1) Se presentan 8 problemas sobre movimiento de electrones en campos eléctricos y magnéticos. Se calculan trayectorias, velocidades, desviaciones y fuerzas. 2) También se calculan momentos de fuerzas sobre espiras cuadradas y rectangulares ubicadas en diferentes campos magnéticos. 3) Los problemas implican aplicar ecuaciones del movimiento rectilíneo y circular uniforme, así como fórmulas para campo eléctrico, fuerza magnética y momento.

1. EJERCICIOS CAP 1
Problema 1
Entre dos placas planas y paralelas cargadas con cargas iguales y opuestas
existe un campo eléctrico uniforme. Se libera un electrón con una velocidad
de v0=2 ·107
m/s en una dirección formando 5º por debajo del eje
equidistante de las placas de un tubo de rayos catódicos, tal como se indica
en la figura. La intensidad del campo eléctrico es de 20000 N/C y está
dirigido hacia abajo.
 ¿Cuánto se habrá desviado el electrón en sentido vertical a la salida de
las placas del condensador,x=4 cm?. ¿Cuál es su vector velocidad?
 ¿A qué distancia por encima del eje choca con la pantalla fluorescente,
distante 12 cm del condensador?
 Datos: carga del electrón q=1.6·10-19
C, masa m=9.1·10-31
kg
Solución
Ecuaciones del movimiento entre las placas del condensador:
{ax=0ay=qEm=1.6⋅10−19⋅2⋅1049.1⋅10−31 {vx=2⋅107⋅cos5vy=−2⋅107sin5+ayt
{x=2⋅107⋅cos5⋅ty=−2⋅107sin5⋅t+12ayt2

2. A la salida de las placas, x=0.04, entonces t=2.0·10-9
s, se calcula la
desviación y0=0.0036 m
El movimiento fuera de las placas es rectilíneo y uniforme
t=2.0⋅10−9s{vx=1.992⋅107 vy=0.532⋅107 {x=vxty=y0+vyt
Para x=0.12 se obtiene y=0.0356 m
O bien, geométricamente.
d=y0+0.12⋅tanθ=y0+0.12vyvx=0.0356 m
Problema 2
Un electrón es acelerado por una diferencia de potencial de 300 V, entra en
una región donde hay un campo eléctrico producido por las placas de un
condensador de 40 cm de longitud y separadas 4 cm a las cuales se le aplica
una diferencia de potencial de 100 V. Calcular
 La velocidad inicial del electrón antes de entrar en dicha región.
 El punto de impacto o la desviación del electrón a la salida de las
placas.
 Ahora, aplicamos un campo magnético perpendicular al plano.
Determinar la intensidad y el sentido (hacia dentro o hacia afuera) del
campo magnético para que el electrón no se desvíe.
Datos: carga del electrón 1.6 10-19
C, masa 9.1 10-31
kg
Solución
 Velocidad final del electrón acelerado por una diferencia de potencial
de 300 V

3. q(V'−V)=12mv2−12mv201.6⋅10−19⋅300=129.1⋅10−31v2 v=10.27⋅106 m/s
 Movimiento del electrón entre las placas del condensador
El electrón experimenta una fuerza vertical a lo largo del eje
Y, F=qE, Donde E es el campo eléctrico constante entre las placas y V’-
V=E·d es la diferencia de potencial
E=V'−Vd E=1000.04=2500 N/C
Las ecuaciones del movimiento son:
{ax=0ay=qEm {vx=vvy=ayt {x=v⋅ty=12ayt2
Desviación a la salida de las placas, x=0.4, y=0.333 m>0.02. El electrón
choca antes con las placas.
Para y=0.02, x=0.098=9.8 cm
 Para que el electrón no se desvíe el campo magnético deberá ser
perpendicular al plano del papel y hacia dentro tal como se muestra en el
dibujo.
Fuerza magnética, Fm=qv×B, módulo, Fm=qvBsin90=qvB
Fuerza eléctrica, Fe=qE, módulo, Fe=qE

4. El electrón se mueve a lo largo del eje X con velocidad constante si
ambas fuerzas son iguales y opuestas,Fm=Fe
B=E/v=2.43·10-4
T
 Si se suprime el campo eléctrico, el electrón describe una trayectoria
circular de radio r, bajo la acción del campo magnético.
Dinámica del movimiento circular uniforme, F=man
qvB=mv2r r=mvqB
r=9.1⋅10−31⋅10.27⋅1061.6⋅10−19⋅2.43⋅10−4=0.24 m
El electrón describe un arco de circunferencia hasta que impacta en la
placa inferior del condensador a una distancia x del origen.
r=0.02+r·cosθ
x=r·sinθ=0.096 m

5. Problema 3
Un haz de electrones acelerados por una diferencia de
potencial de 300 V, se introduce en una región donde existe
un campo magnético uniforme dirigido desde el plano del
papel hacia el lector, la anchura de la región es de 2.5 cm. S
no hubiese campo magnético, el haz de electrones producirí
una mancha en el punto F de la pantalla fluorescente situada
5 cm del borde de dicha región. Cuando se conecta un camp
magnético de 1.46·10-3
T.
 Dibujar el arco de circunferencia que describe el electr
y calcular su radio. Determinar la desviación del haz en la
pantalla.
Datos del electrón, m=9.1·10-31
kg, q=1.6·10-19
C
Solución
Velocidad final del electrón acelerado por una diferencia de potencial de
300 V
q(V'−V)=12mv2−12mv201.6⋅10−19⋅300=129.1⋅10−31v2 v=10.27⋅106 m/s
El electrón describe un arco de circunferencia de radio r bajo la acción
del campo magnético.
Dinámica del movimiento circular uniforme, F=man
qvB=mv2r r=mvqB r=0.04 m
Desviación total
d=(r-r·cosθ)+0.05·tanθ=0.0488 m

6. donde, sinθ=0.025/r
Problema 4
Por una espira rectangular de la de lados 6 y 8 cm circula una corriente de
10 A en el sentido indicado en la figura. Está en el seno de un campo
magnético uniforme B=0.2 T dirigido a lo largo del eje Y tal como se
muestra en las figuras. La espira está orientada de modo que el ángulo
θ=60º.
 Calcular la fuerza sobre cada lado de la espira dibujando su dirección y
sentido.
 El momento de dichas fuerzas (módulo, dirección y sentido) respecto
del eje de rotación Z
Solución
Fuerza que ejerce el campo magnético sobre una porción L de corriente
rectilínea
Fm=i(uˆt×B)L

7.  Módulos de las fuerzas que ejerce el campo magnético sobre cada uno
de los lados de la espira rectangular.
F1=10(1·0.2·sin150)·0.08=0.08 N
F2=10(1·0.2·sin30)·0.08=0.08 N
F3=10(1·0.2·sin90)·0.06=0.12 N
F4=10(1·0.2·sin90)·0.06=0.12 N
 Momento de las fuerzas F3 y F4 respecto del eje de rotación Z
Módulo; M=F4·d, , donde el brazo d=0.08·sin60
Dirección, eje Z
Sentido, positivo
M=0.00483√ kˆ N ⋅m
Problema 5

8. Una espira rectangular por las que circula una corriente de 5 A, de
dimensiones 10 y 15 cm está en una región en la que hay un campo
magnético uniforme B=0.02 T a lo largo del eje Z, la espira forma un
ángulo de 30º con el plano XY tal como se indica en la figura
 Dibujar las fuerza sobre cada uno de los lados de la espira, calcular su
módulo
 Hallar el momento (módulo, dirección y sentido) de las fuerzas
respecto del eje de rotación.
Solución
Fuerza que ejerce el campo magnético sobre una porción L de corriente
rectilínea
Fm=i(uˆt×B)L
 Módulos de las fuerzas que ejerce el campo magnético sobre cada uno
de los lados de la espira rectangular.
F1=5(1·0.02·sin90)·0.1=0.01 N
F2=5(1·0.02·sin120)·0.15=0.013 N
F3=5(1·0.02·sin90)·0.1=0.01 N
F4=5(1·0.02·sin60)·0.15=0.013 N
 Momento de las fuerzas F3 y F4 respecto del eje de rotación
Módulo; M=F1·d+F3·d, donde el brazo d=0.075·sin30
Dirección, eje X
Sentido, negativo
M=−0.00075 iˆ N ⋅m

9. Problema 6
Una espira de alambre cuadrada de 10 cm de lado yace en el plano XY tal
como se muestra en la figura. Se aplica un campo magnético paralelo al eje
Z, que varía a lo largo del eje X de la forma B=0.1·y T (donde y se expresa
en metros).
 La fuerza (módulo, dirección y sentido) sobre cada uno de los lados de
la espira
Solución
Fuerza que ejerce el campo magnético sobre una porción L de corriente
rectilínea
Fm=i(uˆt×B)L
 Módulos de las fuerzas que ejerce el campo magnético sobre cada uno
de los lados de la espira rectangular.

10. Lado AB, B=0, FAB=0
Lado CD, y=0.1, B=0.1·0.1=0.01, FCD=10(1·0.01·sin90)·0.1=0.01 N
En el lado BC y DA las fuerzas son iguales y de sentido contrario. Como
el campo magnético B no es constante hay que calcular la fuerza sobre
un elemento diferencial dy y luego la fuerza total sobre el lado BC
integrando.
dF=10(1·0.1y·sin90) dy=y·dy
FBC=∫00.1y⋅dy=0.005 N
Problema 7
Una corriente rectilínea está cerca de una espira rectangular, tal como se
muestra en la figura. Calcular.
 La fuerza que ejerce el campo magnético producido por la corriente
rectilínea sobre los lados AB, BC, CD y DA de la espira cuando está a una
distancia de10 cm.
Solución
Campo magnético producido por una corriente rectilínea en un punto
que dista y
Módulo, B=μ0i2πy
Dirección, perpendicular al plano del papel, eje Z

11. Sentido, hacia dentro, negativo
Fuerza que ejerce el campo magnético sobre una porción L de corriente
rectilínea
Fm=i(uˆt×B)L
Módulos de las fuerzas que ejerce el campo magnético sobre cada uno
de los lados de la espira rectangular.
Lado AB, y=0.1,FAB=3(1⋅4π⋅10−7⋅22π⋅0.1sin90)0.04=4.8⋅10−7 N
Lado CD, y=0.18, FCD=3(1⋅4π⋅10−7⋅22π⋅0.18sin90)0.04=2.67⋅10−7 N
En el lado BC y DA las fuerzas son iguales y de sentido contrario. Como
el campo magnético B no es constante hay que calcular la fuerza sobre
un elemento diferencial dy y luego la fuerza total sobre el lado BC
integrando.
dF=3(1⋅4π⋅10−7⋅22π⋅xsin90)dx=12⋅10−7dxxFBC=∫0.10.1812⋅10−7dxx=12⋅10−7ln(0
.180.1)=7.05⋅10−7 N
Problema 8
Por una espira rectangular de lados 5cm y 2 cm circula una
corriente de 10 A de intensidad en el sentido indicado por la
figura. Calcular:
 La fuerza (módulo, dirección y sentido) que ejerce un
campo magnético, paralelo al eje Z y de 0.2 T de
intensidad, sobre cada uno de los lados de la espira.
 El centro de masa de la espira, sabiendo que la densida
lineal del hilo conductor es 5 g/cm, y el peso es debido
únicamente a los tres lados AC, CD, DB.
 El ángulo θ de equilibrio
Solución

12. Posición del centro de masa
xcm=25⋅2.5+25⋅2.5+10⋅525+25+10=2.92 cm
Fuerza que ejerce el campo magnético sobre una porción L de corriente
rectilínea
Fm=i(uˆt×B)L
 Módulos de las fuerzas que ejerce el campo magnético sobre cada uno
de los lados de la espira rectangular.
Las fuerzas sobre los lados verticales AD y CD son iguales y de sentido
contrario.
La fuerza sobre el lado CD es laque equilibra la espira
FCD=10(1·0.2·sin90)·0.02=0.04 N
 Equilibrio
Para calcular el ángulo θ de equilibrio, hemos de igualar el momento de
la fuerza magnética FCD al momento del peso mg=0.06·9.8.
FCD·d1=mg·d2, d1=0.05·cosθ, d2=xcm·sinθ, son los brazos de dichas
fuerzas
tanθ=0.04⋅0.050.06⋅9.8xcm θ=6.65º