Una turbina desvía flujo del río por debajo de una presa tal como se muestra en la figura. Las pérdidas de fricción son 3.5 V2/2g, donde V es la velocidad promedio en la tubería de suministro. Cuál debe ser el caudal extraído del río para que la potencia sea de 25 MW?

1. PROBLEMA 1
Una turbina desvía flujo del río por debajo de una presa tal como se muestra
en la figura. Las pérdidas de fricción son 3.5 V2/2g, donde V es la velocidad
promedio en la tubería de suministro. Cuál debe ser el caudal extraído del río
para que la potencia sea de 25 MW?
SOLUCION:
Usamos la ecuación de la energía para calcular la velocidad que tiene el agua
del rio cuando pasa del punto 1 al punto 3, de la siguiente manera:
𝑃1
𝛾
+ 𝑧1 +
𝑣1
2
2𝑔
+ ℎ 𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 =
𝑃2
𝛾
+ 𝑧2 +
𝑣2
2
2𝑔
+ ℎ 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎 + ℎ 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎
Para los puntos 1 y 2, tenemos las siguientes consideraciones:
 𝑃1 y 𝑃2 son presiones atmosféricas, como vamos a manejar presiones en
tuberías (𝑃 𝑚𝑎𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑠) decimos que 𝑃1 = 0 = 𝑃2
 Como las áreas donde están los puntos de estudio 1 y 2 son mucho
mayores que el área de la tubería de 4m, podemos decir que 𝑣1 = 0 = 𝑣2
 Como no tenemos bomba, ℎ 𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 = 0
Por lo cual reemplazando valores tenemos que:
0 + 50𝑚 + 0 + 0 = 0 + 10𝑚 + 0 + ℎ 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎 + ℎ 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎
Ahora calculemos el cabezal de turbina ℎ 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎, así:
𝑊̇ 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖 𝑛 𝑎 = 𝛾𝑄ℎ 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎

2. Despejando ℎ 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖 𝑛 𝑎, tenemos:
ℎ 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎 =
𝑊̇ 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎
𝛾𝑄
=
25 × 106 𝑊
(9790 𝑁 𝑚3⁄ ) 𝑄
De la ecuación de pérdidas tenemos que:
ℎ 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 = 3,5
𝑣2
2𝑔
= 3,5
( 𝑄 𝐴⁄ )2
2𝑔
= 3,5
𝑄2
2𝑔𝐴2 =
3,5𝑄2
2𝑔(
𝜋
4
𝐷2)
2
Reemplazando valores, tenemos:
ℎ 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖 𝑑 𝑎𝑠 =
3,5𝑄2
2𝑔 (
𝜋
4
(4𝑚)2)
2 =
7𝑄2
64𝜋2 𝑔
Reemplazando valores, tenemos:
50𝑚 = 10𝑚 +
25 × 106 𝑊
(9790 𝑁 𝑚3⁄ ) 𝑄
+
7𝑄2
(64𝑚2)(9,81 𝑚 𝑠2⁄ ) 𝜋2
𝑄3 −
(40𝑚)(64𝑚2)(9,81 𝑚 𝑠2⁄ ) 𝜋2
7
𝑄 +
(25 × 106 𝑊)(64𝑚2)(9,81 𝑚 𝑠2⁄ ) 𝜋2
7(9790 𝑁 𝑚3⁄ )
= 0
𝑄3 −
(40𝑚)(64𝑚2)(9,81 𝑚 𝑠2⁄ ) 𝜋2
7
𝑄 +
(25 × 106 𝑊)(64𝑚2)(9,81 𝑚 𝑠2⁄ ) 𝜋2
7(9790 𝑁 𝑚3⁄ )
= 0
𝑄3 − 35408,8𝑄 + 2260518,2 = 0
Entrando valores en una calculadora programable, tenemos que las raíces
serán:
𝑄1 = −214,37 𝑚3 𝑠⁄ , 𝑄2 = 76,47 𝑚3 𝑠⁄ 𝑦 𝑄3 = 137,9 𝑚3 𝑠⁄
La raíz negativa queda descartada, ahora seleccionaremos el caudal en el cual
tengamos menor pérdida por fricción por lo tanto:
Para 𝑄 = 137,9 𝑚3 𝑠⁄ → ℎ 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 =
7𝑄2
64𝜋2 𝑔
=
7(137,9 𝑚3 𝑠⁄ )2
64𝜋2(9,81 𝑚 𝑠2⁄ )
= 21,48𝑚
Para 𝑄 = 76,47 𝑚3 𝑠⁄ → ℎ 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 =
7𝑄2
64𝜋2 𝑔
=
7(76,47 𝑚3 𝑠⁄ )2
64𝜋2(9,81 𝑚 𝑠2⁄ )
= 6,61𝑚
Por lo tanto el valor del caudal será 𝑸 = 𝟕𝟔, 𝟒𝟕 𝒎 𝟑 𝒔⁄