Inicio del estudiante de ingeniería en la solución de ecuaciones diferenciales.

1. Ing. Dr. NELSON QUIÑONES VASQUEZ
Ecuaciones
Diferenciales de
Variables
Separables
– Ecuaciones diferenciales de primer
orden.
– Ecuaciones diferenciales de variables
separables.

2. Ing. Dr. NELSON QUIÑONES VASQUEZ
Ecuaciones diferenciales de
primer orden
• Una Ecuación Diferencial de Primer Orden y
Primer Grado es de la forma:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝑦
• Empleando diferenciales, la forma general
será: 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
• O bien: 𝑀𝑑𝑥 + 𝑁𝑑𝑦 = 0
M, es una función de x, y; o constantes.
N, es una función de x, y; o constantes.
• La solución general tiene una sola constante
arbitraria:
En forma explícita: y = ∅ (x, c)
En forma implícita: ∅ (x, y, c) = 0

3. Ing. Dr. NELSON QUIÑONES VASQUEZ
Ecuaciones diferenciales de
variables separables
• Sea la ecuación: 𝑀𝑑𝑥 + 𝑁𝑑𝑦 = 0
• Si es posible descomponer 𝑀 y 𝑁 en factores, y
que cada factor sea función de 𝑥, ó de 𝑦; es decir:
𝑓1 𝑥 . 𝑓2 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑓3 𝑥 . 𝑓4 𝑦 𝑑𝑦 = 0, se obtiene
una ecuación diferencial de variables separables.
• Si dividimos entre 𝑓2 𝑦 . 𝑓3 (𝑥), tenemos:
𝑓1(𝑥)
𝑓3(𝑥)
𝑑𝑥 +
𝑓4(𝑦)
𝑓2(𝑦)
𝑑𝑦 = 0
• Haciendo: 𝐹 𝑥 =
𝑓1(𝑥)
𝑓3(𝑥)
; 𝐺 𝑦 =
𝑓4(𝑦)
𝑓2(𝑦)
• La solución general se obtiene integrando:
𝐹 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐺 𝑦 𝑑𝑦 = 𝐶

4. Ing. Dr. NELSON QUIÑONES VASQUEZ
Ejemplos:
• Resolver:
1)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦2
𝑥3
2)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
3𝑥+𝑥𝑦2
𝑦+𝑥2 𝑦
3)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑥+𝑥𝑦2
4𝑦
4) 𝑠𝑒𝑛2
𝑦𝑑𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑥𝑑𝑦 = 0
5)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 5𝑦 = 10

5. Ing. Dr. NELSON QUIÑONES VASQUEZ
Ejercicios propuestos
• Resolver:
1) 4𝑦 + 𝑦𝑥2 𝑑𝑦 − (2𝑥 + 𝑥𝑦2)𝑑𝑥 = 0
2) 𝑦′ + 𝑦2 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 0
3) 𝑐𝑜𝑠𝑦𝑑𝑥 + 1 + 𝑒−𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑦𝑑𝑦 = 0
4) 3𝑒 𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑦𝑑𝑥 + (2 − 𝑒 𝑥)𝑠𝑒𝑐2 𝑦𝑑𝑦 = 0
5) 𝑦′ 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑦𝑙𝑛𝑦
6) 𝑑𝑥 + 1 − 𝑥2
𝑐𝑜𝑡𝑦𝑑𝑦 = 0
7)
𝑑𝑦
dx
=
𝑥𝑦+3𝑥−𝑦−3
𝑥𝑦−2𝑥+4𝑦−8
8) 𝑥2 𝑦 − 𝑦 𝑑𝑥 + (𝑥2 − 2𝑦𝑥2)𝑑𝑦 = 0