Ecuaciones diferenciales, caracteristicas de una ecuacion diferencial, verificar solucion de una ecuacion diferencial, problemas de valor inicial

1. Brian Bastidas
Ecuaciones Diferenciales
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Docente: Brian Bastidas
Ecuaciones Diferenciales
Temas a trabajar:
• Ecuaciones Diferenciales
• Soluciones
• Problemas de Valor Inicial
Ecuación Diferencial
Una ecuación diferencial en y es una ecuación que incluye , y derivadas de , o es una ecuación que
relaciona una función y sus derivadas, hay ecuaciones diferenciales de primer orden, de segundo orden o de orden
superior, el orden lo va a determinar la máxima derivada implicada en la ecuación, si es primera, segunda, tercera
derivada, etc. A continuación, se encuentran cuatro ejemplos de ecuaciones diferenciales:
a) = −7
b) = −
c) = − 1
d) 2 ´´ − 3 ´ + = 7
En la siguiente tabla se identifica el orden y las variables dependientes o independientes de cada ecuación:
Ecuación Diferencial Orden Variable Dependiente Variable Independiente
a Primer y x
b Primer p q
c Primer No se puede determinar No se puede determinar
d Segundo y x
Solución de una Ecuación Diferencial
Teniendo la ecuación diferencial y una función, se puede determinar si la función es solución a la ecuación
diferencial.
Ejemplo 1: Determinar si las funciones
a) =
b) = 4
c) =
son soluciones de la ecuación diferencial
´´ − = 0

2. Brian Bastidas
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Solución a: Primero necesitamos hallar la segunda derivada de la función para poder reemplazar en la ecuación
diferencial dada, ya tenemos nos falta ´´.
= → ´ = cos → ´´ = −
Reemplazamos en la ecuación diferencial ´´ y y verificamos que se cumpla la ecuación.
´´ − = − − = −2 → −2 ≠ 0
Al no cumplirse la ecuación, se deduce que la función a) = no es solución a la ecuación diferencial ´´ −
= 0.
Solución b: De la misma forma, hallamos la segunda derivada de la función y reemplazamos en la ecuación
diferencial:
= 4 → ´ = −4 → ´´ = 4
Reemplazamos en la ecuación:
´´ − = 4 − 4 = 0
Al ser igual a cero se cumple la ecuación diferencial, por lo tanto, la función = 4 es solución de la ecuación
diferencial ´´ − = 0.
Ejercicio 1: Determinar si la función c) = es una solución de la ecuación diferencial ´´ − = 0.
Ejemplo 2: Determinar si la función
=
1
1 + &
Es una solución de la ecuación diferencial:
= −
Solución: En este caso necesitamos la derivada de la función y el cuadrado de la función para reemplazar en la
ecuación diferencial.
Para hallar la derivada de la función, se puede utilizar la derivada del cociente o la regla de la cadena como se
realiza a continuación.
= 1 + & '
→ = −1 ∙ 1 + & ∙ −& → =
&
1 + &
Ahora hallaremos el cuadrado de la función
= )
1
1 + &
* =
1
1 + &
Expresamos la diferencia de − y verificamos si es igual a la derivada de la función
− =
1
1 + &
−
1
1 + &
=
1 + & − 1
1 + &
=
&
1 + &

3. Brian Bastidas
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Al ser igual a la derivada de la función, la función =
'
'+,-./ es solución a la ecuación diferencial = − .
Ejercicio 2: Determinar si la función = &' + & es una solución de la ecuación diferencial,
− 4 + 4 = 0
Problemas de Valor Inicial
Cuando las ecuaciones diferenciales deben satisfacer condiciones iniciales de su solución o sus derivadas en
problemas específicos, en este caso se le llama problema de valor inicial, las condiciones iniciales dependerán del
orden de la ecuación diferencial, de forma general se puede escribir:
0
1
1
= 23 , , 4
, … , 1 '
6
7 = 7 , 4
7 = ' , … , 1 '
7 = 1 '
De esta forma un problema de valor inicial de primer o segundo orden se pueden escribir:
0
= 2 ,
7 = 7
0 = 2 , , 4
7 = 7 , 4
7 = '
Se puede observar que en la ecuación diferencial de primer orden se necesita una condición inicial en la función
original mientras que, en la ecuación diferencial de segundo orden, se necesita una condición inicial para la
primera derivada y otra condición inicial para la función original, para el primer caso se busca una curva solución
que cruce a través del punto 7, 7 , en el segundo caso se busca una curva solución que pase por el punto
7, 7 , y que la pendiente en ese mismo punto sea '.
Ejemplo 1: Encuentre una solución al problema de valor inicial
8
´ =
0 = 3
Donde
=
Solución: Teniendo la ecuación y la condición inicial, podríamos hallar el valor de la constante C, dado que cuando
= 0, debe ser igual a 3, reemplazamos:
3 = 7
→ = 3 → = 3
Verificamos que se cumpla la ecuación diferencial
´ = → 3 = 3
Por lo tanto = 3 es una solución a la ecuación diferencial.
Ejercicio 1: Halle la solución a la misma ecuación que pase por el punto 1, −2 .
Ejemplo 2: Encuentre una solución al problema de valor inicial

4. Brian Bastidas
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8
4
= −
−1 = 2
Donde
=
1
1 + &'
Solución: Al igual que el ejemplo anterior, reemplazamos los valores de la condición inicial para poder hallar el
valor de la constante:
2 =
1
1 + &'
'
→ 2 =
1
1 + &'
→ 2 1 + &' = 1 → 1 + &' =
1
2
&' =
1
2
− 1 → &' = −
1
2
De esta forma, la curva que pasa por el punto −1,2 es:
=
1
91 −
1
2 :
Ejemplo 3: Si = &' cos 4; + & sen 4; representa una familia de soluciones de dos parámetros para la ecuación
diferencial ´´ + 16 = 0. Encuentre una solución del problema de valor inicial dadas las siguientes condiciones
iniciales:
9
?
2
: = −2 ´ 9
?
2
: = 1
Solución: Primero vamos a reemplazar la primera condición inicial:
−2 = &' cos 4 9
?
2
: + & sen 4 9
?
2
: → −2 = &' cos 2? + & sen 2?
Al ser cos 2? = 1 y sen 2? = 0, entonces:
−2 = &'
Tenemos el primer parámetro, ahora con la segunda condición inicial podremos hallar el segundo parámetro, para
ello necesitamos hallar la derivada de
´ = −8 sen 4; + 4& cos4;
Reemplazando los datos de la condición ´ 9
A
: = 1
1 = −8 sen4 9
?
2
: + 4& cos 4 9
?
2
: → 1 = −8 sen2? + 4& cos 2?
Hallando el seno y el coseno, se obtiene
1 = 4& → & =
1
4
Teniendo los valores de los dos parámetros la ecuación solución de la ecuación diferencial quedaría de la siguiente
forma:

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= −2 cos4; +
1
4
sen4;
Ejemplo 4: Si = &' + & representa una familia biparamétrica de soluciones para la ecuación diferencial
´´ − = 0. Encuentre una solución del problema de valor inicial dadas las siguientes condiciones iniciales:
0 = 1 4
0 = 2
Solución: Lo anterior nos indica que la curva solución debe pasar por el punto 0,1 y la pendiente en ese punto
es igual a 2. Al igual que el punto anterior vamos a reemplazar la primera condición inicial, si = 0, = 1:
1 = &'
7
+ & 7
→ 1 = &' + &
Ahora hallamos la primera derivada y reemplazamos la siguiente condición, si = 0, ´ = 2
´ = &' − & → 2 = &'
7
− & 7
→ 2 = &' − &
En este caso, obtenemos dos ecuaciones con dos variables, podemos hallar los valores de &', & , construyendo y
solucionando un sistema de ecuaciones:
8
&' + & = 1
&' − & = 2
Sumando las dos ecuaciones, se obtiene:
2&' = 3 → &' =
3
2
Reemplazando este valor en la ecuación 1:
3
2
+ & = 1 → & = 1 −
3
2
→ & = −
1
2
De esta forma, la ecuación solución a la ecuación diferencial es:
=
3
2
−
1
2
Ejercicio 2: Si = &' cos ; + & sen ; representa una familia de soluciones de dos parámetros para la
ecuación diferencial ´´ + = 0. Encuentre una solución del problema de valor inicial dadas las siguientes
condiciones iniciales:
9
?
6
: =
5
2
′ 9
?
6
: =
√3
2