El documento describe el método de integración por sustitución. Explica que este método se basa en la regla de la cadena para derivadas y es aplicable a funciones compuestas. Luego detalla los pasos del método: 1) identificar la estructura adecuada, 2) realizar la sustitución, 3) integrar con respecto a la nueva variable y 4) volver a expresar el resultado en términos de la variable original.

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Lic. Oscar Ardila Chaparro

2. También llamada integral por cambio de variable, tiene una estrecha relación
con el método “regla de la cadena” en la derivada, de aquí que sea aplicable a
la integración de funciones compuestas.
A continuación se presenta un esquema donde se construye una función a
partir de la composición de f en g.

3. Para introducir la formula y las características de una integral susceptible de
aplicar el método de sustitución, empezamos por recordar la regla de la cadena
para la derivación. En la definición se resalta en verde lo que de ahora en
adelante llamaremos función interna.
Aplicando la integral en ambos lados de la igualdad.

4. La identificación de la siguiente estructura será el primer paso para la aplicación
del método de integración por sustitución. En rojo se resalta la anti derivada
(integral) de f (x).
Cabe resaltar que esta estructura puede presentarse de forma explicita o
implícita, y en este ultimo caso requeriremos de algunas transformaciones o
arreglos matemáticos para realizar la sustitución.

5. 1- Identificamos la estructura para aplicar la sustitución.

6. 2- Planteamos la sustitución bajo la siguiente
consideración.
De esta manera tenemos para la integral:

7. 3- Realizando la sustitución:
4- Realizamos la nueva integral en términos de u:
5- Y volvemos nuevamente a establecer nuestra
respuesta (en naranja) en términos de la variable
original:

8. 1- Identificamos la estructura para aplicar la sustitución.

9. 2- Planteamos la sustitución.
Dado que la derivada.
da 3u 2 du
No se aprecia explícitamente en la integral realizamos el siguiente despeje:
da
du
3u 2

10. 3- Dado que la integral posee limites es necesario un cambio de
los mismos antes de plantear la nueva integral.
4- De esta manera planteamos la nueva integral:

11. 5- Solucionamos la nueva integral como sigue:
6- Evaluando finalmente la integral:

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