Este documento trata sobre el error y la estabilidad en sistemas de control. Explica que el error en estado estable es la diferencia entre la señal de referencia y la señal de salida cuando el tiempo tiende a infinito. Luego clasifica los sistemas en tipo cero, uno, dos, etc. dependiendo de la cantidad de integraciones en su función de transferencia de lazo abierto, y cómo esto afecta el error en estado estable. Finalmente, analiza conceptos como la estabilidad absoluta de un sistema y el criterio de Routh para determinar la estabil

1. Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Extensión Maturín
Esc. Ing. Eléctrica y Electrónica
Error y estabilidad
Facilitadora:
Ing. Mariangela Pollonais
Maturín, 2011

2. Error en estado estable
 El error de estado estable en un sistema realimentado, se define como
la diferencia entre el valor de la señal referencial y el de la señal de
salida en t∞.
 Aunque un sistema sea suficientemente lineal, puede presentarse
error en él debido a limitaciones dinámicas del sistema frente a una
entrada específica, que no le permiten corregirlo adecuadamente.

3. Error en estado estable
 Si la señal de salida y la señal de entrada al sistema realimentado
tienen las mismas unidades físicas o son directamente comparables
en su forma, la señal de entrada se considera la señal referencial y se
puede escribir para el error en el tiempo:
e(t ) r (t ) y(t )

4. Error en estado estable
 En general, la señal de error de un sistema realimentado se define
como:
e(t ) señal referencial y(t )
 En donde la señal referencial es la señal que se busca que y(t) siga.
Entonces
ess Lim e(t )
t

5. Error en estado estable
 El error depende del tipo de sistema de control (en forma específica
de la función de transferencia de lazo abierto) y de la señal de
entrada
 Considere la siguiente función de transferencia de lazo abierto
entrada.
K (Ta s 1)(Tb s 1)  (Tm s 1)
G( s) H ( s) N
s (T1s 1)(T2 s 1)  (Tp s 1)

6. Error en estado estable
 El esquema de clasificación está basado en la cantidad de
integraciones indicadas por la función de transferencia de lazo
abierto.Así:
 si N=0, el sistema se denomina tipo cero,
 si N=1, el sistema se denomina tipo uno, y así sucesivamente.
1. Esta clasificación es diferente e independiente a la del orden del
sistema.
2. Al aumentar el número del tipo, disminuye el error en estado
estable.
3. Al aumentar el número del tipo, empeora el problema de
estabilidad.

7. Error en estado estable
 Considere el siguiente sistema de lazo cerrado
R(s ) E (s ) C (s )
+ G(s)
- B(s )
H (s)
 La señal de error E(s) en Laplace es
1
E ( s) R( s )
1 G( s) H ( s)

8. Error en estado estable
 Utilizando el teorema del valor final se puede encontrar el valor
final de la señal de error:
sR( s)
ees lim e(t ) lim sE ( s) lim
t s 0 s 0 1 G( s) H ( s)

9. Error en estado estable
 De la ecuación se observa que el valor del error depende tanto del
sistema como del tipo de entrada. Se acostumbra definir el error en
coeficientes de error estáticos, dependiendo del tipo de entrada:
 Constante de error estático de velocidad.Kp
 Constante de error estático de velocidad.Kv
 Constante de error estático de aceleración.Ka

10. Error en estado estable
 El error estacionario del sistema, para una entrada escalón unitario,
es
s 1 1
ees lim
s 0 1 G ( s ) H ( s ) s 1 G (0) H (0)
 La constante KP se define como:
KP lim G ( s) H ( s) G (0) H (0)
s 0

11. Error en estado estable
 Así el error estático en términos de la constante Kp es:
1
ees
1 KP
 Para un sistema tipo 0
K (Ta s 1)(Tb s 1)  1
KP lim K ees
s 0 (T1s 1)(T2 s 1)  1 K
 Para un sistema tipo 1 o superior
K (Ta s 1)(Tb s 1) 
KP lim N ees 0
s 0 s (T s 1)(T s 1) 
1 2

12. Error en estado estable
 Constante Kv de error estático de velocidad
 El error estacionario del sistema, para una entrada rampa unitaria,
es
s 1 1
ess lim lim
s 0 1 G( s) H ( s) s 2 s 0 sG ( s ) H ( s )
 La constante Kv se define como
KV lim sG ( s) H ( s )
s 0

13. Error en estado estable
 Asi el error estático en términos de la constante Kv es:
1
ees
KV
 Para un sistema tipo 0
sK (Ta s 1)(Tb s 1)  1
KV lim 0 ees
s 0 (T1s 1)(T2 s 1)  KV
 Para un sistema tipo 1
sK (Ta s 1)(Tb s 1)  1 1
KV lim K ees
s 0 s (T1s 1)(T2 s 1)  KV K

14. Error en estado estable
 Para un sistema tipo 2 o superior
K (Ta s 1)(Tb s 1)  1
KV lim N ees 0
s 0 s (T s 1)(T s 1)  KV
1 2

15. Error en estado estable
 Error en estado estacionario en términos de la ganancia K
Entrada escalón Entrada rampa Entrada aceleración
r (t ) 1 r (t ) t r (t ) t 2
1
Sistema tipo 0
1 K
1
Sistema tipo 1 0 K
1
Sistema tipo 2 0 0 K

16. Estabilidad de sistemas dinámicos
La estabilidad, es la característica más importante de los sistemas
dinámicos.
El concepto de estabilidad que más se usa es el de estabilidad absoluta, dice
si el sistema es estable o no.
También se usan los conceptos de estabilidad relativa y error en estado
estacionario.
La Estabilidad relativa indica que tan estable es un sistema en relación a
otro o en relación a algún cambio dentro del mismo.
Un sistema estable puede tener error en estado estable.

17. Estabilidad de sistemas dinámicos
Estabilidad Absoluta
Es la característica más importante de los sistemas de control, se refiere a que
si el sistema es estable o inestable.
Definición. Un sistema de control es estable si ante cualquier entrada
acotada, el sistema posee una salida acotada.
La estabilidad es una característica propia de cada sistema y no depende de
las entradas

18. Estabilidad de sistemas dinámicos
Análisis de Estabilidad en Laplace
La estabilidad de un sistema se puede determinar por la ubicación de los
polos de lazo cerrado en el plano s. Si alguno de los polos de lazo cerrado de un
sistema se encuentra en el semiplano derecho el sistema es inestable.
Plano s
jw
Región Región
estable inestable
Región Región σ
estable inestable

19. Plano s

20. Estabilidad de sistemas dinámicos
Criterio de Estabilidad de Routh
Un sistema realimentado es estable si todos los polos de lazo cerrado se
ubican en el semiplano izquierdo del plano s. Esto es lo mismo a decir que todas las
raíces de la ecuación característica tienen parte real negativa
C ( s) b0 s m b1s m 1
 bm 1s bm p( s)
R( s ) a0 s n a1s n 1
 an 1s an q( s)
Cuando no se tiene forma a encontrar las raíces de la ecuación característica
el Criterio de Estabilidad de Routh permite determinar si hay raíces con parte real
positiva (inestable) sin necesidad de resolver el polinomio.
El Criterio de Estabilidad de Routh se basa en el ordenamiento de los
coeficientes de la ecuación característica

21. Estabilidad de sistemas dinámicos
q( s) a0 s n a1s n 1
a2 s n 2
 an 1s an 0
en el siguiente arreglo
sn a0 a2 a4 a6
sn 1 a1 a3 a5 a7
sn 2 b1 b2 b3 b4
sn 3
c1 a3 a5 a7
s0 h1

22. Estabilidad de sistemas dinámicos
donde
a1a2 a0 a3 a1a4 a0 a5 a1a6 a0 a7
b1 b2 b1 
a1 a1 a1
b1a3 a1b2 b1a5 a1b3 b1a7 a1b3
c1 c2 c3 
b1 b1 b1
c1b2 b1c2 c1b3 b1c3
d1 d2  
c1 c1
El Criterio de Routh establece que el número de raíces de con )
q(s partes
reales positivas es igual al número de cambios de signo de la primera columna del
arreglo.

23. Estabilidad de sistemas dinámicos
Sea el siguiente polinomio
a0 s 3 a1s 2 a2 s a3 0
el arreglo es
s3 a0 a2
s2 a1 a3
a1a2 a0 a3
s
a1
s0 a3
La condiciones para que todas las raíces tengan parte reales negativas son:
a0 , a1 , a3 0 a1a2 a0 a3

24. Estabilidad de sistemas dinámicos
Sea el siguiente polinomio
s 4 2s3 3s 2 4s 5 0
el arreglo es
s4 1 3 5
s3 2 4 0
s2 1 5 0
s 6 0
s0 5
Hay un dos cambios de signo en la primera columna por lo tanto existen dos
raíces con partes reales positivas.