log y = 7
a) 
log x − log y = 3
log x 2 + log y 3 = 6

b) 
log x 2 + log y 2 = 2

 x + y = 110
c) 
log x + log y = 3
log 2 x + log 2 y = 7
d) 
2
log 2 x − log 2 y = 2
log x + log y = 30
e) 
 x + y = 60
x − y = 8
f) 
log 2 x = 7 − log 2 y
 x − y = 25
g) 
log y = log x − 1
log ( x + y ) + log ( x − y) = log 44
h)  x y
11
e · e = e
2 · log x − 2 · log y = 1
i) 
log x + log y = 3
5.- Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones exponenciales:
y
 x
3 + 3 = 90
a)  x + y
3
= 729

y
 x
3 + 3 = 90
b)  x + y
3 = 729

 x + y = 493
7
c)  x − y
7
= 49

y
 x
2 + 2 = 24
d)  x + y
2
= 128


2. 6.- La fórmula que se utiliza para el interés continuo es CF = CI · e r t, siendo CF el capital final, CI
el capital inicial, r el interés continuo y t el tiempo. (En el interés continuo se supone que se
actualizan los intereses a cada instante). Calcula lo que producen 100000 euros a interés continuo
del 30 % anual el 3 años.
7.- ¿En cuanto se convierten 3 millones de euros que están colocados a un interés compuesto del 12
% durante 3 semestres?
8.- En un cultivo de bacterias que se reproducen por bipartición cada minuto, había inicialmente un
millón de ellas. Escribe la fórmula correspondiente a la función exponencial que refleja esta
situación.
9.- La constante de desintegración del polonio 218 (Po218) es λ = 4 · 10 – 3 s –1. ¿Cuánto tiempo
necesitará una muestra de ese elemento para que se reduzca a la mitad de sus átomos? (Nota: la
fórmula de la desintegración continua de los átomos es: N = N0 · e – λ · t, siendo N0 el número inicial
de átomos)
10.- La constante de desintegración del torio C es λ = 2 · 10 – 4 s –1. ¿Cuántos átomos quedarán sin
desintegrarse, al cabo de 15 minutos de una muestra que inicialmente tenía un millón de átomos?