Este documento presenta fórmulas de trigonometría plana y esférica. En trigonometría plana, define las funciones trigonométricas y presenta fórmulas para ángulos compuestos, sumas y diferencias. También incluye los teoremas del seno, coseno y tangente para triángulos. En trigonometría esférica, define superficies de triángulos y polígonos esféricos, y presenta analogías y teoremas del seno, coseno y tangente para triángulos esféric

1. FÓRMULAS
TRIGONOMETRÍA PLANA
Razones trigonométricas
y r
Seno del ángulo α: sen α = ; Cosecante del ángulo α: cos ec =
r r y
y
α x r
Coseno del ángulo α: cos α = ; Secante del ángulo α: sec α =
x r x
y x
Tangente del ángulo α: tg α = ; Cotangente del ángulo α: cot gα =
x y
Fórmulas más utilizadas:
sen 2 α + cos 2 α = 1 ; 1 + tg 2 α = sec 2 α ; 1 + cot g 2 α = cos ec 2 α
Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos:
sen(a + b) = sen a cos b + cos a sen b
cos(a + b) = cos a cos b − sen a sen b
tg a + tg b
tg(a + b) =
1 − tg a tg b
Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos:
sen(a − b) = sen a cos b − cos a sen b
cos(a − b) = cos a cos b + sen a sen b
tg a − tg b
tg(a − b) =
1 + tg a tg b
Razones trigonométricas del ángulo doble:
2 tg a
sen(2a ) = 2 sen a cos a ; cos(2a ) = cos 2 a − sen 2 a ; tg(2a ) =
1 − tg 2 a
Razones trigonométricas del ángulo mitad:
a 1 − cos a a 1 + cos a a 1 − cos a
sen = ; cos = ; tg =
2 2 2 2 2 1 + cos a
Suma y diferencia de senos y cósenos:
A+B A−B A+B A−B
sen A + sen B = 2 sen cos ; sen A − sen B = 2 cos sen
2 2 2 2
A+B A−B A+B A−B
cos A + cos B = 2 cos cos ; cos A − cos B = −2 sen sen
2 2 2 2
En un triángulo plano, de lados a, b y c, y ángulos A, B y C, se verifica:
a b c
Teorema del seno: = =
sen A sen B sen C b
A
Teorema del coseno: a = b + c − 2bc cos A
2 2 2 c
A+B
tg
a+b 2 B
Teorema de la tangente: = C
a−b A−B
tg
2 a
A (p − b)(p − a ) a+b+c
Fórmula de Briggs: tg = siendo p = el semiperimetro
2 p( p − a ) 2
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2. FÓRMULAS
TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
Superficie de un triángulo esférico.
π r2
S = ( α + β + γ − 180º ) ; r=radio de la esfera y α, β, γ=ángulos del T. esférico
180º
Superficie de un polígono esférico:
π r2
S= ( A1 + A 2 + ... + A n − (n-2) ⋅ 180º )
180º
Siendo: A1, A2, …,An ángulos del polígono. n = nº de lados del polígono
Teorema del seno (1º grupo de Bessel)
sen a sen b sen c
= =
sen A sen B sen C
Teorema del coseno para lados (2º grupo de Bessel)
cos a = cos b· cos c + sen b· sen c· cos A
cos b = cos a cos c + sen a ·sen c cos B
cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C
Teorema de la cotangente (3º grupo de Bessel)
cot a ⋅ sen b = cos b ⋅ cos C + sen C ⋅ cot A
cot a ⋅ sen c = cos c ⋅ cos B + sen B ⋅ cot A
cot b ⋅ sen a = cos a ⋅ cos C + sen C ⋅ cot B
cot b ⋅ sen c = cos c ⋅ cos A + sen A ⋅ cot B
cot c ⋅ sen a = cos a ⋅ cos B + sen B ⋅ cot C
cot c ⋅ sen b = cos b ⋅ cos A + sen A ⋅ cot C
Teorema del coseno para ángulos (4º grupo de Bessel)
cos A = - cos B⋅cos C + sen B⋅sen C⋅cos a
cos B = - cos A⋅cos C + sen A⋅sen C⋅cos b
cos C = - cos A⋅cos B + sen A⋅sen B⋅cos c
Funciones del ángulo mitad
A sen (p - b) ⋅ sen(p - c) A sen p ⋅ sen(p - a)
sen = ; cos = ;
2 sen b ⋅ sen c 2 sen b ⋅ sen c
A sen (p - b) ⋅ sen(p - c)
tg =
2 sen p ⋅ sen (p - a)
Analogías de Gauss - Delambre
A+B a−b A−B a−b
sen cos sen sen
2 = 2 ; 2 = 2
C c C c
cos cos cos sen
2 2 2 2
A+B a+b A-B a+b
cos cos cos sen
2 = 2 ; 2 = 2
C c C c
sen cos sen s en
2 2 2 2
Analogías de Neper
a-b a-b
cos sen
A+B C
2 ⋅ cotg ; tg A−B 2 ⋅ cotg C ;
tg = =
2 a+b 2 2 a+b 2
cos sen
2 2
A-B A-B
cos s en
a+b c
2 ⋅ tg ; tg a-b 2 ⋅ tg c
tg = =
2 A+B 2 2 A+B 2
cos s en
2 2
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