1. Se calcula la carga en cada una de dos monedas separadas 1.5m que experimentan fuerzas de Coulomb idénticas. La carga calculada es 2 x 10-5 C.
2. Se calcula la fuerza de repulsión entre un núcleo de helio con carga +2e y uno de neón con carga +10e a una distancia de 3 nm, resultando en 0.51 nN.
3. Se calcula la fuerza eléctrica entre los dos protones de un núcleo de helio a una distancia de 2 x 10-15
Este documento presenta los conceptos de campo vectorial, rotacional y criterios para que un campo sea conservativo. Explica cómo calcular el rotacional de un campo vectorial y determinar si es conservativo mediante la igualdad de sus derivadas parciales. También muestra cómo hallar la función potencial para un campo conservativo mediante integración. Por último, proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos.
1. El documento presenta 15 ejercicios de probabilidad con sus respectivas soluciones. Los ejercicios involucran conceptos como espacio muestral, eventos, probabilidad simple, condicionada y conjunta al lanzar dados, sacar cartas o extraer bolas de urnas.
2. El último ejercicio calcula la probabilidad de que un dispositivo sea defectuoso considerando la probabilidad independiente de falla de cada uno de sus 3 componentes.
3. Se concluye que la probabilidad de que el dispositivo sea defectuoso es de 12.682
Este documento explica la distribución geométrica y proporciona ejemplos de su aplicación para calcular la probabilidad de obtener el primer éxito o fracaso en una serie de experimentos de Bernoulli. Explica cómo calcular la probabilidad de que ocurra el primer éxito o fracaso en la x-ésima repetición del experimento usando la fórmula de la función de densidad de probabilidad de la distribución geométrica.
El documento trata sobre las características de las estructuras cristalinas. Explica los 7 sistemas cristalinos y las 14 redes de Bravais. Incluye objetivos sobre la comprensión de las estructuras cristalinas en metales y no metálicos. También presenta una serie de problemas sobre el cálculo de parámetros de redes y radios atómicos basados en datos de densidad y masa atómica.
Clase 7a capacitancia y dielectricos problemasTensor
Este documento presenta 10 problemas relacionados con capacitancia y dieléctricos. Los problemas involucran calcular la distribución de carga entre esferas cargadas, determinar la capacitancia y voltaje de sistemas de placas paralelas y coaxiales, y calcular la separación de placas y el volumen entre esferas para un capacitor esférico. Las soluciones implican aplicar fórmulas de capacitancia de placas paralelas y esferas para sistemas simples y complejos.
El documento presenta fórmulas y conceptos fundamentales de física para una evaluación parcial. Incluye trigonometría, identidades trigonométricas, vectores, cinemática de movimientos rectilíneos y curvilíneos, así como conceptos como aceleración, velocidad y fuerza.
Este documento presenta ejercicios y problemas de probabilidad y el teorema de Bayes. Incluye ejercicios sobre lanzar dados, sacar bolas de urnas y cartas de una baraja. También presenta problemas para aplicar el teorema de Bayes y analizar una política de crédito basada en la probabilidad de que clientes que se demoran en pagos no cancelen sus deudas.
1. Se calcula la carga en cada una de dos monedas separadas 1.5m que experimentan fuerzas de Coulomb idénticas. La carga calculada es 2 x 10-5 C.
2. Se calcula la fuerza de repulsión entre un núcleo de helio con carga +2e y uno de neón con carga +10e a una distancia de 3 nm, resultando en 0.51 nN.
3. Se calcula la fuerza eléctrica entre los dos protones de un núcleo de helio a una distancia de 2 x 10-15
Este documento presenta los conceptos de campo vectorial, rotacional y criterios para que un campo sea conservativo. Explica cómo calcular el rotacional de un campo vectorial y determinar si es conservativo mediante la igualdad de sus derivadas parciales. También muestra cómo hallar la función potencial para un campo conservativo mediante integración. Por último, proporciona ejemplos para ilustrar estos conceptos.
1. El documento presenta 15 ejercicios de probabilidad con sus respectivas soluciones. Los ejercicios involucran conceptos como espacio muestral, eventos, probabilidad simple, condicionada y conjunta al lanzar dados, sacar cartas o extraer bolas de urnas.
2. El último ejercicio calcula la probabilidad de que un dispositivo sea defectuoso considerando la probabilidad independiente de falla de cada uno de sus 3 componentes.
3. Se concluye que la probabilidad de que el dispositivo sea defectuoso es de 12.682
Este documento explica la distribución geométrica y proporciona ejemplos de su aplicación para calcular la probabilidad de obtener el primer éxito o fracaso en una serie de experimentos de Bernoulli. Explica cómo calcular la probabilidad de que ocurra el primer éxito o fracaso en la x-ésima repetición del experimento usando la fórmula de la función de densidad de probabilidad de la distribución geométrica.
El documento trata sobre las características de las estructuras cristalinas. Explica los 7 sistemas cristalinos y las 14 redes de Bravais. Incluye objetivos sobre la comprensión de las estructuras cristalinas en metales y no metálicos. También presenta una serie de problemas sobre el cálculo de parámetros de redes y radios atómicos basados en datos de densidad y masa atómica.
Clase 7a capacitancia y dielectricos problemasTensor
Este documento presenta 10 problemas relacionados con capacitancia y dieléctricos. Los problemas involucran calcular la distribución de carga entre esferas cargadas, determinar la capacitancia y voltaje de sistemas de placas paralelas y coaxiales, y calcular la separación de placas y el volumen entre esferas para un capacitor esférico. Las soluciones implican aplicar fórmulas de capacitancia de placas paralelas y esferas para sistemas simples y complejos.
El documento presenta fórmulas y conceptos fundamentales de física para una evaluación parcial. Incluye trigonometría, identidades trigonométricas, vectores, cinemática de movimientos rectilíneos y curvilíneos, así como conceptos como aceleración, velocidad y fuerza.
Este documento presenta ejercicios y problemas de probabilidad y el teorema de Bayes. Incluye ejercicios sobre lanzar dados, sacar bolas de urnas y cartas de una baraja. También presenta problemas para aplicar el teorema de Bayes y analizar una política de crédito basada en la probabilidad de que clientes que se demoran en pagos no cancelen sus deudas.
Este documento presenta varios problemas resueltos relacionados con vectores y sistemas de coordenadas. Incluye conversiones entre coordenadas cartesianas y polares, cálculos de distancias entre puntos y determinación de la posición y desplazamiento de objetos en un plano. Los problemas abarcan temas como triángulos rectángulos, funciones trigonométricas, el teorema de Pitágoras y vectores de desplazamiento.
Ejercicios solucionados de oscilaciones y ondas unidad ondas electromagnetica...Lizeth Maritza Pena Pena
Este documento contiene la resolución de 12 ejercicios relacionados con movimiento armónico simple y oscilaciones. Los ejercicios involucran conceptos como periodo, frecuencia, amplitud, velocidad, aceleración y fuerzas. Se calculan estas variables para diferentes sistemas oscilatorios como ruedas, partículas, bloques y péndulos. También se grafican funciones posición, velocidad y aceleración. Finalmente, se analizan oscilaciones en sistemas compuestos como bloques flotando y varillas con masas ad
El documento define las derivadas parciales de primer y segundo orden para funciones de dos y tres variables. Explica que las derivadas parciales de primer orden representan las pendientes de la función en las direcciones de cada variable cuando las demás se mantienen constantes. También establece que las derivadas parciales mixtas de segundo orden son iguales para funciones continuas. Finalmente, presenta algunos ejemplos para calcular derivadas parciales.
Este documento presenta conceptos fundamentales de elasticidad como la ley de Hooke, el módulo de Young, la flexión y el coeficiente de Poisson. Incluye 18 problemas de aplicación sobre estos temas, como determinar la constante elástica de un muelle, calcular la deformación de una barra sometida a fuerza o hallar la energía necesaria para estirar una barra de acero.
Este documento resume el capítulo 6 sobre torque y equilibrio de un cuerpo rígido. Explica que el torque de una fuerza depende de su magnitud, dirección y punto de aplicación respecto a un eje de rotación, y que para que un cuerpo rígido esté en equilibrio, la suma de todos los torques y fuerzas que actúan sobre él deben ser cero. También define conceptos como el centro de gravedad y de masa, y explica que para analizar el equilibrio de un cuerpo rígido, es necesario dibujar un
Este documento trata sobre colisiones y movimiento lineal. Explica las leyes de conservación de momento lineal y energía cinética para colisiones elásticas e inelásticas. Presenta ejemplos numéricos de colisiones entre dos objetos y el cálculo de velocidades antes y después de las colisiones. También describe el funcionamiento de un péndulo balístico para medir la velocidad de un proyectil.
Este documento presenta 17 ejercicios de probabilidad utilizando distribuciones binomiales. Los ejercicios involucran calcular la probabilidad de eventos como el número de mangos descompuestos en una caja, la probabilidad de que pacientes se recuperen de una operación y la probabilidad de que automóviles fallen en calles encharcadas. Para cada ejercicio, se proporciona la solución paso a paso utilizando la fórmula binomial y cálculos de probabilidad.
Probabilidad de obtener una escalera en un juegokaoko7
La probabilidad de obtener una escalera en un juego de poker con 5 cartas es de 0.019% o 1.96x10-4. Esto se debe a que hay 10.200 posibles manos, de las cuales solo 2 resultaron ser escaleras en 100 intentos.
Este documento presenta información sobre funciones trigonométricas. Cubre temas como funciones periódicas, funciones trigonométricas como seno y coseno, dominio y rango, y gráficas. Incluye ejemplos y ejercicios para que los estudiantes analicen funciones y gráficas para resolver problemas de ingeniería que involucren fenómenos periódicos. El objetivo es que los estudiantes comprendan la importancia de las funciones trigonométricas y cómo representarlas gráficamente.
1. Se calculan las fuerzas electrostática y gravitatoria entre dos partículas alfa separadas 10-11 m, resultando que la fuerza electrostática es mucho más intensa.
2. Se calcula la fuerza entre dos cargas A y B a 3 cm y 9 cm de separación utilizando la ley de Coulomb.
3. Se calcula el potencial eléctrico creado por una carga puntual q1=12 x 10-9 C en un punto a 10 cm de distancia, obteniendo un valor de +1,080 V.
El documento presenta varios ejercicios resueltos utilizando el método de Newton-Raphson para estimar raíces de ecuaciones. Se muestran 6 ejercicios donde se aplica el método para encontrar raíces de ecuaciones cuadráticas, cúbicas y cuárticas, empezando con valores iniciales dados y calculando iteraciones sucesivas hasta aproximar las raíces. El último ejercicio aplica el método para mejorar una estimación inicial de la coordenada de un planeta.
El documento describe el crecimiento logístico de un virus de gripe en un campus de 1000 estudiantes. Resuelve una ecuación diferencial para modelar la propagación del virus cuando la tasa de infección depende del número de estudiantes infectados y no infectados. Calcula que después de 6 días habrá aproximadamente 276 estudiantes infectados.
El documento presenta un ejemplo de cómo aplicar el Teorema de Lagrange para maximizar el volumen de una caja rectangular dada una restricción en el área del cartón. Utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange, se resuelve el sistema de ecuaciones resultante para encontrar que la dimensión óptima es x=2, y=2, z=1, dando el volumen máximo de 8 unidades cúbicas.
1. El documento presenta un problema de física sobre la desviación de partículas cargadas en un campo magnético. Incluye 15 preguntas sobre la dirección y magnitud de la fuerza magnética experimentada por diversas partículas en movimiento a través de campos magnéticos.
2. Calcula valores como la velocidad, fuerza, energía y radio de trayectoria de partículas como protones, electrones y partículas alfa moviéndose en campos magnéticos uniformes.
3. Proporciona sol
1) Se calcula la posición y velocidad de un auto en movimiento según funciones dadas del tiempo. Cuando t=1s, la posición es (1,1)m y la velocidad es 0m/s.
2) Se calculan las componentes de la velocidad, aceleración y tiempos en que éstas son 0. La velocidad es 0 cuando t=1s y la aceleración es paralela al eje Y cuando t=0.5s.
3) Se analiza el movimiento de una bola de béisbol golpeada a 48pies/s en un
Problemas resueltos de física Alonso Finn volumen iEduardo Bas
Este documento proporciona resúmenes y soluciones de problemas de física de varios libros populares de manera gratuita. Incluye ejercicios resueltos de mecánica, física y electromagnetismo. El objetivo es ayudar a los estudiantes a reforzar sus conocimientos de física y mejorar sus habilidades para resolver problemas.
El documento presenta varios problemas relacionados con el movimiento armónico simple. Los problemas tratan sobre determinar distancias, velocidades, aceleraciones y constantes de fase para partículas que oscilan armónicamente. Se proporcionan ecuaciones para describir la posición, velocidad y aceleración de las partículas en función del tiempo.
Este documento describe los fundamentos de la electricidad estática. Explica que existen cargas eléctricas positivas y negativas que se atraen o se repelen según la ley de Coulomb. También describe cómo se puede inducir una carga eléctrica en un objeto mediante el roce y cómo los átomos neutrales pueden ionizarse para ganar o perder electrones y volverse cargados. Además, introduce conceptos clave como conductores, aislantes y la estructura del átomo con protones, neutrones y electrones.
Este documento presenta 6 problemas relacionados con conceptos de potencial eléctrico, campo eléctrico y ley de Gauss. El primer problema calcula la energía potencial eléctrica entre dos fragmentos de uranio. El segundo estima el potencial eléctrico y la carga acumulada en el cuerpo antes de tocar una manija metálica. El tercer problema determina la distancia a una carga puntual y la magnitud de dicha carga.
El documento trata sobre conceptos básicos de geometría analítica como puntos, rectas y sistemas de coordenadas cartesianas. Explica cómo calcular la distancia entre puntos utilizando el teorema de Pitágoras, y cómo determinar el punto medio, perímetro y área de triángulos a partir de las coordenadas de sus vértices. También incluye ejemplos resueltos de cálculos con triángulos en un plano cartesiano.
Este documento presenta varios problemas resueltos relacionados con vectores y sistemas de coordenadas. Incluye conversiones entre coordenadas cartesianas y polares, cálculos de distancias entre puntos y determinación de la posición y desplazamiento de objetos en un plano. Los problemas abarcan temas como triángulos rectángulos, funciones trigonométricas, el teorema de Pitágoras y vectores de desplazamiento.
Ejercicios solucionados de oscilaciones y ondas unidad ondas electromagnetica...Lizeth Maritza Pena Pena
Este documento contiene la resolución de 12 ejercicios relacionados con movimiento armónico simple y oscilaciones. Los ejercicios involucran conceptos como periodo, frecuencia, amplitud, velocidad, aceleración y fuerzas. Se calculan estas variables para diferentes sistemas oscilatorios como ruedas, partículas, bloques y péndulos. También se grafican funciones posición, velocidad y aceleración. Finalmente, se analizan oscilaciones en sistemas compuestos como bloques flotando y varillas con masas ad
El documento define las derivadas parciales de primer y segundo orden para funciones de dos y tres variables. Explica que las derivadas parciales de primer orden representan las pendientes de la función en las direcciones de cada variable cuando las demás se mantienen constantes. También establece que las derivadas parciales mixtas de segundo orden son iguales para funciones continuas. Finalmente, presenta algunos ejemplos para calcular derivadas parciales.
Este documento presenta conceptos fundamentales de elasticidad como la ley de Hooke, el módulo de Young, la flexión y el coeficiente de Poisson. Incluye 18 problemas de aplicación sobre estos temas, como determinar la constante elástica de un muelle, calcular la deformación de una barra sometida a fuerza o hallar la energía necesaria para estirar una barra de acero.
Este documento resume el capítulo 6 sobre torque y equilibrio de un cuerpo rígido. Explica que el torque de una fuerza depende de su magnitud, dirección y punto de aplicación respecto a un eje de rotación, y que para que un cuerpo rígido esté en equilibrio, la suma de todos los torques y fuerzas que actúan sobre él deben ser cero. También define conceptos como el centro de gravedad y de masa, y explica que para analizar el equilibrio de un cuerpo rígido, es necesario dibujar un
Este documento trata sobre colisiones y movimiento lineal. Explica las leyes de conservación de momento lineal y energía cinética para colisiones elásticas e inelásticas. Presenta ejemplos numéricos de colisiones entre dos objetos y el cálculo de velocidades antes y después de las colisiones. También describe el funcionamiento de un péndulo balístico para medir la velocidad de un proyectil.
Este documento presenta 17 ejercicios de probabilidad utilizando distribuciones binomiales. Los ejercicios involucran calcular la probabilidad de eventos como el número de mangos descompuestos en una caja, la probabilidad de que pacientes se recuperen de una operación y la probabilidad de que automóviles fallen en calles encharcadas. Para cada ejercicio, se proporciona la solución paso a paso utilizando la fórmula binomial y cálculos de probabilidad.
Probabilidad de obtener una escalera en un juegokaoko7
La probabilidad de obtener una escalera en un juego de poker con 5 cartas es de 0.019% o 1.96x10-4. Esto se debe a que hay 10.200 posibles manos, de las cuales solo 2 resultaron ser escaleras en 100 intentos.
Este documento presenta información sobre funciones trigonométricas. Cubre temas como funciones periódicas, funciones trigonométricas como seno y coseno, dominio y rango, y gráficas. Incluye ejemplos y ejercicios para que los estudiantes analicen funciones y gráficas para resolver problemas de ingeniería que involucren fenómenos periódicos. El objetivo es que los estudiantes comprendan la importancia de las funciones trigonométricas y cómo representarlas gráficamente.
1. Se calculan las fuerzas electrostática y gravitatoria entre dos partículas alfa separadas 10-11 m, resultando que la fuerza electrostática es mucho más intensa.
2. Se calcula la fuerza entre dos cargas A y B a 3 cm y 9 cm de separación utilizando la ley de Coulomb.
3. Se calcula el potencial eléctrico creado por una carga puntual q1=12 x 10-9 C en un punto a 10 cm de distancia, obteniendo un valor de +1,080 V.
El documento presenta varios ejercicios resueltos utilizando el método de Newton-Raphson para estimar raíces de ecuaciones. Se muestran 6 ejercicios donde se aplica el método para encontrar raíces de ecuaciones cuadráticas, cúbicas y cuárticas, empezando con valores iniciales dados y calculando iteraciones sucesivas hasta aproximar las raíces. El último ejercicio aplica el método para mejorar una estimación inicial de la coordenada de un planeta.
El documento describe el crecimiento logístico de un virus de gripe en un campus de 1000 estudiantes. Resuelve una ecuación diferencial para modelar la propagación del virus cuando la tasa de infección depende del número de estudiantes infectados y no infectados. Calcula que después de 6 días habrá aproximadamente 276 estudiantes infectados.
El documento presenta un ejemplo de cómo aplicar el Teorema de Lagrange para maximizar el volumen de una caja rectangular dada una restricción en el área del cartón. Utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange, se resuelve el sistema de ecuaciones resultante para encontrar que la dimensión óptima es x=2, y=2, z=1, dando el volumen máximo de 8 unidades cúbicas.
1. El documento presenta un problema de física sobre la desviación de partículas cargadas en un campo magnético. Incluye 15 preguntas sobre la dirección y magnitud de la fuerza magnética experimentada por diversas partículas en movimiento a través de campos magnéticos.
2. Calcula valores como la velocidad, fuerza, energía y radio de trayectoria de partículas como protones, electrones y partículas alfa moviéndose en campos magnéticos uniformes.
3. Proporciona sol
1) Se calcula la posición y velocidad de un auto en movimiento según funciones dadas del tiempo. Cuando t=1s, la posición es (1,1)m y la velocidad es 0m/s.
2) Se calculan las componentes de la velocidad, aceleración y tiempos en que éstas son 0. La velocidad es 0 cuando t=1s y la aceleración es paralela al eje Y cuando t=0.5s.
3) Se analiza el movimiento de una bola de béisbol golpeada a 48pies/s en un
Problemas resueltos de física Alonso Finn volumen iEduardo Bas
Este documento proporciona resúmenes y soluciones de problemas de física de varios libros populares de manera gratuita. Incluye ejercicios resueltos de mecánica, física y electromagnetismo. El objetivo es ayudar a los estudiantes a reforzar sus conocimientos de física y mejorar sus habilidades para resolver problemas.
El documento presenta varios problemas relacionados con el movimiento armónico simple. Los problemas tratan sobre determinar distancias, velocidades, aceleraciones y constantes de fase para partículas que oscilan armónicamente. Se proporcionan ecuaciones para describir la posición, velocidad y aceleración de las partículas en función del tiempo.
Este documento describe los fundamentos de la electricidad estática. Explica que existen cargas eléctricas positivas y negativas que se atraen o se repelen según la ley de Coulomb. También describe cómo se puede inducir una carga eléctrica en un objeto mediante el roce y cómo los átomos neutrales pueden ionizarse para ganar o perder electrones y volverse cargados. Además, introduce conceptos clave como conductores, aislantes y la estructura del átomo con protones, neutrones y electrones.
Este documento presenta 6 problemas relacionados con conceptos de potencial eléctrico, campo eléctrico y ley de Gauss. El primer problema calcula la energía potencial eléctrica entre dos fragmentos de uranio. El segundo estima el potencial eléctrico y la carga acumulada en el cuerpo antes de tocar una manija metálica. El tercer problema determina la distancia a una carga puntual y la magnitud de dicha carga.
El documento trata sobre conceptos básicos de geometría analítica como puntos, rectas y sistemas de coordenadas cartesianas. Explica cómo calcular la distancia entre puntos utilizando el teorema de Pitágoras, y cómo determinar el punto medio, perímetro y área de triángulos a partir de las coordenadas de sus vértices. También incluye ejemplos resueltos de cálculos con triángulos en un plano cartesiano.
Este documento describe varias curvas planas importantes, incluyendo la bruja de Agnesi, el caracol de Pascal, la cardioide, las cónicas (elipse, parábola e hipérbola), la cisoide, la cicloide, la catenaria y la circunferencia. Proporciona las ecuaciones paramétricas y cartesianas de cada curva así como algunas de sus propiedades geométricas fundamentales.
Puntos en el plano cartesiano y distancia entre dos puntosMaría Pizarro
Este documento explica los conceptos básicos de las coordenadas cartesianas en un plano, incluyendo cómo asignar coordenadas (x, y) a puntos, dividir el plano en cuadrantes, y calcular la distancia entre puntos usando el teorema de Pitágoras.
El documento describe cómo calcular el perímetro de un polígono dado los vértices (5,2), (-3,4), (-6,-3), (3,-2). Primero calcula la distancia entre cada par de vértices usando la fórmula de distancia. Luego suma todas las distancias para obtener el perímetro total, el cual es 29.3895 cm.
El sistema cartesiano es un sistema de referencia basado en ejes perpendiculares que se cortan en un punto de origen. Permite representar puntos y gráficas mediante coordenadas. Para localizar un punto se necesitan sus coordenadas cartesianas, que son números que indican su posición respecto a los ejes.
áNgulos de 30°, 60° y 90° en el plano cartesianoamtlucca
El documento describe cómo ubicar los ángulos de 30°, 60° y 45° en el plano cartesiano. Para cada ángulo, se recuerda el triángulo rectángulo correspondiente, se ubica de modo que el vértice coincida con el origen, y se indica la posición del punto en el lado opuesto al ángulo considerando x = 1/2, junto con sus coordenadas. El objetivo es marcar cada ángulo en su posición estándar.
El documento describe el sistema de coordenadas cartesianas, que utiliza dos ejes perpendiculares para localizar puntos en un plano. René Descartes ideó este sistema en el que cada punto se designa mediante un par ordenado de números. Las coordenadas son abscisas (valores en el eje x) y ordenadas (valores en el eje y). El documento también explica conceptos como cuadrantes, distancia entre puntos y división de segmentos.
Este documento explica cómo resolver inecuaciones lineales con dos variables. Primero, se grafica la recta dada por la ecuación lineal correspondiente en el plano. La recta divide el plano en dos regiones, y la región que cumple la desigualdad es la solución de la inecuación. Para determinar cuál región es la solución, se sustituye un punto en la inecuación inicial y se comprueba si cumple la desigualdad.
1.2 division de un segmento de recta en una razon dadaxiom20mat
El documento explica cómo dividir un segmento de recta en una razón dada r. Se utilizan triángulos semejantes para derivar fórmulas para determinar las coordenadas del punto P que divide el segmento entre los puntos A y B. Las fórmulas son xr= (rx1+x2)/(1+r) y yr= (ry1+y2)/(1+r). También se presentan ejemplos resueltos para ilustrar cómo aplicar las fórmulas.
Este documento explica los conceptos básicos del plano cartesiano, incluyendo cómo localizar puntos usando pares ordenados, trazar gráficas poligonales de conjuntos de puntos, y calcular la distancia y punto medio entre dos puntos. Proporciona fórmulas y ejemplos para ilustrar cómo aplicar estos conceptos para resolver problemas relacionados con el plano cartesiano.
La pendiente de una recta representa su grado de inclinación y se denota con la letra m. Una pendiente positiva indica una recta ascendente, una negativa una descendente y una de valor cero una horizontal. El cálculo de la pendiente a partir de dos puntos o de la ecuación general de la recta permite determinar las características geométricas de una recta.
El documento describe las actividades de un estudiante para aprender sobre el plano cartesiano. El estudiante completa dibujos de figuras geométricas simples con coordenadas dadas y escribe una descripción básica del plano cartesiano. Luego, practica identificando coordenadas en el plano y uniéndolas para formar figuras. Finalmente, colorea una figura compleja de un auto utilizando coordenadas dadas.
Este documento lista 11 estudiantes que rindieron exámenes de admisión al Liceo Matovelle el 24 de septiembre de 2013, incluyendo su nombre, grado, fecha y hora de la entrevista con el psicólogo o terapeuta ocupacional. Además, indica que los estudiantes que no aparecen en la lista no aprobaron el examen de admisión o no han presentado la documentación completa requerida.
Este documento presenta un taller sobre el período hispánico en Panamá (1501-1821). Contiene 12 preguntas con información sobre exploradores como Rodrigo de Bastidas, Cristóbal Colón y Vasco Núñez de Balboa, así como sobre gobernantes como Pedro Arias de Ávila. También describe instituciones coloniales como la encomienda, el repartimiento y el requerimiento, y cómo afectaron a los pueblos indígenas.
Los recursos naturales y su clasificación. samo_batman
El documento clasifica los recursos naturales en tres tipos: recursos continuos o inagotables como fuentes de energía que no se agotan, recursos renovables que pueden regenerarse a través de procesos naturales siempre que no se sobrepase su capacidad de regeneración, y recursos no renovables o irrenovables que no pueden regenerarse una vez consumidos en una escala de tiempo humana.
Este documento presenta 30 preguntas sobre conceptos básicos de física como magnitudes, unidades de medida, vectores y conversiones. Las preguntas incluyen definiciones, ejercicios de conversión entre unidades y cálculos vectoriales. El estudiante debe responder cada pregunta y justificar sus respuestas con procedimientos.
René Descartes fue un filósofo, matemático y físico francés del siglo XVII considerado el padre de la filosofía moderna. Introdujo el sistema de coordenadas cartesianas, que utiliza dos ejes perpendiculares que se cruzan en un punto de origen para ubicar puntos en un plano. Las coordenadas cartesianas son valores numéricos que indican la distancia de un punto a cada eje, llamadas abscisa y ordenada. Este sistema se usa ampliamente en aplicaciones como mapas, topografía y navegación.
Este documento presenta un taller de nivelación física para el primer y segundo período de grado noveno. Contiene 30 preguntas sobre conceptos básicos de física como magnitudes físicas, sistemas de unidades, vectores y operaciones vectoriales. También incluye ejercicios prácticos para aplicar estos conceptos resolviendo problemas que involucran conversiones de unidades, expresiones en notación científica, sumas y restas vectoriales representadas gráficamente y mediante el método del paralelogramo.
Este documento describe conceptos básicos de geometría analítica como distancias entre puntos, inclinación y pendiente de rectas, ecuaciones de rectas, y relaciones entre rectas paralelas y perpendiculares. Explica cómo calcular la distancia entre dos puntos usando el teorema de Pitágoras, y cómo encontrar las coordenadas de un punto que divide un segmento en una razón dada. También define la inclinación, pendiente y ecuaciones de rectas, y establece las condiciones para que rectas sean paralelas o per
Una ecuación lineal de la forma Ax + By = C, se puede escribir como y = mx + b, donde m es la pendiente y b es la ordenada al origen. La gráfica de la ecuación representa una recta definida por sus puntos.
Este documento contiene las soluciones a 10 ejercicios de factorización de polinomios. En primer lugar, se muestran ejemplos de sacar factor común, expresar polinomios como cuadrados perfectos y como suma o diferencia de binomios. Luego, se explican conceptos como divisibilidad, raíces y uso de la regla de Ruffini. Finalmente, se resuelven ejercicios prácticos aplicando estas técnicas.
El documento describe las parábolas, figuras geométricas definidas como el conjunto de puntos cuya distancia a un punto fijo (foco) es igual a la distancia a una línea fija (directriz). Explica que la ecuación canónica de una parábola con vértice en el origen y foco en (0,p) es x2=4py. También muestra ejemplos de cómo encontrar el vértice, foco, eje de simetría y trazar gráficas de parábolas dadas sus ecuaciones.
Práctica saint michael matemática de octavoMCMurray
Este documento presenta 5 ejercicios de álgebra resueltos. Los ejercicios involucran sustituir valores numéricos en expresiones algebraicas, identificar monomios, calcular valores de funciones polinómicas en puntos específicos, y asociar puntos en un plano cartesiano con funciones polinómicas dadas.
Este documento presenta 12 ejercicios de álgebra lineal que involucran ecuaciones paramétricas y simétricas de rectas, ecuaciones de planos, determinar si planos son paralelos u ortogonales, e interceptar planos.
El primer documento presenta la solución para encontrar la ecuación del plano que pasa por el punto (-1,3,-2) con normal n=(-2,1,-1). La ecuación resultante es 2x - y - z + 3 = 0. El segundo documento encuentra la ecuación del plano que pasa por los puntos P(-4,-1,-1), Q(-2,0,1) y R(-1,-2,-3), dando como resultado 12y - 6z + 6 = 0.
Ejercicios resueltos de fracciones algebraicas, logaritmos y polinomiosBelén Vidal Moreno
El documento trata sobre fracciones algebraicas, logaritmos y polinomios. Explica cómo calcular logaritmos usando su definición, y cómo descomponer polinomios en factores para encontrar sus raíces. También muestra ejemplos de cómo resolver problemas relacionados con polinomios, como encontrar el valor de una constante para que un polinomio tenga una raíz dada o sea divisible por otro polinomio.
Este documento proporciona una introducción al sistema de coordenadas cartesianas o plano cartesiano. Explica brevemente la historia del sistema, atribuido a René Descartes en el siglo XVII. Luego define los componentes clave como ejes, abscisas, ordenadas y cuadrantes. Finalmente, presenta algunos ejemplos resueltos de pares ordenados y ecuaciones para demostrar cómo funciona el sistema.
La graficación de funciones matemáticas es una de las actividades didácticas más significativas para desarrollar el pensamiento matemático, especialmente el pensamiento espacial. La representación gráfica es vital para generar modelos mentales basados en la construcción lógica relacionada con lo gráfico-geométrico, lo cual es relevante y aplicable al desarrollo del pensamiento y el conocimiento tecnológico.
El documento presenta ejemplos de rectas en el plano y en el espacio. Explica cómo determinar si puntos están alineados o no, y cómo hallar ecuaciones paramétricas e implícitas de rectas. También muestra cómo representar puntos en un sistema de coordenadas y calcular puntos medios y baricentros de triángulos.
El documento presenta ejemplos de rectas en el plano y en el espacio. Explica cómo determinar si puntos están alineados o no, y cómo hallar ecuaciones paramétricas e implícitas de rectas. También muestra cómo representar puntos en un sistema de coordenadas y calcular puntos medios y baricentros de triángulos.
1) El documento describe el sistema de coordenadas cartesianas y cómo representar puntos en un plano utilizando este sistema.
2) También explica cómo calcular la distancia entre dos puntos usando el Teorema de Pitágoras.
3) Finalmente, muestra cómo encontrar el punto medio de un segmento de recta entre dos puntos calculando el promedio de sus coordenadas.
Este documento presenta varios problemas relacionados con la geometría analítica en el plano. Primero, se pide calcular el punto medio de varios segmentos y se deduce una fórmula general para encontrar las coordenadas del punto medio. Luego, se analizan ecuaciones de rectas y cómo obtener sus ecuaciones cartesianas a partir de las paramétricas. Finalmente, se calculan distancias entre puntos y rectas y se resuelven otros problemas afines y métricos.
Este documento presenta las soluciones a 8 objetivos de una prueba de matemáticas. Cada solución incluye los pasos de cálculo para resolver problemas relacionados con series, funciones complejas, integrales de funciones racionales y transformadas de Laplace.
El documento presenta ejemplos de cómo calcular la distancia entre puntos en un plano cartesiano. En el primer ejemplo, calcula la distancia entre dos puntos que comparten la misma ordenada. En el segundo ejemplo, calcula la distancia entre dos puntos que comparten la misma abscisa. En el tercer ejemplo, encuentra las posibles ordenadas del segundo punto de un segmento de longitud dada, dado que la abscisa del segundo punto es conocida.
El documento describe los pasos del algoritmo Dijkstra para encontrar el camino más corto entre un nodo origen y el resto de nodos en una red. Los pasos incluyen inicializar el conjunto P con el nodo origen y la tabla de distancias, encontrar el nodo con distancia mínima que no está en P y agregarlo a P, y actualizar la tabla de distancias.
Este documento presenta conceptos básicos sobre rectas y planos en el espacio tridimensional. Explica cómo representar puntos, hallar ecuaciones de rectas, calcular puntos medios y baricentros de triángulos en 3D. Muestra ejemplos numéricos para ilustrar estos conceptos geométricos fundamentales del espacio.
Este documento presenta conceptos básicos sobre rectas y planos en el espacio tridimensional. Explica cómo representar puntos, hallar ecuaciones de rectas, calcular puntos medios y baricentros de triángulos en 3D. Muestra ejemplos numéricos para ilustrar estos conceptos geométricos fundamentales del espacio.
Este documento contiene 9 secciones con ejercicios de álgebra que incluyen: resolver ecuaciones y expresiones algebraicas, sumar y restar polinomios, multiplicar binomios y trinomios, factorizar expresiones y resolver problemas geométricos y de álgebra. Los estudiantes deben demostrar su comprensión de conceptos algebraicos fundamentales como variables, ecuaciones, polinomios, factorización y productos notables.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
Ofrecemos herramientas y metodologías para que las personas con ideas de negocio desarrollen un prototipo que pueda ser probado en un entorno real.
Cada miembro puede crear su perfil de acuerdo a sus intereses, habilidades y así montar sus proyectos de ideas de negocio, para recibir mentorías .
1. -PUNTOS EN EL PLANO CARTESIANO
-PUNTO MEDIO ENTRE DOS PUNTOS -DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
-PERÍMETROS Y ÁREAS EJERCICIOS PROPUESTOS
-LA FUNCIÓN LINEAL Y SU GRÁFICA
POSICIÓN Y DIRECCIÓN DE UNA RECTA
PARALELISMO, COINCIDENCIA Y
PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS
-ECUACION PRINCIPAL Y ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
CÁLCULO DE LA PENDIENTE DE UNA RECTA, A PARTIR DE DOS PUNTOS
ECUACIÓN DE LA RECTA, A PARTIR DE DOS PUNTOS
EJERCICIOS PROPUESTOS
DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA RESUMEN
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MÉTODOS DE RESOLUCIÓN
Esc
Esc Sale
Sale Mouse ooAv. Pág. Avanza
Mouse Av. Pág. Avanza
3. y IDENTIFICA LOS PUNTOS
4 QUE SE INDICAN Y LUEGO
(-3, 3½)
(-4½, 3) COMPRUEBA.
3
(1½, 2)
2
(5, 1)
1
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 x
-1
-2 (2, -1½)
(-4, -2)
-3
(-1½, -3) (3½, -3½)
-4
4. OBSERVA COMO SE DETERMINA EL PUNTO MEDIO
ENTRE DOS PUNTOS P1(x1, y1) y P2 (x2, y2)
y
y2 P2
y1 +y2 PM
2
P1
y1
x1 x2
x
x1 +x2
2
EL PUNTO MEDIO PM ENTRE P1
y P2 TIENE COORDENADAS:
PM( x1 +x2 , y1 +y2 )
2 2
5. OBSERVA COMO SE DETERMINA EL PUNTO MEDIO
ENTRE LOS PUNTOS P1(2, 3) y P2 (6, 7)
SEGÚN FÓRMULA
ANTERIOR:
PM( x1 +x2 , y1 +y2 )
2 2
ESTO ES:
PM( 2 +6 , 3 +7 )
y P2 2 2
7
PM
5
LUEGO:
P1
3 PM( 4 , 5 )
2 4 6
x
6. APLICANDO EL y
8
TEOREMA DE
PITÁGORAS, ES
POSIBLE
7-4 = 3 6
= 5 3
DETERMINAR LA
DISTANCIA
d
ENTRE DOS 4
PUNTOS DEL
PLANO. 2 4
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10
x
Según Pitágoras: -2
6-2 =4
d = 4 +3
2 2 2
-4
d = 16 + 9 ¡SIRVE EL TEOREMA
-6
d = 25 = 5 DE PITÁGORAS! ¡AH!
7. SEAN LOS PUNTOS P1 y P2,, DE
LA DISTANCIA
ENTRE DOS y COORDENADAS (x1,y1) y (x2,y2)
PUNTOS SE
y2
P2
OBTIENE COMO
CONCLUSIÓN
DEL PROCESO y2 -y1 d y2 -y1
SIGUIENTE: P1
y1
Aquí, Según Pitágoras: x2 -x1
x1 x2
x
d =
2 (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 x2 -x1
ESTO ES:
ESTA ES LA FÓRMULA
GENERAL PARA DETERMINAR
d= (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 LA DISTANCIA ENTRE DOS
PUNTOS
8. CÁLCULO DE LA DISTANCIA ENTRE
LOS PUNTOS P1(2, 3) y P2 (14, 8)
y
P2 (14, 8)
8
6 d= 13
5
4 P1(2,3)
2
12
x
2 4 6 8 10 12 14
Según Pitágoras: d2 = (14 - 2)2 + (8 - 3)2 d=13
9. AL UNIR LOS VÉRTICES,
SEAN LOS PUNTOS : MEDIANTE SEGMENTOS DE
A(-2, -4) B( 3, 8) C(6, 4) RECTA, SE DETERMINA EL
TRIÁNGULO ABC
EN UN PLANO, ESTO ES:
y ENTONCES, EL PERÍMETRO
DEL TRIÁNGULO ABC SE
B OBTIENE SUMANDO LA
MEDIDA DE SUS LADOS AB,
BC Y AC.
C
PARA EL CÁLCULO DE ESTAS
MEDIDAS, SE APLICA LA
x FÓRMULA DE DISTANCIA:
A d= (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
Continúa...
10. APLICANDO LA
FÓRMULA: d= (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
ENTRE LOS PUNTOS: A(-2, -4) B( 3, 8 )
d AB = (3 - -2)2 + (8 - -4)2 = 5 + 12 2 2
= 25 + 144 = 169 = 13
LUEGO, CONSIDERANDO LOS PUNTOS: B( 3, 8 ) C(6, 4)
d BC = (6 - 3)2 + (4 - 8)2 = 3 + (−4)
2 2
= 9 +16 = 25 = 5 Continúa...
11. Y CONSIDERANDO LOS PUNTOS: A(-2, -4) C(6, 4)
d AC = (6 - -2)2 + (4 - -4)2 = 8 +8 2 2
= 64 + 64 = 128 = 11,31
CON LO CUAL SE CONCLUYE QUE EL PERÍMETRO DEL
TRIÁNGULO QUE DETERMINAN LOS PUNTOS A,B,C, ES:
P= 13 + 5 + 11,31
P = 29,31
Continúa...
12. PARA RESOLVER EL PROBLEMA
DEL CÁLCULO DEL ÁREA DEL TRIÁNGULO ABC ,
EXISTE UNA FÓRMULA QUE PERMITE DETERMINAR
EL ÁREA DE CUALQUIER TRIÁNGULO
CUANDO LAS MEDIDAS DE SUS LADOS SE CONOCEN
ESTA ES, A = p ⋅ ( p − a ) ⋅ ( p − b) ⋅ ( p − c )
p es la mitad del perímetro del triángulo
AQUÍ: a, b, c son las medidas de los respectivos
lados del triángulo ABC.
Continúa...
13. ASÍ, ENTONCES, CONSIDERANDO QUE LAS MEDIDAS
DE LOS LADOS DEL TRIÁNGULO ABC, SON:13, 5 y
11.31 Y QUE SU PERÍMETRO ES 29.31
CON LA FÓRMULA DE HERÓN:
AREA = p ⋅ ( p − a ) ⋅ ( p − b) ⋅ ( p − c )
SE TIENE: a = 11,31 b = 5 c = 13 p = 14,66
ESTO ES:
AREA = 14,66 ⋅ 3,35 ⋅ 9,66 ⋅1,66
= 780.47 = 27,93
14. EN UN PLANO DE COORDENADAS, SE TIENEN
LOS PUNTOS A(-3, -2) , B (-2, 5) y C (7, -4)
y AL UNIR LOS VÉRTICES,
MEDIANTE SEGMENTOS DE
6 RECTA, SE DETERMINA EL
B TRIÁNGULO ABC.
4
¡DETERMINA SU PERÍMETRO
2 Y LUEGO COMPRUEBA!
2 4 6 8
-8 -6 -4
A
-2
-2
x
-4 C
¡DETERMINA SU ÁREA
-6
Y LUEGO COMPRUEBA!
Continúa...
15. APLICANDO LA
FÓRMULA: d= (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
ENTRE LOS PUNTOS: A(-3,-2) B( -2, 5 )
d AB = (-2 - -3)2 + (5 - -2)2 = 1 +7 2 2
= 1 + 49 = 50 = 7,07
LUEGO, CONSIDERANDO LOS PUNTOS: B( -2, 5 ) C(7, -4)
d BC = (7 - 2) + (-4 - 5)
- 2 2
= 9 + (−9)
2 2
= 81 +81= 162 = 12,72
Continúa...
16. ADEMÁS, CON LOS PUNTOS: A(-3,-2) C(7, -4)
d AC = (7 - 3) + (-4 - 2) = 10 + ( −2)
- 2 - 2 2 2
= 100 + 4 = 104 = 10,19
ASÍ, ENTONCES, EL PERÍMETRO DEL TRIÁNGULO ABC ES:
P = 7,07 + 12,72 + 10,19 = 29,98
Y CON LA FÓRMULA DE HERÓN:
AREA = p ⋅( p −a ) ⋅( p − ) ⋅( p −c )
b
AREA = 14,99 ⋅ 7,92 ⋅ 2,27 ⋅ 4,8
EL ÁREA DEL TRIÁNG. ES: = 264,7 = 16,27
17. UNA MANERA INGENIOSA PARA CALCULAR EL ÁREA DE UN
TRIÁNGULO, DIBUJADO EN UN PLANO, ES INSCRIBIRLO EN UN
RECTÁNGULO.
SEA EL TRIÁNGULO: P(-6, -2) , Q (-3, 4) y R (5, 1)
y AL INSCRIBIRLO EN UN RECTÁNGULO,
SE TIENE:
6
AHORA, EL ÁREA DEL
TRIÁNGULO PQR, SE OBTIENE
4
CALCULANDO EL ÁREA DEL
T2 T1
RECTÁNGULO Y LUEGO
2
RESTÁNDOLE LAS ÁREAS DE
LOS TRES TRIÁNGULOS
2 4 6
xRECTÁNGULOS T1, T2 Y T3
-8 -6 -4 -2
T3 QUE SE DETERMINARON
-2
POR LO TANTO, EL
ASÍ, EL ÁREA: ÁREA DEL
TRIÁNGULO PQR ES:
DEL RECTÁNGULO ES: 11 • 6 = 66
DE LOS TRIÁNGULOS 66 - 37.5 = 28.5
T1 + T2 + T3 ES: 12 + 9 + 16.5 = 37.5
18. ANÁLOGAMENTE AL CASO ANTERIOR, SE PUEDE CALCULAR
EL ÁREA DE UN CUADRILÁTERO, CON AYUDA DE UN
RECTÁNGULO.
¡INTÉNTALO CON EL CUADRILÁTERO:
A(-2, -3) , B(6, 0) , C (3, 4) y D (-5, 3)
¡LUEGO !
COMPRUEBA!
Área del rectángulo = 77
y
Área de T1 = 12
6
Área de T2 = 6
4 C
T3
D T2 Área de T3 = 2.5
2
Área de T4 = 9
B
2 4 6
x ASÍ, EL ÁREA DEL
-8 -6 -4 -2 CUADRILÁTERO ABCD ES:
T4 A -2 T1
77 - 29.5 = 47.5
19. DETERMINAR LA
DISTANCIA Y EL PUNTO
MEDIO, ENTRE LOS
PUNTOS SIGUIENTES: DISTANCIA PUNTO MEDIO
1.- A(-4,-5) y B (2,3) 10 (1, -1)
2.- C(-3,6) y D (9,1) 13 (3, 3½)
3.- E(1,-7) y F (10,5) 16,27 (5½, -1)
4.- G(-6,-2) y H (6,14) 20 (0, 6)
5.- I(0,-4) y J (3,0) 5 (1½, -2)
6.- K(-1,1) y L (7,7) 10 (3, 4)
20. CALCULAR EL PERÍMETRO Y
EL ÁREA, DEL POLÍGONO QUE
RESULTA AL UNIR LOS
PUNTOS SIGUIENTES: PERÍMETRO ÁREA
7.- A(-4,-5), B (2,3) y C (1,-7) 25.42 25.96
8.- D(-3, 6), E (9,1) y F (6, 0) 26.97 17.47
9.- G(-6,-2), H (6,14)
C(1,-7) y D(-3,6)
49.18 127.5
10.- A(-4,-5), H (6,14)
F(6, 0) y D(-3,6) 48.26 46
21. EL PLANO CARTESIANO PERMITE
DIBUJAR DIVERSOS TIPOS DE
LÍNEAS, RECTAS Y CURVAS .
y LA IMPORTANCIA DE LOS
GRÁFICOS RADICA EN QUE
6 PERMITEN DAR HA CONOCER,
MEDIANTE UN IMPACTO
4 VISUAL, DIVERSAS
SITUACIONES, COMO SER:
2 ESTADO DE UNA EMPRESA,
COMPRA VENTA DE
PRODUCTOS, MOVIMIENTO DE
2 4 6 8
-8 -6 -4 -2
- x UN MÓVIL, ÍNDICES DE
PRODUCIÓN, NACIMIENTO,
2 MORTALIDAD, INTERESES,
- PRECIPITACIONES Y OTROS
4 CASOS; QUE PERMITEN A
- SIMPLE VISTA OBTENER
6 INFORMACIÓN VÁLIDA, PARA
LA TOMA DE DESICIONES.
22. EN EL GRÁFICO DE LA
FIGURA, SE INDICAN LOS
y MILES DE PARES DE
400 CALZADO VENDIDOS POR
UNA FÁBRICA, ENTRE LOS
M
MESES DE ENERO Y
I 300
SEPTIEMBRE DEL AÑO 2005.
L
E
200 LAS LÍNEAS PERMITEN
S
UNA MEJOR APRECIACIÓN
DE LA SITUACIÓN.
100
x
E F M A M J J A S
MESES
¿EN QUÉ MES LAS VENTAS ESTUVIERON MÁS BAJAS?
¿EN QUÉ MES LAS VENTAS ESTUVIERON MEJOR?
¿QUÉ PRODUCCIÓN DE CALZADO DEBE ASEGURAR LA EMPRESA
PARA EL PRÓXIMO PERÍODO?
23. LOS DIFERENTES TIPOS DE LÍNEA, QUE SE DIBUJAN EN UN
PLANO CARTESIANO, SE PUEDEN ESCRIBIR ALGEBRAICAMENTE,
DE ACUERDO A SU FORMA:
* LAS LÍNEAS RECTAS SE ESCRIBEN DE LA FORMA:
f ( x) = ax + b DONDE, a, b ∈ IR
Y ADEMÁS, xES UNA VARIABLE INDEPENDIENTE
A LA CUAL SE LE PUEDEN DAR DIFERENTES
VALORES, PARA OBTENER RESPECTIVOS VALORES
DE f (x )
EN UN PLANO CARTESIANO, LOS VALORES QUE
SE LE VAYAN ASIGNANDO A LA VARIABLE x
SE UBICAN EN EL EJE DE LAS X, A PARTIR DE
DONDE SE UBICA, EN EL EJE Y, SU VALOR f (x )
CON LO CUAL: y = f (x )
24. A TODAS LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS y = f (x)
SE LES DENOMINA FUNCIONES.
EN PARTICULAR, A LAS FUNCIONES f ( x ) =ax +b
QUE REPRESENTAN LÍNEAS RECTAS, SE LES DENOMINA
FUNCIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO.
ASÍ, SU GRÁFICA ES:
y
Sea la función lineal: f ( x) = 2 x − 5
5
En una tabla de valores;
esto es:
f ( x) = 2 x − 5
x f ( x) = 2 x − 3 ( x, f ( x))
1 2•1 - 3= -1 (1, -1) 1 4 x
-1
4 2•4 - 3= 5 (4, 5)
25. ¡OBSERVA! GRAFICAMENTE;
y ESTO ES:
SI: f ( x) = 3x − 4 11
ENTONCES:
x f ( x) = 3x − 4 ( x, f ( x))
0 3•0 - 4= -4 (0, -4)
5 3•5 - 4= 11 (5, 11) 5 f ( x) = 3x − 4
SI: f ( x) = −2 x + 5
ENTONCES:
x
3 5
-1
x f ( x) = − 2 x + 5 ( x, f ( x))
0 -2•0 + 5= 5 (0, 5) -4 f ( x) = − 2 x + 5
3 -2•3 + 5= -1 (3, -1)
26. EN UN PLANO CARTESIANO, GRAFICA LAS
RECTAS CORRESPONDIENTES A CADA UNA DE
LAS FUNCIONES LINEALES SIGUIENTES:
y
f ( x) = x − 3
6
f ( x) = 2 x + 1 4
f ( x) = − x + 3 2
2 4 6 8
f ( x) = −2 x + 1
-8 -6 -4 -2
-2
x
-4
¡LUEGO
-6
COMPRUEBA! ¿QUÉ PUEDES CONCLUIR?
27. EN EL PLANO, LAS LÍNEAS SE
DIBUJAN DE IZQUIERDA A
DERECHA Y PRESENTAN UNA
y INCLINACIÓN ASCENDENTE O
DESCENDENTE, DENOMINADA
6 COEFICIENTE DE DIRECCIÓN O
PENDIENTE DE LA RECTA,
4 CUYO VALOR NUMÉRICO SE
REPRESENTA CON LA LETRA m.
2
AL PUNTO DONDE LAS
-6 -4 -2 2 4 6 x RECTAS CORTAN AL EJE
-2 DE LAS Y SE LE
DENOMINA COEFICIENTE
-4 DE POSICIÓN Y SU VALOR
NUMÉRICO SE
REPRESENTA CON LA
-6
LETRA n.
28. EN LAS FUNCIONES LINEALES f ( x) = ax + b
EL VALOR DE LA PENDIENTE COINCIDE CON EL
VALOR DEL COEFICIENTE DE a x
Y EL VALOR
DEL COEFICINTE DE POSICIÓN COÍNCIDE CON EL
TÉRMINO b
PENDIENTE COEF. DE POSICIÓN
FUNCIÓN LINEAL (m) (n)
f ( x) = x − 3 1 -3
f ( x) = 2 x + 1 2 1
f ( x) = − x + 3 -1 3
f ( x) = −2 x + 1 -2 1
29. COMPLETA LA TABLA CON EL VALOR DE LA
PENDIENTE Y EL COEFICIENTE DE POSICIÓN DE
CADA UNA DE LAS FUNCIONES SIGUIENTES:
PENDIENTE COEF. DE POSICIÓN
FUNCIÓN LINEAL (m) (n)
2 2
f ( x ) = x +5
3 5
3
1 -1
f ( x ) = − x +3
2 3
2
3 3
f ( x ) = x −7
4 -7
4
5 -5
f ( x ) = − x −1 7 -1
7
2 2
f ( x ) = x −2 -2
3 3
30. EN UN PLANO CARTESIANO, GRAFICA LAS RECTAS
CORRESPONDIENTES A CADA UNA DE LAS FUNCIONES
LINEALES SIGUIENTES:
f ( x ) = 3x − 7 y
f ( x ) = 3x − 1 6
f ( x ) = 3x + 5 4
2
2 4 6 8
-8 -6 -4 -2
-2
x
¿QUÉ PUEDES DECIR
DE SUS PENDIENTES? -4
¿POR QUÉ LAS RECTAS ¿DÓNDE CORTAN, LAS
-6
SON PARALELAS? RECTAS, AL EJE Y?
31. EN GENERAL, SIEMPRE QUE DOS O MÁS RECTAS
PRESENTEN LA MISMA PENDIENTE Y DISTINTO
COEFICIENTE DE POSICIÓN, PODEMOS ASEGURAR
QUE ESTAS SON PARALELAS; ES DECIR, NUNCA SE
INTERSECTAN.
f ( x) = 2 x + 9 m=2 n= 9
EJEMPLO:
f ( x) = 2 x − 5 m=2 n = -5
CUANDO DOS RECTAS COÍNCIDEN EN EL VALOR DE
AMBOS COEFICIENTES (PENDIENTE Y POSICIÓN), SE
DICE QUE ÉSTAS SON COINCIDENTES EN TODA SU
EXTENSIÓN.
f ( x ) = 3x + 4 m=3 n= 4
EJEMPLO:
f ( x ) = 3x + 4 m=3 n= 4
32. AHORA, GRAFICA LAS RECTAS CORRESPONDIENTES A CADA
UNA DE LAS FUNCIONES LINEALES SIGUIENTES:
2 y
f ( x) = x + 1
3
6
3
f ( x) = − x + 4 4
2
2
2 4 6 8
¿QUÉ PUEDES DECIR
-8 -6 -4 -2
-2
x
DE SUS PENDIENTES?
-4
¿QUÉ POSICIÓN PRESENTAN LAS ¿FORMAN UN
-6
RECTAS, UNA RESPECTO DE LA OTRA? ÁNGULO DE 90°?
33. EN GENERAL, SIEMPRE QUE EL VALOR DE LA
PENDIENTE DE UNA RECTA CORRESPONDA CON EL
VALOR DEL OPUESTO AL INVERSO MULTIPLICATIVO
DE OTRA RECTA, PODEMOS ASEGURAR QUE ESTAS
SON PERPENDICULARES; ES DECIR, SE INTERSECTAN
FORMANDO UN ÁNGULO DE 90°.
3 3
f ( x) = x − 2 m= 4
4
EJEMPLO:
4
f ( x) = − x + 7 m=- 4
3 3
NOTA QUE AL MULTIPLICAR AMBAS 3 -4
PENDIENTES, EL PRODUCTO ES -1. 4
•
3 = -1
34. EN ADELANTE, LAS FUNCIONES f ( x) = mx + n
SE ESCRIBEN COMO y = mx + n CUYA IGUALDAD
RECIBE EL NOMBRE DE ECUACIÓN PRINCIPAL DE LA
RECTA.
PENDIENTE ECUACIÓN
COEF. DE POSICIÓN
(m) PRINCIPAL
(n)
2 2
3 4 y = x +4
3
-3 3
-1 y = − x −1
4 4
-5 -2 5 2
y =− x −
7 3 7 3
2 5 2
y = x +5
3 3
1 1
3 2
y =3 x +
2
35. CUANDO UNA ECUACIÓN PRINCIPAL PRESENTA
COEFICIENTES FRACCIONARIOS, ES POSIBLE
EVITARLOS APLICANDO PROPIEDADES DE LAS
IGUALDADES.
2
EJEMPLO: SI: y = x +4 ·3
3
3 y = 2 x + 12 + (−2 x)
3 y + (−2 x) = 2 x + 12 + (−2 x)
3 y − 2 x = 12 ·(-1)
ESTO ES: 2 x − 3 y = −12
A ESTA EXPRESIÓN DE LA RECTA, SE LE DENOMINA
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
36. A PARTIR DE UNA ECUACIÓN GENERAL, TAMBIÉN
ES POSIBLE DETERMINAR SU ECUACIÓN PRINCIPAL
SI: 2 x − 3 y = −12 + (−2 x)
2 x − 3 y + (−2 x) = −12 + (−2 x)
1
− 3 y = −12 − 2 x ⋅ (− )
3
2
y =4 + x
3 LA ECUACIÓN
2 PRINCIPAL
ESTO ES: y = x+4 DE LA RECTA
3
37. CONSIDERANDO QUE LA PENDIENTE DE UNA RECTA SE
REPRESENTA POR LA LETRA m, Y QUE EL COEFICIENTE DE
POSICIÓN SE REPRESENTA POR LA LETRA n; COMPLETA,
SEGÚN CORRESPONDA, LA TABLA SIGUIENTE:.
ECUACIÓN ECUACIÓN
m n PRINCIPAL GENERAL
1 1
3 2 y = x+
3
2 x - 3y = -6
-3 3
4 3 y = − x +3
4
3x + 4y = 12
-3 3 21x - 7y = 3
3 y = x−
3
7 7
2 -2 2
3
y = x−
3
2 2x - 3y = 6
2 -1 2 1
5 2
y = x−
5 2 4x - 10y = 5
38. LA PENDIENTE m DE UNA RECTA TAMBIEN SE PUEDE OBTENER
A PARTIR DE DOS PUNTOS CONOCIDOS DE ELLA:
SEAN ESTOS: P1(x1, y1) y P2 (x2, y2)
SE DEFINE A LA
y EN UN PLANO, ESTO ES: PENDIENTE DE
LA RECTA
y2 P2 COMO EL
CUOCIENTE
ENTRE LA
y 2 −y1 MEDIDA DEL
CATETO
P1 α OPUESTO, AL
y1 ÁNGULO α, Y
x2 −x1 LA MEDIDA DE
x1 x2
x SU CATETO
ADYACENTE.
y2 − y1
ASÍ, m= = tg (α) Donde α es
x2 − x1 la inclinación
de la recta
USANDO UNA CALCULADORA: α = tg -1 (m)
39. SI: P1(1, 4) y P2 (5, 12) DETERMINA, LA PENDIENTE
DE LA RECTA QUE PASA POR
ENTONCES, LA PENDIENTE LOS PUNTOS P1 (3, 7) y P2 (8, 22)
DE LA RECTA QUE PASA POR APLICANDO LA FÓRMULA:
LOS PUNTOS P1 y P2 SE
PUEDE DETERMINAR y2 − y1
APLICANDO LA FÓRMULA: m=
x2 − x1
y2 − y1
m=
x2 − x1 ¡VEAMOS!
22 - 7 15
ESTO ES: m= 8-3 = 5
12 - 4 8
m= 5-1 = 4 =2 m=3
40. PARA LOS PUNTOS P1 (3, 7) y P2 (8, 2); EN
UN PLANO CARTESIANO, SE TIENE:
y P1
7
P1P2 = 5 + 6 = 61 2 2
5
2
6 P2 m P1P2 = -5
6
3 9
x
¿PORQUÉ LA PENDIENTE DA NEGATIVA?
¿QUÉ SIGNO TIENE LA PENDIENTE CUANDO
LA RECTA ES ASCENDENTE?
41. LA ECUACIÓN DE UNA RECTA TAMBIÉN SE PUEDE OBTENER A
PARTIR DE DOS PUNTOS CONOCIDOS DE ELLA:
SEAN ESTOS PUNTOS : P1 (1, 2) y P2 (9, 7)
SI SE UBICA EN LA
EN UN PLANO, ESTO ES: RECTA UN PUNTO
y P2 CUALQUIERA (x,y),
7 SE DETERMINA UN
NUEVO TRIÁNGULO
RECTÁNGULO, CON
y 7-2 LO CUAL SE
PRESENTAN DOS
y-2
P1 α ALTERNATIVAS
2 x-1
PARA EL CÁLCULO
DE LA PENDIENTE;
1 x 9
x ESTO ES :
9-1 8y - 16 = 5x - 5
ASÍ:
y-2 7-2 DE DONDE: 5x - 8y = -11
m= x-1 = 9-1
42. EN GENERAL, A PARTIR DE DOS PUNTOS , LA ECUACIÓN DE UNA
RECTA SE OBTIENE COMO CONCLUSIÓN DE LO SIGUIENTE:
SEAN LOS PUNTOS CONOCIDOS : P1(x1, y1) y P2 (x2, y2)
EN UN PLANO, ESTO ES: AL UBICAR EN LA
y RECTA UN PUNTO
CUALQUIERA (x,y), SE
y2 P2 DETERMINA UN
NUEVO TRIÁNGULO
RECTÁNGULO, CON
y LO CUAL SE
y2 - y1 PRESENTAN DOS
y - y1 ALTERNATIVAS
PARA EL CÁLCULO
P1 α DE LA PENDIENTE;
y1 x - x1
x1 x x2
x DE DONDE SE OBTIENE
LA FÓRMULA PARA
OBTENER LA ECUACIÓN
x2 - x1 GENERAL DE LA RECTA.
ASÍ:
y - y1 y2 - y1 y2 - y1 ·(x - x )
m= x - x1 = x2 - x1 y - y1 = x2 - x1 1
43. SEAN LOS PUNTOS : P1(2, 3) y P2 (7, 9)
y2 - y1 ·(x - x )
ENTONCES, SEGÚN LA FÓRMULA: y - y1 = x2 - x1 1
SE TIENE: 9 - 3 ·(x - 2)
y- 3 = 7- 2
6
ESTO ES: y- 3 = 5
·(x - 2) ·5
5y - 15 = 6x - 12
DE DONDE LA ECUACIÓN
GENERAL DE LA RECTA ES: 6x - 5y = -3
¡COMPRUEBA QUE LA ECUACIÓN GENERAL DE LA
RECTA QUE PASA POR LOS PUNTOS : P 1(1, 6) y P2 (5, 7)
ES x - 4y = -23 !
44. m
y2 - y1 ·(x - x )
EN LA ECUACIÓN : y - y1 = x2 - x1 1
ESTO ES: y - y1 = m ·(x - x1)
IGUALDAD QUE TAMBIÉN PERMITE DETERMINAR LA
ECUACIÓN DE UNA RECTA, A PARTIR DE UN PUNTO
CONOCIDO Y SU PENDIENTE CONOCIDA
EJEMPLO: SI UNA RECTA PASA POR EL PUNTO (5, -2) y
TIENE PENDIENTE m = 4; ENTONCES:
DE ACUERDO A: y - y1 = m ·(x - x1)
SE TIENE: y - -2 = 4 ·(x - 5)
DE DONDE LA ECUACIÓN
GENERAL DE LA RECTA ES:
4x - y = 22
45. EN VIRTUD DE TUS AVANCES, EN LOS TEMAS
CONSIDERADOS, INTENTA COMPLETAR LA TABLA DE
DOBLE ENTRADA, A PARTIR DE LOS DATOS QUE SE
APORTAN.
ECUACIÓN ECUACIÓN
P1(x1, y1) P2(x2, y2) m PRINCIPAL GENERAL
3 3
(6, 2) (1, 5) y =− x +
5
5
5 3x + 5y = 28
(7, 1) -3 y =− x +22
3 3x + y = 22
3 3
y =− x +
(-3, 4) (5, -2) 4
1
4 3x + 4y = 7
y =2 x +
(-1, 3) 2
5
2x - y = -5
1 1
(4, 0) (1, -1)
y = x+
3
1
3 x - 3y = 4
46. LA DISTANCIA ENTRE UN
PUNTO P1(x1, y1) Y UNA
RECTA DE ECUACIÓN a x1 + b y1 - c
CONOCIDA ax + by = c SE d= a2 + b2
PUEDE DETERMINAR
APLICANDO LA FÓRMULA :
LA DISTANCIA, ENTRE EL 5 ·2 + 12 · 3 - 7
PUNTO P(2, 3) Y LA RECTA d= 52 + 122
DE ECUACIÓN CONOCIDA
5x + 12y = 7, APLICANDO
LA FÓRMULA ES:
d=3
47. EN EL PRESENTE PROGRAMA, TE HABRÁS DADO CUENTA QUE:
UNA FUNCIÓN LINEAL DE PRIMER GRADO, 3
GRÁFICAMENTE, ES UNA RECTA QUE SE y = x−5
PUEDE EXPRESAR ALGEBRAICAMENTE EN 4
FORMA DE ECUACIÓN PRINCIPAL
(y = mx + n) Y/O EN FORMA DE 3x − 4 y = 20
ECUACIÓN GENERAL ( ax + by =c ).
y
DOS O MAS RECTAS SON PARALELAS SI Y y = 2x + 1
SOLO SI TIENEN LA MISMA PENDIENTE Y
DISTINTO COEFICIENTE DE POSICIÓN. y = 2x + 3 x
y
DOS O MÁS RECTAS PARALELAS QUE
TIENEN EL MISMO COEFICIENTE DE 2x + 3y = 5
POSICIÓN SON COINCIDENTES EN TODA 4 x + 6 y = 10 x
SU EXTENCIÓN (es una misma recta)
DOS RECTAS SON PERPENDICULARES 2
y = x +
1
3
SI Y SOLO SI EL PRODUCTO ENTRE SUS
3
PENDIENTES DA -1, y =− x +7
2
48. ADEMÁS, LA ECUACIÓN DE UNA RECTA SE PUEDE OBTENER A
PARTIR DE :
UN PUNTO CONOCIDO P1(x1, y1)
Y SU PENDIENTE CONOCIDA m.
y - y1 = m ·(x - x1)
DOS PUNTOS CONOCIDOS y2 - y1 ·(x - x )
P1(x1, y1) Y P2(x2, y2)
y - y1 = x2 - x1 1
Y, LA DISTANCIA ENTRE UN PUNTO P1(x1, y1) Y UNA
RECTA DE ECUACIÓN CONOCIDA ax + by = c SE
PUEDE DETERMINAR APLICANDO LA FÓRMULA :
a x1 + b y1 - c
d= a2 + b2
49. CORRESPONDE A DOS IGUALDADES ALGEBRAICAS, EN FORMA DE
ECUACIÓN LINEAL CON DOS INCÓGNITAS, QUE PRESENTAN LAS MISMAS
VARIABLES O INCÓGNITAS Y QUE BUSCA DETERMINAR, MEDIANTE
ALGÚN PROCEDIMIENTO APROPIADO, EL VALOR DE AMBAS
INCÓGNITAS QUE SATISFACEN LA IGUALDAD DE LAS ECUACIONES.
SU FORMA ES: DONDE,
a1 x +b1 y =c1 a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 ∈ IR
a2 x +b2 y =c2 Y LAS INCÓGNITAS SON: x, y
LOS VALORES QUE SATISFACEN
EJEMPLO: EN EL SISTEMA, AMBAS IGUALDADES A LA
3 x +2 y =9 VEZ SON:
2 x −5 y = 25 x =5 Y y = −3
¡PARA COMPROBAR, SE REEMPLAZAN LOS VALORES EN CADA ECUACIÓN!
50. LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS PUEDEN
RESULTAR DE LA INTERPRETACIÓN DE PROBLEMAS COMO LOS
SIGUIENTES:
SI EN UN CIRCO INGRESARON 600 INTERPRETACIÓN
PERSONAS, CANCELANDO $500 LOS
ADULTOS Y $300 LOS NIÑOS, N+A = 600
REUNIÉNDOSE $220000. ¿CUÁNTOS NIÑOS
300N + 500A = 220000
Y CUÁNTOS ADULTOS INGRESARON?
POR DOS NOVILLOS Y CINCO INTERPRETACIÓN
CABALLOS, SE CANCELARON $640000. SI
LA DIFERENCIA ENTRE EL COSTO DE UN N - C = 40000
NOVILLO Y UN CABALLO ES $40000.
¿CÚANTO COSTARÁN 12 NOVILLOS Y UN 2N + 5C = 640000
CABALLO, AL MISMO PRECIO ANERIOR?
LA SUMA DE LAS EDADES ENTRE DOS INTERPRETACIÓN
PERSONAS ES 100 AÑOS Y SU E1 + E2 = 100
DIFERENCIA ES 20 AÑOS. ¿CUÁLES SON
SUS EDADES? E1 - E2 = 20
51. PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES SE
PUEDEN UTILIZAR DIFERENTES PROCEDIMIENTOS. EN ESTE
PROGRAMA SE ESTUDIAN LOS SIGUIENTES:
MÉTODO DE RESOLUCIÓN POR IGUALACIÓN, POR SUSTITUCIÓN,
POR REDUCCIÓN Y POR DETERMINANTE.
9− x
3
PARA EL
3x + 2 y = 9 y =
2
SISTEMA:
2 x − 5 y = 25 2 x −25
=y
5
POR IGUALACIÓN DE LA VARIABLE y, SE TIENE:
9 −3 x 2x − 25 • 10 Amplificando por el m.c.d.
=
2 5
45 - 15x = 4x - 50 + 15 x + 50
REEMPLAZANDO x = 5, EN
45 + 50 = 4x + 15x CUALESQUIERA DE LAS
ECUACIONES INICIALES, SE
95 = 19x 5=x OBTIENE EL VALOR y = -3
52. EN EL MÉTODO DE RESOLUCIÓN POR SUSTITUCIÓN SE DESPEJA
UNA DE LAS INCÓGNITAS EN CUALESQUIERA DE AMBAS
ECUACIONES Y SE REEMPLAZA EN LA OTRA ECUACIÓN.
9− x
3
3x + 2 y = 9 y =
PARA EL 2
SISTEMA: 2 x − 5 y = 25
REEMPLAZANDO EN LA 9 −3 x •2
SEGUNDA ECUACIÓN, SE 2x − 5 ( ) = 25
TIENE: 2
ESTO ES: 4 x − 45 +15 x = 50 + 45
15x = 50 + 45
15x = 95 x=5
5
REEMPLAZANDO x = 5, EN LA ECUACIÓN 3x + 2y = 9
SE TIENE: 15 + 2y = 9 2y = -6 y = -3
53. EN EL MÉTODO DE RESOLUCIÓN POR REDUCCIÓN SE BUSCA IGUALAR LOS
COEFICIENTES DE UNA MISMA INCÓGNITA EN AMBAS ECUACIONES, A SU
MÍNIMO COMÚN U OTRO MÚLTIPLO EN COMÚN, MEDIANTE
AMPLIFICACIÓN, PARA LUEGO SUMAR O RESTAR, SEGÚN CONVENGA, DE
MANERA QUE QUEDE UNA SOLA ECUACIÓN CON UNA SOLA INCÓGNITA.
EL MÍNIMO COMÚN ENTRE LOS
EN EL SISTEMA: COEFICIENTES DE LAS y ES 10
3x + 2 y = 9 • 5 REEMPLAZANDO x = 5, EN LA
2 x − 5 y = 25
ECUACIÓN QUE SE CONSIDERE
• 2 MÁS SIMPLE; EN ESTE CASO EN,
5
15x + 10 y = 45 3x + 2y = 9
15 + 2y = 9 -15
4x - 10 y = 50 + 2y = 9 -15
19x = 95 1
2y = -6 •
x=5 2
y = -3
54. EN EL MÉTODO DE RESOLUCIÓN POR DETERMINANTES SE PUEDEN
DETERMINAR LAS INCÓGNITAS, APLICANDO EL CONCEPTO DE
DETERMINANTE, CON AYUDA DE LOS COEFICIENTES QUE PRESENTAN LAS
ECUACIONES, DE ACUERDO AL PROCEDIMIENTO SIGUIENTE:
REEMPLAZANDO x = 5, EN
3x + 2y = 9 CUALESQUIERA DE LAS
EN EL ECUACIONES INICIALES, SE
SISTEMA: 2x - 5y = 25 OBTIENE EL VALOR y = -3
9 2
EL VALOR DE y TAMBIÉN SE
25 -5 9 · 5 - 25 · 2
-
PUEDE OBTENER AL
x = =
3 2 3 · -5 - 2 · 2 RESOLVER LA EXPRESIÓN:
3 9 57
2 -5
2 25 75 - 18
-45 - 50 -95 y = =
x = = 3 2 -15 - 4
-15 - 4 -19 -19
2 -5
x =5 y = -3
55. TODA ECUACIÓN NO SIMPLIFICADA, DEBE SER ESCRITA EN SU FORMA
GENERAL, PARA UNA MEJOR OPERACIÓN DE LA MISMA.
EJEMPLO: EN LA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO:
1 1 1 2 2
3 4 2 3 5
0, 3x − 0,25 y + 2,5 = 2 −1, 6 ⋅ (9 x − 0,4)
1 1 5 5 2
x − y + = − ⋅ 9x − )
2 (
3 4 2 3 5
1 1 5 2 • 12
x− y + = − x+
2 15
3 4 2 3
4 x - 3 y + 30 = 24 - 180 x + 8 + 180x - 30
184 x - 3y = 24 + 8 - 30
ESTO ES: 184 x - 3 y = 2 SU FORMA GENERAL
56. EN UN CIRCO INGRESARON 600 POR DOS NOVILLOS Y CINCO
PERSONAS, CANCELANDO $500 LOS CABALLOS, SE CANCELARON
ADULTOS Y $300 LOS NIÑOS, $640000. SI LA DIFERENCIA ENTRE
REUNIÉNDOSE $220000. ¿CUÁNTOS EL COSTO DE UN NOVILLO Y UN
NIÑOS Y CUÁNTOS ADULTOS CABALLO ES $40000. ¿CUÁL ES EL
INGRESARON? PRECIO DE UN CABALLO Y EL
PRECIO DE UN NOVILLO?
INTERPRETACIÓN
N = 600 - A INTERPRETACIÓN
N+A = 600
N - C = 40000 • 5
300N + 500A = 220000
2N + 5C = 640000
DESARROLLO, POR SUSTITUCIÓN:
+
DESARROLLO, POR REDUCCIÓN:
300 (600-A) + 500A = 220000
7N = 200000 + 640000
180000 - 300A + 500A = 220000
7N = 840000 N = $120000
200A = 220000 - 180000
200A = 40000 ESTO ES: ADULTOS ESTO ES: NOVILLO $120000 Y
200 Y NIÑOS 400 CABALLO $ 80000
A = 200
57. LA SUMA DE LAS EDADES POR LA VENTA DE 3 TORTAS Y 6
EMPANADAS SE CANCELARON
ENTRE DOS PERSONAS ES
$17100. SI EN OTRA VENTA DE 2
100 AÑOS Y SU DIFERENCIA TORTAS Y 9 EMPANADAS SE
ES 20 AÑOS. ¿CUÁLES SON CANCELAN $ 13150, ¿CUÁL ES EL
SUS EDADES?. PRECIO DE CADA PRODUCTO?.
INTERPRETACIÓN INTERPRETACIÓN
E1 + E2 = 100 3T + 6E = $ 17100
E1 - E2 = 20
+ 2T + 9E = $ 13150
DESARROLLO, POR REDUCCIÓN:
DESARROLLO, POR DETERMINANTES
2E1 = 120
17100 6
E1 = 60
13150 9 153900 -78900
ESTO ES: T = =
3 6 27 - 12
UNA EDAD ES 60 AÑOS Y LA
OTRA ES 40 AÑOS T = $ 5000
2 9
E = $ 350
58. LOS PROCESOS DE RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES DE
PRIMER GRADO, CON DOS INCÓGNITAS, NO SIEMPRE SE PUEDEN
APLICAR INMEDIATAMENTE. HAY CASOS EN LOS CUALES LAS
ECUACIONES DEBEN PLANTEARSE EN FUNCIÓN DE NUEVAS
VARIABLES O INCÓGNITAS, DENOMINADAS VARIABLES
AUXILIARES, PARA FACILITAR LA APLICACIÓN DE LOS
PROCEDIMIENTOS.
EJEMPLO: EN EL SISTEMA, SE TIENE EL SISTEMA:
3 2 3m - 2n = 5
− =5
x +2 y− 1
m + 4n = -7
1 4
+ =− 7 LAS SOLUCIONES DE ESTE NUEVO
x +2 y− 1
SISTEMA SE REEMPLAZAN EN:
1 1
SI SE CONSIDERA: =m Y =n
x +2 y− 1
1 1
= m Y =n PARA OBTENER LOS VALORES DE x
x+2 y −1 Y DE y DEL SISTEMA INICIAL.
59. EN EL SISTEMA, POR SUSTITUCIÓN DE m, QUEDA:
2 + 2n
8
−
2
=2 7( ) + 5n = 4 •8
4 x +1 5 y −11 8
14 + 14n + 40n = 32 -14
7 5
+ =4
4 x +1 5 y −11 1
54n = 18 n=
3
SI: 1
1 1 REEMPLAZANDO EN: n=
m= Y n= 5 y − 11
4x + 1 5 y − 11 SE TIENE:
1 1
SE TIENE EL SISTEMA = 5 y − 11 = 3 ( )2
AUXILIAR, 3 5 y − 11
2 + 2n 5y - 11 = 9
8m - 2n = 2 m= DE DONDE, y=4
7m + 5n = 4 8
ANÁLOGAMENTE x=3
60. SON DE LA FORMA:
DONDE,
a1 x +b1 y + c1 z = d1
SUS COEFICIENTES ∈ IR
a2 x +b2 y + c2 z = d 2
Y SUS INCÓGNITAS SON: x,y,z
a3 x +b3 y + c3 z = d 3
EJEMPLO: EN EL SISTEMA, LOS VALORES QUE SATISFACEN
TODAS LAS IGUALDADES A LA VEZ
2x + 3y - 5z = 18 SON:
5x - 4y + 2z = -4
x=2 y=3 Y z = -1
x - y - 7z = 6
¡PARA COMPROBAR, SE REEMPLAZAN LOS VALORES EN CADA ECUACIÓN!
61. RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE TRES
ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS.
IGUALANDO LOS COEFICIENTES DE y AL
EN EL SISTEMA: MÍNIMO COMÚN ENTRE ELLOS, SE TIENE:
2x + 3y - 5z = 18 •4 8x + 12y - 20z = 72
5x - 4y + 2z = -4 •3 15x - 12y + 6z = -12
+
x - y - 7z = 6 • 12 12x - 12y - 84z = 72 -
SUMANDO O RESTANDO DE A DOS 23x - 14z = 60
ECUACIONES, CONVENIENTEMENTE,
SE OBTIENE EL SISTEMA: 3x + 90z = -84
APLICANDO CUALESQUIERA DE LOS MÉTODOS DE x=2
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS
INCÓGNITAS SE OBTIENEN LOS VALORES: z = -1
FINÁLMENTE, REEMPLAZANDO LOS VALORES DE x Y
DE z, EN CUALESQUIERA DE LAS TRES ECUACIONES y=3
INICIALES, SE OBTIENE EL VALOR DE y.
62. SISTEMAS DE ECUACIONES LITERALES
¡OBSERVA Y ANALIZA!
(a + b)x - (a - b)y = 4ab (a + b)
(a - b)x + (a + b)y = 2a2 - 2b2 (a - b) +
Igualando los coeficientes de las y a su MCM que es a2 -b2 ,
a fin de aplicar la reducción de coeficientes, se tiene:
[(a + b)2 + (a - b)2 ]x = 4ab (a + b) + [2a2 - 2b2] (a - b)
(2a2 +2b2)x = 4ab (a + b) + 2(a2 - b2) (a - b)
2(a2 + b2)x = 2(a + b) [2ab + (a - b)2]
1
2(a + b )x = 2(a + b) [a + b ]
2 2 2 2
2(a2 + b2)
Esto es: x =a+b
Continúa ...
63. Ahora, remplazando el valor obtenido de x
en cualquiera de las ecuaciones, se tiene que:
Como , x =a+b entonces en ;
(a - b)x + (a + b)y = 2a2 - 2b2
Se tiene:
(a - b)(a + b) + (a + b)y = 2a2 - 2b2
a2 -b2 + (a + b)y = 2a2 - 2b2
1
(a + b) y = a - b
2 2
(a + b)
Esto es: y = a- b
Luego el conjunto solución es: {(a+b, a-b)}
64. AL FINALIZAR EL ESTUDIO DEL PLANO CARTESIANO,
FUNCIONES LINEALES Y RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
DE PRIMER GRADO;TE INVITAMOS A INCREMENTAR
TUS CONOCIMIENTOS EN OTROS TÓPICOS DE
LA MATEMÁTICA, MEDIANTE EL ESTUDIO DE
PROGRAMAS COMO ÉSTE. Solicítame copia de este u otros al email
apoloniofigueroa@gmail.com
¡DESCUBRIRÁS EL GENIO QUE HAY EN TI!
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