El documento habla sobre las aplicaciones de las integrales definidas para calcular áreas, volúmenes, longitudes y trabajo. Explica cómo se puede usar la integral definida para determinar el trabajo realizado por una fuerza constante o variable, así como también para calcular la fuerza hidrostática sobre una placa sumergida en un líquido o sobre las paredes de un recipiente. Finalmente, explica cómo usar la integral definida para calcular la longitud de un arco de una curva.

1. LAS INTEGRALES
SEBASTIAN ARIAS TAY
LUZ BENAVIDES
FRANKY ACHAGUA
DAINER BARRETO
FUNDACION UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD DE SANGIL-UNISANGIL
AREA DE CALCULO INTEGRAL
YOPAL-CASANARE
2017

2. LAS INTEGRALES
SEBASTIAN ARIAS TAY
LUZ BENAVIDES
FRANKY ACHAGUA
DAINER BARRETO
Profesor
Quevin Barrera
FUNDACION UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD DE SANGIL-UNISANGIL
AREA DE CALCULO INTEGRAL
YOPAL-CASANARE
2017

3. Aplicaciones de la integral definida
Hasta ahora hemos visto el cálculo de las integrales. Ahora veremos que la integral definida es un
métodorápidoparacalcularáreas,volúmenes,longitudes,etc.,congranaplicaciónendiversasramas
de las ciencias naturales, sociales y la ingeniería. Abordaremos algunas de las más importantes de
acuerdo a su plan de estudios.
Determinación del trabajo
Si una fuerzaconstante Factúa sobre unobjetodesplazándolounadistancia x,alo largode unalínea
recta, y la dirección de la fuerza coincide con la del movimiento, entonces el trabajo realizado W se
expresa como el producto de la fuerza F por el camino recorrido, es decir:
W = F× x
Sinembargo,cuandolafuerzanoesconstante,porejemplo,cuandose contrae oestiraunresorte,el
trabajono se puede expresarenforma tansimple,pueslafuerzadependeráde laposiciónqueocupe
el objetosobre el cual actúa.Si conocemoslafunciónque relacionaalafuerzaconla posición, F=f(x)
(dejandoparasuestudiopersonal el planteamientoformalde dividirelintervaloenqueactúalafuerza
en segmentos, etc.), podemos plantear entonces que:
El alargamiento o la compresión de un resorte helicoidal,nos proporciona un ejemplo del trabajo
realizadoporunafuerzavariable.LaleydeHookeindicaque lafuerzanecesariapara estirarunresorte
helicoidal, es proporcional a la elongación del resorte. Así, la fuerza necesaria para producir una
elongación de x unidades, está dada por la expresión F = kx, donde k es la constante de
proporcionalidad,que depende delmaterial,del calibre (grosor),delalambre,de latemperatura,etc.
Ejemplo:Paraproducirunaelongaciónde0.01m enunresorte de hacerse necesitaaplicarunafuerza
de 0.1 newton. Determine el trabajo necesario para comprimir el resorte 2 cm.
La determinación de la constante en la ley de Hooke se reduce a:

4. Nos interesa abordar con Ustedes el trabajo relacionado con la compresión o expansión de
un gas en un cilindro con un pistón. Esto se relaciona, por ejemplo, con el trabajo que se
realiza en los motores térmicos de combustión interna (motores de gasolina, motores
diesel), o sea con el trabajo que realizan los gases calientes, productos de la combustión,
sobre el émbolo del pistón que mueve al cigüeñal y, mediante los mecanismos de
transmisión, mueven en definitiva las ruedas de un vehículo u otras partes mecánicas que
nos dan un trabajo e una aplicación en la tecnología. Esto será visto en termodinámica, por
lo que consideraremos un caso sencillo en este momento.
Supongamosque tenemosungasideal enuncilindro comoel que se muestraenla siguientefiguray
que es comprimido utilizando una presión P, manteniendo la temperatura constante:
Consideremosundesplazamientomuypequeñodelpistón,Dl,que enel límite serámuypequeñoe
igual a dl, para la ecuacióndel trabajoyavistatendremosque:
Ejemplo.Asumiendocomportamientoideal,determine el trabajonecesarioparacomprimir3 kgde
nitrógenode 3 a 1.5 l.

5. Ya se veráen termodinámicaque el signonegativoque se obtieneindicaque el trabajose realiza
sobre el sistema.
Determinaciónde fuerza hidrostática.
Otra aplicación de la integral definida de aplicación en problemas de la Tecnología de Alimentos,
consiste endeterminarlafuerzaejercidaporlapresiónde unlíquidosobre unaplacasumergida enél
o sobre un lado del recipiente que lo contiene.
La presiónde unlíquidoeslafuerzapor unidadcuadradade área ejercidaporel pesodel líquido.Así,
si r es la densidad del líquido, entonces la presión ejercida por el líquido en un punto a h unidades
debajo de la superficie del líquido es P unidades, donde P = r× h.
El principio de Pascal establece que la presión a una profundidad h es la misma en todas las
direcciones.Portanto,si se sumerge unaplaca plana enun fluidode densidadρ,lapresiónsobre un
lado de la placa es ρ×h en cualquier punto. Resulta irrelevante si la placa se sumerge horizontal,
vertical o de cualquier otro modo.
Consideremos una placa de forma irregular (por facilidad en el dibujo le dimos forma trapezoidal),
sumergidaenun líquidode densidad r,y cuyo ancho es funciónde la profundidad,dadopor w(x).La
orientación del eje x por conveniencia la consideramoscon el origenen la superficie del líquido (ver
la figura que sigue).
Consideremos un elemento muy pequeño y transversal de la placa. En el límite, cuando Dx sea
infinitamentepequeño,suáreaserá w(x)×dx,ypodemosaproximarlapresiónejercidaporel líquido
sobre ese elementoporel de unosimilarperoorientadohorizontalmente,yaque dx esinfinitamente

6. pequeño,que seráρ×x y por tanto la fuerzaejercidaenese diferencial de áreapor el líquidoserá dF
= PdA = ρx w(x)dx.Evidentemente,integrandoentre laprofundidaddel extremosuperiorde la placa
y la profundidad del extremo inferior de la placa tendremos la fuerza total que se ejerce sobre la
misma:
Ejemplo.
Un recipiente de forma trapezoidal de 100 cm de profundidad,está lleno de un líquido viscoso cuya
densidad es de 1.13 g/cm3
. En la superficie el ancho del recipiente es de 100 cm y en el fondo es de
50 cm. Si la superficie del líquidose encuentraa 10 cm del borde del recipiente,determine lafuerza
total ejercida por el líquido sobre una pared del recipiente.
La anchura es una función lineal de la profundidad, con w(0) = 100 y w(100) = 50.
La pendiente es:
Ejercicio:
Se tiene undepósitocilíndricohorizontalde 4mde diámetrollenoexactamenteenun50 % con agua.
Determine la fuerza hidrostática sobre las paredes laterales del cilindro.
Pista: Recuerde que resolviendo para y la ecuación de una semicircunferencia se tiene que:

7. Longitud de un arco.
El problemageneral que vamos a plantearnosesel cálculode la longitudde arco de la curva y = f(x)
en el intervalo [a, b]. Suponemos que f es continua en [a, b] y derivable en (a, b).
Haciendounaparticióndel intervalo[a,b] enn subintervalosde igual longitud:a =x0 < x1 < … < xn = b,
donde
Entre cada par de puntos consecutivos de la curva, (xi–1, f (xi–1)) y (xi, f (xi)), aproximamosla longitud
de arco si por la distancia recta entre ellos (vea la figura). Aplicando la fórmula de la distancia entre
dos puntos:

8. Este resultado lo puede comprobar utilizando GraphicaMK (materiales auxiliares), utilizando la
función (1+4x^2)^0.5 e integrando entre 1 y 2.
Igual resultadose puede obtenerintegrandoeny.Si la función g y su derivadag´ soncontinuasenel
intervalo cerrado [c,d], entonces la longitud del arco de la curva x = g(y) a partir del punto (g( c ),c)
hasta el punto (g(d),d) está dada por:

9. MOMENTOS Y CENTROS DE MASA
El objetivoprincipal de estaseccion esdeterminarel puntoPenel cual se equilibra,horizontalmente
, una placadelgadade cualquierformadada,este puntose llamacentrode masa o centrode
gravedadde la placa.
El caso mas sencilloentredosmasasm1 y m2 estanfijasenlosextremosopuestosde unavarillade
masa minimaonulaapoyadaenunpivote
Supongamosque lavarillaestaenel eje x,m1 enx1 y m2 enx2 y el centrode masa enx.
En general
Donde esla masa total del sistemaylasuma de losmomentosindividuales.
Ahoraconsideremosunsistemade nparticulascomomasas colocadosenlos
puntos enel planoxy.Decimosque el momentodel sistema
respectoal eje y

10. y al momentodel sistemarespectoal eje x
entonces
y
Ejemplo #1
Situe el centrode masa de una placa semicircularde radior
En este caso no haynecesidadde calcularx porque debidoal principiode simetriael centrode masa
debe estarenel eje y,asi que x=0.el areade unsemicirculoes
Ejemplo #2

11. Ejemplo #3
--Juliocm23:3731 oct 2009 (CST)
Ejemplo # 4
Encuentre el centroide acotadoporlascurvas: y=x & y =

12. Encontrandoel area...
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Encontrando y ...
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