El documento describe el cálculo de caudales en un sistema de tuberías utilizando las ecuaciones de Hazen-Williams para la pérdida de carga y el método de Jacobi para resolver las ecuaciones no lineales. Se definen las ecuaciones para cada tubería, se aplica la continuidad para establecer dos ecuaciones no lineales y se resuelven iterativamente con Jacobi para obtener los caudales.

1. 1 Hazen-Williams y Jacobi.





xi − xmej
yi − ymej
...
zi − zmej





=






df
dx
df
dy · · · df
dz
dg
dx
dg
dy . . . dg
dz
... . . .
... . . .
qf
dx
qf
dy . . . qf
dz






−1 




f(x, y, . . . z)
g(x, y, . . . z)
...
q(x, y, . . . z)





Q = 0,8494AC D
4
0,63 Hf
L
0,54
1.1 Ejercicio
En el siguiente sistema mostrado obtener los caudales en las tuberías,utilizando la pérdida de
carga de Hazen-Williams. Para solucionar las ecuaciones no lineales utilizar Jacobi.
Figura 1.1: Eercicio
Ingeniería Civil-Huancavelica UNH. 1 consulta : ramirezquispe1@hotmail.com

2. Realizado por: Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
1.2 Solución
La fórmula de Hazen-Williams, también denominada ecuación de Hazen-Williams, se utiliza
particularmente para determinar la velocidad del agua en tuberías circulares llenas,o conductos
cerrados es decir, que trabajan a presión.
Su formulación para una tubería es:
Q = 0,8494AC
D
4
0,63
Hf
L
0,54
Donde:
Q [m3
s ] = Caudal.
A [m2] = Área.
C [−] = Coeficiente de Hazen-Williams.
D [m] = Diámetro.
Hf [m] = Pérdida de carga.
L [m] = Longitud.
1 Asumiendo la dirección de los caudales.
Figura 1.2: Dirección de caudales
Ingeniería Civil-Huancavelica UNH. 2 consulta : ramirezquispe1@hotmail.com

3. Realizado por: Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
2 Calculando los caudales en cada tubería
Q1 = 0,8494[18x0,0254]2
100
18x0,0254
4
0,63
50 − x
2000
0,54
Q2 = 0,8494[12x0,0254]2
100
12x0,0254
4
0,63
x − 30
1000
0,54
Q3 = 0,8494[16x0,0254]2
100
16x0,0254
4
0,63
x − y
1500
0,54
Q4 = 0,8494[12x0,0254]2
100
12x0,0254
4
0,63
y − 10
2000
0,54
Q5 = 0,8494[14x0,0254]2
100
14x0,0254
4
0,63
y
3000
0,54
3 Aplicando continuidad:
Q2+Q3=Q1
0,8494[12x0,0254]2
100
12x0,0254
4
0,63
x − 30
1000
0,54
+ 0,8494[16x0,0254]2
100
16x0,0254
4
0,63
x − y
1500
0,54
= 0,8494[18x0,0254]2
100
18x0,0254
4
0,63
50 − x
2000
0,54
Q3+Q4=Q2
0,8494[12x0,0254]2
100
12x0,0254
4
0,63
y − 10
2000
0,54
+ 0,8494[14x0,0254]2
100
14x0,0254
4
0,63
y
3000
0,54
= 0,8494[16x0,0254]2
100
16x0,0254
4
0,63
x − y
1500
0,54
4 Para poder aplicar el método de jacobi f(x, y) y g(x, y) sea:
f(x, y) = 0,8494[12x0,0254]2
100
12x0,0254
4
0,63
x − 30
1000
0,54
+ 0,8494[16x0,0254]2
100
16x0,0254
4
0,63
x − y
1500
0,54
− 0,8494[18x0,0254]2
100
18x0,0254
4
0,63
50 − x
2000
0,54
g(x, y) = 0,8494[12x0,0254]2
100
12x0,0254
4
0,63
y − 10
2000
0,54
+ 0,8494[14x0,0254]2
100
14x0,0254
4
0,63
y
3000
0,54
− 0,8494[16x0,0254]2
100
16x0,0254
4
0,63
x − y
1500
0,54
Ingeniería Civil-Huancavelica UNH. 3 consulta : ramirezquispe1@hotmail.com

4. Realizado por: Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
Sabemos que el método jacobi es:





xi − xmej
yi − ymej
...
zi − zmej





=






df
dx
df
dy · · · df
dz
dg
dx
dg
dy . . . dg
dz
... . . .
... . . .
qf
dx
qf
dy . . . qf
dz






−1 




f(x, y, . . . z)
g(x, y, . . . z)
...
q(x, y, . . . z)





Para nuestro ejemplo:
xi − xmej
yi − ymej
=
df(x,y)
dx
df(x,y)
dy
dg(x,y)
dx
dg(x,y)
dy
−1
f(x, y)
g(x, y)
Como es un proceso iterativo con la ayuda del lenguaje C++ obtenemos.
X Y Xfin Yfin Xerror Yerror
38.00000000000 18.00000000000 33.77714551890 21.20908633700 4.22285448110 3.20908633700
33.77714551890 21.20908633700 33.99398080170 21.07352874650 0.21683528280 0.13555759050
33.99398080170 21.07352874650 33.99530097340 21.07313768040 0.00132017170 0.00039106610
33.99530097340 21.07313768040 33.99530101270 21.07313767440 0.00000003930 0.00000000600
Cuadro 1.1: Iteración de jacobi realizado en C++
Entonces los valores de x y y son:
x = 33.9953009734
y = 21.0731376804
5 Reemplazando para obtener los caudales.
Q1 = 0,8494[18x0,0254]2
100
18x0,0254
4
0,63
50 − 33,9953009734
2000
0,54
= 0,262253422848
Q2 = 0,8494[12x0,0254]2
100
12x0,0254
4
0,63
33,9953009734 − 30
1000
0,54
= 0,06204409096
Q3 = 0,8494[16x0,0254]2
100
16x0,0254
4
0,63
33,9953009734 − 21,0731376804
1500
0,54
= 0,20020933083
Q4 = 0,8494[12x0,0254]2
100
12x0,0254
4
0,63
21,0731376804 − 10
2000
0,54
= 0,07399692549
Q5 = 0,8494[14x0,0254]2
100
14x0,0254
4
0,63
21,0731376804
3000
0,54
= 0,12621240575
Ingeniería Civil-Huancavelica UNH. 4 consulta : ramirezquispe1@hotmail.com

5. Realizado por: Ramirez Quispe, Robert Marlindo.
6 Resultado de caudales.
Qi
m3
s
L
s
Q1 0.2622534228 262.2534228480
Q2 0.0620440910 62.0440909600
Q3 0.2002093308 200.2093308300
Q4 0.0739969255 73.9969254900
Q5 0.1262124058 126.2124057500
Cuadro 1.2: Caudales en las tuberías.
Figura 1.3: Resultado
Ingeniería Civil-Huancavelica UNH. 5 consulta : ramirezquispe1@hotmail.com