El documento presenta información sobre el teorema de Pitágoras y cómo se aplica para calcular áreas de cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo. Explica el teorema de Pitágoras, muestra diferentes demostraciones geométricas del mismo y varios ejemplos de su aplicación para resolver problemas.

1. Gonzalo Díaz Benito

2. Análisis de las relaciones entre las áreas de los
cuadrados que se construyen sobre los lados de un
triángulo rectángulo.
Explicitación y uso del teorema de Pitágoras

3. El triángulo rectángulo es una figura muy importante
porque se relaciona directamente con el teorema de
Pitágoras . Te preguntaras ¿Qué es un teorema?
¿Quién fue Pitágoras? ¿en que consiste el teorema
de Pitágoras? Al estudiar esta secuencia podrás
responder estas y otras preguntas.

4. A A. Verifica que c2=a2+b2 y por lo tanto el
C=5 triangulo ABC sea rectángulo:
B= 4
B. Si C2 fuera mayor que a2+b2 ¿Qué
tipo de triangulo seria? ¿Explica
C B
A=3 porque?
C. Si c2 fuera menor que a2+b2 ¿ que
tipo de triangulo seria? ¿explica
porque?

5. E
A A. ¿Cuanto suman las áreas de
H D
los cuadrados construidos
sobre los catetos ?
I C B B. Busca una manera de
mostrar que el área del
cuadrado construido sobre la
F G hipotenusa equivale a esa
suma y explícala.

6. Para calcular el área del cuadrado construido sobre
la hipotenusa puedes encerrarlo en una figura mas
grande de la cual sea fácil calcular su área y restar
lo que sobre.

8. Este teorema es de los más famosos de la geometría
plana.
Hay más de 300 pruebas de este teorema.

9. En un triangulo rectángulo el
cuadrado construido sobre la
hipotenusa, tiene la misma
área que la suma de las
áreas de los cuadrados
construidos sobre los
catetos.
c 2=a2+b2

10. Esta es una forma de probar el
teorema anterior. Considera la
siguiente figura:
El área del cuadro verde es c2
El área del cuadro rojo es
(a+b)2=a2+2ab+b2
El área de cada triangulo es (ab)/2,
entonces la suma de las cuatro áreas
es 2ab
El área del cuadro verde más el área
de los triángulos es igual al área del
cuadro grande es decir, c2+2ab=
a2+2ab+b2
c2= a2+b2

11. Tenemos ahora otra prueba.
Demostremos que en la figura
(AB)2=(AC)2+(BC)2
Iniciando en el triángulo ABC,
trazamos la perpendicular BD a
AB.
ABC y ABD tienen dos
ángulos iguales (el recto y
BAC = BAD)
ABC es semejante a ABD
entonces:
ABC = ADB= CDB (1)
(AC)/(AB) = (AB)/(AD) y
AD=AC+CD

12. Para combatir un incendio forestal, el Departamento
de Silvicultura desea talar un terreno rectangular
alrededor del incendio, como vemos en la figura.
Las cuadrillas cuentan con equipos de
radiocomunicación de 3000 yardas de alcance.
¿Pueden seguir en contacto las cuadrillas en los
puntos A y B?

13. Para el cálculo de distancias y/o alturas: se desean bajar
frutos de un árbol de naranjas, para ello se quiere construir
una escalera que sea capaz de alcanzarlos, sabiendo la altura
a la que se encuentran los frutos y la distancia del árbol a la
base de la escalera.
Sustituyendo valores en la formula, tenemos que:
c2=a2+b2
c2= (8)2+ (5)2
c2=64+25
c2=89
c= √89
c=9.43 m es la altura de la escalera.

14. Calcular la longitud d de la diagonal de un cuadrado
cuyos lados miden 8m
si considera una parte del cuadrado, se tiene un
triangulo rectángulo en el que c=d,a=8 y b=8
al utilizar la relación pitagórica c2=a2+b2, se
sustituyen los datos :
d2=82+82=64+64=128
d= √ 128
d=11.31m

16. • La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 405.6 m y
la proyección de un cateto sobre ella 60 m. Calcular:
1 Los catetos.
2 La altura relativa a la hipotenusa.
3 El área del triángulo.
•Calcular los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que
la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es 6
cm y la altura relativa de la misma √24cm.

17. •Una escalera de 10 m de longitud está apoyada sobre la
pared. El pie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué
altura alcanza la escalera sobre la pared?
•Determinar el lado de un triángulo equilátero cuyo
perímetro es igual al de un cuadrado de 12 cm de lado.
¿Serán iguales sus áreas?
•Determinar el área del cuadrado inscrito en una
circunferencia de longitud 18.84 cm.

18. B Verifique que se cumplan las siguientes
relaciones, substituyendo en cada
C=5 igualdad el valor a,b y c.
A=3
A C
a2+b2=c2 c2=a2+b2
B=4
a2=c2-b2 b2=c2-a2