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INTERVALOS DE CONFIANZA



MATERIA: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA




ESCUELA: UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE TORREON



PROFESOR: LIC. EDGAR MATA ORTIZ



ALUMNO: ROLANDO FERNANDO ECHAVARRÍA




GRADO: 2




SECCION: C




CARRERA: PROCESOS INDUSTRIALES AREA MANUFACTURA




UNIDAD: 3
Que son los intervalos de confianza

En estadística, se llama intervalo de confianza a un par de números entre los cuales se
estima que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de
acierto. Formalmente, estos números determinan un intervalo, que se calcula a partir
de datos de una muestra, y el valor desconocido es un parámetro poblacional. La
probabilidad de éxito en la estimación se representa con 1 - α y se denomina nivel de
confianza. En estas circunstancias, α es el llamado error aleatorio o nivel de
significación, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimación
mediante tal intervalo.1

El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente, de forma que
un intervalo más amplio tendrá más posibilidades de acierto (mayor nivel de
confianza), mientras que para un intervalo más pequeño, que ofrece una estimación
más precisa, aumentan sus posibilidades de error.



Para la construcción de un determinado intervalo de confianza es
necesario conocer la distribución teórica que sigue el parámetro a
estimar. Es habitual que el parámetro presente una distribución normal.
1) Un nadador obtiene los siguientes tiempos, en minutos, en 10 pruebas
cronometradas por su entrenador: 41,48 42,34 41,95 41,86 41,60 42,04 41,81
42,18 41,72 42,26. Obtener un intervalo de confianza para la marca promedio de
esta prueba con un 95% de confianza, suponiendo que se conoce por otras pruebas
que la desviación típica para este nadador es de 0,3 minutos. Si el entrenador quiere
obtener un error en la estimación de la media de este nadador inferior a tres
segundos, ¿cuántas pruebas debería cronometrar?

SOLUCIÓN:

Para dar un intervalo de confianza de la media conocida la desviación típica,
utilizamos es

Estadístico pivote:




Sustituyendo se obtiene el intervalo:

(41,924 – 0,186, 41,924 + 0,186). El valor 0,186 se llama margen de error.

El intervalo para la media es (41,738, 42, 11)

Esto es lo mismo que decir que la media es 41,924 ± 18,6 %. Es decir que la
media se estima en

41,92 con un margen de error de ± 18,6 %.



2) La puntuación promedio de una muestra de 20 jueces de gimnasia
rítmica, elegidos al azar,

Para una misma prueba presentó una media de 9,8525 y una cuasi
desviación típica maestral

De 0,0965. Calcular un intervalo de confianza con un 95% para la nota
media.

(Se sobreentiende que la puntuación de la prueba sigue una distribución
normal)
3) Un entrenador de fútbol está interesado en estimar, con un 99% de confianza,
la fuerza máxima de los músculos cuádriceps de los futbolistas. Admitiendo que
dicha fuerza sigue una Distribución normal, selecciona al azar una muestra de 25
futbolistas, para la que obtuvo una media de 85 Nw y una cuasi varianza de 144.
Determinar un intervalo de confianza para la media y otro para la varianza de la
fuerza máxima de estos músculos.
4) Para estimar el número de ranas que hay en un estanque procedemos a pescar
cierta cantidad, 30, y las marcamos con un anillo, devolviéndolas al estanque.
Transcurridos unos días volvemos a pescar otro montón y observamos qué proporción
están marcadas con la anilla. Es esta última pesca obtenemos 100 ranas de las que 7
están marcadas. Calcular un intervalo al 99% de confianza para la proporción de ranas
marcadas.

SOLUCIÓN:

Hay que averiguar un intervalo de confianza para estimar una proporción, donde
resulta que el valor del parámetro en la muestra elegida es p)=0,07. Para obtener un
intervalo de confianza de una proporción, el pivote estadístico es:
5) En una encuesta hecha por los alumnos y alumnas de un Instituto a un total de 100 votantes
elegidos al azar en su Ayuntamiento, se indica que el 55% volvería a votar por el alcalde
actual. Calcular un intervalo de confianza al 99% e otro al 99,73% para la proporción de
votantes favorables al alcalde actual.
6) En una encuesta a 360 alumnos de un centro, elegidos al azar, resultaron 190 a
favor de la política del actual equipo directivo. ¿Cuál es el intervalo de confianza, con
nivel del 95%, para la proporción de alumnos que apoyan a esta dirección?




7) Se lanza una moneda 100 veces y se obtienen 62 cruces. ¿Cuál es el intervalo de
confianza para la proporción de cruces con un 99% de nivel de confianza? SOLUCIÓN:
Hay que averiguar un intervalo de confianza para estimar una proporción, donde
resulta que el valor del parámetro en la muestra elegida es

p)= 0,62. Para obtener un intervalo de confianza de una proporción, el pivote
estadístico es:
8) Un fabricante de pilas alcalinas sabe que el tiempo de duración, en horas, de las
pilas que fabrica sigue una distribución Normal de media desconocida y varianza 3 600.
Con una muestra de su producción, elegida al azar, y un nivel de confianza del 95 % ha
obtenido para la media el intervalo de confianza (372,6; 392,2).

a) Calcule el valor que obtuvo para la media de la muestra y el tamaño muestral
utilizado.

b) ¿Cuál sería el error de su estimación, si hubiese utilizado una muestra de tamaño
225 y un nivel de confianza del 86,9 %?

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  • 1. INTERVALOS DE CONFIANZA MATERIA: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA ESCUELA: UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE TORREON PROFESOR: LIC. EDGAR MATA ORTIZ ALUMNO: ROLANDO FERNANDO ECHAVARRÍA GRADO: 2 SECCION: C CARRERA: PROCESOS INDUSTRIALES AREA MANUFACTURA UNIDAD: 3
  • 2. Que son los intervalos de confianza En estadística, se llama intervalo de confianza a un par de números entre los cuales se estima que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. Formalmente, estos números determinan un intervalo, que se calcula a partir de datos de una muestra, y el valor desconocido es un parámetro poblacional. La probabilidad de éxito en la estimación se representa con 1 - α y se denomina nivel de confianza. En estas circunstancias, α es el llamado error aleatorio o nivel de significación, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimación mediante tal intervalo.1 El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente, de forma que un intervalo más amplio tendrá más posibilidades de acierto (mayor nivel de confianza), mientras que para un intervalo más pequeño, que ofrece una estimación más precisa, aumentan sus posibilidades de error. Para la construcción de un determinado intervalo de confianza es necesario conocer la distribución teórica que sigue el parámetro a estimar. Es habitual que el parámetro presente una distribución normal.
  • 3. 1) Un nadador obtiene los siguientes tiempos, en minutos, en 10 pruebas cronometradas por su entrenador: 41,48 42,34 41,95 41,86 41,60 42,04 41,81 42,18 41,72 42,26. Obtener un intervalo de confianza para la marca promedio de esta prueba con un 95% de confianza, suponiendo que se conoce por otras pruebas que la desviación típica para este nadador es de 0,3 minutos. Si el entrenador quiere obtener un error en la estimación de la media de este nadador inferior a tres segundos, ¿cuántas pruebas debería cronometrar? SOLUCIÓN: Para dar un intervalo de confianza de la media conocida la desviación típica, utilizamos es Estadístico pivote: Sustituyendo se obtiene el intervalo: (41,924 – 0,186, 41,924 + 0,186). El valor 0,186 se llama margen de error. El intervalo para la media es (41,738, 42, 11) Esto es lo mismo que decir que la media es 41,924 ± 18,6 %. Es decir que la media se estima en 41,92 con un margen de error de ± 18,6 %. 2) La puntuación promedio de una muestra de 20 jueces de gimnasia rítmica, elegidos al azar, Para una misma prueba presentó una media de 9,8525 y una cuasi desviación típica maestral De 0,0965. Calcular un intervalo de confianza con un 95% para la nota media. (Se sobreentiende que la puntuación de la prueba sigue una distribución normal)
  • 4. 3) Un entrenador de fútbol está interesado en estimar, con un 99% de confianza, la fuerza máxima de los músculos cuádriceps de los futbolistas. Admitiendo que dicha fuerza sigue una Distribución normal, selecciona al azar una muestra de 25 futbolistas, para la que obtuvo una media de 85 Nw y una cuasi varianza de 144. Determinar un intervalo de confianza para la media y otro para la varianza de la fuerza máxima de estos músculos.
  • 5. 4) Para estimar el número de ranas que hay en un estanque procedemos a pescar cierta cantidad, 30, y las marcamos con un anillo, devolviéndolas al estanque. Transcurridos unos días volvemos a pescar otro montón y observamos qué proporción están marcadas con la anilla. Es esta última pesca obtenemos 100 ranas de las que 7 están marcadas. Calcular un intervalo al 99% de confianza para la proporción de ranas marcadas. SOLUCIÓN: Hay que averiguar un intervalo de confianza para estimar una proporción, donde resulta que el valor del parámetro en la muestra elegida es p)=0,07. Para obtener un intervalo de confianza de una proporción, el pivote estadístico es:
  • 6. 5) En una encuesta hecha por los alumnos y alumnas de un Instituto a un total de 100 votantes elegidos al azar en su Ayuntamiento, se indica que el 55% volvería a votar por el alcalde actual. Calcular un intervalo de confianza al 99% e otro al 99,73% para la proporción de votantes favorables al alcalde actual.
  • 7. 6) En una encuesta a 360 alumnos de un centro, elegidos al azar, resultaron 190 a favor de la política del actual equipo directivo. ¿Cuál es el intervalo de confianza, con nivel del 95%, para la proporción de alumnos que apoyan a esta dirección? 7) Se lanza una moneda 100 veces y se obtienen 62 cruces. ¿Cuál es el intervalo de confianza para la proporción de cruces con un 99% de nivel de confianza? SOLUCIÓN: Hay que averiguar un intervalo de confianza para estimar una proporción, donde resulta que el valor del parámetro en la muestra elegida es p)= 0,62. Para obtener un intervalo de confianza de una proporción, el pivote estadístico es:
  • 8. 8) Un fabricante de pilas alcalinas sabe que el tiempo de duración, en horas, de las pilas que fabrica sigue una distribución Normal de media desconocida y varianza 3 600. Con una muestra de su producción, elegida al azar, y un nivel de confianza del 95 % ha obtenido para la media el intervalo de confianza (372,6; 392,2). a) Calcule el valor que obtuvo para la media de la muestra y el tamaño muestral utilizado. b) ¿Cuál sería el error de su estimación, si hubiese utilizado una muestra de tamaño 225 y un nivel de confianza del 86,9 %?