Fracciones continuas

FRACCIONES CONTINUAS
TRABAJO FINAL
ESTUDIANTE: ISABEL ZAPIRAIN
TUTOR: IGNACIO MONTEVERDE
Posgrado: Diploma en Matemática mención Aplicaciones
Instituto de Perfeccionamiento y Estudios Superiores - CFE/ANEP-UdelaR
2017

ÍNDICE
Resumen........................................................................................................................................ 1
Palabras claves .............................................................................................................................. 1
Introducción .................................................................................................................................. 2
Fracciones continuas y números reales ......................................................................................... 5
Los convergentes son buenas aproximaciones............................................................................ 16
Irracionales cuadráticos y fracciones continuas periódicas......................................................... 20
Interpretación geométrica de las fracciones continuas................................................................ 26
Números de Liouville.................................................................................................................. 31
Aplicaciones................................................................................................................................ 38
Ecuaciones diofánticas....................................................................................................... 39
Años bisiestos..................................................................................................................... 41
Ciclo de Saros y eclipses lunares ....................................................................................... 43
Referencias y bibliografía ........................................................................................................... 47

Diploma en Matemática - CFE/ANEP-UdelaR
1
Isabel Zapirain – Tutor: Ignacio Monteverde
Resumen:
En esta monografía se desarrollará parte de la teoría de las fracciones continuas, siendo
ésta una herramienta muy poderosa en la teoría de los números cuando se trata de hallar
las mejores aproximaciones por números racionales a números irracionales.
Se presentará el algoritmo para la obtención de fracciones continuas y, entre distintas
propiedades, se probará que todo número real posee representación como fracción
continua y toda fracción continua representa un número real. Se analizará cuáles son los
números que poseen unicidad en dicha representación, y qué números están asociados a
fracciones continuas finitas, infinitas, periódicas y no periódicas. Se probará que las
mejores aproximaciones a los irracionales son los convergentes de su fracción continua,
discutiendo además cuáles son los irracionales que mejor se aproximan por racionales.
Se tratará una posible interpretación geométrica de las fracciones continuas, donde se
observará gráficamente las propiedades demostradas previamente.
Finalmente, se verán las siguientes aplicaciones: se obtendrá las soluciones enteras de
una ecuación diofántica lineal del tipo 𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = ±1 , se explicará cómo fueron
utilizadas las fracciones continuas a la hora de corregir el calendario para obtener el que
hoy se conoce como calendario gregoriano, y se efectuará el cálculo del tiempo
transcurrido en un Ciclo de Saros.
Palabras claves:
Fracción continua, irracional cuadrático, número trascendente, buena aproximación,
número de Liouville.

2
Introducción:
La representación de los números reales en forma decimal ofrece ciertos problemas
cuando se trata de números decimales periódicos o de números irracionales, los cuales
necesitan una secuencia infinita de cifras. Las fracciones continuas permiten una
representación de los números reales, tanto racionales como irracionales, de una forma
elegante y precisa.
Una propiedad de los números reales consiste en que todo real puede ser aproximado
por números racionales tanto como queramos. Naturalmente, dado 𝑥 ∈ 𝑅+
, existe 𝑘 =
[𝑥] con 𝑘 ∈ 𝑍 tal que 0 ≤ 𝑥 − 𝑘 < 1. Escribimos la representación decimal de 𝑥 − 𝑘
como:
𝑥 − 𝑘 = 0, 𝑎1 𝑎2 … 𝑎 𝑛 … , 𝑎𝑖 ∈ {0, 1, … , 9}
Entonces, si 𝑟𝑛 = 𝑎 𝑛 + 10𝑎 𝑛−1 + 100𝑎 𝑛−2 + ⋯ + 10 𝑛−1
𝑎1 , tenemos que
𝑟 𝑛
10 𝑛
≤ 𝑥 − 𝑘 <
𝑟 𝑛+1
10 𝑛
, obteniéndose que 𝑘 +
𝑟 𝑛
10 𝑛
es una buena aproximación racional de
x, en el sentido de que la diferencia |𝑥 − (𝑘 +
𝑟 𝑛
10 𝑛
)| es menor a
1
10 𝑛
, siendo éste un
número muy pequeño cuando n es un número grande.
Como podemos ver, la representación decimal de un número real proporciona una
secuencia de aproximaciones por racionales cuyos denominadores son potencias de 10.
El mérito de dichas aproximaciones consiste en la facilidad de los cálculos. Por otro
lado, la elección arbitraria de un denominador potencia de base 10, oculta generalmente
aproximaciones racionales de x más eficientes de las que se evidencian.
Veamos un ejemplo:
Tomemos al número 𝜋 = 3,141592653589793 …
Una aproximación de 𝜋 por un número racional obtenido por Arquímedes es
22
7
= 3,14285714 …. Otra aproximación, aun mejor es
355
113
= 3,14159292 ….
Notemos que |𝜋 −
22
7
| <
1
700
< |𝜋 −
314
100
| y |𝜋 −
355
113
| <
1
3.000.000
< |𝜋 −
3141592
1.000.000
|.
Por lo tanto
22
7
y
355
113
son mejores aproximaciones de 𝜋 que aproximaciones decimales
con denominadores considerablemente mayores, siendo efectivamente mejores
aproximaciones de lo que se podría esperar por el tamaño de los denominadores
involucrados.

3
En esta monografía se mostrará cómo obtener buenas aproximaciones a números reales
mediante fracciones continuas.
Una fracción continua finita es una expresión de la forma 𝑎0 +
1
𝑎1+
1
𝑎2+⋯
…+
1
𝑎 𝑛−1+
1
𝑎 𝑛
con 𝑎𝑖 ∈ 𝑍 y 𝑎𝑖 > 0 siendo 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛.
Dicha expresión se representa con la notación [𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎 𝑛].
Se probará que todo racional admite una representación como fracción continua finita;
así como por ejemplo el racional
67
29
está asociado a la fracción continua [2, 3, 4, 2],
dado que
67
29
= 2 +
1
3+
1
4+
1
2
.
Del mismo modo, a todo irracional le corresponde una fracción continua infinita.
Veamos por ejemplo el desarrollo de la fracción continua de √2:
𝑥 = √2 − 1 es la raíz positiva de la ecuación cuadrática 𝑥2
+ 2𝑥 − 1 = 0.
Tenemos:
𝑥2
+ 2𝑥 − 1 = 0 → 𝑥(𝑥 + 2) − 1 = 0 → 𝑥 =
1
2 + 𝑥
=
1
2 +
1
2 + 𝑥
=
1
2 +
1
2 +
1
2 + 𝑥
De donde √2 − 1 =
1
2+
1
2+
1
2+⋯
, por lo tanto √2 = 1 +
1
2+
1
2+
1
2+⋯
= [1, 2, 2, 2, … ] = [1, 2].
Éste es un ejemplo de una propiedad que indica que las raíces irracionales de ecuaciones
cuadráticas con coeficientes enteros tienen desarrollos periódicos en fracciones
continuas, de forma análoga a los números racionales con expresiones decimales
periódicos.
Una posible interpretación geométrica de las fracciones
continuas, es la siguiente:
Sea x el número que se quiere representar mediante una
fracción continua.
Se completa un rectángulo de dimensiones 1 × 𝑥
(o semejante a éste), colocando siempre el mayor cuadrado posible dentro del espacio

4
que aún queda libre. Los términos 𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … de la fracción continua indican el
número de cuadrados de cada tamaño. Entonces, a partir de la figura se tiene que 𝑥 =
[1, 2, 2, 1, … ], dado que se tiene 1 cuadrado celeste, 2 verdes, 2 azules, 1 amarillo,…

5
1
Fracciones continuas y números reales
En este capítulo se presentarán los conceptos y teoremas necesarios para introducirnos
en el estudio de las fracciones continuas y su importancia en la teoría de los números
reales. El presente capítulo y los capítulos 2 y 3 se basarán en los trabajos de Mendoza
(2006) y Moreira (2011).
Inicialmente se definirán los tipos de fracciones continuas que se tratarán en este
artículo y el procedimiento para la obtención de cada una de ellas. Se estudiará en qué
casos existe unicidad en dicha representación y de qué se tratan los convergentes de una
fracción continua.
Luego se desarrollará el teórico necesario para probar que en toda fracción continua
infinita, el límite de sus convergentes es el irracional correspondiente a la fracción
continua en cuestión.
Finalmente se concluirá que todo real posee representación como fracción continua, y
toda fracción continua representa un número real.
Definiciones
1.1. Una fracción continua finita es una expresión de la forma
𝑎0 +
1
𝑎1+
1
𝑎2+⋯
…+
1
𝑎 𝑛−1+
1
𝑎 𝑛
donde 𝑎𝑖 ∈ 𝑍 𝑦 𝑎𝑖 > 0 con 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 .
Se utilizará la notación [𝑎0, … , 𝑎 𝑛] para denotar la expresión anterior.

6
1.2. Una fracción continua infinita se denotará por 𝑎0 +
1
𝑎1+
1
𝑎2+⋯
…+
1
𝑎 𝑛−1+
1
𝑎 𝑛+⋯
donde 𝑎𝑖 ∈ 𝑍 𝑦 𝑎𝑖 > 0 con 𝑖 ≥ 1 , siendo
éste el límite de la fracción continua finita [𝑎0, … , 𝑎 𝑛] cuando n tiende a
infinito.
Es decir:
𝑎0 +
1
𝑎1+
1
𝑎2+⋯
…+
1
𝑎 𝑛−1+
1
𝑎 𝑛+⋯
= lim
𝑛→+∞
(
𝑎0 +
1
𝑎1+
1
𝑎2+⋯
…+
1
𝑎 𝑛−1+
1
𝑎 𝑛)
Observaciones:
a. Se utilizarán las notaciones [𝑎0, … , 𝑎 𝑛] y [𝑎0, … , 𝑎 𝑛, … ] para denotar las
expresiones anteriores, según la fracción continua sea finita o infinita.
b. Si bien en la definición anterior los 𝑎𝑖 son números enteros, con la misma
notación se puede utilizar números racionales o irracionales. Así como por
ejemplo, en una de las demostraciones de este capítulo se utiliza la igualdad
[𝑎0, … , 𝑎 𝑛, 𝑎 𝑛+1] = [𝑎0, … , 𝑎 𝑛 +
1
𝑎 𝑛+1
].
1.3 La fracción continua 𝑐 𝑘 = [𝑎0, … , 𝑎 𝑘], 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛, se denomina k-ésimo
convergente de [𝑎0, … , 𝑎 𝑛] . Del mismo modo se define el k-ésimo
convergente de una fracción continua infinita.
Se dice que los valores 𝑎𝑖 son los términos de la fracción continua y que la fracción
continua es finita si la cantidad de términos es finita, en caso contrario se dice que la
fracción continua es infinita.

7
Observación:
La parte entera de la fracción continua finita [𝑎0, … , 𝑎 𝑛] o infinita [𝑎0, … , 𝑎 𝑛, … ] es 𝑎0,
excepto la fracción continua [𝑎0, 1] dado que la parte entera de la misma es 𝑎0 + 1.
1.1 Los números racionales y las fracciones continuas finitas
A partir de la definición expuesta anteriormente, podemos concluir que toda fracción
continua finita [𝑎0, … , 𝑎 𝑛] representa un número racional, dado que la misma implica un
proceso finito de operaciones con racionales.
Mediante la demostración del siguiente teorema, podemos concluir que todo racional
posee representación como fracción continua finita.
Teorema 1.1
Si x es un número racional, x se puede representar como una fracción continua finita.
Demostración
Sea 𝑥 =
𝑝
𝑞
siendo
𝑝
𝑞
irreducible con p y q enteros y 𝑞 > 0, por el algoritmo de la
división entera existen 𝑎0 y 𝑟0 enteros tales que
𝑝
𝑞
= 𝑎0 +
𝑟0
𝑞
con 0 ≤ 𝑟0 < 𝑞.
Si 𝑟0 = 0, tenemos que 𝑥 = 𝑎0. Por lo tanto 𝑥 = [𝑎0], siendo ésta una fracción continua
finita.
Si 𝑟0 ≠ 0, tenemos que 𝑎0 +
𝑟0
𝑞
= 𝑎0 +
1
𝑞
𝑟0
, nuevamente existen 𝑎1, 𝑟1 naturales tales
que
𝑞
𝑟0
= 𝑎1 +
𝑟1
𝑟0
con 0 ≤ 𝑟1 < 𝑟0. Continuando con el mismo procedimiento, siendo
éste parte del Algoritmo de Euclides para el cálculo del máximo común divisor entre
dos números naturales, se obtiene una sucesión de restos 𝑟𝑖 tales que 𝑟𝑖+1 < 𝑟𝑖 ;
concluyéndose que se trata de un proceso finito dado que la sucesión de restos 𝑟𝑖 es
estrictamente decreciente.
De esta manera tenemos la igualdad
𝑝
𝑞
= [𝑎0, … , 𝑎 𝑛], donde n es tal que 𝑟𝑛−1 = 1.
□

8
Observación:
Probamos anteriormente que todo racional posee representación como fracción continua
finita, sin embargo dicha representación no es única, dado que [𝑎0, … , 𝑎 𝑛−1, 𝑎 𝑛] =
[𝑎0, … , 𝑎 𝑛−1, 𝑎 𝑛 − 1, 1].
Mediante un procedimiento análogo al realizado en la demostración del teorema 1.9
para fracciones continuas infinitas, podemos probar que éstas son las únicas
representaciones posibles.
Conclusión de la sección 1.1:
En este apartado concluimos que toda fracción continua finita representa un número
racional, y todo número racional posee representación como fracción continua finita.
1.2 Los convergentes y algunas de sus propiedades
Inicialmente investigaremos un mecanismo para hallar de forma recursiva los
convergentes asociados a una fracción continua, luego demostraremos algunas
propiedades que nos permitirán realizar conclusiones más relevantes en la sección 1.3.
Sabemos que, para una fracción continua [𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … ] finita o infinita, cada
convergente 𝑐 𝑘 de ella es un racional; por consiguiente es posible afirmar que 𝑐 𝑘 =
𝑝 𝑘
𝑞 𝑘
,
con 𝑝 𝑘, 𝑞 𝑘 ∈ 𝑍 𝑦 𝑞 𝑘 > 0 ∀𝑘 ∈ 𝑁.
Buscaremos una fórmula para dichos enteros:
Para el cálculo de los tres primeros convergentes, se asume que 𝑝 𝑘 y 𝑞 𝑘 son numerador
y denominador de las fracciones obtenidas (sin tomar fracciones equivalentes).
Para 𝑛 = 0: 𝑐0 = [𝑎0] =
𝑎0
1
, por lo que 𝑝0 = 𝑎0 y 𝑞0 = 1.

9
Para 𝑛 = 1: 𝑐1 = [𝑎0, 𝑎1] = 𝑎0 +
1
𝑎1
=
𝑎0 𝑎1+1
𝑎1
por lo tanto 𝑝1 = 𝑎0 𝑎1 + 1 y 𝑞1 = 𝑎1.
Para 𝑛 = 2: 𝑐2 = [𝑎0, 𝑎1, 𝑎2] = 𝑎0 +
1
𝑎1+
1
𝑎2
=
𝑎0 𝑎1 𝑎2+𝑎0+𝑎1
𝑎2 𝑎1+1
=
𝑎2(𝑎0 𝑎1+1)+𝑎0
𝑎2 𝑎1+1
=
𝑎2 𝑝1+𝑝0
𝑎2 𝑞1+𝑞0
siendo entonces 𝑝2 = 𝑎2 𝑝1 + 𝑝0 y 𝑞2 = 𝑎2 𝑞1 + 𝑞0.
Si continuamos con el mismo procedimiento realizado anteriormente, podemos inferir
que 𝑝 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑝 𝑛−1 + 𝑝 𝑛−2 y 𝑞 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑞 𝑛−1 + 𝑞 𝑛−2 para 𝑛 > 1 . Por lo tanto,
continuamos con la demostración de la regularidad observada:
Teorema 1.2
Definimos 𝑝0 = 𝑎0 , 𝑞0 = 1, 𝑝1 = 𝑎0 𝑎1 + 1, 𝑞1 = 𝑎1, 𝑝 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑝 𝑛−1 + 𝑝 𝑛−2 y 𝑞 𝑛 =
𝑎 𝑛 𝑞 𝑛−1 + 𝑞 𝑛−2 para 𝑛 > 1. Si llamamos 𝑐 𝑛 al n-ésimo convergente de la fracción
continua [𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … ], entonces 𝑐 𝑛 =
𝑝 𝑛
𝑞 𝑛
.
Demostración
Sabemos que para 𝑛 = 0 y 𝑛 = 1, las igualdades son verdaderas.
Para 𝑛 > 1 utilizamos el método de inducción completa sobre n:
Supongamos que el resultado es válido para 𝑛. Es decir, se asume como hipótesis de
inducción: 𝑝 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑝 𝑛−1 + 𝑝 𝑛−2 y 𝑞 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑞 𝑛−1 + 𝑞 𝑛−2.
Para 𝑛 + 1 tenemos: [𝑎0, … , 𝑎 𝑛, 𝑎 𝑛+1] =
𝑝 𝑛+1
𝑞 𝑛+1
[𝑎0, … , 𝑎 𝑛, 𝑎 𝑛+1] = [𝑎0, … , 𝑎 𝑛−1, 𝑎 𝑛 + 1 𝑎 𝑛+1⁄ ] entonces
[𝑎0, … , 𝑎 𝑛−1, 𝑎 𝑛 + 1 𝑎 𝑛+1⁄ ] =
𝑝 𝑛+1
𝑞 𝑛+1
=
(𝑎 𝑛+
1
𝑎 𝑛+1
)𝑝 𝑛−1+𝑝 𝑛−2
(𝑎 𝑛+
1
𝑎 𝑛+1
)𝑞 𝑛−1+𝑞 𝑛−2
=
𝑎 𝑛+1 𝑎 𝑛 𝑝 𝑛−1+𝑝 𝑛−1+𝑎 𝑛+1 𝑝 𝑛−2
𝑎 𝑛+1 𝑎 𝑛 𝑞 𝑛+𝑞 𝑛−1+𝑎 𝑛+1 𝑞 𝑛−2
=
𝑎 𝑛+1(𝑎 𝑛 𝑝 𝑛−1+𝑝 𝑛−2)+𝑝 𝑛−1
𝑎 𝑛+1(𝑎 𝑛 𝑞 𝑛−1+𝑞 𝑛−2)+𝑞 𝑛−1
=
𝑎 𝑛+1 𝑝 𝑛+𝑝 𝑛−1
𝑎 𝑛+1 𝑞 𝑛+𝑞 𝑛−1
.
Por lo tanto 𝑝 𝑛+1 = 𝑎 𝑛+1 𝑝 𝑛 + 𝑝 𝑛−1 y 𝑞 𝑛+1 = 𝑎 𝑛+1 𝑞 𝑛 + 𝑞 𝑛−1.
□
Teorema 1.3
Para todo 𝑛 ≥ 1, se tiene: 𝑝 𝑛 𝑞 𝑛−1 − 𝑝 𝑛−1 𝑞 𝑛 = (−1) 𝑛−1

10
Demostración:
Sabemos que la base inductiva se cumple, ya que para n=1 tenemos:
𝑝1 𝑞0 − 𝑝0 𝑞1 = (𝑎0 𝑎1 + 1). 1 − 𝑎0 𝑎1 = 1 = (−1)0
.
Aplicando el teorema anterior, para 𝑛 > 1 concluimos:
𝑝 𝑛 𝑞 𝑛−1 − 𝑝 𝑛−1 𝑞 𝑛 = (𝑎 𝑛 𝑝 𝑛−1 + 𝑝 𝑛−2)𝑞 𝑛−1 − 𝑝 𝑛−1(𝑎 𝑛 𝑞 𝑛−1 + 𝑞 𝑛−2)
= −(𝑝 𝑛−1 𝑞 𝑛−2 − 𝑝 𝑛−2 𝑞 𝑛−1)
Si tomamos como válida la hipótesis de inducción para 𝑛 − 1 , es decir
𝑝 𝑛−1 𝑞 𝑛−2 − 𝑝 𝑛−2 𝑞 𝑛−1 = (−1) 𝑛−2
, se obtiene 𝑝 𝑛 𝑞 𝑛−1 − 𝑝 𝑛−1 𝑞 𝑛 = (−1) 𝑛−1
como se
quería probar.
□
Observación:
Del teorema anterior se desprende que 𝑝 𝑛 y 𝑞 𝑛 son coprimos, ya que si no lo son
𝑝 𝑛 𝑞 𝑛−1 − 𝑝 𝑛−1 𝑞 𝑛 sería múltiplo del 𝑀𝐶𝐷(𝑝 𝑛, 𝑞 𝑛) y éste distinto de 1.
Luego, si en la igualdad recientemente demostrada dividimos ambos miembros entre
𝑞 𝑛 𝑞 𝑛−1, obtenemos el siguiente teorema:
Teorema 1.4
Para todo 𝑛 ≥ 1, se tiene:
𝑝 𝑛
𝑞 𝑛
−
𝑝 𝑛−1
𝑞 𝑛−1
=
(−1) 𝑛−1
𝑞 𝑛 𝑞 𝑛−1
Se concluye a partir de este teorema que todo convergente impar es mayor al
convergente anterior, dado que 𝑞 𝑛 > 0 ∀𝑛 ∈ 𝑁. Del mismo modo, todo convergente
par es menor a sus convergentes anterior y siguiente.
Teorema 1.5
Para todo 𝑛 ≥ 2, se tiene: 𝑝 𝑛 𝑞 𝑛−2 − 𝑝 𝑛−2 𝑞 𝑛 = 𝑎 𝑛(−1) 𝑛

11
Demostración:
Se sabe que 𝑝 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑝 𝑛−1 + 𝑝 𝑛−2 y 𝑞 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑞 𝑛−1 + 𝑞 𝑛−2 ∀𝑛 ≥ 2, entonces
𝑝 𝑛 𝑞 𝑛−2 − 𝑝 𝑛−2 𝑞 𝑛 = (𝑎 𝑛 𝑝 𝑛−1 + 𝑝 𝑛−2)𝑞 𝑛−2 − 𝑝 𝑛−2(𝑎 𝑛 𝑞 𝑛−1 + 𝑞 𝑛−2) =
𝑎 𝑛(𝑝 𝑛−1 𝑞 𝑛−2 − 𝑝 𝑛−2 𝑞 𝑛−1) = 𝑎 𝑛(−1) 𝑛−2
= 𝑎 𝑛(−1) 𝑛
como queríamos probar.
□
Del mismo modo que lo realizado anteriormente, si se divide ambos lados de la
igualdad 𝑝 𝑛 𝑞 𝑛−2 − 𝑝 𝑛−2 𝑞 𝑛 = 𝑎 𝑛(−1) 𝑛
entre 𝑞 𝑛 𝑞 𝑛−2, obtenemos
𝑝 𝑛
𝑞 𝑛
−
𝑝 𝑛−2
𝑞 𝑛−2
=
𝑎 𝑛(−1) 𝑛
𝑞 𝑛 𝑞 𝑛−2
.
Concluyéndose que todo convergente par es mayor al convergente par anterior, y todo
convergente impar es menor al convergente impar anterior.
De las conclusiones realizadas previamente, se deduce lo siguiente:
𝑐2 < 𝑐4 < 𝑐6 < ⋯ < 𝑐5 < 𝑐3 < 𝑐1
La sucesión de convergentes con índice par es creciente mientras que la sucesión de
convergentes con índice impar es decreciente. Además, todo convergente de índice par
es menor a todo convergente de índice impar.
1.3 Los números irracionales y las fracciones continuas infinitas
En este punto, mediante dos etapas, probaremos que a todo irracional le corresponde
una fracción continua infinita y toda fracción continua infinita representa un número
irracional.
De las fracciones continuas infinitas a los números irracionales
El siguiente teorema nos permite concluir que para toda fracción continua infinita,
existe un número real que lo representa.
Teorema 1.6

12
Para toda fracción continua infinita [𝑎0, 𝑎1, . . , 𝑎 𝑛, … ] , existe α ∈ R tal que
α = lim
n→+∞
[𝑎0, 𝑎1, . . , 𝑎 𝑛]
Demostración
Si 𝑐 𝑛 es el n-ésimo convergente de la fracción continua infinita [𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎 𝑛, … ], por
las conclusiones realizadas anteriormente, tenemos que:
- La sucesión de convergentes de índice impar es acotada y estrictamente
decreciente, entonces existe α1 ∈ R tal que α1 = lim
n→+∞
𝑐2𝑛+1, n ∈ N
- La sucesión de convergentes de índice par es acotada y estrictamente creciente,
entonces existe α2 ∈ R tal que α2 = lim
n→+∞
𝑐2𝑛, n ∈ N
- Como consecuencia del teorema 1.4 tenemos que lim
𝑛→+∞
(𝑐2𝑛+1 − 𝑐2𝑛) = 0 ,
entonces α1 = α2 . Por lo tanto, para toda fracción continua infinita
[𝑎0, 𝑎1, . . , 𝑎 𝑛, … ], existe α ∈ R tal que α = lim
n→+∞
[𝑎0, 𝑎1, . . , 𝑎 𝑛]
Observación:
En la demostración anterior se probó que para toda fracción continua infinita existe un
número real al que representa. Este número necesariamente es irracional: si fuera
racional, entonces podría ser representado por una fracción continua finita, y siguiendo
el procedimiento del Teorema 1.9 se puede demostrar que no es posible que una
fracción continua finita y una infinita representen al mismo número.
De los números irracionales a las fracciones continuas infinitas
La siguiente definición, consiste en una herramienta para la obtención de la fracción
continua asociada a cualquier número real.
Definición 1.4
Dado 𝑥 ∈ 𝑅, se define recursivamente (𝛼 𝑛) y (𝑎 𝑛) de la siguiente forma:
𝛼0 = 𝑥, 𝑎 𝑛 = [𝛼 𝑛], si 𝛼 𝑛 ∉ 𝑍 tenemos 𝛼 𝑛+1 =
1
𝛼 𝑛− 𝑎 𝑛
∀𝑛 ∈ 𝑁.

13
Entonces si para algún n, se tiene que 𝛼 𝑛 = 𝑎 𝑛, tenemos que 𝑥 = [𝑎0, … , 𝑎 𝑛] y por lo
tanto x es un número racional.
Por medio de esta definición, a partir de un número irracional construimos una fracción
continua que demostraremos que lo representa. Seguidamente probaremos algunas
propiedades que nos permitirá realizarlo.
Teorema 1.7
Sea 𝑥 un irracional y los términos 𝛼 𝑛 y 𝑎 𝑛 obtenidos a partir de la definición 1.4.
Entonces, para todo 𝑛 ≥ 2 se cumple: 𝑥 =
𝛼 𝑛 𝑝 𝑛−1+𝑝 𝑛−2
𝛼 𝑛 𝑞 𝑛−1+𝑞 𝑛−2
y 𝛼 𝑛 =
𝑝 𝑛−2−𝑞 𝑛−2 𝑥
𝑞 𝑛−1 𝑥−𝑝 𝑛−1
.
Demostración
Demostramos por inducción completa:
Para 𝑛 = 2 tenemos: 𝑥 = [𝑎0, 𝑎1, 𝛼2] = 𝑎0 +
1
𝑎1+
1
𝛼2
= 𝑎0 +
𝛼2
𝑎1 𝛼2+1
=
𝑎0(𝑎1 𝛼2+1)+𝛼2
𝑎1 𝛼2+1
=
=
𝛼2(𝑎0 𝑎1 + 1) + 𝑎0
𝛼2 𝑎1 + 1
=
𝛼2 𝑝1 + 𝑝0
𝛼2 𝑞1 + 𝑞0
Supongamos que el resultado es válido para 𝑛. Es decir, se asume como hipótesis de
inducción: 𝑥 =
Para 𝑛 + 1 tenemos:
𝑥 = [𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎 𝑛, 𝛼 𝑛+1] = [𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎 𝑛−1, 𝛼 𝑛] = [𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎 𝑛−1, 𝑎 𝑛 +
1
𝛼 𝑛+1
] =
=
(𝑎 𝑛 +
1
𝛼 𝑛+1
) 𝑝 𝑛−1 + 𝑝 𝑛−2
(𝑎 𝑛 +
1
𝛼 𝑛+1
) 𝑞 𝑛−1 + 𝑞 𝑛−2
=
(𝑎 𝑛 𝛼 𝑛+1 + 1)𝑝 𝑛−1 + 𝛼 𝑛+1 𝑝 𝑛−2
(𝑎 𝑛 𝛼 𝑛+1 + 1)𝑞 𝑛−1 + 𝛼 𝑛+1 𝑞 𝑛−2
=
=
𝛼 𝑛+1(𝑎 𝑛 𝑝 𝑛−1 + 𝑝 𝑛−2) + 𝑝 𝑛−1
𝛼 𝑛+1(𝑎 𝑛 𝑞 𝑛−1 + 𝑞 𝑛−2) + 𝑞 𝑛−1
=
𝛼 𝑛+1 𝑝 𝑛 + 𝑝 𝑛−1
𝛼 𝑛+1 𝑞 𝑛 + 𝑞 𝑛−1
De la igualdad recientemente probada, mediante el despeje de 𝛼 𝑛 concluimos que 𝛼 𝑛 =
𝑝 𝑛−2−𝑞 𝑛−2 𝑥
𝑞 𝑛−1 𝑥−𝑝 𝑛−1
.
□

14
Teorema 1.8
Sea 𝑥 un irracional, (𝑎 𝑛) y (𝛼 𝑛) las sucesiones definidas a partir de x como en la
definición 1.4, y
𝑝 𝑛
𝑞 𝑛
los convergentes de la fracción continua asociada a (𝑎 𝑛).
Entonces 𝑥 −
𝑝 𝑛
𝑞 𝑛
=
(−1) 𝑛
(𝛼 𝑛+1+𝛽 𝑛+1)𝑞 𝑛
2
donde 𝛽 𝑛+1 =
𝑞 𝑛−1
𝑞 𝑛
= [0, 𝑎 𝑛, 𝑎 𝑛−1, 𝑎 𝑛−2, … , 𝑎0].
En particular,
1
(𝑎 𝑛+1+2)𝑞 𝑛
2
< |𝑥 −
𝑝 𝑛
𝑞 𝑛
| =
1
(𝛼 𝑛+1+𝛽 𝑛+1)𝑞 𝑛
2
<
1
𝑎 𝑛+1 𝑞 𝑛
2
≤
1
𝑞 𝑛
2
Demostración:
Por el teorema anterior sabemos que si 𝑥 = [𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎 𝑛, 𝛼 𝑛+1] entonces
𝑥 =
𝛼 𝑛+1 𝑝 𝑛+𝑝 𝑛−1
𝛼 𝑛+1 𝑞 𝑛+𝑞 𝑛−1
.
Por lo tanto
𝑥 −
𝑝 𝑛
𝑞 𝑛
=
𝛼 𝑛+1 𝑝 𝑛+𝑝 𝑛−1
𝛼 𝑛+1 𝑞 𝑛+𝑞 𝑛−1
−
𝑝 𝑛
𝑞 𝑛
=
𝑝 𝑛−1 𝑞 𝑛−𝑝 𝑛 𝑞 𝑛−1
(𝛼 𝑛+1 𝑞 𝑛+𝑞 𝑛−1)𝑞 𝑛
=
−(𝑝 𝑛 𝑞 𝑛−1−𝑝 𝑛−1 𝑞 𝑛)
=
−(−1) 𝑛−1
=
(−1) 𝑛
=
(−1) 𝑛
(𝛼 𝑛+1+
𝑞 𝑛−1
𝑞 𝑛
)𝑞 𝑛
2
=
(−1) 𝑛
(𝛼 𝑛+1+𝛽 𝑛+1)𝑞 𝑛
2.
De donde |𝑥 −
𝑝 𝑛
𝑞 𝑛
| =
1
(𝛼 𝑛+1+𝛽 𝑛+1)𝑞 𝑛
2
.
Y por ser [𝛼 𝑛+1] = 𝑎 𝑛+1 y 0 < 𝛽 𝑛+1 < 1, tenemos que
1 ≤ 𝑎 𝑛+1 < 𝛼 𝑛+1 + 𝛽 𝑛+1 < 𝑎 𝑛+1 + 2 lo que implica la última afirmación.
La expresión de 𝛽 𝑛+1 como fracción continua viene dada por
𝑞 𝑛−1
𝑞 𝑛
=
𝑞 𝑛−1
𝑎 𝑛 𝑞 𝑛−1+𝑞 𝑛−2
⇒
𝑞 𝑛−1
𝑞 𝑛
=
1
𝑎 𝑛+
𝑞 𝑛−2
𝑞 𝑛−1
=
1
𝑎 𝑛+
1
𝑞 𝑛−1
𝑞 𝑛−2
=
1
𝑎 𝑛+
1
𝑎 𝑛−1+
𝑞 𝑛−3
𝑞 𝑛−2
y así sucesivamente
hasta finalizar en 𝑎0 si 𝑎0 ≠ 0, sino en 𝑎1.
Entonces 𝛽 𝑛+1 =
𝑞 𝑛−1
𝑞 𝑛
= [0, 𝑎 𝑛, 𝑎 𝑛−1, 𝑎 𝑛−2, … , 𝑎0].
□
Observación:
Dado que (𝑞 𝑛) es estrictamente creciente y toma solamente valores naturales, tenemos
que lim
𝑛→+∞
𝑞 𝑛 = +∞.
Además |𝑥 −
𝑝 𝑛
𝑞 𝑛
| =
1
(𝛼 𝑛+1+𝛽 𝑛+1)𝑞 𝑛
2
⇒ lim
𝑛→∞
|𝑥 −
𝑝 𝑛
𝑞 𝑛
| = lim
𝑛→∞
1
(𝛼 𝑛+1+𝛽 𝑛+1)𝑞 𝑛
2
= 0 porque
𝛼 𝑛 ≥ 1 y 𝛽 𝑛+1 es positivo.

15
Entonces: lim
𝑛→+∞
𝑝 𝑛
𝑞 𝑛
= 𝑥
Mediante la Definición 1.4 y la observación realizada anteriormente, concluimos que a
partir de todo irracional podemos construir una fracción continua infinita que lo
representa. A continuación probaremos que dicha representación es única.
Teorema 1.9
Sea 𝛼 un número irracional con 𝛼 = [𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … ] siendo 𝑎 𝑘 ∈ 𝑍 𝑦 𝑎 𝑘 > 0 ∀𝑘 ≥ 1,
entonces su desarrollo como fracción continua es único.
Demostración
Para probar la unicidad, supongamos que tenemos dos fracciones continuas tales que
[𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … ] = [𝑏0, 𝑏1, 𝑏2, … ]. Como hacen referencia al mismo número, 𝑎0 = 𝑏0 por
tratarse de la parte entera de 𝛼. Restando 𝑎0 en ambos lados de la igualdad y tomando
inversos, obtenemos [𝑎1, 𝑎2, … ] = [𝑏1, 𝑏2, … ] . Luego, al repetir el mismo
procedimiento de forma sucesiva, se obtiene que todos los términos coinciden, y por lo
tanto el desarrollo de la fracción continua de un número irracional es único.
□
Conclusiones de la sección 1.3:
Primeramente probamos que para toda fracción continua infinita existe un número
irracional que lo representa. Luego, mediante la definición 1.4 y los teoremas
demostrados posteriormente, concluimos que todo número irracional posee
representación única como fracción continua infinita.
Además, concluimos que los convergentes asociados a una fracción continua infinita
convergen al irracional que lo representa.
En resumen…
A partir de lo realizado en este capítulo, probamos que a toda fracción

16
continua le corresponde un número real, y todo número real posee
representación como fracción continua.
2
Los convergentes son buenas aproximaciones
En este apartado se probará que las mejores aproximaciones a un irracional son los
convergentes de su fracción continua.
Se demostrará inicialmente que si para algún irracional existe un racional que es mejor
aproximación que uno de sus convergentes de su fracción continua, entonces el
denominador del primero es mayor al denominador del segundo.
Luego, se probará que si tenemos un racional
𝑟
𝑠
tal que su diferencia positiva con un
determinado irracional es menor a
1
2𝑠2, entonces
𝑟
𝑠
es un convergente de la fracción
continua del irracional en cuestión.
Teorema 2.1
Sea 𝛼 un número irracional y 𝑐 𝑛 =
𝑝 𝑛
𝑞 𝑛
un convergente de la fracción continua de 𝛼. Si
𝑟, 𝑠 ∈ 𝑁 con 𝑠 > 0 y k es un natural tal que |𝑠𝛼 − 𝑟| < |𝑞 𝑘 𝛼 − 𝑝 𝑘| entonces 𝑠 ≥ 𝑞 𝑘+1.
Demostración
Supongamos que 1 ≤ 𝑠 < 𝑞 𝑘+1.
A partir del teorema 1.3, sabemos que 𝑝 𝑘 𝑞 𝑘+1 − 𝑝 𝑘+1 𝑞 𝑘 = (−1) 𝑘+1
para todo 𝑘 ≥ 0,
de donde |
𝑝 𝑘 𝑝 𝑘+1
𝑞 𝑘 𝑞 𝑘+1
| ≠ 0.

17
Entonces, por el método de Cramer para la resolución de sistemas de ecuaciones
lineales, sabemos que el siguiente sistema posee una única solución:
{
𝑝 𝑘 𝑥 + 𝑝 𝑘+1 𝑦 = 𝑟
𝑞 𝑘 𝑥 + 𝑞 𝑘+1 𝑦 = 𝑠
Mediante operaciones, obtenemos
(𝑝 𝑘 𝑞 𝑘+1 − 𝑝 𝑘+1 𝑞 𝑘)𝑥 = 𝑟𝑞 𝑘+1 − 𝑠𝑝 𝑘+1
(𝑝 𝑘+1 𝑞 𝑘 − 𝑝 𝑘 𝑞 𝑘+1)𝑦 = 𝑟𝑞 𝑘 − 𝑠𝑝 𝑘
Por lo tanto la solución del sistema es:
𝑥 = (−1) 𝑘 (𝑠𝑝 𝑘+1 − 𝑟𝑞 𝑘+1)
𝑦 = (−1) 𝑘(𝑟𝑞 𝑘 − 𝑠𝑝 𝑘)
Probemos que x e y son no nulos y de distinto signo:
Supongamos que 𝑥 = 0, entonces 𝑠𝑝 𝑘+1 = 𝑟𝑞 𝑘+1 por lo tanto
𝑟
𝑠
=
𝑝 𝑘+1
𝑞 𝑘+1
.
Puesto que 𝑝 𝑘+1 y 𝑞 𝑘+1 son coprimos, esto implica que 𝑞 𝑘+1|𝑠, y por lo tanto 𝑞 𝑘+1 ≤
𝑠 lo cual es una contradicción, por el supuesto de que 1 ≤ 𝑠 < 𝑞 𝑘+1. Entonces 𝑥 ≠ 0.
Supongamos ahora que 𝑦 = 0, como consecuencia del sistema de ecuaciones propuesto
inicialmente tenemos: 𝑟 = 𝑝 𝑘 𝑥 y 𝑠 = 𝑞 𝑘 𝑥.
Entonces |𝑠𝛼 − 𝑟| = |𝑞 𝑘 𝑥𝛼 − 𝑝 𝑘 𝑥| = |𝑥|. |𝑞 𝑘 𝛼 − 𝑝 𝑘| ≥ |𝑞 𝑘 𝛼 − 𝑝 𝑘| dado que x es
entero no nulo. Lo cual es una contradicción pues por hipótesis tenemos que
|𝑠𝛼 − 𝑟| < |𝑞 𝑘 𝛼 − 𝑝 𝑘|, lo que implica que x e y son ambos no nulos.
Supongamos ahora que 𝑦 < 0 . Como 𝑞 𝑘 𝑥 = 𝑠 − 𝑞 𝑘+1 𝑦 siendo 𝑞 𝑛 ≥ 0 y 𝑠 > 0 ,
tenemos que 𝑥 > 0.
Si 𝑦 > 0, tenemos 𝑞 𝑘+1 𝑦 ≥ 𝑞 𝑘+1 > 𝑠 (por ser 𝑦 entero positivo y además asumimos
que 𝑠 < 𝑞 𝑘+1); tenemos 𝑞 𝑘 𝑥 = 𝑠 − 𝑞 𝑘+1 𝑦 < 0, luego 𝑥 < 0.
Por otra parte, si k es par, tenemos la siguiente condición
𝑝 𝑘
𝑞 𝑘
< 𝛼 <
𝑝 𝑘+1
𝑞 𝑘+1
mientras que
si k es impar se tiene
𝑝 𝑘+1
𝑞 𝑘+1
< 𝛼 <
𝑝 𝑘
𝑞 𝑘
.
En ambos casos tenemos que 𝑞 𝑘 𝛼 − 𝑝 𝑘 y 𝑞 𝑘+1 𝛼 − 𝑝 𝑘+1 tienen signos opuestos,
luego 𝑥(𝑞 𝑘 𝛼 − 𝑝 𝑘) e 𝑦(𝑞 𝑘+1 𝛼 − 𝑝 𝑘+1) tienen el mismo signo, entonces

18
|𝑠𝛼 − 𝑟| = |(𝑞 𝑘 𝑥 + 𝑞 𝑘+1 𝑦)𝛼 − (𝑝 𝑘 𝑥 + 𝑝 𝑘+1 𝑦)|
= |𝑥(𝑞 𝑘 𝛼 − 𝑝 𝑘) + 𝑦(𝑞 𝑘+1 𝛼 − 𝑝 𝑘+1)|
= |𝑥||𝑞 𝑘 𝛼 − 𝑝 𝑘| + |𝑦||𝑞 𝑘+1 𝛼 − 𝑝 𝑘+1| ≥ |𝑥||𝑞 𝑘 𝛼 − 𝑝 𝑘|
≥ |𝑞 𝑘 𝛼 − 𝑝 𝑘|
Lo cual es una contradicción dado que por hipótesis tenemos |𝑠𝛼 − 𝑟| < |𝑞 𝑘 𝛼 − 𝑝 𝑘|.
Entonces 𝑠 ≥ 𝑞 𝑘+1.
□
A partir del contrarrecíproco del teorema anterior, se concluye el corolario siguiente:
Corolario 2.2
Sea 𝛼 un número irracional y 𝑐 𝑛 =
𝑝 𝑛
𝑞 𝑛
, con 𝑛 ∈ 𝑁, el n-ésimo convergente de la fracción
continua de 𝛼. Si 𝑟, 𝑠 ∈ 𝑁 con 𝑠 > 0 y k es un entero positivo tal que 𝑠 ≤ 𝑞 𝑘, entonces
|𝛼 −
𝑝 𝑘
𝑞 𝑘
| ≤ |𝛼 −
𝑟
𝑠
|.
Demostración
Por el contrarrecíproco del teorema anterior, tenemos:
𝑠 ≤ 𝑞 𝑘 ⇒ |𝑞 𝑘 𝛼 − 𝑝 𝑘| ≤ |𝑠𝛼 − 𝑟|
Dividiendo ambos lados de la desigualdad entre s (𝑠 > 0), tenemos:
|
𝑞 𝑘 𝛼
𝑠
−
𝑝 𝑘
𝑠
| ≤ |𝛼 −
𝑟
𝑠
|
Sabemos que
𝑠
𝑞 𝑘
≤ 1, entonces |𝛼 −
𝑝 𝑘
𝑞 𝑘
| ≤ |
𝑞 𝑘 𝛼
𝑠
−
𝑝 𝑘
𝑠
|
Por lo tanto: |𝛼 −
𝑝 𝑘
𝑞 𝑘
| ≤ |𝛼 −
𝑟
𝑠
|
□
En el siguiente teorema, se probará que si un racional
𝑟
𝑠
es lo suficientemente próximo
al irracional 𝛼 tal que cumple con la desigualdad |𝛼 −
𝑟
𝑠
| <
1
2𝑠2 , entonces
𝑟
𝑠
es un
convergente de la fracción continua 𝛼.

19
Teorema 2.3
Si 𝛼 es un número irracional y
𝑟
𝑠
es un número racional con 𝑠 > 0 tal que |𝛼 −
𝑟
𝑠
| <
1
2𝑠2,
entonces
𝑟
𝑠
es un convergente de la fracción continua de 𝛼.
Demostración
Supongamos que
𝑟
𝑠
no es convergente de la fracción continua de 𝛼 , es decir
𝑟
𝑠
≠
𝑝 𝑛
𝑞 𝑛
∀𝑛. Sea k el entero no negativo más grande tal que 𝑞 𝑘 ≤ 𝑠 < 𝑞 𝑘+1 , por el
corolario anterior, tenemos
|𝑞 𝑘 𝛼 − 𝑝 𝑘| ≤ |𝑠𝛼 − 𝑟| = 𝑠 |𝛼 −
𝑟
𝑠
| <
1
2𝑠
(por hipótesis sabemos que |𝛼 −
𝑟
𝑠
| <
1
2𝑠2 ).
Entonces |𝛼 −
𝑝 𝑘
𝑞 𝑘
| <
1
2𝑠𝑞 𝑘
.
Como
𝑟
𝑠
≠
𝑝 𝑘
𝑞 𝑘
, se tiene |𝑠𝑝 𝑘 − 𝑟𝑞 𝑘| ≥ 1 (dado que todos los elementos involucrados
son números enteros), entonces
1
𝑠𝑞 𝑘
≤
|𝑠𝑝 𝑘−𝑟𝑞 𝑘|
𝑠𝑞 𝑘
= |
𝑝 𝑘
𝑞 𝑘
−
𝑟
𝑠
| = |
𝑝 𝑘
𝑞 𝑘
−
𝑟
𝑠
+ 𝛼 − 𝛼| ≤ |𝛼 −
𝑝 𝑘
𝑞 𝑘
| + |𝛼 −
𝑟
𝑠
| <
1
2𝑠𝑞 𝑘
+
1
2𝑠2.
Por lo tanto
1
𝑠𝑞 𝑘
<
1
2𝑠𝑞 𝑘
+
1
2𝑠2
, lo que implica que
1
2𝑠𝑞 𝑘
<
1
2𝑠2
, entonces 𝑞 𝑘 > 𝑠, lo cual
es una contradicción, pues inicialmente tomamos k tal que 𝑠 ≥ 𝑞 𝑘.
La contradicción surge de considerar que el racional
𝑟
𝑠
no es un convergente de la
fracción continua de 𝛼.
□

20
3
Irracionales cuadráticos y fracciones continuas
periódicas
En esta sección se presentará la relación existente entre las fracciones continuas
periódicas y los irracionales cuadráticos, demostrando que los irracionales cuadráticos
son los únicos números que poseen representación como fracción continua periódica.
Definición 3.1
Se dice que un número es un irracional cuadrático si es una solución irracional de la
ecuación cuadrática 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 con a, b y c enteros y 𝑎 ≠ 0.
Definición 3.2
Una fracción continua periódica, es una fracción continua de la forma
[𝑎0, … , 𝑎 𝑛−1, 𝑎 𝑛, … , 𝑎 𝑛+𝑖] con 𝑖 ∈ 𝑁∗
. Donde el período es la sucesión de términos
𝑎 𝑛, … , 𝑎 𝑛+𝑖.
Observación:
Usando el hecho de que para todo 𝑛, 𝛼 𝑛 = [𝑎 𝑛, 𝑎 𝑛+1, … ] se puede demostrar que la
fracción continua es periódica si y sólo si existen 𝑘 ∈ 𝑁∗
y 𝑛 ∈ 𝑁 tales que 𝛼 𝑛 = 𝛼 𝑛+𝑘.

21
Teorema 3.1
Las fracciones continuas periódicas corresponden a irracionales cuadráticos.
Demostración:
Recordemos que en la representación de x por fracción continua, 𝑎 𝑛 𝑦 𝛼 𝑛 son
definidas por recurrencia: 𝛼0 = 𝑥, 𝑎 𝑛 = [𝛼 𝑛], 𝛼 𝑛+1 =
1
𝛼 𝑛−𝑎 𝑛
. Sabemos además que
𝛼 𝑛 =
𝑝 𝑛−2−𝑞 𝑛−2 𝑥
𝑝 𝑛−1−𝑞 𝑛−1 𝑥
∀𝑛 ≥ 2.
Probaremos que si la fracción continua es periódica, entonces x es raíz irracional de una
ecuación de segundo grado con coeficientes enteros.
Entonces, si 𝛼 𝑛+𝑘 = 𝛼 𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑘 ∈ 𝑁∗
se tiene
𝑝 𝑛−2−𝑞 𝑛−2 𝑥
𝑝 𝑛−1−𝑞 𝑛−1 𝑥
=
𝑝 𝑛+𝑘−2−𝑞 𝑛+𝑘−2 𝑥
𝑝 𝑛+𝑘−1−𝑞 𝑛+𝑘−1 𝑥
.
Mediante operaciones se obtiene la ecuación 𝐴𝑥2
+ 𝐵𝑥 + 𝐶 = 0 con:
𝐴 = 𝑞 𝑛−1 𝑞 𝑛+𝑘−2 − 𝑞 𝑛−2 𝑞 𝑛+𝑘−1
𝐵 = 𝑝 𝑛+𝑘−1 𝑞 𝑛−2 + 𝑝 𝑛−2 𝑞 𝑛+𝑘−1 − 𝑝 𝑛+𝑘−2 𝑞 𝑛−1 − 𝑝 𝑛−1 𝑞 𝑛+𝑘−2
𝐶 = 𝑝 𝑛−1 𝑝 𝑛+𝑘−2 − 𝑝 𝑛−2 𝑝 𝑛+𝑘−1
Notemos que el coeficiente de 𝑥2
es no nulo, dado que
𝑞 𝑛−1
𝑞 𝑛−2
es una fracción irreducible
de denominador 𝑞 𝑛−2, pues 𝑝 𝑛−1 𝑞 𝑛−2 − 𝑝 𝑛−2 𝑞 𝑛−1 = (−1) 𝑛
, y por el mismo motivo
𝑞 𝑛+𝑘−1
𝑞 𝑛+𝑘−2
es una fracción irreducible de denominador 𝑞 𝑛+𝑘−2 con 𝑞 𝑛+𝑘−2 > 𝑞 𝑛−2. Por lo
tanto
𝑞 𝑛−1
𝑞 𝑛−2
≠
𝑞 𝑛+𝑘−1
𝑞 𝑛+𝑘−2
, de donde 𝑞 𝑛−1 𝑞 𝑛+𝑘−2−𝑞 𝑛−2 𝑞 𝑛+𝑘−1 ≠ 0.
Concluimos entonces que si la fracción continua de x es periódica, entonces x es raíz
irracional de una ecuación de segundo grado con coeficientes enteros.
□
Teorema 3.2
Si x es un irracional cuadrático, entonces la fracción continua de x es periódica. Es
decir, existe 𝑛 ∈ 𝑁∗
tal que 𝛼 𝑛+𝑘 = 𝛼 𝑛.
Demostración
Tenemos que x es un irracional cuadrático entonces existen a, b y c enteros tales que
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, con 𝑏2
− 4𝑎𝑐 > 0 y √𝑏2 − 4𝑎𝑐 irracional.
Como 𝑥 =
y 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, entonces

22
𝑎 (
)
2
+ 𝑏 (
) + 𝑐 = 0.
Mediante operaciones obtenemos la ecuación 𝐴 𝑛 𝛼 𝑛
2
+ 𝐵𝑛 𝛼 𝑛 + 𝐶 𝑛 = 0 con:
𝐴 𝑛 = 𝑎𝑝 𝑛−1
2
+ 𝑏𝑝 𝑛−1 𝑞 𝑛−1 + 𝑐𝑞 𝑛−1
2
𝐵𝑛 = 2𝑎𝑝 𝑛−1 𝑝 𝑛−2 + 𝑏(𝑝 𝑛−1 𝑞 𝑛−2 + 𝑝 𝑛−2 𝑞 𝑛−1) + 2𝑐𝑞 𝑛−1 𝑞 𝑛−2
𝐶 𝑛 = 𝑎𝑝 𝑛−2
2
+ 𝑏𝑝 𝑛−2 𝑞 𝑛−2 + 𝑐𝑞 𝑛−2
2
Notemos que 𝐶 𝑛 = 𝐴 𝑛−1.
Probaremos ahora que existe 𝑀 > 0 tal que 0 < |𝐴 𝑛| ≤ 𝑀, ∀𝑛 ∈ 𝑁 y por lo tanto
0 < |𝐶 𝑛| ≤ 𝑀 ∀𝑛 ∈ 𝑁:
𝐴 𝑛 = 𝑎𝑝 𝑛−1
2
+ 𝑏𝑝 𝑛−1 𝑞 𝑛−1 + 𝑐𝑞 𝑛−1
2
= 𝑞 𝑛−1
2
(
𝑎𝑝 𝑛−1
2 +𝑏𝑝 𝑛−1 𝑞 𝑛−1+𝑐𝑞 𝑛−1
2
𝑞 𝑛−1
2 ) =
𝑞 𝑛−1
2
(𝑎 (
𝑝 𝑛−1
𝑞 𝑛−1
)
2
+ 𝑏
𝑝 𝑛−1
𝑞 𝑛−1
+ 𝑐) = 𝑎𝑞 𝑛−1
2
(𝑥 −
𝑝 𝑛−1
𝑞 𝑛−1
) (𝑥̅ −
𝑝 𝑛−1
𝑞 𝑛−1
) donde 𝑥 y 𝑥̅ son las
raíces de 𝑎𝑋2
+ 𝑏𝑋 + 𝑐 = 0.
Tenemos |𝑥 −
𝑝 𝑛−1
𝑞 𝑛−1
| <
1
𝑞 𝑛−1
2 ≤ 1 ⇒ 𝑞 𝑛−1
2
|𝑥 −
𝑝 𝑛−1
𝑞 𝑛−1
| < 1
Entonces, aplicando lo anterior |𝐴 𝑛| = 𝑎𝑞 𝑛−1
2
|𝑥 −
𝑝 𝑛−1
𝑞 𝑛−1
| |𝑥̅ −
𝑝 𝑛−1
𝑞 𝑛−1
| < 𝑎 |𝑥̅ −
𝑝 𝑛−1
𝑞 𝑛−1
| <
< 𝑎 |𝑥̅ − 𝑥 + 𝑥 −
𝑝 𝑛−1
𝑞 𝑛−1
| ≤ 𝑎 (|𝑥̅ − 𝑥| + |𝑥 −
𝑝 𝑛−1
𝑞 𝑛−1
|) ≤ 𝑀 = 𝑎(|𝑥̅ − 𝑥| + 1).
Hemos probamos que las sucesiones (𝐴 𝑛) 𝑛∈𝑁 y (𝐶 𝑛) 𝑛∈𝑁 están acotadas, ya que por lo
visto anteriormente (𝐴 𝑛) 𝑛∈𝑁 está acotada por M y 𝐶 𝑛 = 𝐴 𝑛−1 ∀𝑛 ∈ 𝑁.
Mediante operaciones, se obtiene:
𝐵𝑛
2
− 4𝐴 𝑛 𝐶 𝑛 = (𝑝 𝑛−1 𝑞 𝑛−2 − 𝑝 𝑛−2 𝑞 𝑛−1)2(𝑏2
− 4𝑎𝑐)
Además, sabemos que para todo 𝑛 ∈ 𝑁 : 𝑝 𝑛−1 𝑞 𝑛−2 − 𝑝 𝑛−2 𝑞 𝑛−1 = (−1) 𝑛
, entonces
𝐵𝑛
2
− 4𝐴 𝑛 𝐶 𝑛 = 𝑏2
− 4𝑎𝑐
Por lo tanto 𝐵𝑛
2
= 4𝐴 𝑛 𝐶 𝑛 + 𝑏2
− 4𝑎𝑐 ≤ 4𝑀2
+ 𝑏2
− 4𝑎𝑐 ⇒ 𝐵𝑛 ≤ 𝑀´ =
√4𝑀2 + 𝑏2 − 4𝑎𝑐.
Se concluye de esta forma que la sucesión (𝐵𝑛) 𝑛∈𝑁 también está acotada.
Entonces (𝐴 𝑛) 𝑛∈𝑁, (𝐵𝑛) 𝑛∈𝑁 y (𝐶 𝑛) 𝑛∈𝑁 son sucesiones acotadas de enteros, por lo
tanto existe un número finito de posibles ecuaciones 𝐴 𝑛 𝑋2
+𝐵𝑛 𝑋+𝐶 𝑛 = 0, y por lo
tanto un número finito de posibles valores 𝛼 𝑛.

23
De tal forma, necesariamente 𝛼 𝑛+𝑘 = 𝛼 𝑛 para algún 𝑛 ∈ 𝑁 y 𝑘 ∈ 𝑁∗
.
Es decir, probamos que si 𝛼 es raíz irracional de una ecuación cuadrática con
coeficientes enteros, entonces la fracción continua de 𝛼 es periódica. □
Observación:
Los teoremas demostrados anteriormente, nos permiten concluir que los irracionales
cuadráticos son los únicos números reales que poseen representación en forma de
fracción continua periódica.
Ejemplo 3.1
Obtendremos el irracional cuadrático x tal que 𝑥 = [4, 1, 3, 4̅̅̅̅̅]:
𝑥 = [4, 1, 3, 4̅̅̅̅̅] ⇒ 𝑥 = [4, 1, 𝑦] con 𝑦 = [3, 4̅̅̅̅̅] = [3,4, 3, 4̅̅̅̅̅] = [3,4, 𝑦] ⇒
𝑦 = 3 +
1
4+
1
𝑦
⇒ 𝑦2
− 3𝑦 −
3
4
= 0, entonces 𝑦 =
3
2
+ √3.
Los dos primeros convergentes de 𝑥 = [4, 1, 𝑦] son 𝑐0 = 4, 𝑐1 = 5, entonces por el
teorema 1.7, tenemos 𝑥 =
(
3
2
+√3).5+4
(
3
2
+√3).1+1
=
23+10√3
5+2√3
×
5−2√3
5−2√3
⇒ 𝑥 =
4√3+55
13
Si no recordamos la propiedad aplicada anteriormente, podemos obtener x mediante el
siguiente cálculo: 𝑥 = 4 +
1
1+
1
3
2
+√3
.
Ejemplo 3.2
Expresamos √11 como fracción continua periódica:
Tenemos que 3 < √11 < 4, entonces: √11 = 3 + (√11 − 3) = 3 +
1
1
√11−3
Racionalizando
1
√11−3
se obtiene
√11+3
2
. Sabemos que 3 <
√11+3
2
< 4 , entonces
continuamos con el mismo razonamiento empleado anteriormente, tenemos:

24
3 +
1
1
√11 − 3
= 3 +
1
√11 + 3
2
= 3 +
1
3 +
√11 − 3
2
= 3 +
1
3 +
1
2
√11 − 3
= 3 +
1
3 +
1
√11 + 3
= 3 +
1
3 +
1
6 + (√11 − 3)
Observamos que √11 − 3 vuelve a surgir, por lo que el nuevo ciclo se inicia. Tenemos
que √11 − 3 = 3 +
1
6+(√11−3)
, entonces √11 = [3; 3, 6̅̅̅̅̅]
░
Ejemplo 3.3
Escribimos √17 como fracción continua:
√17 = 4 + (√17 − 4) = 4 +
1
1
√17 − 4
= 4 +
1
√17 + 4
17 − 42
= 4 +
1
√17 + 4
= 4 +
1
8 + (√17 − 4)
Como podemos ver, √17 − 4 vuelve a surgir, y por lo realizado sabemos que
√17 − 4 =
1
8+(√17−4)
; entonces el número 8 continuará repitiéndose infinitamente. Por
lo tanto √17 = [4, 8̅] . ░
A continuación, trataremos de generalizar lo realizado anteriormente, buscando
fórmulas para el desarrollo en fracciones continuas periódicas de irracionales
cuadráticos particulares:
 Busquemos la fracción continua asociada a √𝑝2 + 1 , siendo p un entero
positivo:
√𝑝2 + 1 = 𝑝 + (√𝑝2 + 1 − 𝑝) = 𝑝 + (√𝑝2 + 1 − 𝑝) .
√𝑝2 + 1 + 𝑝
√𝑝2 + 1 + 𝑝
= 𝑝 +
1
√𝑝2 + 1 + 𝑝
= 𝑝 +
1
2𝑝 + (√𝑝2 + 1 − 𝑝)

25
Como podemos observar, el período se inicia repitiéndose infinitamente 2𝑝 .
Concluimos entonces que √𝑝2 + 1 = [𝑝, 2𝑝̅̅̅̅] .
Como lo podemos observar en el desarrollo dela fracción continua de √17:
√17 = √42 + 1 = [4, 8̅]
 Veremos ahora el desarrollo de √𝑝2 + 2:
√𝑝2 + 2 = 𝑝 + √𝑝2 + 2 − 𝑝 = 𝑝 +
1
1
√𝑝2 + 2 − 𝑝
= 𝑝 +
1
√𝑝2 + 2 + 𝑝
2
= 𝑝 +
1
2𝑝 + √𝑝2 + 2 − 𝑝
2
= 𝑝 +
1
𝑝 +
√𝑝2 + 2 − 𝑝
2
= 𝑝 +
1
𝑝 +
1
2
√𝑝2 + 2 − 𝑝
= 𝑝 +
1
𝑝 +
1
2(√𝑝2 + 2 + 𝑝)
2
= 𝑝 +
1
𝑝 +
1
√𝑝2 + 2 + 𝑝
= 𝑝 +
1
𝑝 +
1
2𝑝 + √𝑝2 + 2 − 𝑝
= 𝑝 +
1
𝑝 +
1
2𝑝 +
1
1
√𝑝2 + 2 − 𝑝
Iniciándose nuevamente el período, por lo tanto:
√𝑝2 + 2 = [𝑝, 𝑝, 2𝑝̅̅̅̅̅̅]
Como lo observamos en el caso de la fracción continua de √11 , dado que
√11 = √32 + 2 = [3, 3, 6̅̅̅̅̅]
Al igual que lo realizado anteriormente, si p es un entero positivo, se prueban las
siguientes igualdades: √𝑝2 − 1 = [𝑝, 1, 2𝑝̅̅̅̅̅̅] y √𝑝2 + 𝑝 = [𝑝, 2, 2𝑝̅̅̅̅̅̅]

26
4
Interpretación geométrica de las fracciones continuas
En esta sección, tomando como referencia el trabajo de Stark (1978), introducimos una
de las interpretaciones geométricas de las fracciones continuas. Mediante ésta, podemos
observar que siempre que se trate de un número racional la fracción continua
correspondiente es finita, y si el número es irracional la fracción continua es infinita.
Veremos en algunos ejemplos que los convergentes de una fracción continua se hacen
cada vez más próximos al número en cuestión, como lo hemos probado anteriormente.
Simplemente mostraremos (sin probar) en qué consiste esta forma de representar
geométricamente a las fracciones continuas, la obtención de los 𝑎𝑖 y la relación que
existe entre las coordenadas de los puntos que se obtienen y los convergentes de la
fracción continua.
Algoritmo geométrico para la obtención de la fracción continua de 𝜶:
Sea 𝛼 un número real positivo, l la recta de ecuación 𝑦 = 𝛼𝑥 y los puntos 𝑉−2 = (1, 0)
y 𝑉−1 = (0, 1). Tenemos que 𝑉0 = 𝑉−2 + 𝑎0 𝑉−1 = (1, 𝑎0) donde 𝑎0 es el único entero
tal que 𝑉−2 + 𝑎0 𝑉−1 y 𝑉−2 se encuentran en el mismo semiplano de borde l y además
𝑉−2 + (𝑎0 + 1)𝑉−1 se encuentra en el semiplano opuesto. Si 𝑉0 pertenece a l, el
procedimiento termina en 𝑉0. Si 𝑉0 no pertenece a l, el procedimiento se vuelve repetir
para obtener 𝑉1 a partir de 𝑉−1 y 𝑉0. En general, si ya tenemos 𝑉𝑛−2 y 𝑉𝑛−1, definimos
𝑉𝑛 = 𝑉𝑛−2 + 𝑎 𝑛 𝑉𝑛−1 donde 𝑎 𝑛 es el mayor número entero tal que 𝑉𝑛−2 y 𝑉𝑛 pertenecen
al mismo semiplano de borde l (o 𝑉𝑛 pertenece a l).
Los 𝑎𝑖 así definidos conforman la fracción continua de 𝛼.

27
Ejemplo 4.1:
Tomemos 𝛼 =
23
3
Tenemos la recta de ecuación 𝑦 =
23
3
𝑥 y los puntos 𝑉−2 = (1, 0) y 𝑉−1 = (0, 1),
entonces 𝑎0 = 7 y 𝑉0 = (1, 7) dado que 𝑉−2 + 7𝑉−1 = (1, 7) y 𝑉−2 = (1, 0)
pertenecen al mismo semiplano de borde la recta indicada y 𝑉−2 + 8𝑉−1 = (1, 8)
pertenece al semiplano opuesto.
Puesto que 𝑉0 no pertenece a la recta, repetimos el procedimiento con 𝑉−1 y 𝑉0 .
Tenemos que 𝑉−1 = (0, 1) y 𝑉0 = (1, 7), entonces 𝑎1 = 1 y 𝑉1 = (1, 8) dado que 𝑉−1 +
𝑉0 = (1, 8) y 𝑉−1 = (0, 1) pertenecen al mismo semiplano de borde la recta anterior y
𝑉−1 + 2𝑉0 = (2, 15) pertenece al semiplano opuesto.
Nuevamente, el punto no pertenece a la recta, por lo tanto continuamos con 𝑉0 y 𝑉1.
𝑉0 = (1, 7) y 𝑉1 = (1, 8). Entonces 𝑎2 = 2 y 𝑉2 = (3, 23) dado que 𝑉2 pertenece a la
recta, y por lo tanto el procedimiento termina.
Sabemos que los 𝑎𝑖 obtenidos corresponden a los términos de la fracción continua de
23
3
;
entonces tenemos que
23
3
= [7, 1, 2].
Gráficamente:

28
Ejemplo 4.2:
Tomemos 𝛼 = √2
En este ejemplo omitiremos las justificaciones de la obtención de los 𝑎𝑖 y 𝑉𝑖, si bien el
razonamiento empleado es el mismo que el expresado anteriormente.
Sabemos que el procedimiento es infinito ya que los puntos 𝑉𝑖 jamás pertenecerán a la
recta, dado que sus coordenadas son enteras y la pendiente de la recta es irracional.
Además ya sabemos que la fracción continua de un número irracional es infinita.
Tenemos la recta de ecuación 𝑦 = √2𝑥 y los puntos 𝑉−2 = (1, 0) y 𝑉−1 = (0, 1),
entonces 𝑎0 = 1 y 𝑉0 = (1, 1).
Ahora tenemos 𝑉−1 = (0, 1) y 𝑉0 = (1, 1), entonces 𝑎1 = 2 y 𝑉1 = (2, 3).
Luego 𝑎2 = 2, 𝑉2 = (5, 7) y 𝑎3 = 2, 𝑉3 = (12, 17).
Representándolo gráficamente, tenemos:

29
Por este mecanismo, concluimos que los cuatro primeros elementos de la fracción
continua de √2 son 1, 2, 2 y 2 (√2 = [1, 2, 2, 2, … ]), pero no contamos con las
herramientas necesarias como para probar que corresponde a una fracción continua
periódica de período 2.
Relación entre los 𝑽𝒊 y los convergentes de la fracción continua:
Sabemos que 𝑉−2 = (1, 0), 𝑉−1 = (0, 1) y 𝑉𝑛 = 𝑉𝑛−2 + 𝑎 𝑛 𝑉𝑛−1, entonces:
𝑉0 = 𝑉−2 + 𝑎0 𝑉−1 = (1, 𝑎0) = (𝑞0, 𝑝0)
𝑉1 = 𝑉−1 + 𝑎1 𝑉0 = (0, 1) + 𝑎1(1, 𝑎0) = (𝑎1, 𝑎1 𝑎0 + 1) = (𝑞1, 𝑝1)
𝑉2 = 𝑉0 + 𝑎2 𝑉1 = (𝑞0, 𝑝0) + 𝑎2(𝑞1, 𝑝1) = (𝑎2 𝑞1 + 𝑞0, 𝑎2 𝑝1 + 𝑝0) = (𝑞2, 𝑝2)
…
𝑉𝑛 = 𝑉𝑛−2 + 𝑎 𝑛 𝑉𝑛−1 = (𝑞 𝑛−2, 𝑝 𝑛−2) + 𝑎 𝑛(𝑞 𝑛−1, 𝑝 𝑛−1)
= (𝑎 𝑛 𝑞 𝑛−1 + 𝑞 𝑛−2, 𝑎 𝑛 𝑝 𝑛−1 + 𝑝 𝑛−2) = (𝑞 𝑛, 𝑝 𝑛)
Como podemos ver, si los 𝑎𝑖 son los términos de la fracción continua de 𝛼 , los
convergentes se pueden obtener a partir de los 𝑉𝑖, y los 𝑉𝑖 se pueden obtener a partir de
los convergentes; dado que el n-ésimo convergente es el cociente entre la ordenada y la
abscisa de 𝑉𝑛.
En el capítulo 1 demostramos que 𝑐2 < 𝑐4 < 𝑐6 < ⋯ < 𝑐5 < 𝑐3 < 𝑐1. Por tal motivo,
tenemos que los 𝑉𝑖 se sitúan de forma alternada con respecto a la recta uno en cada
semiplano.
Justamente si n es impar, tenemos que 𝛼 <
𝑝 𝑛
𝑞 𝑛
entonces 𝛼𝑞 𝑛 < 𝑝 𝑛 y por lo tanto el
punto 𝑉𝑛(𝑞 𝑛, 𝑝 𝑛) se encuentra en el semiplano superior de borde la recta de ecuación
𝑦 = 𝛼𝑥. Así como también, si n es par tenemos 𝛼𝑞 𝑛 > 𝑝 𝑛 y como consecuencia el
punto 𝑉𝑛(𝑞 𝑛, 𝑝 𝑛) se encuentra en el semiplano inferior de borde la recta mencionada.

30
También probamos en el teorema 2.1 que si tenemos un racional
𝑟
𝑠
que cumple con la
desigualdad |𝑠𝛼 − 𝑟| < |𝑞 𝑘 𝛼 − 𝑝 𝑘| para algún entero k positivo, entonces 𝑠 ≥ 𝑞 𝑘+1.
Lo que implica que si 𝑠 < 𝑞 𝑘 entonces el punto de coordenadas (𝑠, 𝑟) se encuentra más
distante de la recta que el punto 𝑉𝑘(𝑞 𝑘, 𝑝 𝑘). Como consecuencia, a medida que n
aumenta 𝑉𝑛 está cada vez más próximo a la recta de ecuación 𝑦 = 𝛼𝑥; así como lo
podemos observar en los dos ejemplos graficados previamente.

31
5
Números de Liouville
En las secciones anteriores estuvimos desarrollando parte de la teoría de las fracciones
continuas, las cuales consisten en dar buenas aproximaciones por racionales a números
irracionales. En este apartado se tratarán los números de Liouville, que en resumen son
los irracionales que mejor se aproximan por racionales.
Para este capítulo tomamos como referencia las publicaciones de Marchiori (2013), de
Figueiredo (2002), Silva (2015) y Dıaz y Jorge (2007). Nos centramos principalmente
en las propiedades y características de los números de Liouville y no en la justificación
de las mismas. Las demostraciones no realizadas en este capítulo, están disponibles en
de Figueiredo (2002).
Definición 5.1
Decimos que un número real 𝛼 es aproximable de orden n por racionales si existe una
constante 𝑐 > 0 y una sucesión (
𝑝 𝑗
𝑞 𝑗
)
𝑗∈𝑁
de racionales distintos, con 𝑞𝑗 > 0 y
𝑚𝑐𝑑(𝑝𝑗, 𝑞𝑗) = 1 tales que |𝛼 −
𝑝 𝑗
𝑞 𝑗
| <
𝑐
𝑞 𝑗
𝑛.
Observaciones:
1. De la definición anterior, se concluye que si un número 𝛼 es aproximable de
orden n, entonces es aproximable en cualquier orden 𝑘, con 𝑘 ≤ 𝑛.

32
2. Tenemos que |𝛼 −
𝑝 𝑗
𝑞 𝑗
| <
𝑐
𝑞 𝑗
𝑛 y 𝑞𝑗 ∈ 𝑁∗
, entonces si existe una cantidad finita de
números 𝑞𝑗 , también tendremos una cantidad finita de 𝑝𝑗 que cumplen la
desigualdad anterior. Por lo tanto, la sucesión de naturales (𝑞𝑗)
𝑗∈𝑁
no es
acotada. Como consecuencia, concluimos que lim
𝑗→+∞
𝑝 𝑗
𝑞 𝑗
= 𝛼.
Teorema 5.1
Todo número racional es aproximable de orden 1, y no es aproximable de orden k, con
𝑘 > 1.
Teorema 5.2
Todo número irracional es aproximable de orden 2, es decir, existe una constante 𝑐 > 0
tal que para un número infinito de racionales
𝑝
𝑞⁄ distintos, se cumple |𝛼 −
𝑝
𝑞
| <
𝑐
𝑞2.
Observaciones:
1. El teorema 5.2 afirma que un número irracional es aproximable por lo menos en
orden 2. Dependiendo del número irracional, podrá ser aproximado en un orden
superior.
2. Dicho teorema se puede probar a partir del teorema 1.8, dado que en éste se
demuestra que para todos los convergentes de la fracción continua de un
irracional 𝛼, se cumple que |𝛼 −
𝑝 𝑛
𝑞 𝑛
| <
1
𝑞 𝑛
2
.
Hurwitz (1891) probó que la menor constante c que es válida para todos los irracionales
en la desigualdad del teorema anterior es
1
√5
. Más precisamente, si 𝐴 <
1
√5
existe un
número irracional 𝛼 tal que para todos los racionales
𝑝
𝑞⁄ , excepto un número finito de
ellos, cumplen con la desigualdad |𝛼 −
𝑝
𝑞
| >
𝐴
𝑞2.

33
Definiciones 5.2
i. Se dice que 𝛼 ∈ 𝑅 es algebraico si es solución de una ecuación polinómica no
nula con coeficientes enteros.
ii. Un número es trascendente si no es algebraico.
iii.Si 𝛼 ∈ 𝑅 es un número algebraico, definimos el polinomio minimal de 𝛼 como el
polinomio mónico (polinomio cuyo coeficiente principal es igual a 1) de menor
grado con coeficientes racionales, que tiene a este número como raíz. En este
caso, el grado de 𝛼 es definido como el grado de su polinomio minimal.
Observación:
Un número es racional si, y sólo si, es algebraico de grado 1. Por lo tanto, si 𝛼 es
algebraico de grado 𝑛 ≥ 2, entonces 𝛼 es irracional.
Ejemplo 5.1:
Obtendremos un polinomio siendo 𝑥 = 1 − √5
3
una de sus raíces:
𝑥 = 1 − √5
3
⟺ 1 − 𝑥 = √5
3
⟺ (1 − 𝑥)3
= 5 ⟺ 𝑥3
− 3𝑥2
+ 3𝑥 + 4 = 0
Entonces 𝑥 = 1 − √5
3
es algebraico de grado 3 dado que se puede probar que su
polinomio minimal es 𝑥3
− 3𝑥2
+ 3𝑥 + 4.
Teorema 5.3: Teorema de Liouville
Sea 𝛼 ∈ 𝑅 un algebraico de grado 𝑛 ≥ 2. Entonces, existe una constante 𝐴 > 0 tal que
|𝛼 −
𝑝
𝑞
| >
𝐴
𝑞 𝑛
para todo
𝑝
𝑞
∈ 𝑄.
Corolario
Si 𝛼 es un número algebraico real de grado n, entonces 𝛼 no es aproximable de orden
n+1.

34
Construcción de números trascendentes
Veamos como el teorema 5.3 proporciona una poderosa herramienta para construir
números trascendentes.
Observemos que por el teorema de Liouville, si un número 𝑥 verifica que para toda
constante 𝐶 > 0 y todo número natural n existen 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑁 tales que 0 < |𝑥 −
𝑝
𝑞
| ≤
𝐶
𝑞 𝑛
entonces el número x es trascendente.
Utilicemos esta observación para construir números trascendentes:
Algoritmo de Liouville (1851)
Consideramos un número x cuyos términos 𝑎𝑖 son definidos inductivamente como
sigue: supongamos conocidos los términos 𝑎1, … , 𝑎 𝑘 y por lo tanto definidos los
convergentes 𝑝 𝑘 𝑞 𝑘⁄ , elegimos 𝑎 𝑘+1 de tal forma que 𝑎 𝑘+1 > 𝑞 𝑘
𝑘−1
.
El número obtenido 𝑥 = [𝑎1, … , 𝑎 𝑘, … ] es trascendente.
Demostración
Para demostrarlo, probaremos que x no es algebraico de grado n para todo n.
Por el teorema de Liouville, tenemos que si un número x es algebraico de grado 𝑛 ≥ 2,
entonces existe una constante 𝐴 > 0 tal que |𝑥 −
𝑝
𝑞
| >
𝐴
𝑞 𝑛
para todo
𝑝
𝑞
∈ 𝑄.
Entonces, por el contrarrecíproco de este teorema, probaremos que para todo A existe
un racional
𝑝
𝑞
tal que |𝑥 −
𝑝
𝑞
| <
𝐴
𝑞 𝑛
.
Mediante la aplicación del teorema 1.4 sabemos que
𝑝 𝑘+1
𝑞 𝑘+1
−
𝑝 𝑘
𝑞 𝑘
=
(−1) 𝑘
𝑞 𝑘+1 𝑞 𝑘
. Luego tenemos
|
𝑝 𝑘+1
𝑞 𝑘+1
−
𝑝 𝑘
𝑞 𝑘
| = |(𝑥 −
𝑝 𝑘
𝑞 𝑘
) − (𝑥 −
𝑝 𝑘+1
𝑞 𝑘+1
)|
Sabemos que los convergentes son alternadamente mayor y menor con respecto al
número x, entonces 𝑥 −
𝑝 𝑘
𝑞 𝑘
y 𝑥 −
𝑝 𝑘+1
𝑞 𝑘+1
son de distinto signo. De donde concluimos que
|(𝑥 −
𝑝 𝑘
𝑞 𝑘
)| < |(𝑥 −
𝑝 𝑘
𝑞 𝑘
) − (𝑥 −
𝑝 𝑘+1
𝑞 𝑘+1
)| =
1
.
Por lo tanto |𝑥 −
𝑝 𝑘
𝑞 𝑘
| <
1
.
Luego
1
=
1
𝑞 𝑘(𝑎 𝑘+1 𝑞 𝑘+𝑞 𝑘−1)
≤
1
𝑞 𝑘
2 𝑎 𝑘+1
<
1
𝑞 𝑘
𝑘+1 donde la última desigualdad surge de
la elección de 𝑎 𝑘+1 > 𝑞 𝑘
𝑘−1
.

35
Para cada 𝐴 > 0 existe 𝑘0 tal que 𝐴 > 1 𝑞 𝑘⁄ ∀𝑘 ≥ 𝑘0 ; entonces tenemos que el
racional 𝑝 𝑘 𝑞 𝑘⁄ verifica las desigualdades |𝑥 −
𝑝 𝑘
𝑞 𝑘
| <
1
𝑞 𝑘
𝑘+1 <
𝐴
𝑞 𝑘
𝑘, contradiciendo el hecho
de ser x un número algebraico de grado k.
Demostramos que x no es algebraico de grado k con 𝑘 ≥ 𝑘0, probaremos que no es
algebraico de grado inferior:
Si 𝑘 < 𝑘0 , tenemos que
𝐴
𝑞 𝑘0
𝑘0
<
𝐴
𝑞 𝑘0
𝑘 por lo tanto |𝑥 −
𝑝 𝑘0
𝑞 𝑘0
| <
𝐴
𝑞 𝑘0
𝑘 para todo 𝐴 > 0 .
Entonces x no es algebraico de grado 𝑘 con 𝑘 < 𝑘0.
Concluimos que para todo k, x no es un número algebraico de grado k, entonces x es
trascendente.
□
Definición 5.3: Número de Liouville
Un número real x es llamado número de Liouville si existe una sucesión infinita de
racionales (
𝑝 𝑗
𝑞 𝑗
)
𝑗∈𝑁
tal que 𝑞𝑗 > 1 y 0 < |𝑥 −
𝑝 𝑗
𝑞 𝑗
| <
1
𝑞 𝑗
𝑗 para todo 𝑗 ≥ 0.
Observación:
Podemos decir que un número real 𝛼 es un número de Liouville si para todo número
entero n, existen p y q naturales tales que 0 < |𝛼 −
𝑝
𝑞
| <
1
𝑞 𝑛 con 𝑞 > 1.
Se probará a continuación que los números de Liouville son irracionales y
trascendentes.
Teorema 5.4
Todo número de Liouville es irracional.

36
Demostración
Supongamos por absurdo que existe un número de Liouville racional 𝛼 =
𝑎
𝑏
, y sea n un
entero positivo tal que 2 𝑛−1
> 𝑏. Como 𝛼 es un número de Liouville, tenemos que 0 <
|
𝑎
𝑏
−
𝑝
𝑞
| <
1
𝑞 𝑛.
De la primera desigualdad tenemos que
𝑎
𝑏
≠
𝑝
𝑞
lo cual implica que |𝑎𝑞 − 𝑏𝑝| ≥ 1,
entonces |
𝑎
𝑏
−
𝑝
𝑞
| = |
𝑎𝑞−𝑏𝑝
𝑏𝑞
| ≥
1
𝑏𝑞
>
1
2 𝑛−1 𝑞
≥⏟
𝑞≥2
1
𝑞 𝑛
, contradiciendo el hecho de que 𝛼 sea un
número de Liouville.
Por lo tanto 𝛼 es irracional.
□
Teorema 5.5
Todo número de Liouville es trascendente.
Demostración:
Sea x un número de Liouville y supongamos por absurdo que x es algebraico. Sabemos
que todo número de Liouville es irracional, entonces por lo mencionado más arriba, x es
de grado n mayor a 1. Entonces, por el teorema de Liouville, existe una constante 𝐴 > 0
tal que para todo
𝑝
𝑞
∈ 𝑄, |𝑥 −
𝑝
𝑞
| >
𝐴
𝑞 𝑛
.
En particular,
𝐴
𝑞 𝑗
𝑛 < |𝑥 −
𝑝 𝑗
𝑞 𝑗
| <
1
𝑞 𝑗
𝑗 para todo 𝑗 ≥ 0 por ser x un número de Liouville. Por
lo tanto
𝐴
𝑞 𝑗
𝑛 <
1
𝑞 𝑗
𝑗 y como consecuencia 𝑞𝑗
𝑗−𝑛
<
1
𝐴
, contradiciendo el hecho de que 𝑞𝑗
tiende a infinito, dado que no verifica la desigualdad anterior para j suficientemente
grande.
La contradicción surge de suponer que x es algebraico.
□

37
Ejemplo 5.2: Constante de Liouville
El número 𝛼 = ∑ 10−𝑛!∞
𝑛=1 es un número de Liouville.
Para probarlo, consideramos los enteros 𝑝𝑗 = ∑ 10 𝑗!−𝑛!𝑗
𝑛=1 y 𝑞𝑗 = 10 𝑗!
.
Tenemos que (
𝑝 𝑗
𝑞 𝑗
)
𝑗∈𝑁
es una sucesión infinita de racionales. Además |𝛼 −
𝑝 𝑗
𝑞 𝑗
| =
|∑ 10−𝑛!∞
𝑛=1 −
∑ 10 𝑗!−𝑛!𝑗
𝑛=1
10 𝑗! | = |∑ 10−𝑛!∞
𝑛=1 − ∑
10 𝑗!−𝑛!
10 𝑗!
𝑗
𝑛=1 | =
|∑ 10−𝑛!∞
𝑛=1 − ∑ 10−𝑛!𝑗
𝑛=1 | = |∑ 10−𝑛!∞
𝑛=𝑗+1 | = ∑ 10−𝑛!∞
𝑛=𝑗+1 =
= ∑ 10−(𝑗+𝑛)!
∞
𝑛=1
= ∑
10−(𝑗+1)!
10(𝑗+𝑛)!−(𝑗+1)!
∞
𝑛=1
≤⏟
(𝑗+𝑛)!−(𝑗+1)! ≥ 𝑛
∑
10−(𝑗+1)!
10 𝑛
∞
𝑛=0
=
=
1
10(𝑗+1)!
∑
1
10 𝑛
∞
𝑛=0
=
10
9. 10(𝑗+1)!
=
1
9.10(𝑗+1)!−1
<
1
10(𝑗+1)!−1
=
=
1
10(𝑗+1)𝑗!−1
=
1
10 𝑗.𝑗!+𝑗!−1
≤
1
10 𝑗.𝑗!
=
1
𝑞𝑗
𝑗
Entonces |𝛼 −
𝑝 𝑗
𝑞 𝑗
| <
1
𝑞 𝑗
𝑗 lo que implica que 𝛼 = ∑ 10−𝑛!∞
𝑛=1 es un número de Liouville.

38
6
Aplicaciones
En esta sección veremos tres aplicaciones de las fracciones continuas. La primera
consiste en la obtención de las soluciones enteras de una ecuación diofántica, tomándola
como un problema puramente matemático. Para la misma, nos basaremos en el trabajo
de Mendoza (2006).
En la segunda aplicación, tomando como referencia lo realizado por Rivero (1996),
veremos cada cuánto deben ser los años bisiestos, ya que éstos son para corregir el
desfasaje que existe entre la duración del año trópico (365 días 5 horas 48 minutos y
46,15 segundos) y el año calendario de 365 días. Si el desajuste no se corrige, el error
se hace cada vez más significativo mediante el transcurso del tiempo. Por ejemplo,
en 100 años el calendario estaría desfasado aproximadamente 25 días; y como una
de sus consecuencias, las estaciones del año ya no coincidirían con los meses en los
que estamos habituados a vivirlas.
Veremos también otra aplicación a la astronomía: se calculará el período de tiempo que
comprende un Ciclo de Saros, mediante el cálculo del tiempo transcurrido entre dos
eclipses lunares dadas en las mismas condiciones. Para esta aplicación, tomaremos
como referencia el trabajo de Trigoso, Zegarra, Quispe y Martinez (2015).

39
Ecuaciones diofánticas
Describiremos una aplicación de las fracciones continuas que nos permiten obtener
soluciones enteras de un caso particular de las ecuaciones diofánticas.
Definición 6.1
Se denomina ecuación diofántica, a toda ecuación del tipo 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 con a, b y c
números enteros dados, x e y incógnitas.
Consideremos un caso más simple de las ecuaciones diofánticas: 𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = ±1, tales
que a y b son enteros positivos coprimos.
Tenemos el siguiente resultado:
Teorema 6.1
La ecuación 𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = 1 con a y b enteros positivos coprimos, posee infinitas
soluciones enteras (𝑥, 𝑦).
Demostración:
Consideramos inicialmente el desarrollo en fracción continua de
𝑎
𝑏
:
𝑎
𝑏
= [𝑎0, 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎 𝑛+1] , teniendo así los convergentes 𝑐0, 𝑐1, … , 𝑐 𝑛, 𝑐 𝑛+1 ,
consideramos los dos últimos 𝑐 𝑛 =
𝑝 𝑛
𝑞 𝑛
y 𝑐 𝑛+1 =
𝑝 𝑛+1
𝑞 𝑛+1
. Tenemos entonces que
𝑝 𝑛 𝑞 𝑛+1 − 𝑝 𝑛+1 𝑞 𝑛 = (−1) 𝑛+1
donde 𝑝 𝑛+1 = 𝑎 y 𝑞 𝑛+1 = 𝑏 lo cual implica que
𝑎𝑞 𝑛 − 𝑏𝑝 𝑛 = (−1) 𝑛+2
= (−1) 𝑛
. Si n es par, el número de coeficientes 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎 𝑛+1
es par y 𝑎𝑞 𝑛 − 𝑏𝑝 𝑛 = 1 que al compararla con la ecuación original 𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = 1,
obtenemos una solución particular de ésta: 𝑥0 = 𝑞 𝑛 e 𝑦0 = 𝑝 𝑛.
Si n es impar, el número de coeficientes de la fracción continua es impar, reescribimos
𝑎
𝑏
como
𝑎
𝑏
= [𝑎0, 𝑎1 , … , 𝑎 𝑛+1 − 1, 1] que posee un número par de coeficientes, los cuales
al reenumerar y calcular
𝑝 𝑛
𝑞 𝑛
y
𝑝 𝑛+1
𝑞 𝑛+1
=
𝑎
𝑏
, concluimos nuevamente que el par (𝑥0, 𝑦0)
verifica la ecuación 𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = 1.

40
Obtenida una solución particular de la ecuación, continuamos con la obtención de la
solución general.
Supongamos que (𝑥, 𝑦) es solución de 𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = 1 , entonces tenemos que
𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = 1 y 𝑎𝑥0 − 𝑏𝑦0 = 1. Por lo tanto 𝑎(𝑥 − 𝑥0) = 𝑏(𝑦 − 𝑦0), de donde b
divide al primer miembro de la igualdad, pero al ser a y b coprimos, tenemos que b
divide a 𝑥 − 𝑥0. Entonces existe 𝑡 ∈ 𝑍 tal que 𝑥 − 𝑥0 = 𝑡𝑏, luego 𝑥 = 𝑥0 + 𝑡𝑏, por
lo que al sustituir este valor en 𝑎(𝑥 − 𝑥0) = 𝑏(𝑦 − 𝑦0) obtenemos 𝑎(𝑡𝑏) = 𝑏(𝑦 − 𝑦0);
por lo tanto 𝑦 = 𝑦0 + 𝑎𝑡.
Finalmente se tiene que toda solución (𝑥, 𝑦) de la ecuación 𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = 1 es de la forma
𝑥 = 𝑥0 + 𝑡𝑏, 𝑦 = 𝑦0 + 𝑎𝑡 con 𝑡 ∈ 𝑍.
Recíprocamente, si (𝑥0, 𝑦0) es una solución particular de 𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = 1 , y si en
𝑥 = 𝑥0 + 𝑡𝑏, 𝑦 = 𝑦0 + 𝑎𝑡 sustituimos cualquier entero t, el par (𝑥, 𝑦) satisface la
ecuación dada, como lo podemos comprobar:
𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = 𝑎(𝑥0 + 𝑡𝑏) − 𝑏(𝑦0 + 𝑎𝑡) = (𝑎𝑥0 − 𝑏𝑦0) + (𝑡𝑎𝑏 − 𝑡𝑎𝑏) = 𝑎𝑥0 − 𝑏𝑦0 = 1.
Concluyéndose que los valores x e y dados por 𝑥 = 𝑥0 + 𝑡𝑏, 𝑦 = 𝑦0 + 𝑎𝑡 con 𝑡 ∈ 𝑍,
constituyen la solución general de la ecuación 𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = 1.
Por lo tanto, la ecuación 𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = 1 posee infinitas soluciones enteras.
Ejemplo 6.1
Obtendremos las soluciones enteras de 205𝑥 − 93𝑦 = 1:
Sabemos que 205 y 93 son coprimos y
205
93
= [2, 4, 1, 8, 2] consta de un número impar
de coeficientes, luego al calcular 𝑐 𝑘 obtenemos:
𝑐0 = 2, 𝑐1 =
9
4
, 𝑐2 =
11
5
, 𝑐3 =
97
44
, 𝑐4 =
108
49
, 𝑐5 =
205
93
=
𝑎
𝑏
.
De lo demostrado anteriormente, se tiene que la solución general de la ecuación es 𝑥 =
49 + 93𝑡, 𝑦 = 108 + 205𝑡, 𝑡 ∈ 𝑍

41
Años bisiestos
Recordemos que la medición del paso del tiempo está asociado a tres ciclos
astronómicos. El día como el tiempo que corresponde a una rotación de la Tierra sobre
su eje, el mes como el tiempo que tarda la Luna en girar al rededor de la Tierra, y el año
como el tiempo correspondiente a una revolución de la Tierra alrederor del Sol.
Con el pasar de los años se ha ido logrando una mejor precisión en el cálculo de la
duración del año. Acorde con las recomendaciones de Clavio, el Papa Gregorio XIII
decretó: será bisiesto aquel año cuya cifra sea divisible por 4, excepto los años
seculares, múltiplos de 100, los cuales serán bisiestos únicamente si son divisibles por
400.
De acuerdo con estudios astronómicos, bajo estas reglas para los años bisiestos, el
calendario se adelanta un poco al Sol; cada año gana 26 segundos, lo cual equivale a un
día cada 3323 años. Así habremos perdido un día cuando llegue el año 4000. Por esta
pequeña diferencia se ha establecido una regla adicional, la cual es que los años
múltiplos de 4000 no son bisiestos.
Las reglas mencionadas anteriormente, son las que definen al calendario gregoriano.
Actualmente se sabe con mayor precisión que la duración del año es de 365 días, 5
horas, 48 minutos y 46,15 segundos.
Mediante fracciones continuas, concluimos que posibles ajustes de cuántos años
bisiestos deben haber en tantos años son:
Ajuste posible Error que produce
1 año bisiesto cada 4 años -11 minutos al año
7 años bisiestos cada 29 años 1 minuto al año
8 años bisiestos cada 33 años -19 segundos al año
31 años bisiestos cada 128 años 1 segundo al año
163 años bisiestos cada 673 años - 0,003 segundos al año

42
Observación: en la segunda columna, el signo negativo quiere decir que para corregir el
error, deberíamos por ejemplo en el primer caso quitarle 11 minutos al año, y en el
segundo agregarle un minuto por año.
Para la construcción de la segunda columna, se realizó el siguiente cálculo:
Si expresamos la duración del año trópico en días, tenemos que el año tiene 365 +
10463
43200
días.
Luego, al considerar n años bisiestos en m años, el error producido por año es
10463
43200
−
𝑛
𝑚
días, siendo éste el resultado de simplificar la diferencia entre un año trópico
y el promedio de días por año considerando n años bisiestos cada m años.
Entonces, para el caso de “1 año bisiesto cada 4 años”, tenemos:
10463
43200
−
1
4
= −
337
432000
días
−
337
432000
𝑑í𝑎𝑠 = −
337
432000
× 24 × 60 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 ≅ −11 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠
Es decir, si consideramos 1 año bisiesto cada 4 años, nos estamos adelantando 11
minutos por año.
Para la construcción de la primera columna de la tabla, se empleó el siguiente
razonamiento:
Tenemos que un año trópico consiste en 365 +
10463
43200
días.
Mediante operaciones, concluimos:
10463
43200
=
1
4+
1
7+
1
1+
1
3+
1
5+
1
64
Es decir;
10463
43200
= [0, 4, 7, 1, 3, 5, 64] y sus primeros seis convergentes son 𝑐0 = 0, 𝑐1 =
1
4
, 𝑐2 =
1
4+
1
7
=
7
29
, 𝑐3 =
1
4+
1
7+
1
1
=
8
33
, 𝑐4 =
1
4+
1
7+
1
1+
1
3
=
31
128
y 𝑐5 =
1
4+
1
7+
1
1+
1
3+
1
5
=
163
673

43
Justamente como lo habíamos expresado en la tabla: 1 año bisiesto cada 4 años, 7 cada
29, 8 cada 33, 31 cada 128, y 163 cada 673.
Así como lo habíamos probado en páginas anteriores, cuanto mayor es el n de 𝑐 𝑛, mejor
es la aproximación del convergente al número en cuestión; de donde el error se hace
cada vez menor como lo vemos en la segunda columna de la tabla.
Notemos que con el calendario gregoriano se intercalan 97 años bisiestos casa 400 años,
lo cual viene a ser casi igual a 31 años bisiestos cada 128 años.
De la proporción
31
128
=
𝑥
400
resulta 𝑥 = 96,875, que es una buena aproximación de los
97 años bisiestos del calendario gregoriano.
De esta forma, se resolvió el problema generado por el desfasaje entre el año trópico y
el año calendario agregando un día a los años bisiestos, y se relaciona con la exactitud
de las aproximaciones de los convergentes.
Ciclo de Saros y eclipses lunares
El Ciclo de Saros es el intervalo de tiempo en que la Luna vuelve a adoptar la misma
posición respecto al Sol, la Tierra y la línea nodal. Para su cálculo, tomaremos como
referencia el tiempo transcurrido entre dos eclipses lunares realizadas en las mismas
condiciones, es decir tomando la misma posición con respecto al Sol, la Tierra y la línea
nodal.
Un eclipse lunar ocurre cuando nuestro satélite (la Luna), en su órbita alrededor de la
Tierra, ingresa en el cono de la sombra de la Tierra generada por el sol. En ese instante,
el Sol, la Tierra y la Luna quedan alineados en este orden.

44
Se sabe que la Luna orbita la Tierra una vez cada 27,3217 días (mes sidéreo) y los
eclipses lunares ocurren solo en Luna llena, entonces ¿por qué no tenemos un eclipse
por mes?
Al observar la siguiente figura, podemos ver que la órbita de la Luna alrededor de la
Tierra no se encuentra en el mismo plano de la órbita de la Tierra alrededor del Sol
(denominado plano de la Eclíptica). Ambos planos se encuentran formando un ángulo
de 5 grados aproximadamente.
Los nodos lunares señalan aquellos puntos en el firmamento, donde la órbita de la Luna
alrededor de la Tierra intersecta con la órbita de la Tierra alrededor del Sol. Las dos
intersecciones están situadas diametralmente opuestas, formando la línea de los nodos.
Los eclipses sólo se producen cuando la luna nueva o llena se encuentra con los
llamados nodos ascendentes o descendentes de la órbita que describe alrededor de la
Tierra. Como se indica en la siguiente figura:

45
Como se mencionó anteriormente, el periodo de revolución de la Luna alrededor de la
Tierra se denomina mes sidéreo y es de 27,3217 días. También existe el periodo entre
una fase llena y la siguiente, que se llama mes sinódico y dura 29,5306 días. La
diferencia se debe a que durante cada periodo de la Luna, la Tierra avanza 27° en su
propia órbita alrededor del Sol. También está el período draconítico, que corresponde al
período de la Luna desde un nodo (ascendente o descendente) al siguiente nodo del
mismo tipo, el cual tiene una duración de 27,2122 días.
Por lo tanto el eclipse depende:
 Del intervalo entre dos fases iguales consecutivas de la luna, el cual es llamado
Mes Sinódico y tiene una duración de 29,5306 días.
 Del intervalo de tiempo entre el paso de la luna por dos nodos consecutivos, el
cual se llama Mes Draconítico y tiene una duración de 27,2122 días.

46
De tal forma, debe cumplirse las dos condiciones fundamentales para que ocurra un
eclipse lunar, las cuales son:
1. La Luna debe encontrarse en la fase de Luna llena, lo cual significa que el Sol y
la Luna están en oposición con respecto a la Tierra; y
2. La Luna debe encontrarse cerca del plano de la Eclíptica, es decir, cerca del eje
de los nodos.
Luego el intervalo de tiempo entre dos eclipses consecutivos debe ser igual a una
cantidad entera de meses sinódicos, que a su vez contenga una cantidad entera de meses
draconíticos.
Entonces, si 𝑥 = 29,5306 y 𝑧 = 27,2122, se desea obtener una relación del tipo 𝑞𝑥 =
𝑝𝑧 con p y q enteros positivos.
Por lo que, si hacemos 𝛼 =
𝑥
𝑧
≈ 1,08519, entonces la pregunta es ¿cuál es la fracción
𝑝 𝑞⁄ con menor denominador que sea una buena aproximación de 1,08519? Para
resolverlo, usamos fracciones continuas.
Tenemos que 1,08519 = [1, 11, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 43, 3] y 𝑐5 =
242
223
es una buena
aproximación de 1,08519 pues difiere en 10−5
días. Lo que implica un error de 0,864
segundos, siendo éste un error despreciable dado que los eclipses tienen una duración
promedio de 50 minutos.
Por lo tanto se obtiene la siguiente relación:
223 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑛ó𝑑𝑖𝑐𝑜𝑠 = 242 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑑𝑟𝑎𝑐𝑜𝑛í𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠
Finalmente, para calcular el período entre dos eclipses realizadas en las mismas
condiciones, multiplicamos 223 × 29,5306 = 6585,3238, que es equivalente a 18
años y 11 días.
Por lo tanto, el Ciclo de Saros consiste en un período de tiempo de 18 años y 11 días
aproximadamente.

47
Referencias y bibliografía
Buitrago, A. R., y Delicado, M. J. H. (2005, noviembre). Fracciones continuas, números
metálicos y sucesiones generalizadas de Fibonacci. Suma. Recuperado de
http://revistasuma.es/IMG/pdf/50/053-063.pdf
de Figueiredo, D. G. (2002). Números irracionais e transcendentes. Río de Janeiro,
Brasil: Coleção Iniciação Científica – SBM
Dıaz, L. J., y Jorge, D. R. (2007). Uma Introduçao aos Sistemas Dinâmicos via Fraçoes
Contınuas. Recuperado de
http://www.impa.br/opencms/pt/biblioteca/cbm/26CBM/26CBM_17.pdf
Marchiori, R. M. (2013). Números transcedentes e de Liouville. (Tesis de maestría).
Universidade Estadual Paulista “Julio de Mesquita Filho”, Río Claro, Brasil.
Mendoza, A. (2006). Fracciones continuas y algunas de sus aplicaciones. (Tesis de
licenciatura). Instituto Politécnico Nacional, México, D.F.
Moreira, C. (2011). Frações Contínuas, Representações de Números e Aproximações
Diofantinas. Recuperado de http://www.sbm.org.br/docs/coloquios/SE-1.06.pdf
Rivero, F. (1996). Teoría de Números. Recuperado de
http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico/Libros/Teoria%20de%20Numeros.pdf

48
Silva, E. C. D. S. (2015). Alguns resultados relacionados a números de Liouville. (Tesis
de maestría). Institutos de Ciencias Exatas, Brasilia, Brasil.
Stark, H. M. (1978). An introduction to number theory. Cambridge, Reino Unido: MIT
Press.
Trigoso, H., Zegarra, M., Quispe, A., y Martinez, M. (2015). Guía de observación del
eclipse total de la Luna. Lima, Perú: Vuk SAC.
Tsijli, M. M. (2015, marzo-agosto). Sobre las fracciones continuas: aplicaciones y
curiosidades. Revista Digital: Matemática, Educación e Internet. Recuperado de
http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/ARTICULOS_V15_N2_2015/Revista
Digital_Murillo_V15_n2_2015/RevistaDigital_Murillo_V15_n2_2015.pdf

Fracciones continuas

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Fracciones continuas

Similar a Fracciones continuas (20)

Último

Último (20)

Fracciones continuas