Este documento describe la ley de gravitación universal de Newton, la cual establece que todas las masas en el universo se atraen entre sí con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. También explica conceptos como la aceleración de la gravedad, la energía potencial gravitatoria y las leyes de Kepler que rigen el movimiento planetario. Finalmente, propone 11 problemas relacionados con estos temas para resolver.

1. Física para todos 1 Carlos Jiménez Huaranga
LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Alrededor de 1685, Newton logró demostrar que Ejemplo: ¿Qué valor tendría la aceleración de la
las todos los cuerpos en el Universo se atraen gravedad en la superficie de la Tierra si su radio
entre sí gravitacionalmente. Newton descubrió se duplica y la masa permanece constante?
que:
Se sabe que la aceleración de la gravedad en la
quot;La fuerza de atracción entre dos cuerpos es superficie terrestre es:
proporcional a sus masas e inversamente MT
proporcional al cuadrado de la distancia que los g =G 2
= 9,8 m / s 2
RT
separaquot;
Si la masa no varía y el radio se duplica, entonces,
M2 la ecuación sería:
M1
F F MT MT 1 M 1
gx = G 2
=G 2
= ·G 2T = ·g
(2 RT ) 4R T 4 R T 4
d 1
gx = (9,8 m / s 2 ) → g x = 2,45 m / s
2
4
M1 M 2
F =G Aceleración de la gravedad a una altura “h” de la
d2
superficie (gh):
Donde: M1 y M2: masas de los cuerpos,
expresadas en kilogramos (kg).
d: distancia que separa los centros de las
masas, expresada en metros (m). h gh
F = Fuerza de atracción entre las masas,
expresada en newton (N). g
G = Constante de gravitación universal R
G = 6,67 · 10-11 N.m2/kg2
Ejemplo: Calcular la fuerza con que se atraen
dos cuerpos de masas 800 kg y 1 000 kg, R2
separadas por una distancia de 2 m gh = g
( R + h) 2
Datos: M1= 800 kg; M2= 1 000 kg; d = 2 m
M1 M 2 R: radio del planeta o satélite
Usemos la ecuación: F = G h: altura respecto a la superficie
d2 g: aceleración de la gravedad en la
Reemplazamos datos: superficie.
(800)(1000) gh: aceleración de la gravedad a una altura
F = 6,67·10−11
22 “h”
−6
Luego: F = 13,34·10 N Ejemplo: Calcular el valor de la aceleración de
la gravedad a una altura de la superficie terrestre
Aceleración de la gravedad en la superficie de un igual a 2 veces el radio de la Tierra.
planeta o satélite (g):
g Dato: h = 2R
En la ecuación:
M R2 R2 R2 g
g =G gh = g =g =g =
R2 ( R + h) 2
( R + 2 R) 2
(3R ) 2
9
9,8 m / s 2
gh = → g h = 9,09 m / s
2
M: masa del planeta o satélite
R: radio del planeta o satélite 9
G: constante de gravitación universal.
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2. Física para todos 2 Carlos Jiménez Huaranga
Aceleración de la gravedad en el interior de un M2=5·106 kg
planeta o satélite (gi)
300 m 500 m
R 400 m
x
x gi = g M1=15·106 kg M3=12·106 kg
R
La energía potencial del sistema es:
M 1M 2 MM M M
U = −G −G 1 3 −G 2 3
Ejemplo: Si queremos determinar la aceleración d12 d13 d 23
de la gravedad en el punto medio del radio
terrestre, la distancia “x” es igual a “R/2”; 15·106 ·5·106 15·106 ·12·106 5·106 ·12·106
entonces: U = −G −G −G
300 400 500
R/2 1 g 9,8 m / s 2
gi = g = g· = = U = -25·1010 G – 45·1010 G – 12·1010 G
R 2 2 2
U = -82·1010 G = -82·1010 · 6,67·10-11
U = −54,7 J
g i = 4,9 m / s 2
Ejemplo: Un cuerpo de masa “m” es soltado
ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL desde una altura igual al radio terrestre “R”,
¿con qué velocidad llegó el cuerpo a Tierra?
La energía potencial gravitacional (U) de dos
partículas de masas M1 y M2 separadas por una
distancia quot;dquot; es: A
h=R
M1 M2
B
R
d
M1 M 2
U = −G
d
Por conservación de energía mecánica:
Donde: U = energía potencial gravitacional y se Em(A) = Em(B)
expresa en joules (J) Ec(A) + Ep(A) = Ec(B) + Ep(B)
M1 y M2 = masas y se expresan en
kilogramos (kg) Como el cuerpo es soltado en “A”: Ec(A) = 0
d = distancia de separación y se expresa m M m v2 mM
en metros (m) −G = −G
R+h 2 R
Ejemplo: La energía potencial gravitacional de
un sistema formado por dos masas de 106 kg cada Simplificamos “m” y reemplazamos “h=R”
una y separadas 10 m, es igual a:
GM v 2 GM GM
− = − → v=
106 ·106 2R 2 R R
U = −6,67·10 −11 · → U = − 6,67 J
10 Donde; M: masa de la Tierra.
GM
Pero, también se sabe que: g =
Ejemplo: Si se tiene 3 masas ubicadas en los R2
vértices del triángulo, tal como se observa en la
figura. Calcular la energía potencial
gravitacional del sistema mostrado. Entonces: v = gR
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3. Física para todos 3 Carlos Jiménez Huaranga
LEYES DE KEPLER 3ra LEY: (Ley de los periodos)
1ra LEY: (Ley de las órbitas) quot;Los cuadrados de los periodos de revolución
planetarios son proporcionales a los cubos de los
quot;Todos los planetas giran alrededor del Sol radios de sus órbitas.quot;
describiendo una órbita elíptica en la cual el Sol
ocupa uno de los focosquot;.
R
T2
Fuente: www.kalipedia.com = cons tan te
R3
2da LEY: (Ley de las áreas)
R: radio de la órbita
quot;El radio vector posición que une un planeta con T: periodo de rotación
el sol describe áreas iguales en tiempos igualesquot;.
Ejemplo: Dos satélites S1 y S2 orbitan
circularmente alrededor de un mismo planeta. El
primero tarda 216 horas en recorrer su órbita. El
segundo tiene un periodo de 27 horas. Calcular la
relación de los radios de sus órbitas R1/R2.
Datos: T1 = 216 horas; T2 = 27 horas
T 21 T 2 2 216 2 27 2 R 31 216 2
= 3 → = 3 → 3 = 2
Fuente: www.kalipedia.com R 31 R 2 R 31 R 2 R 2 27
Ejemplo: La trayectoria de un planeta, cuyo año 2 2
R 31  216   63  R1
= =4
 =  33  = (2 ) → R
3 2
consta de 240 días, encierra un área total quot;Pquot;. 3
Determinar el área quot;Squot; si para ir desde quot;Bquot; hasta R 2  27    2
quot;Cquot; emplea 36 días.
quot;Oquot;: Centro elíptico
C Elipse
B
S
O
Sol
Como las áreas barridas por el radio vector
posición son proporcionales al tiempo que emplea
en barrerlas, podemos plantear:
Área barrida tiempo de B a C
=
Área total tiempo total
S 36 días 3P
= → S=
P 240 días 20
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4. Física para todos 4 Carlos Jiménez Huaranga
PROBLEMAS PROPUESTOS
07. Si la masa terrestre aumentase en un 60% y el
01. Dos cuerpos se atraen con una fuerza de 800 radio se duplicara. La aceleración de la
N. Si uno de ellos duplica su masa y el otro la gravedad en la superficie de la Tierra:
triplica y la distancia entre ellos se A) Aumentaría en un 40%
cuadruplica. ¿Cuál es la nueva fuerza de B) Aumentaría en un 80%
atracción gravitatoria entre ellos? C) Disminuiría en un 40%
A) 600 N B) 150 N C) 200 N D) Disminuiría en un 60%
D) 300 N E) 100 N E) Permanecería constante
02. Si el módulo de la fuerza de atracción del Sol 08. ¿Cuál será el peso de una persona que pesa
sobre un planeta es igual a 4·1022 N. Si la 600 N si el radio de la Tierra se duplicara y su
masa del Sol se volviese 3 veces mayor y la masa se triplicara?
distancia se redujera a la mitad, el módulo de A) 150 N B) 300 N C) 450 N
la fuerza de atracción entre ellos sería: D) 400 N E) 900 N
A) 120·1021 N B) 15·1022 N
C) 240·10 N22
D) 24·1012 N 09. En la superficie de un planeta, una pelota tiene
22 un peso de 720 N. ¿Qué peso tendría dicha
E) 48·10 N
pelota si la masa del planeta se duplica y su
03. Determinar la fuerza resultante que actúa radio se hiciera el triple?
A) 80 N B) 160 N C) 240 N
Gm 2
sobre la masa quot;2mquot;. Considere: F = D) 120 N E) 200 N
a2
10. Calcular la aceleración de la gravedad en la
a a superficie del Sol, considerando el radio del
3m 2m m
Sol cien veces el radio terrestre y la masa del
A) F B) 2F C) 3F Sol 250 000 veces la masa de la Tierra
D) 4F E) 6F A) 98 m/s2 B) 196 m/s2
2
C) 245 m/s D) 490 m/s2
04. Dos masas M y 9M están separadas por una E) 980 m/s 2
distancia “D”. En la línea que las une
colocamos una tercera masa “m” y 11. La masa de la Luna es 1/80 de la masa de la
observamos que se mantiene en equilibrio. ¿A Tierra y su radio 1/4 de ésta. ¿Cuál es la
qué distancia de la masa “M” se encuentra aceleración de la gravedad en la superficie de
“m”? la Luna?
A) D/2 B) D/3 C) D/4 Considere: g= aceleración de la gravedad en
D) D/6 E) D/9 la superficie de la Tierra.
A) g/20 B) g/4 C) g/5
05. Una masa quot;5mquot; se encuentra ubicada en el D) g/10 E) g/16
punto (- 4/5; 3/5) y otra masa quot;8mquot; en el
punto (1; 0). Determinar la fuerza resultante 12. La masa de un planeta desconocido es el doble
que soportaría una masa quot;mquot; ubicada en el de la masa terrestre pero su densidad es igual
origen (0; 0) al de la Tierra. Determinar la aceleración de la
(G = constante de gravitación) gravedad en la superficie de dicho planeta.
A) 5 Gm2 B) 3 Gm2 C) 8 Gm2 g=aceleración de la gravedad en la superficie
2 2
D) 13 Gm E) 15 Gm terrestre
06. Dos cuerpos celestes esféricos de masas quot;4Mquot; A) 2g B) g/2 C) 2g
3 3
y quot;9Mquot; y radios quot;Rquot; y quot;2Rquot; respectivamente D) 2 g E) 4 g
se encuentran separados de tal manera que sus
superficies distan quot;3Rquot;. Determinar la fuerza 13. ¿Qué porcentaje de la aceleración de la
de atracción entre los cuerpos. gravedad en la superficie terrestre es la
GM 2 aceleración de la gravedad en un punto
Considere: F = situado a una altura quot;3R/2quot;, de dicha
R2 superficie? (R = Radio terrestre)
A) F/2 B) F/3 C) F A) 50% B) 75% C) 32%
D) 2F E) 3F D) 25% E) 16%
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5. Física para todos 5 Carlos Jiménez Huaranga
14. ¿A qué altura de la superficie terrestre, la 21. Dos satélites de la Tierra cada una de masa
aceleración de la gravedad se reduce al 64% quot;mquot;, se mueven en órbitas circulares
con respecto al valor en la superficie? concéntricas con la Tierra. Si sus posiciones
(R=Radio de la Tierra) son 2R y 4R respecto del centro terrestre; en
A) R/2 B) R/4 C) R/3 que relación están sus energías cinéticas
D) R/5 E) R/8 A) 1/6 B) 1/2 C) 3
D) 1/4 E) 4
15. La aceleración de la gravedad en la superficie
de un planeta es la octava parte de la 22. Dos satélites de masas MA y MB se encuentran
aceleración de la gravedad en la superficie en órbitas circulares de radios RA y RB
terrestre, si la masa del planeta es el doble de alrededor de un planeta de masa M. Hallar la
la masa de la Tierra. Determinar su radio: relación entre las energías cinéticas de A y B.
(R = radio terrestre) Considere: MA = 2MB y RB = 1,5 RA
A) R B) 2 R C) 4 R A) 1 B) 2 C) 3
D) 8 R E) 16 R D) 4 E) 5
16. La masa de Júpiter es casi 300 veces mayor 23. En la Tierra un hombre puede saltar una altura
que la de la Tierra. Si el radio de aquel planeta máxima quot;Hquot;, mientras que en un planeta salta
fuera igual al radio terrestre, ¿cuántas veces solamente 0,5 H. Si el radio de este planeta es
mayor o menor que en la Tierra sería la cuatro veces más grande que la Tierra, ¿qué
aceleración gravitatoria en Júpiter? relación existirá entre las densidades de este
A) 150 veces menor planeta y la Tierra?
B) 300 veces mayor A) 2 B) 3 C) 4
C) 500 veces menor D) 1/2 E) 1/4
D) 300 veces menor
E) 500 veces mayor 24. En la figura se observa el movimiento de un
planeta en torno a una estrella quot;Equot;. Si se sabe
17. Un cuerpo pesa 320 N en la superficie que desde la posición quot;Pquot;, tarda el quíntuple
terrestre. ¿Cuánto pesará a una altura igual a en llegar a quot;Aquot; que de quot;Cquot; hasta quot;Pquot;,
tres veces el radio de la Tierra? encontrar qué fracción de la superficie elíptica
A) 80 N B) 160 N C) 20 N es la porción sombreada.
D) 35,5 N E) 106, 6 N
B
18. Un cuerpo pesa al nivel del mar 75 N. ¿A qué
E
altura debe elevarse para que su nuevo peso A
C
sea 3 N? Considere: R = radio terrestre
A) R B) 2R C) 3R
P D
D) 4R E) 5R
19. ¿En qué relación están los valores de la A) 1/6 B) 2/3 C) 4/5
aceleración de la gravedad en dos puntos, uno D) 3/2 E) 5/7
situado a una profundidad igual a la cuarta
parte del radio terrestre y el otro a una altura 25. Si un planeta que gira alrededor del Sol
igual al radio terrestre ambos respecto de la demora 9 días en trasladarse de A hacia B,
superficie de la Tierra. determinar el periodo de órbita.
A) 1; 1 B) 1; 2 C) 1: 4
D) 3; 1 E) 3; 4
20. Un planeta quot;Mquot; tiene 2 satélites quot;Aquot; y quot;Bquot; los A
3S 5S
que giran a su alrededor, describiendo órbitas
aproximadamente circulares. Si el período de
B
quot;Bquot; es 160 días y el radio de la órbita de giro
de quot;Aquot; es la cuarta parte del radio de la órbita
de quot;Bquot;. Hallar el período de quot;Aquot; A) 48 días B) 24 días C) 15 días
A) 10 días B) 15 días C) 20 días D) 18 días E) 20 días
D) 25 días E) 30 días
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6. Física para todos 6 Carlos Jiménez Huaranga
26. ¿Con qué velocidad lineal gira un satélite 29. ¿Cuál será la variación de la energía cinética
alrededor de la Tierra en una órbita circular de de un satélite de masa quot;mquot; al cambiar de una
radio quot;4Rquot;? órbita a otra alrededor de la Tierra, si las
GM aceleraciones de la gravedad en las órbitas
= 8 km / h son: g/4 y g/9; respectivamente.
R M = masa de la Tierra
G= constante de gravitación
Donde: R = Radio terrestre; R= radio terrestre
M= masa de la Tierra g= aceleración de la gravedad en la superficie
terrestre
A) 8 km/s B) 6 km/s C) 5 km/s A) GmM/2R B) GmM/12R
D) 4 km/s E) 2 km/s C) GmM/6R D) GmM/12R
E) GmM/3R
27. Un planeta tiene dos satélites que orbitan
concéntricamente en trayectorias circulares 30. Un satélite se encuentra en una órbita circular
respecto del planeta. Uno de ellos tiene un alrededor de la Tierra, a una altura donde la
periodo de 27 días, el otro demora 6 días en aceleración de la gravedad es la cuarta parte
barrer el 75% del área total encerrada por su de la aceleración de la gravedad en la
trayectoria. Hallar la relación de sus radios superficie terrestre. Determine el periodo de
vectores. traslación en la órbita del satélite ;
A) 9/16 B) 1/4 C) 12/15 considere:
D) 2/9 E) 9/4 R = radio terrestre
g = aceleración de la gravedad en la superficie
28. Un cuerpo de masa quot;mquot; es lanzado terrestre.
verticalmente hacia arriba con una velocidad
quot;V0quot;. Desde la superficie de la tierra, donde
R R
su masa es quot;Mquot; y su radio quot;Rquot;. Calcular su A) 4π B) 2π
velocidad, cuando ha recorrido una altura g g
igual a quot;Rquot;
g R
2GM C) 4π D) 4π
Considere: vo = 2R 2g
R
2R
vo 2 vo vo E) 4π
A) B) C) g
2 2 4
2 vo
D) E) 2 vo
4
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