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LOS VECTORES Y SUS OPERACIONES
DEFINICIÓN
Un vector es un segmento orientado. Un vector
AB queda determinado por dos puntos,
Origen A y extremo B.
Elementos de un vector: Módulo de un vector es la distancia entre A y B y se designa por el
vector entre
Barras:
|AB|
*Dirección del vector es la dirección de la recta en la que se encuentra el vector y la
De todas sus paralelas.
Sentido si va de A a B o de B a A.
Igualdad de vectores: Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y
Sentido. Todos ellos se llaman representantes de un único vector. Llamaremos
Representante canónico a aquel vector que tiene por origen el punto O.
Notación: Los vectores se representan por letras:
u, v, w, .... o bien mediante uno de
Sus representantes, designando su origen y su extremo con una flecha encima
AB
PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO
El producto de un número k por un vector
v es otro vector
kv que tiene:
Módulo: igual al producto del módulo de
v por el valor absoluto de k :
|kv | =
|k|.
|v|
Dirección: la misma que la de v
Sentido: El de
v si k > 0
- El del opuesto de
v si k < 0
El producto 0.
v es igual al vector cero:
0 . Es un vector cuyo origen y extremo.
SUMA DE DOS VECTORES
Dados dos vectores
u y v para sumarlos gráficamente hay dos posibilidades:
Se sitúa el origen del segundo vector sobre el extremo del primero y el vector suma es el
vector que une el origen del primero con el extremo del segundo. Se sitúan los dos vectores
con origen común. Se forma el paralelogramo que tiene por lados los dos vectores y la
diagonal que parte del origen de los dos vectores es el vector suma.
El momento de una fuerza respecto a un eje: Elegido es el producto de la fuerza por el brazo
del momento L=Fs.
Siempre debe seleccionarse un eje con respecto al que los momentos de una fuerza pueden
ser medidos. El valor del momento producido por una fuerza dada depende del eje elegido. La
elección de un eje es completamente arbitraria; no necesita ser un eje real o fulcro. En muchos
casos, sin embargo, una elección adecuada del eje respecto del cual tienen que ser calculados
los momentos de las fuerzas simplifican mucho un problema, porque puede reducir a cero el
momento de una fuerza cuya magnitud o dirección es desconocida.
Ya que el momento de una fuerza es el producto de una fuerza y una distancia, su unidad es
una unidad de fuerza por una unidad de distancia.
Retomando el concepto de momento de una fuerza con respecto a un punto se puede hacer
notar que las componentes rectangulares Fig., que representan la tendencia a la rotación
alrededor de los ejes coordenados se obtienen proyectando el momento sobre cada uno de los
ejes así:
Donde son los cósenos directores del vector .
En forma vectorial las ecuaciones anteriores se pueden expresar como:
Para determinar el momento de una fuerza con respecto a cualquier otro eje, por ejemplo el
eje OL, que pasa por O, Fig. , se proyecta el momento sobre el eje tal que:
O en forma vectorial:
Donde es un vector unitario dirigido en la dirección OL. Se debe hacer notar que el
momento así definido es un escalar; puesto que el momento con respecto a un eje es un
vector; para expresarlo como tal, se multiplica su magnitud por el vector unitario dirigido
sobre su línea de acción así:
Para hallar una expresión más general del momento de una fuerza con respecto a un eje
consideremos la figura. Sea P un punto cualquiera sobre el eje OL, como:
De la figura se ve que y que entonces:
Como es cero, resulta que
Pero es el momento de la fuerza con respecto a P; por consiguiente se puede decir que
el momento de una fuerza con respecto a un eje es igual a la proyección sobre él mismo, del
momento de la fuerza con respecto a cualquier punto contenido en el eje.
Cuando se aplica una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido, dicho cuerpo
tiende a realizar un movimiento de rotación en torno a algún eje
Ahora bien, la propiedad de la fuerza aplicada para hacer girar al cuerpo se
mide con una magnitud física que llamamos torque o momento de la fuerza.
Entonces, se llama torque o momento de una fuerza a la capacidad de dicha
fuerza para producir un giro o rotación alrededor de un punto.
En el caso específico de una fuerza que produce un giro o una rotación,
muchos prefieren usar el nombre torque y no momento, porque este último lo
emplean para referirse al momento lineal de una fuerza.
Para explicar gráficamente el concepto de torque, cuando se gira algo, tal como
una puerta, se está aplicando una fuerza rotacional. Esa fuerza rotacional es la
que se denomina torque o momento.
Cuando empujas una puerta, ésta gira alrededor de las bisagras. Pero en el
giro de la puerta vemos que intervienen tanto la intensidad de la fuerza como
su distancia de aplicación respecto a la línea de las bisagras.
Entonces, considerando estos dos elementos, intensidad de la fuerza y
distancia de aplicación desde su eje, el momento de una fuerza es,
matemáticamente, igual al producto de la intensidad de la fuerza (módulo) por
la distancia desde el punto de aplicación de la fuerza hasta el eje de giro.
Expresada como ecuación, la fórmula es
M = F • d
Donde M es momento o torque
F = fuerza aplicada
d = distancia al eje de giro
El torque se expresa en unidades de fuerza-
distancia, se mide comúnmente en Newton
metro (Nm).
Si en la figura de la izquierda la fuerza F vale
15 N y la distancia d mide 8 m, el momento
de la fuerza vale:
M = F • d = 15 N • 8 m = 120 Nm
La distancia d recibe el nombre de “brazo de la fuerza”.
Una aplicación práctica del momento de una fuerza es la llave mecánica (ya
sea inglesa o francesa) que se utiliza para apretar tuercas y elementos
similares. Cuanto más largo sea el mango (brazo) de la llave, más fácil es
apretar o aflojar las tuercas.
Cuando se ejerce una fuerza
F en el punto B de la barra,
la barra gira alrededor del
punto A. El momento de la
fuerza F vale M = F • d
Con este ejemplo vemos que el torque y la fuerza están unidos
directamente.
Para apretar una tuerca se requiere cierta cantidad de torque sin importar el
punto en el cual se ejerce la fuerza. Si aplicamos la fuerza con un radio
pequeño, se necesita más fuerza para ejercer el torque. Si el radio es grande,
entonces se requiere menos fuerza para ejercer la misma cantidad de torque.
Estos Son los tres aportes que les deje!
Omar Mendoza C.I 20670309

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  • 1. LOS VECTORES Y SUS OPERACIONES DEFINICIÓN Un vector es un segmento orientado. Un vector AB queda determinado por dos puntos, Origen A y extremo B. Elementos de un vector: Módulo de un vector es la distancia entre A y B y se designa por el vector entre Barras: |AB| *Dirección del vector es la dirección de la recta en la que se encuentra el vector y la De todas sus paralelas. Sentido si va de A a B o de B a A. Igualdad de vectores: Dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y Sentido. Todos ellos se llaman representantes de un único vector. Llamaremos Representante canónico a aquel vector que tiene por origen el punto O. Notación: Los vectores se representan por letras: u, v, w, .... o bien mediante uno de Sus representantes, designando su origen y su extremo con una flecha encima AB PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO El producto de un número k por un vector v es otro vector kv que tiene: Módulo: igual al producto del módulo de v por el valor absoluto de k :
  • 2. |kv | = |k|. |v| Dirección: la misma que la de v Sentido: El de v si k > 0 - El del opuesto de v si k < 0 El producto 0. v es igual al vector cero: 0 . Es un vector cuyo origen y extremo. SUMA DE DOS VECTORES Dados dos vectores u y v para sumarlos gráficamente hay dos posibilidades: Se sitúa el origen del segundo vector sobre el extremo del primero y el vector suma es el vector que une el origen del primero con el extremo del segundo. Se sitúan los dos vectores con origen común. Se forma el paralelogramo que tiene por lados los dos vectores y la diagonal que parte del origen de los dos vectores es el vector suma.
  • 3. El momento de una fuerza respecto a un eje: Elegido es el producto de la fuerza por el brazo del momento L=Fs. Siempre debe seleccionarse un eje con respecto al que los momentos de una fuerza pueden ser medidos. El valor del momento producido por una fuerza dada depende del eje elegido. La elección de un eje es completamente arbitraria; no necesita ser un eje real o fulcro. En muchos casos, sin embargo, una elección adecuada del eje respecto del cual tienen que ser calculados los momentos de las fuerzas simplifican mucho un problema, porque puede reducir a cero el momento de una fuerza cuya magnitud o dirección es desconocida. Ya que el momento de una fuerza es el producto de una fuerza y una distancia, su unidad es una unidad de fuerza por una unidad de distancia. Retomando el concepto de momento de una fuerza con respecto a un punto se puede hacer notar que las componentes rectangulares Fig., que representan la tendencia a la rotación alrededor de los ejes coordenados se obtienen proyectando el momento sobre cada uno de los ejes así: Donde son los cósenos directores del vector . En forma vectorial las ecuaciones anteriores se pueden expresar como: Para determinar el momento de una fuerza con respecto a cualquier otro eje, por ejemplo el eje OL, que pasa por O, Fig. , se proyecta el momento sobre el eje tal que:
  • 4. O en forma vectorial: Donde es un vector unitario dirigido en la dirección OL. Se debe hacer notar que el momento así definido es un escalar; puesto que el momento con respecto a un eje es un vector; para expresarlo como tal, se multiplica su magnitud por el vector unitario dirigido sobre su línea de acción así: Para hallar una expresión más general del momento de una fuerza con respecto a un eje consideremos la figura. Sea P un punto cualquiera sobre el eje OL, como: De la figura se ve que y que entonces: Como es cero, resulta que
  • 5. Pero es el momento de la fuerza con respecto a P; por consiguiente se puede decir que el momento de una fuerza con respecto a un eje es igual a la proyección sobre él mismo, del momento de la fuerza con respecto a cualquier punto contenido en el eje. Cuando se aplica una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido, dicho cuerpo tiende a realizar un movimiento de rotación en torno a algún eje Ahora bien, la propiedad de la fuerza aplicada para hacer girar al cuerpo se mide con una magnitud física que llamamos torque o momento de la fuerza. Entonces, se llama torque o momento de una fuerza a la capacidad de dicha fuerza para producir un giro o rotación alrededor de un punto. En el caso específico de una fuerza que produce un giro o una rotación, muchos prefieren usar el nombre torque y no momento, porque este último lo emplean para referirse al momento lineal de una fuerza. Para explicar gráficamente el concepto de torque, cuando se gira algo, tal como una puerta, se está aplicando una fuerza rotacional. Esa fuerza rotacional es la que se denomina torque o momento. Cuando empujas una puerta, ésta gira alrededor de las bisagras. Pero en el giro de la puerta vemos que intervienen tanto la intensidad de la fuerza como su distancia de aplicación respecto a la línea de las bisagras. Entonces, considerando estos dos elementos, intensidad de la fuerza y distancia de aplicación desde su eje, el momento de una fuerza es, matemáticamente, igual al producto de la intensidad de la fuerza (módulo) por la distancia desde el punto de aplicación de la fuerza hasta el eje de giro. Expresada como ecuación, la fórmula es M = F • d Donde M es momento o torque F = fuerza aplicada d = distancia al eje de giro El torque se expresa en unidades de fuerza- distancia, se mide comúnmente en Newton metro (Nm). Si en la figura de la izquierda la fuerza F vale 15 N y la distancia d mide 8 m, el momento de la fuerza vale: M = F • d = 15 N • 8 m = 120 Nm La distancia d recibe el nombre de “brazo de la fuerza”. Una aplicación práctica del momento de una fuerza es la llave mecánica (ya sea inglesa o francesa) que se utiliza para apretar tuercas y elementos similares. Cuanto más largo sea el mango (brazo) de la llave, más fácil es apretar o aflojar las tuercas. Cuando se ejerce una fuerza F en el punto B de la barra, la barra gira alrededor del punto A. El momento de la fuerza F vale M = F • d
  • 6. Con este ejemplo vemos que el torque y la fuerza están unidos directamente. Para apretar una tuerca se requiere cierta cantidad de torque sin importar el punto en el cual se ejerce la fuerza. Si aplicamos la fuerza con un radio pequeño, se necesita más fuerza para ejercer el torque. Si el radio es grande, entonces se requiere menos fuerza para ejercer la misma cantidad de torque. Estos Son los tres aportes que les deje! Omar Mendoza C.I 20670309