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“JORNADAS ACADÉMICAS PARA EL SEGUIMIENTO Y EVALUACIÓN
SOBRE LOS PROCESOS DE CONTEXTUALIZACIÓN EN LAS ESCUELAS
DE EDUCACIÓN PRIMARIA. FORTALECIMIENTO DEL PENSAMIENTO
LÓGICO MATEMÁTICO A TRAVÉS DE LA LECTURA”.
“Fortalecimiento del pensamiento lógico-matemático
a través de la lectura reflexiva”
Introducción
Estrategias para profundizar en la comprensión y resolución de
problemas de matemáticas.

Introducción
2
La lectura y la escritura como elementos fundamentales para la
comprensión en matemáticas.
A continuación, se presenta un extracto del artículo “Propuesta metodológica de lectura en clase de
matemáticas a través de textos de divulgación científica”, publicado en la Revista Iberoamericana de
Educación Matemática, en diciembre de 2015, No. 43, pp. 49-69, realizado por Santos Baron Edimer.
En éste, se plantea una propuesta encaminada hacia la mejora del aprendizaje de las matemáticas en la
escuela básica, tomando a la lectura como eje fundamental y la resolución de problemas como
estrategia.
Else (2008) plantea que “la lectura de textos no tradicionales se usa principalmente para
mejorar la comprensión de un concepto específico pero no para aprender un concepto
matemático nuevo”. La lectura comprensiva es una herramienta que permite la elaboración de
significados (Moran, 2012). Los textos de lectura están en un lenguaje natural. La matemática
necesita del lenguaje natural para comunicar sus resultados, pero además le añade símbolos y
fórmulas que son necesarios para comprenderla. La lectura de la matemática requiere además
de comprender las palabras del lenguaje natural, entender el sentido, el significado de los
símbolos y las fórmulas. No basta con leer literalmente. Por ejemplo, cuando vemos el
símbolo 5 expresamos oralmente “cinco”, pero debemos saber igualmente que es la
representación de un número que expresa la cantidad de dedos que tenemos en una mano, o el
número de vocales del abecedario; cuando formulamos “dos más cuatro es igual a seis”, muy
posiblemente estamos leyendo la expresión “2+4=6”, significando lo mismo. Pero las
fórmulas, como éstas, tienen la ventaja de que las vemos de un solo golpe y posiblemente
entendemos también de un solo golpe lo que la fórmula nos dice más allá de la lectura en
español. Se trata del resultado de la suma de dos cantidades. O si se quiere de la relación entre
tres números, representados por 2, 4, y 6. Leer significa entender, aprehender lo escrito.
El hecho de que el lenguaje matemático requiera de tablas, diagramas, expresiones simbólicas
y gráficas muchas veces simultáneamente implica que leer y disfrutar un texto matemático no
es lo mismo que leer una novela, de principio a fin (Freitag, p. 17). Los estudiantes requieren
hacer transformaciones simbólicas, como en el ejemplo anterior, a través de un sistema de
símbolos del lenguaje verbal para formar una representación escrita (gráfica) que exprese la
idea verbal (Emig, 1977) y de esta manera mostrar las concepciones y experiencias que se
tienen en relación con un concepto.

Introducción
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En matemáticas el estudiante debe, en algún momento, expresar las ideas y concepciones a
través de una representación simbólica, gráfica o tabular que le permita comunicar dichos
pensamientos. De acuerdo al NCTM (1989) “los estudiantes tienen la oportunidad de leer,
escribir y discutir las ideas donde el uso del lenguaje matemático se vuelva natural” (citado en
Campbell et al, 1997). Para realizar una discusión adecuada el estudiante debe poder
interpretar la información de tal manera que pueda pasar de un lenguaje poco familiar a su
lenguaje natural y para ello deben hacer una lectura “de derecha a izquierda como de izquierda
a derecha (líneas de números); de arriba abajo (tablas); incluso diagonalmente (gráficas)”
(Barton et al, 2002).
Para poder hacer una buena lectura de los símbolos matemáticos, los estudiantes necesitan
asociar una palabra o frase con un símbolo; expresar una idea con objetos, pictogramas,
palabras y símbolos (Schell, p. 546), buscando siempre que haya una coherencia entre lo que
se lee y lo que se ve, ya que en algunos casos una misma escritura puede ser expresada
verbalmente de otra manera; por ejemplo, se puede enunciar lo siguiente: x a la dos, la
segunda potencia de x, el cuadrado de x o x al cuadrado. Las expresiones anteriores tienen una
única expresión en lenguaje matemático: x2
. El estudiante debe poder relacionar x2
con cada
uno de estos enunciados e identificar que la expresión x2
es una abreviación de x•x para que
haya un entendimiento y reconocimiento de la capacidad de manejar el lenguaje matemático.
Como la matemática es el lenguaje común de la ciencia y este hecho es reconocido en todo el
mundo académico (Adunar & Yagiz, 2004), la escuela debe brindar las herramientas
necesarias para su comprensión haciendo uso de la lectoescritura. La escritura es generada y
registrada gráficamente por el estudiante, convirtiéndose en la manera de aprendizaje más
poderosa debido a que usa los dos hemisferios del cerebro. El hemisferio derecho controla las
emociones y la intuición, reconociéndolas en principio como metáforas debido a que “las
abstracciones ocurren de manera visual y como un todo espacial”. El hemisferio izquierdo
permite un pensamiento lineal que requiere estructurar las ideas escritas en papel de una
manera coherente. Un hemisferio genera las ideas y el otro las estructura. Siendo entonces la
escritura la que clarifica y organiza los pensamientos del estudiante (Freitag,
p. 18).
La habilidad de lectoescritura usa ambos hemisferios, ya que por un lado la lectura le pregunta
al estudiante si entendió el mensaje del autor, mientras que la escritura, requiere que el
estudiante entienda el mensaje que está escrito, al mismo tiempo que debe intentar
‘materializar’ el pensamiento de la otra persona. Así, la escritura requiere que el estudiante
tenga una comprensión del contenido y se genere una mayor habilidad para comunicar lo que
ha leído.

Introducción
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Emig (1977) resalta la escritura como una manera de comunicar y como un desarrollo del
entendimiento de las matemáticas, reconociendo que ésta tienen una estructura propia. En la
escuela, la escritura matemática se reconoce como algo complicado y tedioso debido a que la
escritura de los estudiantes tiene grandes deficiencias en la notación, la terminología y
estructura (Freitag, 1997).
Grosmman, Smith y Miller (1993) sugieren que la habilidad de un estudiante para explicar un
concepto a través de la escritura está relacionada con la habilidad de comprensión y aplicación
de los conceptos matemáticos. Cuando un estudiante demuestra la habilidad de escribir sobre
los conceptos puede ser visto como una expresión de comprensión y como un producto de
conocimiento (Citado en Freitag, p. 19). La escuela debe permitir y profundizar en que los
estudiantes expresen sus ideas de una manera estructurada, clara y concisa.
Sipka (1990) cree que escribir en matemáticas puede ayudar a mejorar la escritura en general
del estudiante y que la estructura natural de la matemática puede ayudar a que los estudiantes
impongan una estructura cuando escriben en otras clases (Citado en Freitag, p. 19). El
estudiante debe entonces apropiarse de una manera de escribir que le permita expresarse de
forma clara y concisa, permitiendo al otro identificar las nociones y concepciones que tiene
sobre un concepto determinado, ya que cuando los estudiantes escriben para otra persona, esto
les ayuda a mejorar la estructura de su escritura como la claridad de la misma.
Para Sipka (1990) hay dos formas de escribir: la formal (se evalúa de acuerdo al contenido y a
la calidad de la escritura, se incluyen las demostraciones, lecturas formales e investigaciones)
y la informal (ayuda a los estudiantes a entender el material, escritura libre como las biografías
de los matemáticos o revistas) (Citado en Freitag, p. 19).
Por otro lado, la lectura y la escritura se consideran separadas, pero ambas tienen cosas en
común, por lo tanto la lectura y escritura en matemáticas se benefician mutuamente, ya que
ocurren simultáneamente; si se toma un texto de lectura con contenido matemático puede ser
efectivo para aprender un nuevo concepto si los estudiantes leen comprensivamente Else
(2008, pp. 6).
La escritura permite al estudiante que exprese sus opiniones, preocupaciones o preguntas
sobre lo que ha leído. Permitiendo al estudiante expresar los conceptos de manera personal
mientras que hace más sencilla la comprensión, y permite al estudiante la organización de los
conceptos a través de las oraciones que construye, por eso tomar notas mientras se lee ayuda a
los estudiantes a mejorar sus habilidades de lectura, convirtiendo al estudiante en un lector
activo, por lo que obliga al estudiante a revisar lo que ha leído anteriormente.

Introducción
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Por lo tanto, es necesario e importante rescatar la lectura en diferentes contextos que apunten a
una lectura comprensiva y que ayuden en la interiorización de conceptos relacionados con las
ciencias para que los estudiantes empiecen a adquirir las habilidades necesarias para poder
realizar una lectura comprensiva de textos que involucran nociones matemáticas.
La lectura es un puente entre el profesor y el estudiante (Martins, 2006) si se lleva un
adecuado proceso de lectoescritura en contexto. Se debe partir de lecturas sencillas que
motiven inmediatamente al educando para que la tarea de leer no se convierta en sí misma en
un problema, sino que permita incentivar al estudiante a que profundice sobre ciertos temas y
nociones de interés particular; para ello, se debe tener en cuenta el tipo de contenido que
presenta el texto. Estos pueden ser: 1) Expositivos, que pueden incluir definiciones, teoremas
y conceptos; 2) De procesos, que le indica al lector el método que puede usar cuando se
enfrente a una tarea específica; y 3) De resolución de problemas, que muestra los procesos de
demostración a través de ejercicios o problemas que el estudiante puede usar posteriormente
(Freitag, 1997).
Según Freitag (1997), en la lectura hay dos aspectos esenciales: el primero se refiere a la
decodificación que hace el lector de la información que quiere transmitir el autor; y la segunda
se refiere a la comprensión que hace el lector de la información que el autor propone. Estos
dos pasos se deben hacer simultáneamente para que haya un alto nivel de comprensión. Para
lograr el objetivo, los estudiantes pueden ayudarse de algunas tareas antes, durante y después
de la lectura; por ejemplo, resaltar las palabras importantes, resaltar la idea principal, hacer un
resumen, proponer preguntas, entre otras (Campbell, Schlumberger & Pate, 1997).
En los tiempos actuales, el estudiante recibe información en la escuela, a través de las nuevas
tecnologías, por lo que se convierte en un receptor dinámico que se cuestiona, indaga y
reflexiona en algunas ocasiones sobre lo que aprende y sobre la información obtenida; por lo
que, el proceso de aprendizaje y de enseñanza que se imparte en la escuela debe despertar
interés en los estudiantes (Moreira, 2005). Para obtener esa motivación debemos plantearnos
una pregunta inicial: ¿Cómo enseñar? La respuesta a este interrogante nos orienta sobre qué
metodología debe ser la más adecuada en un contexto determinado.
Se reconoce entonces que existe una relación intrínseca entre los participantes (estudiante,
educador y saber), que se encuentran en un espacio específico (el aula, en general la escuela),
donde el objetivo es otorgarle significado a los conocimientos; algunas veces previos, otras
veces construidos, entre la interacción de los participantes y unos materiales definidos. La
lectura como objeto de aprendizaje en sí mismo se convierte en la herramienta que usa el
educador para mostrar un camino entre el saber y el educando (entiéndase como una persona
con habilidades intelectuales para el aprendizaje); ayudado por las experiencias que se tienen y
de las cuales se resignificarán y darán inicio a un nuevo conocimiento.

Introducción
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Partiendo del principio de que todo sujeto tiene un conocimiento (fundamentado o no), el
papel del docente es el de cuestionar sobre dichas bases: generando inquietudes, dudas sobre
su propio entendimiento a través de preguntas generadoras. La pregunta generadora permite
un abordaje amplio sobre un mismo tópico: “Cuando se aprende a formular preguntas –
relevantes, apropiadas y sustantivas – se aprende a aprender y nadie nos impedirá aprender lo
que queramos” (Moreira, 2005). Se infiere entonces que el estudiante debe codificar su
manera de aprender y su propia realidad para poder desenvolverse en su entorno de una
manera eficaz.
La lectura en matemáticas, al igual que la literatura, nos ayudan a entender y desarrollarnos en
el mundo de una manera más adecuada (Frabetti, 2000), permitiendo formar personas más
independientes en la clase, que argumenten y aprendan a recibir información del texto como
de los compañeros o del profesor y que se convierta en un vehículo para la comprensión de las
matemáticas (Adu-Gyamfi et all, 2010, p. 5).
A través de la creación de actividades de comprensión lectora que involucran las formas de
representación, los contextos, la argumentación y la resolución de problemas basados en el
aprendizaje significativo crítico (Moreira, 2005). Asimismo, usar la literatura como una
motivación de la misma clase de matemáticas teniendo en cuenta la afirmación que hacen
Biancarosa y Snow (2006) “la lectura es una habilidad central durante el proceso de
aprendizaje” (Citado en AduGyanfy, p. 3).
La lectura está ligada a la escritura; por lo tanto, se considera igualmente una parte integral del
aprendizaje de las matemáticas (National Council of Teachers of Mathematics NCTM, 1989)
y se deben desarrollar al mismo tiempo. Además “escribir puede ser una tarea efectiva y una
herramienta para el aprendizaje de las matemáticas” (Freitag, p. 16) si se realiza a conciencia.
Emig (1977) plantea que la escritura es la más poderosa y única manera de aprender si se
compara con el escuchar, hablar y leer; ya que es la única que se origina desde el estudiante y
es registrada gráficamente (símbolos, palabras, tablas), por lo que la valoración de la lectura se
hace a través de este medio permitiendo recolectar información sobre qué tanto comprendió el
estudiante y en qué se le ha presentado mayor dificultad…”.
Santos, E. (2015) Propuesta metodológica de lectura en clase de matemáticas a través de textos de
divulgación científica. Revista Iberoaméricana de Educación Matemática. Num. 43- Diciembre 2015,
pp. 49-69. Disponible en:
http://www.fisem.org/www/union/revistas/2015/43/Artigo_2_20140730_Santos%20Baron%20Edimer.
pdf

Introducción
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Estrategias para profundizar en la comprensión y resolución de
problemas de matemáticas.
Los ejercicios que se presentan a continuación, están basados en diversos materiales de los libros
“Math Wonders (to inspire teachers and students)” de Alfred S. Posamentier, “Problem-Solving
Stategies for Efficient and Elegant Solutions (A resource for mathematics teacher)” y “Problem
Solving in Mathematics (Powerful strategies to deepen understanding)” de Alfred S. Posamentier y
Stephen Krulik.
Existen varias estrategias que usualmente se utilizan en la resolución de problemas, entre ellas:
 enumerar todas las posibilidades,
 organizar los datos,
 adivinar inteligentemente (experimentar y hacer aproximaciones),
 resolver un problema equivalente pero más sencillo,
 simular (hacer casos particulares),
 razonar el problema hacia atrás,
 razonar el problema comenzando por el final,
 encontrar un patrón,
 desarrollar un razonamiento lógico,
 hacer una representación visual (diagramas o figuras),
 adoptar un punto de vista alternativo,
 considerar los casos extremos.
Estas estrategias permiten entender el problema planteado, desglosar la información relevante,
encontrar las relaciones entre la información principal y el problema a resolver para finalmente
desarrollar los pasos necesarios para su solución.
Cuando se nos plantea un problema que en un principio parece complicado, y luego se nos presenta una
solución que podemos entender fácilmente, a menudo nos preguntamos por qué nosotros mismos no
encontramos una solución así de clara o sencilla. Son precisamente estos problemas los que tendrán un
efecto memorable en quien aprende. Aquí presentamos algunos de estos problemas. Tú podrás simular
con tus estudiantes la situación descrita en ellos, pero aún más importante, elaborar tus propios
problemas para desarrollar en clase, enfatizando en cada uno de ellos la estrategia utilizada.
Los maestros a menudo agrupan los problemas por sus características y procuran mostrar en la clase
cómo resolverlos. Estos problemas pueden incluir diferentes operaciones matemáticas, cantidades,
distintos tipos de números, formas geométricas, áreas, razonamientos deductivos y así sucesivamente.
Por lo general, a los estudiantes se les muestra cómo hacer uno de estos problemas y se les dice que

Introducción
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aquellos que son del mismo tipo (similares) deben hacerse de la misma manera, ¡aunque con diferentes
números, cantidades, figuras o situaciones! A estos últimos nos referiremos como "ejercicios" en lugar
de problemas, porque el reconocimiento de la clase de problema inmediatamente proporciona al
alumno con la ruta (o método) para llegar a la respuesta correcta. Estos ejercicios requieren de poca
reflexión por parte del estudiante; más bien, todo lo que necesitan hacer es reconocer las características
de problema y recordar lo que el maestro había mostrado en clase. Desafortunadamente, si el tipo
específico de problema no se ha enseñado, los niños a menudo se sienten confundidos, porque no han
aprendido este nuevo tipo de problema. Sin embargo, consideramos que es preferible agrupar a los
problemas por las posibles estrategias para su resolución, en vista de que una vez que una estrategia se
ha aprendido, se puede aplicar a una variedad de situaciones. Las estrategias son genéricas, se pueden
aplicar ampliamente en diversas situaciones, mientras que los ejercicios no lo permiten, son
específicos. Debido a ello nos enfocamos en algunas de las estrategias más usadas en la resolución de
problemas.
PROPIEDADES FORMIDABLES DE LOS NÚMEROS
A continuación se presentan varios ejemplos de algunas propiedades sorprendentes que cumplen los
números. Casos como estos discutidos en clase, pueden motivar a los alumnos a indagar sobre otro tipo
de propiedades numéricas, buscar nuevas propiedades, o simplemente contemplar su belleza. Es
importante mostrar a los alumnos en cada ejemplo los patrones numéricos que aparecen e invitarlos a
verificar los cálculos en cada uno; lo ideal es, comenzar mostrando uno a uno los renglones y después
de exponer los primeros renglones invitar a que sean ellos quienes generen el siguiente renglón.
12345679 · 9 = 12345679 · 9 · 1 = 111,111,111
12345679 · 18 = 12345679 · 9 · 2 = 222,222,222
12345679 · 27 = 12345679 · 9 · 3 = 333,333,333
12345679 · 36 = 12345679 · 9 · 4 = 444,444,444
12345679 · 45 = 12345679 · 9 · 5 = 555,555,555
12345679 · 54 = 12345679 · 9 · 6 = 666,666,666
12345679 · 63 = 12345679 · 9 · 7 = 777,777,777
12345679 · 72 = 12345679 · 9 · 8 = 888,888,888
12345679 · 81 = 12345679 · 9 · 9 = 999,999,999
0 · 9 + 1 = 1
1 · 9 + 2 = 11
12 · 9 + 3 = 111
123 · 9 + 4 = 1 111
1 234 · 9 + 5 = 11 111
12 345 · 9 + 6 = 111 111

Introducción
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123 456 · 9 + 7 = 1 111 111
1 234 567 · 9 + 8 = 11 111 111
12 345 678 · 9 + 9 = 111 111 111
0 · 9 + 8 = 8
9 · 9 + 7 = 88
98 · 9 + 6 = 888
987 · 9 + 5 = 8,888
9,876 · 9 + 4 = 88,888
98,765 · 9 + 3 = 888,888
987,654 · 9 + 2 = 8,888,888
9,876,543 · 9 + 1 = 88,888,888
98,765,432 · 9 + 0 = 888,888,888
999,999 · 1 = 0,999,999
999,999 · 2 = 1,999,998
999,999 · 3 = 2,999,997
999,999 · 4 = 3,999,996
999,999 · 5 = 4,999,995
999,999 · 6 = 5,999,994
999,999 · 7 = 6,999,993
999,999 · 8 = 7,999,992
999,999 · 9 = 8,999,991
999,999 · 10 = 9,999,990
1 · 8 + 1 = 9
12 · 8 + 2 = 98
123 · 8 + 3 = 987
1,234 · 8 + 4 = 9,876
12,345 · 8 + 5 = 98,765
123,456 · 8 + 6 = 987,654
1,234,567 · 8 + 7 = 9,876,543
12,345,678 · 8 + 8 = 98,765,432
123,456,789 · 8 + 9 = 987,654,321
1 = 1 = 1 · 1 = 12
1 + 2 + 1 = 2 + 2 = 2 · 2 = 22
1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 3 + 3 + 3 = 3 · 3 = 32
1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1 = 4 + 4 + 4 + 4 = 4 · 4 = 42
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 · 5 = 52
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6 · 6 = 62
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 · 7 = 72
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 8 · 8 = 82
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 9 · 9 = 92

Introducción
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Existen problemas que nos permiten una solución mecánica (menor nivel de reflexión y análisis),
mientras que otros, requieren indispensablemente del razonamiento lógico como la estrategia primaria
para resolverlos. En general, se conforman por una cadena de inferencias donde cada una lleva a la
siguiente. El proceso lógico comienza con una inferencia, lo que conduce a una segunda inferencia, y
así continuamos sucesivamente hasta que el problema se ha resuelto. Los siguientes problemas ilustran
las diversas estrategias antes mencionadas. Es importante resaltar cada una de ellas y diseñar problemas
que refuercen estos métodos para que puedan ser aprendidos por los alumnos.
Ejercicio 1
En un estante en la tienda del padre de Lorena hay tres cajas. Una de ellas contiene sólo monedas de
cinco pesos, otra contiene solamente monedas de diez pesos, y la tercera caja contiene tanto monedas
de cinco pesos como monedas de diez pesos. Las tres cajas están etiquetadas como: “cinco pesos”,
“diez pesos” y “mixtas”, respectivamente.
Un día lluvioso, de aquellos con mucha humedad, se cayeron las tres etiquetas. Fernando, el hermano
menor de Lorena, al ver las etiquetas en el piso las recogió y rápidamente las volvió a pegar en las
cajas. Como aún no sabía leer, las pegó con tan mala suerte que ninguna etiqueta fue puesta en su caja
correspondiente. Ahora, cada una de las cajas en el estante tiene su etiqueta equivocada.
El padre de Lorena al descubrir lo que sucedía, decidió poner a prueba a su hija y le pidió que, sin
mirar dentro de ninguna caja, seleccionará una moneda de una sola de las cajas y luego, al ver la
moneda que escogió, etiquetara correctamente las tres cajas. ¿De qué caja con etiquetas equivocadas
debe Lorena escoger la moneda?
Solución:
Lorena debe sacar, sin ver al interior de la caja, una moneda de la caja con la etiqueta equivocada que
dice “mixtas”, veamos por qué.
Si Lorena decide sacar una moneda de la caja etiquetada como cinco pesos y saca una moneda de diez,
tendría un “problema”, ya que no sería capaz de decidir si esa caja es realmente la caja de diez o la

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mixta. Se puede razonar que de la “simetría” de la situación planteada, que todo lo que podemos decir
sobre la caja mal etiquetada cinco pesos podría razonarse equivalentemente para la que está mal
etiquetada con diez pesos. Por lo tanto, si Lorena elige una moneda de cualquiera de estas dos cajas, los
resultados serían los mismos. No se obtiene ninguna información relevante para resolver el problema.
Esto elimina estas opciones. Por lo tanto, se debe centrar la investigación sobre lo que ocurre si
elegimos la caja mal etiquetada "mixtas."
Supongamos que Lorena saca una moneda de diez pesos de la caja con etiqueta equivocada “mixtas”.
Ella sabe que como la caja tiene la etiqueta equivocada, la caja debe tener sólo monedas de diez pesos y
por lo tanto, le debe corresponder la etiqueta de diez pesos.
Pero aún sabe más. También tiene la certeza que la caja que tiene la etiqueta de cinco pesos debe ser la
caja con monedas mixtas. De lo contrario, si la caja con etiqueta equivocada con 10 pesos fuera la de
monedas mixtas entonces la caja con etiqueta equivocada de cinco pesos sería en verdad la caja con
monedas de cinco pesos y por lo tanto nunca hubo un cambio de etiqueta en dicha caja, lo que no puede
ser ya que sabemos que “todas las cajas” quedaron mal etiquetadas. Finalmente, la caja que tiene la
etiqueta equivocada de 10 pesos debe ser la caja con etiqueta original de 5 pesos.
Supongamos ahora que Lorena selecciona una moneda de cinco pesos de la caja mal etiquetada
“mixtas”.

Introducción
12
Dado que esta caja tiene una etiqueta equivocada, no puede ser la caja etiquetada originalmente
“mixtas” y debe ser, en realidad, la caja con la etiqueta original “cinco pesos”. Ahora la caja etiquetada
10 pesos debe ser la que originalmente tenía la etiqueta “mixtas”. De lo contrario, la caja con etiqueta
original “diez pesos” tendría de nuevo la etiqueta (equivocada) de “diez pesos” y eso no es posible
porque a todas las cajas le tocó una etiqueta equivocada. Concluimos entonces que la caja con etiqueta
equivocada “diez pesos” debe ser la que originalmente tenía la etiqueta “mixtas” y finalmente la caja
con etiqueta equivocada “cinco pesos” es la que originalmente tenía la etiqueta “diez pesos”.
Ejercicio 2
Carla, Enrique, Francisco, Julieta, Olivia y José van a cenar para celebrar que Julieta y José se
graduaron de la Preparatoria. Cada cena cuesta exactamente lo mismo. Han decidido que Julieta y José
serán invitados por todos los demás y que cada uno pagará lo mismo de lo que corresponde de las cenas
de Julieta y José. ¿Cuánto debe pagar cada uno si la cuenta total fue de $1200 pesos? (considerando
que Julieta pagará la parte que le corresponda de José, y José la parte que le corresponda de Julieta).
Solución (A)
Una primera solución algebraica que se nos puede ocurrir es:
Comencemos por calcular $1200 ÷ 6 = $200 que es el costo de cada cena.
Dado que cada persona pagará lo mismo de lo que corresponde de las cenas de Julieta y José:

Introducción
13
Representemos por x la cantidad que los cinco amigos de Julieta deben pagar por ser invitada a cenar.
Representemos por x la cantidad que los amigos de José deben pagar por ser invitado a cenar.
Entonces representamos por 2x la cantidad que cada persona (diferente a Julieta y José) debe pagar por
las cenas de Julieta y José.
Entonces:
Carla paga $200 + 2x
Enrique paga $200 + 2x
Francisco paga $200 + 2x
Olivia paga $200 + 2x
Julieta paga x (que es lo que le corresponde pagar de la cena de José)
José paga x (que es lo que le corresponde pagar de la cena de Julieta)
Tenemos:
4(200) + 10x = $1200, despejando x tenemos 10x = 1200 – 800 = 400
por lo que
x = $40.00
Julieta y José cada uno pagarán $40.00; Los demás pagarán $200 + $80.00 = $280.00 cada uno.
Verificando tenemos: 4 ($280) + $80 = $1200
Solución (B)
Ahora resolvamos el problema mediante un razonamiento lógico.
Partimos de que el total de la cuenta es de $1,200 pesos y como cada cena cuesta igual, tenemos que el
costo por cena es de $200 pesos (1,200 entre 6). Además, sabemos que Julieta pagará una quinta parte
de la cena de José; es decir, la quinta parte de $200, y esto es igual a $40.00 (200 entre 5). De manera
similar, José pagará la quinta parte de la cena de Julieta, que de nuevo es la quinta parte de $200 pesos
que es igual a $40.00. Por lo tanto, juntos pagarán $80.00 pesos. Si ahora restamos $80.00 al total de la
cuenta que es $1,200 pesos, nos restan $1,120.00 que deberán pagar los cuatro amigos restantes. Así
tenemos que $1,120.00 entre cuatro nos da $280.00 por persona, mientras que Julieta y José pagarán
$40.00 cada uno.

Introducción
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Ejercicio 3
Dibuja 2 líneas rectas que atraviesen la cara de un reloj con el propósito que la suma de los números en
cada región sea la misma.
Solución:
El razonamiento lógico debería ayudar. Si sumamos los 12 números en el reloj, obtenemos que:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 78. Si nos limitamos a dibujar dos líneas rectas que
se cortan al interior de la cara del reloj, éstas formarán cuatro regiones; sin embargo, 78 no es divisible
entre 4, así que la suma de los número dentro de cada región no podría ser igual.
Como tenemos sólo dos rectas para cruzar la cara del reloj, otra opción es dividir la cara del reloj en 3
regiones. Observe que 78 sí es divisible entre 3, dando por resultado 26, siendo la solución la que se
muestra en la figura que aparece a continuación.

Introducción
15
Ejercicio 4
En un cajón del armario de Pedro hay 10 pares de calcetines negros, 6 pares de calcetines azules y 7
pares de calcetines verdes. ¿Cuál es el mínimo número de pares de calcetines que debe sacar Pedro, sin
mirar dentro del cajón, para tener la certeza de que tendrá exactamente dos pares del mismo color en
sus manos?
Solución:
4 pares de calcetines (los pares de calcetines son sólo de tres colores: negro, azul y verde). Note que si
ya sacó 3 pares, lo “peor” que le podría pasar es tener uno de cada color, y consecuentemente, cuando
saque el cuarto par, el color de éste coincidirá con alguno de aquellos que ya había sacado.
Ejercicio 5
Ahora supongamos que en el cajón todos los calcetines están sueltos y son sólo de color negro y
blanco. ¿Cuántos calcetines sueltos debe sacar Pedro, sin mirar dentro del cajón, para estar seguro que
tendrá un par del mismo color en las manos?
Solución:
3 calcetines.
Ejercicio 6
El jardín de Juan tiene un palomar con 5 hoyos para sus palomas. Hay 6 palomas volando para ocupar
los hoyos. Argumentar que no importando de qué forma ocupen las palomas los hoyos del palomar,
siempre habrá al menos un hoyo que contenga dos o más palomas.
Ejercicio 7
Si ponemos 16 flores en tres floreros, entonces hay al menos un florero que tiene 6 o más flores. ¿Por
qué?
Ejercicio 8
Hay 14 personas en una reunión. Cada persona en la reunión conoce al menos a otra de las 13 personas
reunidas. Mostrar que entre estas 14 personas hay 2 personas que conocen al mismo número de
personas.

Introducción
16
Solución:
Dado que cada persona conoce al menos a una de las otras 13 personas en la reunión, el número de
personas que cada persona podría conocer puede ser 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o…o 12 o 13. Imaginemos 13
cuartos cada uno con un letrero en la puerta:
No. de cuarto Letrero
1 Conoce a una persona
2 Conoce a dos personas
3 Conoce a tres personas
⁞
12 Conoce a doce personas
13 Conoce a trece personas
Ahora podemos colocar a estas 14 personas en los trece cuartos según el número de personas que cada
uno conoce. Entonces notamos que hay al menos un cuarto en el cual hay dos o más personas y
podemos concluir que de las 14 personas hay al menos dos personas que conocen al mismo número de
personas.
Ejercicio 9
La suma de dos números es 12 y su producto es 4. Encuentra la suma de sus recíprocos.
Solución:
El camino típico para resolver este problema es generar dos ecuaciones x+y=12 y xy=4 donde x, y
representan a esos dos números que están buscando. Normalmente se intenta resolver esas dos
ecuaciones simultáneamente por sustitución. Si no se cometen errores al hacerlo llegarán a:
(i) x+y=12
(ii) xy=4
de (ii) tenemos que x= 4/y, sustituyendo en (i) tenemos 4/y + y = 12.
Por lo que (4 + y2
) / y = 12 de lo que se sigue que y2
-12y + 4 = 0
Recordando la fórmula
2
4
2
b b ac
y
a
  
 para encontrar el valor de y en una ecuación cuadrática del
tipo ay2
+ by + c = 0 obtenemos:
y = 6±4√2

Introducción
17
x = 6±4√2
De aquí obtenemos:
6 4 2 con 6 4 2 o tenemos 6 4 2 con 6 4 2x y x y       
Ahora, se deben encontrar sus recíprocos 1/x, 1/y para finalmente sumarlos.
¿Podemos resolver este problema de forma más sencilla?
¡Afortunadamente sí!
Comencemos con el final del problema; esto es, se nos pide encontrar la suma de sus recíprocos, 1/x +
1/y. Recordemos qué es lo que usualmente hacemos para sumar dos fracciones:
1 1 x y
x y xy

 
Pero nos fue dado que:
x+y = 12 y que xy = 4, por lo que nos queda 12/4 = 3. Que es la solución requerida.
Observe que nunca se nos pidieron los valores específicos de x o de y, “sólo se nos pidió la suma de sus
recíprocos”. Esto muestra lo importante de leer y comprender lo que se enuncia y requiere en un
problema.
Ejercicio 10
Durante el desayuno Pedro le hace la siguiente pregunta a Lorena. Tenemos una botella con un litro de
leche para desayunar nuestro cereal de todas las mañanas, y además la botella con un litro de agua que
mamá siempre pone en la mesa. Si agarro la cuchara que usamos para comer nuestro cereal y con ella
tomo una cucharada de agua y se la pongo a la leche, la revuelvo bien y con la misma cuchara tomo
ahora una cucharada de la botella mezclada y se la pongo a la botella con agua ¿qué tengo más? ¿agua
en la leche o leche en el agua?
Solución:
Primera: Hacer el caso extremo donde la cuchara es equivalente a toda la botella de agua.
Segunda: Hacer el caso extremo donde la cuchara es “nula”; es decir, tan pequeña, tan pequeña que no
le cabe absolutamente nada.
Conclusión: son iguales.

Introducción
18
Para aclarar más la solución del problema anterior, podemos simularlo y así comprender mejor el
problema. Hagamos lo mismo que en el problema anterior, pero ahora consideremos que contamos con
dos cajas (en vez de las botellas), una con 20 canicas blancas, la otra con 20 canicas negras y una
cuchara con capacidad de 5 canicas.

Introducción
21
Observe que no importa que combinación de canicas blancas y negras tome la segunda vez con la
cuchara, la proporción de canicas blancas y negras versus la proporción de canicas negras y blancas es
igual.
Ejercicio 11
Recordemos algunas nociones básicas de la aritmética.
Un número entero (…, –2n, …, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, …, 2n, …) es un número par si es divisible
exactamente por 2; es decir, es divisible por el número 2 y no queda ningún residuo, así tenemos que
los pares son: (…, –2n, …, –4, –2, 0, 2, 4, …, 2n …). Un número entero es impar si no es par, y los
podemos enlistar como: (…, –(2n+1),… –3, –1, 1, 3, …, (2n+1), …). También recordemos que: los
números enteros positivos son el 1,2,3,4, …, 2n, 2n+1, …, y que el número 0 no se considera como un
número entero positivo.
Una partición entera de un número entero positivo es una manera de escribir a este número como la
suma de números enteros positivos sin importar el orden de los sumandos. Por ejemplo las cinco
particiones enteras del número 4 son:
{4 = 4, 4 = 3+1, 4 = 2+2, 4 = 2+1+1, 4 = 1+1+1+1}.
A cada una de estas posibilidades las llamamos una partición entera del número 4 y lo denotaremos
como: {[4], [3+1], [2+2], [2+1+1], [1+1+1+1]}. A dos particiones con los mismos sumandos pero en
diferente orden las consideramos iguales, por ejemplo no distinguimos entre:
4 = 2+1+1
4 = 1+2+1
4 = 1+1+2,
y a todas las consideramos la misma partición [2+1+1] del número 4. De todas las particiones enteras
de un número entero positivo hay dos tipos que nos interesan:
Tipo A. (llamadas partición en “sumandos distintos”) Aquellas en que todos los sumandos son
números enteros positivos distintos, por ejemplo:
4 = 3+1 que denotamos por [3+1]
6 = 3+2+1 que denotamos por [3+2+1]
Tipo B. (llamadas partición en “sumandos impares”) Aquellas en que todos los sumandos son
números enteros positivos impares, por ejemplo:
4 = 3+1 que denotamos por [3+1]
6 = 3+1+1+1 que denotamos por [3+1+1+1]
Observe que la partición [3+1] es tanto del tipo A como del tipo B.

Introducción
22
Dado un número entero positivo n (cualquiera número que escojamos de (1, 2, 3, 4, 5, ..., 20, …, 1,679,
…), mostrar que el número de todas las particiones de tipo A (“sumandos distintos”) de n es igual al
número de todas las particiones de tipo B (“sumandos impares”) de n.
Veamos varios ejemplos:
Para el número 1 tenemos sólo una partición entera, que es él mismo.
1; {[1]} en este caso tenemos que se cumple la propiedad, ya que [1] es una partición “sumandos
distintos” y también es partición “sumandos impares”. Tenemos una de cada tipo.
Para el número 2 tenemos:
2; {[2], [1+1]} en este caso también se cumple la propiedad. Ya que la partición [2] es de tipo A y la
partición [1+1] es del tipo B. Así que tenemos una de cada tipo.
3; {[3], [2+1], [1+1+1]} en este caso tenemos que [3] y [2+1] son del tipo A y que [3] y [1+1+1] son
del tipo B. Así que tenemos dos de cada tipo, por lo tanto se cumple la propiedad que enunciamos.
4; {[4], [3+1], [2+2], [2+1+1], [1+1+1+1]} en este caso tenemos que [4] y [3+1] son del tipo A y que
[3+1] y [1+1+1+1] son del tipo B. Tenemos dos de cada tipo.
Veamos ahora un ejemplo con un número más grande, digamos el número 7.
7; {[7], [6+1], [5+2], [4+3], [4+2+1], [3+3+1], [3+2+2], [2+2+2+1], [5+1+1], [4+1+1+1], [3+2+1+1],
[3+1+1+1+1], [2+2+1+1+1], [2+1+1+1+1+1], [1+1+1+1+1+1+1]} en este caso tenemos:
{[7], [6+1], [5+2], [4+3], [4+2+1]} son del tipo A
{[1+1+1+1+1+1+1], [3+1+1+1+1], [5+1+1], [3+3+1], [7]} son del tipo B.
De nuevo tenemos que hay el mismo número de cada tipo, en este caso 5 de tipo A y 5 de tipo B.
¿Será que esto siempre es cierto?
Comprueba que para el número 9 tenemos:
Tipo A: {[9], [8+1], [7+2], [6+3], [5+4], [6+2+1], [5+3+1], [4+3+2]}
Tipo B: {[9], [7+1+1], [5+3+1], [5+1+1+1+1], [3+3+3], [3+3+1+1+1], [3+1+1+1+1+1+1],
[1+1+1+1+1+1+1+1+1]}
De nuevo tenemos 8 de cada tipo.
¿Encuentras alguna manera de como pasar de una partición de tipo A, a una partición de tipo B?

Introducción
23
Por ejemplo de [6+3] podríamos pasar a [3+3+3] partiendo a el número par 6 como 3+3, esto nos daría
[3+3+3] que es del tipo B. Que tal pasar de [7+2] partiendo al número par 2 en dos partes como 2= 1+1
para obtener [7+1+1] que es del tipo B.
¿Encuentras alguna manera de como pasar de una de tipo B a una de tipo A?
Por ejemplo de [3+3+1+1+1] podríamos ir sumando dos números si son iguales, así obtenemos
[3+3+2+1] y ahora como tenemos al número 3 repetido podemos obtener [6+2+1] que como sabemos
es del tipo A.
¿Podrías dar un procedimiento para pasar de una partición de tipo A, a exactamente una de las
particiones del tipo B?
¿Podrías dar un procedimiento para pasar de una partición de tipo B a exactamente una de las del tipo
A?
¿Si tuvieras este procedimiento que podrías concluir entre los números de particiones de cada tipo?
¿Podrías afirmar que hay tantas del tipo A como hay del tipo B?
Veamos nuestro ejemplo:
Tipo A: {[9], [8+1], [7+2], [6+3], [5+4], [6+2+1], [5+3+1], [4+3+2]}
Tipo B: {[9], [7+1+1], [5+3+1], [5+1+1+1+1], [3+3+3], [3+3+1+1+1], [3+1+1+1+1+1+1],
[1+1+1+1+1+1+1+1+1]}
Notemos que hay varias particiones que son tanto del tipo A como del tipo B. En nuestro caso [9] y
[5+3+1] por lo que ya no es necesario hacer nada con ellas, contabilizan para el número total de ambos
tipos.
Tomemos [8+1] esto nos da [4+4+1] (que no es del tipo A ni del tipo B), luego partiendo algún número
par en la partición obtenemos [4+2+2+1] que de nuevo no es del tipo A ni del tipo B así que seguimos
partiendo para obtener [2+2+2+2+1] claramente no es de los tipos A o B, pero si seguimos llegamos
finalmente a [1+1+1+1+1+1+1+1+1] que es del tipo B.
Si tomamos [7+2] que es del tipo A ya vimos que obtenemos [7+1+1] que es del tipo B.
De [6+3] obtenemos [3+3+3] que es del tipo B.
De [5+4] tenemos [5+2+2] que no es del tipo A o B y de aquí obtenemos [5+2+1+1] casi pero aun nos
falta un paso para finalmente obtener [5+1+1+1+1] que claramente es del tipo B.
De [6+2+1] llegaremos a [3+3+2+1] para finalmente acabar en [3+3+1+1+1] que es del tipo B.

Introducción
24
Sólo nos falta [4+3+2] que nos da [2+2+3+2] para finalmente llegar a [3+1+1+1+1+1+1] que es del
tipo B.
Resumamos lo obtenido:
Partiendo de las particiones de tipo A hemos obtenido particiones del tipo B.
De [9] a [9]
De [5+3+1] a [5+3+1]
De [8+1] a [1+1+1+1+1+1+1+1+1]
De [7+2] a [7+1+1]
De [6+3] a [3+3+3]
De [5+4] a [5+1+1+1+1]
De [6+2+1] a [3+3+1+1+1]
De [4+3+2] a [3+1+1+1+1+1+1]
De aquí concluimos que hay al menos una manera de tomar una partición del tipo A y terminar con una
partición del tipo B.
Ahora tomamos una partición del tipo B y cada vez que encontremos dos números iguales los
sumamos. Repetimos este procedimiento hasta que los números que nos queden sean todos distintos.
Por ejemplo: comenzando con [3+3+1+1+1] vemos que el número 3 se repite por lo tanto los sumamos
obteniendo [6+1+1+1]. Observamos que el número 1 se repite, así que sumamos dos de estos números
1 para obtener [6+2+1] y hemos terminado ya que todos los números que tenemos son distintos. Haz
esto para cada una de las particiones del tipo B para llegar a la siguiente tabla:
De [9] a [9]
De [5+3+1] a [5+3+1]
De [1+1+1+1+1+1+1+1+1] a [8+1]
De [7+1+1] a [7+2]
De [3+3+3] a [6+3]
De [5+1+1+1+1] a [5+4]
De [3+3+1+1+1] a [6+2+1]
De [3+1+1+1+1+1+1] a [4+3+2]
De aquí concluimos que hay al menos una manera de tomar una partición del tipo B y terminar con una
partición del tipo A.
Recordemos las relaciones básicas entre colecciones de objetos. Estas son “más que”, “menos que” y
“tantos como”
Si tomamos dos colecciones desiguales digamos la colección P y la colección Q donde la colección P
tiene más elementos que la colección Q y hacemos parejas entre los elementos de P con los elementos
en Q veremos que tendremos que nos sobran elementos en P que no encontraron pareja en Q. En este
caso decimos que P tiene más elementos que Q. De la misma manera, podemos decir que Q tiene
menos elementos que P. Observe que “más que es equivalente a “menos que”.

Introducción
25
Si tomamos dos colecciones P y Q de tal forma que podemos encontrar para cada elemento distinto en
P una pareja distinta en Q, entonces decimos que hay tantos elementos en P como hay elementos en Q.
Tantos elementos en uno como hay elementos en el otro. Cuando entre dos colecciones se puede
establecer una relación de “tantos como”, estas dos colecciones tienen algo en común, su número de
elementos; es decir, el número de elementos en P es igual al número de elementos en Q. Esto se conoce
como correspondencia uno a uno entre los elementos de los conjuntos P y Q. En este caso P y Q
tienen la misma cardinalidad.
Nosotros queremos mostrar que dado un número entero positivo hay tantas particiones del tipo A
(“sumandos distintos”) como hay particiones del tipo B (“sumandos impares”). Dicho de otra forma
que el conjunto de todas las particiones del tipo A tiene la misma cardinalidad que el conjunto de todas
las particiones del tipo B. Repitiendo con otras palabras ¡que el número de sus “particiones distintas” es
igual al número de sus “particiones impares” !
Vamos a mostrar que esto es cierto describiendo una correspondencia uno a uno entre el conjunto de
sus “particiones distintas” y el conjunto de sus “particiones impares”.
Supongamos que tenemos una partición del conjunto de las “particiones impares” de un número entero
positivo cualquiera. Si tenemos que dos de sus sumandos son iguales, los reemplazamos con su suma.
Continuamos haciendo esto hasta que tengamos que cada sumando sea distinto.
Ahora comenzando con una partición de su conjunto de “particiones distintas” buscamos si algún
sumando es par y de ser ese el caso lo dividimos entre 2 y lo reemplazamos por la suma de sus dos
partes iguales. Continuamos haciendo esto hasta que obtengamos que cada sumando sea impar.
Así hemos obtenido una correspondencia entre los dos conjuntos. Ahora nos falta ver que la
correspondencia esta bien definida y es una correspondencia uno a uno. Esto significa que si
comenzamos con una partición del conjunto de “particiones impares” entonces hay una sola manera de
combinar (mediante su suma) a los sumandos y terminar con una partición del conjunto de “particiones
distintas” y al revés si comenzamos con una partición del conjunto de “particiones distintas” hay una
sola manera de hacer la divisiones (dividir un sumando en partes iguales) y terminar con una partición
del conjunto de particiones impares. Además debemos mostrar que estas operaciones son inversas
(reversibles) una de la otra. Todo se sigue de observar que combinar dos sumandos iguales mediante su
suma no tiene efecto en los demás sumandos de la partición y lo mismo podemos decir de la operación
de dividir un sumando par en partes iguales y remplazarlo por la suma de estas partes. Así tenemos una
correspondencia uno a uno entre nuestros conjuntos y concluimos que tienen la misma cardinalidad.
Ejercicio 12
UN PROBLEMA PARA CICLISTAS (los 7 puentes de Konigsberg). En un recóndito y poco conocido
lugar de la ciudad de Toluca, un río corre de tal forma que en su centro hay un parque que forma una
isla, y pasando la isla, el río se divide en dos partes. Siete puentes fueron construidos para que los

Introducción
26
ciclistas pudieran ir de una parte de la ciudad a otra. El mapa de este desconocido lugar en Toluca se ve
como en la siguiente figura:
Muchos ciclistas afirmaban que podían hacer un recorrido que usara cada puente exactamente una y
sólo una vez, pero nadie era capaz de mostrarlo.
Problema A
Intenta lo siguiente: dibuja el siguiente mapa de la ciudad en una hoja de papel y traza tu ruta con un
lápiz de tal manera que tu trazo pase por cada puente una y sólo una vez sin levantar nunca el lápiz.
¿Lo has logrado? ¿Tienes dificultades? No te preocupes, lo mismo le sucedió a todos los ciclistas
entrevistados. Parece que no es posible cruzar cada puente una y sólo una vez. En efecto no es posible.

Introducción
27
Descubrirás después la razón de su imposibilidad. Algunos intentos fallidos se muestran en las
siguientes figuras:
Problema B
Las autoridades de la ciudad decidieron quitar un puente y ahora el mapa se ve como el de la figura:
¿Será posible que traces una ruta con un lápiz de tal manera que el trazo pase por cada puente una y
sólo una vez sin levantar nunca el lápiz?
¡Esto si es posible! En la figura se muestra una posible solución.
Podemos representar el problema de los 7 puentes colapsando cada área de la ciudad separada por el rio
a un punto y los puentes los representamos como líneas entre estos puntos. El mapa se muestra en la
siguiente figura:

Introducción
28
Si abstraemos la información del mapa olvidándonos del rio nos quedaría un dibujo de puntos y líneas
como el mostrado en la siguiente figura.
El problema ahora se convierte en el siguiente: Recorrer la figura sin levantar jamás el lápiz usando
cada línea una y sólo una vez. Observa que los cuatro puntos rojos de la figura tienen un número impar
de líneas incidentes (relacionadas) a cada uno de ellos.
Escoge uno de estos puntos, por ejemplo, uno con tres líneas incidentes a él. Mientras vas tratando de
trazar la figura sin levantar el lápiz, en algún momento llegas por primera vez al punto que elegiste y
con certeza puedes salir de ese punto usando otra línea. Pero la próxima vez que llegues, descubrirás
que ya no puedes encontrar una línea libre para seguir tu trazo en vista de que ya utilizaste las tres
líneas que son incidentes al punto que elegiste. Así que, lo mejor es que termines tu trazo en ese punto
después de haber recorrido todas las otras líneas en el dibujo.
Otra alternativa, sería que comenzarás en el punto que elegiste y luego volver a llegar y después salir
siguiendo con tu trazo. Pero entonces, ya no puedes volver nunca a este punto. Observa que algo
equivalente ocurre para los puntos con cinco líneas incidentes a éstos. Más aún, la misma lógica aplica
para cualquier punto con un número impar de líneas incidentes a él.

Introducción
29
Así, cada punto con un número impar de líneas incidentes a él tiene que ser el principio o el final de tu
trazo con el lápiz. Por lo anterior, en la figura a lo más, dos puntos podrán tener un número impar de
líneas incidentes a éstos. Consecuentemente, es imposible lograr el trazo de la figura original sin
levantar el lápiz ó repetir el trazo en una línea ya trazada antes, pues los cuatro puntos tienen un
número impar de líneas que son incidentes a éstos.
En matemática, a un dibujo de puntos y líneas lo llamamos un grafo. Llamamos a un punto en un grafo
“punto impar” si tiene un número impar de líneas incidentes a él. En caso contrario, lo llamamos un
punto par (pues tiene un número par de líneas incidentes a él).
Un recorrido en un grafo se dice que es un camino Euleriano, si al trazarlo recorremos cada línea una y
sólo una vez sin levantar jamás el lápiz. Si el camino Euleriano comienza y termina en el mismo punto
decimos que es un ciclo Euleriano.
El Teorema de Euler
a). Si un dibujo de puntos y líneas (un grafo) tiene más de dos puntos con un número impar de
líneas incidentes a él, entonces no tiene un camino Euleriano.
b). Si un grafo tiene a lo más dos puntos impares, entonces tiene al menos un camino Euleriano.
c). Si un grafo tiene todos sus puntos pares, entonces siempre tiene al menos un ciclo Euleriano.
¿Cuáles de los siguientes grafos tienen un camino Euleriano?
¿Y este grafo?

Introducción
30
Veamos si has puesto atención. Usa lo que hemos aprendido hasta este momento para resolver los
siguientes problemas.
En la orilla –Norte– del río hay un local de renta de bicicletas llamado “AROS Y RAYOS” del
estimado Pedro Argüelles. En la orilla –Sur– hay otro local de renta de bicicletas llamado “EL PEDAL
VELOZ” del ex campeón de ciclismo Isidro Camacho. En la orilla –Este– se encuentra el famoso taller
de bicicletas “TACHITO EL TALACHAS” del muy querido Nicolás Villa y en el parque la inigualable
fonda “LA VITAMINA” de Juana Paniagua.
Pedro Arguelles, al darse cuenta de que los puentes no se pueden recorrer con un camino Euleriano,
ingenia un sigiloso plan para construir un octavo puente para que él pueda comenzar su paseo por la
noche en “AROS Y RAYOS” pedalear por los 8 puentes y terminar en la fonda “LA VITAMINA” y
presumir de su victoria. Por supuesto, quiere que su competidor Isidro Camacho (“EL PEDAL
VELOZ”) sea incapaz de realizar la hazaña; es decir, Isidro no podrá hacer un recorrido iniciando en su
local y terminar en la fonda “LA VITAMINA” Utiliza los teoremas de Euler para averiguar dónde debe
Pedro construir el octavo puente.

Introducción
31
Solución:
Un camino Euleriano sólo es posible si se tiene en el grafo a lo más dos puntos impares. Si esto es así,
entonces el recorrido debe comenzar en uno de estos puntos y terminar en el otro. Dado que sólo hay 4
puntos, la solución es sencilla. Se desea que el recorrido comience en el punto azul y termine en el
punto naranja. Por lo tanto, una nueva línea se dibuja entre los otros dos puntos logrando con ello que
ahora sean puntos pares. Y ahora el dibujo cumple con todas las condiciones del Teorema de Euler y
por consiguiente Pedro logró su objetivo.
El ex campeón Isidro Camacho, enfurecido por la solución de su competidor, comienza a construir un
noveno puente que le permitirá comenzar en “EL PEDAL VELOZ”, pedalear por los 9 puentes y
terminar en la fonda “LA VITAMINA”. Con ello será capaz de restregarle a Pedro su osadía. Por
supuesto, con la construcción del noveno puente, Pedro Argüelles ya no deberá ser capaz de recorrer
por sí mismo los puentes y terminar en la fonda “LA VITAMINA” ¿dónde debe Isidro construir el
noveno puente?
Solución:
Con el octavo puente ya construido, se desea iniciar en el “PEDAL VELOZ” y prohibir “AROS Y
RAYOS” como punto de partida. La fonda “LA VITAMINA” sigue siendo el final del recorrido y el
taller “TACHITO EL TALACHAS” no se ve afectado.
Esto lo logramos mediante la construcción de un puente entre los puntos de color azul y verde, que
cambia el punto azul a un punto par y cambia el punto verde a un punto impar. Lo que esto significa es

Introducción
32
que el ex campeón Isidro Camacho puede recorrer todos los puentes y finalizar en la fonda “LA
VITAMINA”, y ahora Pedro Argüelles ya no puede.
Nicolás Villa desde su taller de bicicletas “TACHITO EL TALACHAS” consternado ha sido testigo de
esta furiosa construcción de puentes, que tiene alterada a la gente de la ciudad y, peor aún, contribuye a
la competencia desleal. Quiere construir un décimo puente que permita a todas las personas de la
ciudad recorrer por todos los puentes una y sólo una vez y regresar a sus puntos de partida. ¿Dónde
debe Nicolás construir el décimo puente?
Solución:
La construcción del décimo puente nos lleva en una dirección ligeramente diferente. Nicolás desea que
todos los ciudadanos puedan regresar a su punto de partida. Se trata ahora de un ciclo Euleriano (un
camino Euleriano que comienza y termina en el mismo punto) y requiere que todos los puntos sean
pares. Después de la solución del problema del noveno puente, el punto verde y el punto naranja son
puntos impares, lo que debe ser modificado mediante la adición de una nueva línea entre ellos. Así
Nicolás ve su sueño realizado y toda la gente de la ciudad puede recorrer todos los puentes una y sólo
una vez y regresar a su punto de partida durante sus paseos en bicicleta.

Introducción
33
Ejercicio 13
Encontrar la suma de los primeros 20 números enteros positivos impares.
Primera Solución:
El veinteavo número impar es 39. Por lo que se nos pide encontrar la suma de
1+3+5+7+…+33+35+37+39. Una forma es simplemente enlistar los 20 números y sumarlos, pero si en
lugar de los primeros 20 se nos pidiera los primeros 500, este camino sería muy engorroso.
Segunda Solución:
Otra posibilidad es enlistar los primeros 20 números enteros positivos impares y observar que pasa si
sumamos el primero con el último, el segundo con el penúltimo y así sucesivamente.
De 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39 obtenemos
1+39=40
3+37=40
5+35=40
⁞

Introducción
34
17+23=40
19+21=40
Hay 10 parejas de números que suman 40, por lo tanto 10 (40)=400 que es la respuesta buscada.
Tercera Solución:
Busquemos un patrón. Observamos que sumando hasta los primeros 6 números impares se vislumbra
un patrón muy claro la suma de los primeros n números impares es igual a n2
. Por lo tanto la suma de
los primeros 20 nos dará (20)2
=400.
Ejercicio 14
Encuentra la suma de los primeros 100 enteros positivos pares.
Solución:
Puedes intentar escribir los primeros 100 números pares y sumarlos en el orden que los escribiste:
2+4+6+8+ … +194+196+198+200
Esto se puede sumar en la calculadora, pero alternativamente, observa que los podemos sumar por
parejas:
2+200=202
4+198=202
6+196=202
y así sucesivamente.
Obtenemos de esta manera 50 parejas donde cada una suma 202. Por lo tanto (50) 202 =10,100 y esta
es la respuesta requerida.
Pero veamos otra manera más de un posible patrón.

Introducción
35
Por lo tanto, la suma de los primeros 100 números pares nos
da (100)(101)=10,100 que es la respuesta buscada.
Ejercicio 15
Encuentra la suma de los primeros 100 enteros positivos.
Observa que si sumas los primeros 100 enteros positivos la suma del más grande y el más pequeño es
101. También si sumas el segundo más grande con el segundo más pequeño obtienes 101. Esto pasa de
nuevo si sumas el tercero más grande y el tercero más pequeño y así sucesivamente. Como los primeros
100 números se pueden dividir en 50 parejas (100/2) y cada pareja contribuye con 101, la suma de
todos los 100 primeros enteros positivos nos da 50(101) =5050.
Usaremos esta estrategia para generalizar esta observación. Al sumar los primeros n números enteros
positivos tenemos dos casos:
(i) si el entero más grande n es par (como fue el caso n = 100)
(ii) si el entero más grande n es impar

Introducción
36
Caso (i): El entero más grande n es par.
Si el entero positivo más grande es par, podemos aparear los números como se muestra en la siguiente
figura:
Podemos aparear el 1 con n, el 2 con n–1, el 3 con n–2 y así sucesivamente. Observa que la suma de
cada pareja siempre da n+1 [1+n = n+1; 2 + (n–1) = n+1; 3 + (n–2) = n+1, etcétera]. Tenemos n/2
parejas (recuerda n es par); por lo tanto, la suma de todos los enteros positivos del 1 al n es:
 
 1
1
2 2
n nn
n

 
Caso (ii): El entero más grande n es impar.
Si el entero más grande n es impar, entonces sólo podemos apareara n–1 (n–1 es par) de los números.
Podemos aparear 1 con n–1, 2 con n–2, 3 con n–3, y así sucesivamente.
La suma de cada pareja nos da n [1+( n–1) = n, 2+ (n–2) = n, 3+( n–3) = n, etcétera]. En este caso
tenemos (n–1)/2 parejas por lo que la suma de los primeros n–1 números nos da:
 1
2
n n 

Introducción
37
Pero no olvidemos que aun nos falta sumar el entero positivo más grande que es n (n impar). Por lo
que la suma de todos los números del 1 al n es:
   1 1
2 2
n n n n
n
 
 
Así hemos obtenido que la suma de los primeros n números enteros positivos siempre es:
 1
2
n n 
Esta generalización no es una prueba formal de esta fórmula, para ello se necesita un método llamado
inducción matemática que esta fuera del alcance de estas notas. Pero podemos usar esta fórmula sin
temor, en vista de que los matemáticos han realizado esa prueba formal.
Ejercicio 16
El Teorema de Pitágoras
Podemos ver que a2
+ b2
= c2
usando el álgebra. Mira este diagrama:

Introducción
38
Es un gran cuadrado, que denotaremos como , donde cada lado mide a + b, así que el área es:
A()= (a+b) (a+b)
Ahora sumamos las áreas de las figuras más pequeñas:
Primero, el cuadrado pequeño (inclinado, al que llamaremos I tiene área A() = c²
Y hay cuatro triángulos iguales, Δ, cada uno con área A(Δ) = ½ (ab), así que el área de los cuatro juntos
es A(Δ+ Δ+ Δ+ Δ) = 4(½ (ab)) = 2ab
Si sumamos el área del cuadrado inclinado y de los 4 triángulos tenemos que:
A( +Δ+ Δ+ Δ+ Δ) = c²+2ab
Como el área del cuadrado grande es igual al área del cuadrado inclinado más la de los 4 triángulos,
tenemos que:
A() = (a+b)(a+b) = c²+2ab = A( +Δ+ Δ+ Δ+ Δ)
Ahora, empezamos con: (a+b)(a+b) = c²+2ab
Desarrollamos (a+b)(a+b): a²+2ab+b² = c²+2ab
Restamos "2ab" de los dos lados: a²+b² = c²
Ver y elaborar las figuras de papel mostradas para hacer las comprobaciones.

Introducción
43
Más ejercicios de Geometría.
De las preguntas 1 a la 5 tienen cuatro opciones de respuesta. Escribe la correcta (1, 2, 3 o 4) en cada
caso.
Pregunta 1
La siguiente figura muestra un cubo rectangular.

Introducción
44
¿Cuál de las siguientes plantillas representa al cubo rectangular?
Respuesta ( )
Pregunta 2
En la figura se muestran 3 formas planas sombreadas. ¿Cuál o cuáles de estas formas pueden usarse
para formar una teselación? (Una teselación es cuando cubres una superficie con un patrón de formas
planas de manera que no se superponen ni hay huecos).
(1) A
(2) B
(3) A y C
(4) B y C
Respuesta ( )

Introducción
45
Pregunta 3
En Geometría es usual representar una línea recta por dos puntos, así por ejemplo, AB representa la
línea recta que contiene a los puntos A y B (en ocasiones los puntos “no se muestran” pues ya están
contenidos en la línea). Por otro lado, un ángulo puede representarse a través de 3 puntos y el símbolo
∠ como ∠XYZ, siendo éste el ángulo que inicia en la línea XY y (en sentido contrario a las manecillas
del reloj) termina en la línea YZ. Lo anterior se ilustra en la siguiente figura:
En la figura ST, UV, WX y YZ son líneas rectas. ¿Cuáles de los siguientes ángulos sumados tienen el
mismo valor que ∠ZOU?
(1) ∠a y ∠b
(2) ∠c y ∠d
(3) ∠b, ∠c y ∠d
(4) ∠c, ∠d y ∠e
Respuesta ( )

Introducción
46
Pregunta 4
La figura muestra una plantilla de un cubo. ¿Cuáles caras del cubo quedan opuestas cuando armas la
plantilla?
(1) P y Q
(2) P y S
(3) R y U
(4) T y U
Respuesta ( )
Pregunta 5
Carlos debe entregar paquetes en dos ciudades empezando en la ciudad Z. Se le proporcionó un mapa
con las siguientes instrucciones: Maneja empezando en la ciudad Z hacia el suroeste para llegar a la
primera ciudad y entrega el primer paquete. Desde esa ciudad maneja al norte a la siguiente ciudad y
entrega el segundo paquete.

Introducción
47
¿En cuál ciudad entrego Carlos el segundo paquete?
(1) Ciudad A
(2) Ciudad B
(3) Ciudad C
(4) Ciudad D
Respuesta ( )
Pregunta 6
Escribe tus respuestas en el espacio debajo de la figura. Para las preguntas que requieren del uso de
unidades, escribe tus respuestas en las unidades correspondientes. Observa que, en esta ocasión,
usaremos la notación XYZ para describir el triángulo cuyos lados son las líneas rectas XY, YZ y XZ como
se muestra en la siguiente figura. Esto posteriormente se extenderá de forma tal que dados n puntos, la
lista se refiere a un polígono con n líneas que lo delimitan.

Introducción
48
La figura mostrada está hecha de dos triángulos idénticos TSR y QSR. El ángulo mostrado mide ∠QST
= 148°. Determina la medida del ángulo ∠QSR.
Respuesta: °
Pregunta 7
En la figura ABEF es un paralelogramo y BCDE es un trapecio. Dado que el ángulo ∠AFE = 75°,
encuentra el ángulo ∠y.
Respuesta:
Pregunta 8
En la figura, AB es una línea de simetría. Sombrea 3 cuadros para que nos quede un patrón
simétrico.

Introducción
49
Pregunta 9
En la figura siguiente extiende la teselación dibujando dentro de la caja una vez la forma plana básica.

Introducción
50
Respuestas
Pregunta Respuesta
1 3
2 3
3 2
4 4
5 1
6 106° ya que (360 – 148) ÷ 2 = 106°
7 105
8 Ver la figura
9 Ver la figura
P8:
P9:

51
“JORNADAS ACADÉMICAS PARA EL SEGUIMIENTO Y
EVALUACIÓN SOBRE LOS PROCESOS DE
CONTEXTUALIZACIÓN EN LAS ESCUELAS DE
EDUCACIÓN PRIMARIA. FORTALECIMIENTO DEL
PENSAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO A TRAVÉS DE
LA LECTURA”.
“Fortalecimiento del pensamiento lógico-matemático
a través de la lectura reflexiva”
Guía para temática 1

52
Capítulo 1
Geometría y Fracciones
1.1 Ubicando objetos en una línea
Si tenemos un antiguo pueblo del Viejo Oeste con una sola calle, un sólo número será suficiente para
encontrar una casa. Por ello, decimos que una línea es de dimensión 1. Es importante notar que se debe
tener una convención sobre qué casa es la número uno -sin esta convención no sabríamos cómo
encontrar las otras casas-.
En matemáticas, los números se pueden identificar con los puntos en una recta llamada “recta
numérica”. Para construirla, se toma una recta horizontal, se escoge el punto origen que representa el
cero, y una unidad de longitud -pensemos en los centímetros-. El número 1 se representa por el punto en
la recta ubicado en la distancia uno hacia la derecha del origen; el número 2 se ubica a la distancia uno
a la derecha del 1, y así sucesivamente.
Dado que la recta numérica es infinita, en ilustraciones siempre se muestra solo un intervalo de ella;
no es necesario que tal intervalo contenga el cero.
Figura 1.1 La recta numérica
Ejemplo. Notemos varias propiedades de la recta numérica:
• La distancia de un punto P etiquetado por el número x al punto etiquetado por cero es x. Por
ejemplo, la distancia del punto etiquetado por el 4 al punto etiquetado por el 0 es igual a 4.
• Más generalmente, la distancia de un punto P etiquetado por el número x al punto Q etiquetado
por y es el valor absoluto de x−y. Por ejemplo, la distancia del punto etiquetado por el 4 al punto
etiquetado por el 1 es igual a 4-1=3, que coincide con la distancia entre los dos puntos.
• Se puede usar una ranita imaginaria para entender la suma en la recta numérica: por ejemplo,
para representar la suma 2+3, se piensa en una ranita que siempre, comenzando por el 0, salta
dos lugares a la derecha y luego salta tres lugares a la derecha. Desde luego, la ranita acaba en
el número 5. Así se puede ver con facilidad, por ejemplo, que 2+3 y 3+2 son iguales ambos a 5.
Un chapulín imaginario también funciona.
• Los números negativos son saltos de la ranita hacia la izquierda. Así, por ejemplo, si se enfrenta
uno con la resta 3-4, la ranita salta tres lugares a la derecha y 4 a la izquierda, acabando la
ranita en el -1.
• Los números racionales admiten una representación en la recta numérica. Por ejemplo, si
queremos representar 2/3 primero representamos 1/3 dividiendo el 1 en 3 partes iguales, y luego,
haciendo a la ranita saltar dos veces 1/3 se llega a 2/3.

53
Figura 1.2 Fracciones en la recta numérica
• Los números decimales también se localizan en la recta numérica. Por ejemplo, el número
3.1416 es igual a 31416/10000 y, en principio, el uno se debe dividir en 10000 segmentos
iguales; después, la ranita debe saltar 31416 segmentitos de 1/10000. Esto, en la práctica, es
difícil, pero se puede hacer una aproximación rápida y razonable sabiendo que 3.1416 está entre
3.1 y 3.2 y es muy cercano a 3.15, el punto medio entre 3.1 y 3.2.
En matemáticas, la recta numérica tiene un punto distinguido: el origen O, al cual se le asigna el
número 0. Dado cualquier otro punto A a la derecha de O en la recta, definimos el número x(A) como la
distancia positiva d(O,A)>0 del origen a A. A todo punto B a la izquierda de O, le asignamos el número
x(B) igual a −d(O,B) negativo de la distancia de O a B.
Figura 1.3 Tres puntos en la recta
Ejemplo. En la figura de arriba, tenemos que d(O,A)=4, y A está a la derecha del origen, por lo que
x(A)=4. Asimismo, d(O,B)=2, y B está a la izquierda del origen, por lo que x(B)=−2.
La función que asigna a cada punto de la recta su coordenada (es decir su distancia al origen):
x:{Puntos de la recta}→{Números reales}
x:A↦x(A)
es biunívoca: a cada número le corresponde un número de la recta y, a cada número de la recta, le
corresponde exactamente un solo número.
En la figura anterior tenemos que
x:A↦4
y
x:B↦−2.
Una vez elegido el origen O de una vez y para siempre, cada punto queda determinado exactamente
por un número, y viceversa. Los puntos a la izquierda de O corresponden a los números negativos y los
puntos a la derecha de O corresponden a los números positivos.

54
Ejercicio.
En la figura de abajo calcule x(A), x(B), x(C) y x(D):
Figura 1.4 Cinco puntos en la recta
Solución:
Los puntos A y D están a la izquierda del origen y, como d(O,A)=2 y d(O,D)=4, entonces tenemos que
x(A)=−2 y x(D)=−4. Por su parte, los puntos B y C están a la derecha del origen y, como d(O,B)=4 y
3
( , )
2
d O C  , entonces tenemos que x(B)=4 y x(C)=
3
2
.
Ejercicio.
Usando la figura del ejercicio anterior, sin calcular las distancias entre los puntos, explique en sus
propias palabras por qué las siguientes afirmaciones son ciertas:
• d(A,B)=d(B,A).
• d(A,A)=0.
• d(A,B)≥0.
• d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C).
Solución:
• d(A,B)=d(B,A). ¿Por qué la distancia de A a B es lo mismo que la distancia de B a A para
cualesquiera dos puntos de la recta?
• d(A,A)=0. ¿Por qué la distancia de un punto a sí mismo es cero?
• d(A,B)≥0. ¿Por qué la distancia entre dos puntos distintos siempre es un número positivo?
• d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C). ¿Por qué es más corto ir directamente de A a C que ir primero de A a B y,
después, de B a C?

55
Ejemplo. Si el punto B está a la derecha del punto A, observemos que:
d(A,B)=x(B)−x(A).
Por ejemplo, en el dibujo anterior:
d(A,B)=x(B)−x(A)=4−(−2)=4+2=6.
Es importante el orden de los puntos ya que es fácil cometer el siguiente error:
d(B,A)=x(A)−x(B)=−2−4=−6,
lo cual es incorrecto porque d(B,A) es un número positivo (siempre que A y B sean puntos distintos).
Para evitar ese error, es necesario tomar el valor absoluto: el valor absoluto de un número es su
magnitud positiva, nunca es negativo. Por ejemplo, |−6|=−(−6)=6. En general:
si 0
si 0
x x
x
x x

 

En la figura tenemos entonces:
d(B,A)=|x(A)−x(B)|=|−2−4|=|−6|=6,
y la fórmula para la distancia en general es:
d(A,B)=d(B,A)=|x(B)−x(A)|
Ejercicio.
Verifique las afirmaciones del ejercicio anterior, pero esta vez hágalo calculando todas las distancias
que aparecen en ellas.
Solución:
• d(A,B)=d(B,A). En efecto, d(A,B)=6 y d(B,A)=6, como vimos en el ejercicio anterior.
• d(A,A)=0. Claramente es evidente que la distancia de un punto a sí mismo es nula.
• d(A,B)≥0. La distancia de un punto a otro siempre es positiva (con una salvedad: cuando B=A, la
distancia es nula).
• d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C). Esto es lo más interesante: si B está entre A y C, tenemos la igualdad:
d(A,C)=d(A,B)+d(B,C); pero si C está entre A y B, entonces, es claro que ir de A a B y luego, ir de
B a C es una ruta más larga que simplemente ir de A a C. Asimismo, si A está entre C y B,
tenemos la desigualdad d(A,C)<d(A,B)+d(B,C).

56
Figura 1.5 La desigualdad del triángulo
Ejemplo. La suma y la resta de números se puede interpretar geométricamente de la siguiente manera:
la suma n+m se obtiene caminando n unidades a partir del origen y, después, m unidades más. Aquí
debe tomarse en cuenta que, si la cantidad es negativa, entoces, debe caminarse a la izquierda; en
tanto que, si la cantidad es positiva, debe caminarse a la derecha.
Figura 1.6 Suma: -5+3 = -2
Por ejemplo, cuando sumamos −5+3, comenzamos en el origen O tal que x(O)=0, caminamos 5 unidades a la izquierda y,
finalmente, caminamos dos unidades a la derecha; como terminamos en el −2, ése es el resultado de la suma.

57
Capítulo 2
Representación gráfica de pares ordenados en el 1er cuadrante de un sistema de coordenadas
cartesianas. Ubicar puntos en el plano cartesiano, con objeto de resolver situaciones que
impliquen la ubicación de puntos en el plano cartesiano.
Para ubicarnos en el plano, no es suficiente saber la distancia a cierto punto fijo tal como lo es en la
recta numérica. Miremos el dibujo abajo: todos los puntos blancos están a la misma distancia del punto
negro:
Tampoco es suficiente conocer las distancias hacia dos puntos fijos para especificar un punto en el
plano:
Aquí vemos dos puntos diferentes con las mismas distancias de los dos puntos negros. La manera más
cómoda de ubicar un punto en el plano es por medio de las llamadas coordenadas cartesianas: son,
esencialmente, las distancias a dos rectas perpendiculares que llamamos el eje x y el eje y. Por ejemplo,
aquí se muestran los puntos con coordenadas (1,2), (4,4) y (3,0):
Para ubicar el punto (1,2) tenemos que caminar, desde el punto de la intersección de los ejes, 1 unidad
por el eje x y 2 unidades en la dirección del eje y. En general, para llegar al punto (a,b) vamos a

58
unidades a lo largo del eje x y b unidades en la dirección del eje y. Los números a y b se llaman la
coordenada x y la coordenada y del punto.
Ejercicio.
a) La coordenada x, ¿la distancia a cuál de los ejes es?
b) ¿Cuáles son las coordenadas del punto de intersección del eje x y del eje y? Este punto se llama
el origen.
c) ¿Es lo mismo caminar 3 unidades a lo largo del eje x y después 2 en la dirección del eje y desde
el origen que primero 2 unidades a lo largo del eje y y después 3 en la dirección del eje x?
Dibujen ambas posibilidades. ¿Cuáles son las coordenadas del punto al cual se llega caminando
así?
d) ¿Cuáles son los puntos del plano que tienen como coordenadas números positivos?
Solución.
a) La coordenada x es la distancia al eje y: cuando caminamos a unidades a lo largo del eje
x, nos alejamos estas a unidades del eje y. De la misma manera, la coordenada y es la
distancia al eje x.
b) Las coordenadas del origen son (0,0).
c) Sí, es lo mismo. Uno llega al punto con las coordenadas (3,2).
Hemos visto que para ubicar los puntos en la recta numérica se necesitan números negativos: éstos
corresponden a los puntos que están a la izquierda del cero. En el plano, la situación es parecida: los
puntos que están a la izquierda del eje y tienen la coordenada x negativa; es decir, la distancia hasta el
eje y se tine que tomar con el signo menos. Lo mismo es válido para la coordenada y de los puntos que
están por debajo del eje x.
Los ejes x y y dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes, se enumeran con los números de
1 a 4:

59
Ejercicio.
a) ¿En cuál de los cuadrantes ambas coordenadas son números negativos?
b) Dibujar los puntos con las coordenadas (1,1), (1,-1), (-1,1), (-1,-1).
c) Describir cómo se puede llegar a un punto con las coordenadas (-3,7) desde el origen.
Solución.
a) En el tercer cuadrante, ya que este está debajo del eje x y a la izquierda del eje y.
b)
c) Caminando 3 unidades en la dirección opuesta de la del eje x (o, lo que es lo mismo, -3 unidades
a lo largo del eje x) y después, 7 unidades en la dirección del eje y.
Para simplificar los argumentos, vamos a considerar solamente los puntos con las coordenadas
positivas; es decir, el primer cuadrante del plano.
Un ejemplo de las coordenadas cartesianas es un plano cuadriculado de una ciudad:

60
Aquí la Avenida 30 de febrero se puede considerar como el eje x y la Avenida Domingo Once como el
eje y; las unidades de la coordenadas son cuadras. Así, las coordenadas de la tienda departamental
"Palacio de Plomo" son (1,2).
Ejercicio.
a) ¿Cuáles son las coordenadas de la zapatería "B Cuñados"? ¿Del Museo del Dinosaurio
Mexicano? ¿De los tacos "Pollo Gigante"?
b) ¿Cuántas cuadras hay que caminar para llegar del Museo del Dinosaurio Mexicano a los tacos
"Pollo Gigante"? ¿De "B cuñados" al "Palacio de Plomo"?
c) ¿A cuántas cuadras al este del Museo del Dinosaurio Mexicano se encuentra la calle donde están
los tacos "Pollo Gigante"? ¿A cuántas cuadras al sur de la tienda "B cuñados" se encuentra la
avenida donde está el Museo del Dinosaurio Mexicano?
d) ¿A cuántas cuadras al oeste del Museo del Dinosaurio Mexicano se encuentra la calle donde
están los tacos "Pollo Gigante"?
Solución.
a) B Cuñados - (2,4), Museo del Dinosaurio Mexicano - (3,3) Pollo Gigante - (4,1).
b) 3 cuadras, en ambos casos.

61
c) Los tacos “Pollo Gigante” están en la intersección de la Calle 4 Oriente y Calle 1 Norte. No es
posible llegar a la Calle 1 Norte caminando hacia el este desde el Museo del Dinosaurio
Mexicano; para llegar a la Calle 4 Oriente hay que caminar una cuadra. Notemos que esta
respuesta se puede obtener como 1 = 4 – 3 donde 4 y 3 son las coordenadas x de los tacos y del
museo respectivamente. De la misma manera, la Calle 3 Norte está a 1 cuadra al sur de la
zapatería.
d) Como ya hemos visto la Calle 4 Oriente está al este del museo, no al oeste. Por lo tanto, uno
puede decir que la Calle 4 Oriente está a -1 cuadra al oeste del museo.
Muchas ciudades del mundo están organizadas en una cuadrícula. En algunas de ellas, las calles tienen
números en lugar de nombres. Sin embargo, esta numeración no siempre corresponde al sistema
cartesiano de coordenadas.
Ejercicio.
a) ¿Cuál es la diferencia entre la numeración de las calles en la ciudad de Puebla y el sistema
cartesiano de coordenadas?
b) ¿Cuál es la diferencia entre la numeración de las calles en la ciudad de Mérida y el sistema
cartesiano de coordenadas?
c) ¿Conocen alguna ciudad donde los números de las calles siguen el sistema cartesiano?
Solución.
a) En la ciudad de Puebla, para evitar el uso de números negativos, para las coordenadas positivas
solamente se usan números pares y en lugar de las negativas se usan los impares.

62
Adicionalmente, se utilizan los calificativos “Norte”, “Sur”, “Oriente”, “Poniente” los cuales,
estrictamente hablando, no son necesarios para ubicarse en el plano de la ciudad.
b) En la ciudad de Mérida, a diferencia de Puebla, las vialidades no se dividen en “calles” y
“avenidas”; por lo que es necesario distinguir entre las calles que van del norte al sur y del
oriente al poniente. La solución que se adoptó en Mérida fue usar números pares para la
coordenada x y números impares para la coordenada y. Además, para evitar el uso de los
números negativos, la plaza principal no está en el origen de las coordinadas (es decir, no tiene
las coordenadas cercanas a cero).
Capítulo 3
Fracciones
3.1 Tercios, Quintos y Sextos
Ejercicio.
Compare los dos números fraccionarios siguientes:
1
3
y
1
6
Solución:
Si repartimos un pastel entre tres personas, les toca más pastel que si lo repartimos entre seis
personas, por lo que:
1
3
>
1
6
.
Gráficamente podemos pensar en un pastel rectangular:
Un tercio del pastel está representado en el dibujo:

63
Asimismo, un sexto del pastel está representado en el dibujo:
De lo anterior es fácil ver que
1
3
es el doble de
1
6
, es decir:
1 1
2
6 3
  ,
y, por tanto:
1 1
3 6
 .
Ejercicio.
En el dibujo de abajo, ¿qué fracción coloreada del pastel es más grande?

64
Solución:
Considere el dibujo de abajo:
Cada región representa
1
3
del pastel; de ello, podemos concluir que el área sombreada es la mitad
de un sexto, es decir:
1
2
⋅
1
3
.
En la figura de abajo, se observa por qué la mitad de
1
3
es igual a:
1
6
.
En la figura de abajo queda claro que el área sombreada es mayor que la mitad de
1
4
:

65
En otras palabras, el área sombreada arriba es mayor que
1
8
.
Ejercicio.
Compare los tres números fraccionarios siguientes:
1
3
,
1
5
y
1
6
.
Solución:
Las siguientes figuras representan respectivamente
1
3
,
1
5
y
1
6
:
De esto se puede deducir que:
1 1 1
3 5 6
  .

66
Ejercicio.
Compare los números fraccionarios siguientes:
2
5
y
3
6
.
Solución:
Las siguientes figuras representan respectivamente
2
5
y
3
6
:
De esto se puede ver que:
1
2
=
3
6
>
2
5
.
Ejercicio.
Represente en diagramas de pastel las siguientes fracciones:
1 1 2 3 5 4 10 20 30 6 13
, , , , , , , , , y
1 3 3 5 5 1 3 6 5 1 5
.

68
Ejercicio.
De la siguiente lista de fracciones, diga cuáles son mayores que la unidad y cuáles son menores.
1 2 3 4 5
, , , y
3 3 3 3 3
Solución:
Representemos en diagramas de pastel las fracciones de la lista:
De la figura es fácil deducir que:
1
3
<1,
2
3
<1,
en tanto que:
3
3
=1,
y, por último:
4
3
>1 y
5
3
>1.

69
Ejercicio.
De la siguiente lista de fracciones, diga cuáles son mayores que la unidad y cuáles son menores.
1 2 3 4 5 6 7
, , , , , y
5 5 5 5 5 5 5
.
Solución:
De la figura es fácil deducir que:
1
5
<1,
2
5
<1,
3
5
<1,
4
5
<1,

70
en tanto que:
5
5
=1,
y, por último,
6
5
>1 y
7
5
>1.
Ejercicio.
Dada una fracción de la forma
p
q
,
enuncie un criterio para comparar la fracción con la unidad.
Solución:
Tenemos que:
p
q
>1 si y sólo si p>q,
p
q
=1 si y sólo si p=q,
y
p
q
<1 si y sólo si p<q.

71
Capítulo 4
Identificación de fracciones equivalentes al resolver problemas de reparto y medición. Usar
fracciones con denominador dos, cuatro y ocho (después con denominador hasta 12) para
expresar relaciones parte-todo, medidas y resultados de repartos.
Los números naturales 1, 2, 3, 4, 5 y así sucesivamente se usan para contar. La suma de dos números
naturales siempre es un número natural, pero no siempre podemos restar dos números naturales. Por
ejemplo, 5 - 5 = 0, lo que no es un número natural (aunque algunos matemáticos argumentan que 0 debe
ser considerado un número natural). Más aun, 2 - 4 no es un número natural de ninguna manera; es un
número negativo: 2 – 4 = - 2.
De un modo similar, siempre se pueden multiplicar dos números naturales para obtener nuevamente un
número natural. Por el otro lado, la operación de la división de dos números naturales no siempre
produce un número natural como respuesta. Las fracciones nos resuleven esta dificultad: una fracción
representa el resultado de una división de dos números naturales.
Por ejemplo, 3/4 es una fracción que significa “dividir 3 entre 4”; el número 3 se llama “numerador” y
el número 4 “denominador”. Gráficamente, las fracciones se pueden representar así:
Después veremos otras formas de representar una fracción gráficamente.
Notemos que las fracciones se pueden usar aun cuando el resultado de la división es un número natural.
Por ejemplo, 4/2 = 2 y 5/1=1.
A veces, dos fracciones diferentes pueden representar la misma cantidad. Por ejemplo, si dividimos 10
pesos entre 2 personas, cada una tendrá 5 pesos; si se dividen 20 pesos entre 4 personas, también a cada
una le tocan 5 pesos. Esto se expresa como 10/2 = 20/4. Aquí, el uso de las fracciones no es
estrictamente necesario, porque el resultado de la división es un número natural. En el siguiente
ejemplo, el resultado de la división no se puede expresar sin fracciones:
1/2=2/4.
Si dividimos una naranja entre 2 personas, a cada una le toca la misma cantidad que cuando se dividen
2 naranjas entre 4 personas. (El resultado de la división es una media naranja; no es un número natural
de naranjas).
Dos fracciones que representan la misma cantidad, como por ejemplo, 1/2 y 2/4, se llaman equivalentes.
Multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número natural produce una
fracción equivalente a la inicial:

72
1/2 = 1x2 /2x2 =2/4; 1/2 = 1x4 / 2x4=4/8.
Esto se explica en el siguiente dibujo:
De la misma manera, dividir el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número
natural da una fracción equivalente a la inicial. No siempre se puede dividir el numerador y el
denominador de una fracción por el mismo número natural mayor de uno; cuando esto es posible, se
dice que la fracción se puede simplificar.
Ejercicio.
Determinar si se pueden simplificar las siguientes fracciones y simplificarlas si esto se puede hacer:
a) 1/2;
b) 2/4;
c) 3/4;
d) 5/8;
e) 4/1;
f) 4/2.
Solución.
De todas las fracciones de la lista, las únicas que tienen el numerador y el denominador divisible por el
mismo número natural, mayor que 1 son los casos b) y f): tenemos
2/4=1x2 / 2x2 =1/2 y 4/2 = 2x2 / 1x2 = 2/1.
Hemos visto que 3/4 de una naranja es lo que obtenemos al dividir 3 naranjas entre 4 personas de un
modo igualitario. Para hacer esto, podemos dividir cada naranja en 4 partes y darle 3 de ellas a cada
persona:

73
En otras palabras, podemos entender la fracción 3/4 como “3 veces 1/4”, y esto nos permite comparar
fracciones diferentes, ya que 1/4 se puede tomar como una nueva unidad de medición.
Ejercicio.
En un juego de video debo constuir una ciudad para fortalecer mi imperio. Necesito asignar espacio
para la vivienda, para hospitales y para diversiones; si lo hago mal mis súbditos se pueden enfermar o
se pueden unir con mi adversario. Para la vivenda, se necesita 1/2 del espacio de la ciudad, para los
hospitales 1/8 del espacio y para las diversiones 3/8 del espacio. La ciudad se construye en un cuadrado
4x4 dividido en cuadritos de 1x1. ¿Cuántos cuadritos se necesitan para la vivienda? ¿Cuántos para los
hospitales y cuántos para las diversiones? ¿Cómo se representan los tamaños relativos de las partes de
la ciudad como fracciones con el denominador 16?
Solución.
Un cuadrado de 4x4 consiste de 16 cuadritos, así que para ver cuántos cuadritos va a ocupar cada
sección de la ciudad, necesitamos expresar sus tamaños relativos como fracciones con denominador 16.
La vivienda ocupa 1/2 = 8/16 partes, los hospitales 1/8=2/16 partes y las diversiones 3/8 = 6/16 partes
de la ciudad; se necesitan 8 cuadritos para la vivienda, 2 cuadritos para hospitales y 6 cuadritos para las
diversiones.
Ejercicio.
Al llegar al cine compré unas palomitas, se las encargué a mi padre y a mi hermano y fui al baño. Al
regresar me di cuenta de que mi papá se había comido la mitad de mis palomitas y mi hermano la cuarta
parte.
a) ¿Me dejaron palomitas? En caso de que sí me dejaran palomitas, ¿cuántas me dejaron?
b) Representa gráficamente la parte que se comió mi papá de mis palomitas, la que se comió mi
hermano y la que me dejaron.

74
Solución.
En total, mi padre y mi hermano se comieron
1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4
partes de mis palomitas; por lo tanto, me dejaron palomitas. Para representar gráficamente las partes
comidas por cada uno de nosotros de mis palomitas, considero que un cuadrado representa a mis
palomitas y lo divido en cuatro partes iguales. Como 1/2 es equivalente con 2/4, lo que se comió mi
padre corresponde a 2 partes del cuadrado, lo que se comió mi hermano corresponde a 1 parte del
cuadrado y lo que me dejaron corresponde a 1 parte del cuadrado.

75
Capítulo 5
Fracciones Equivalentes
Ejercicio.
1
3
,
2
6
,
3
9
y
4
12
.
Solución:
De la figura podemos deducir que
1 2 3 4
,
3 6 9 12
  
es decir, todas las fracciones son iguales.
En otras palabras, tenemos que:
1
3
=
1×2
3×2
=
2
6
=
1×3
3×3
=
3
9
=
1×4
3×4
=
4
12
.
Notemos que, al acomodar los numeradores y los denominadores en una tabla, cada que el
numerador aumenta una unidad, el denominador aumenta tres unidades:

76
Numerador Denominador
1 3
2 6
3 9
4 12
Observemos que si tomamos cualesquiera dos renglones de la tabla,
2 6
4 12
al hacer la multiplicación cruzada, obtenemos una igualdad:
4×6=2×12=24.
Ejercicio.
1
5
,
2
10
,
3
15
y
4
20
.
Solución:
De la figura podemos deducir que
1
5
=
2
10
=
3
15
=
4
20
,
es decir, todas las fracciones son iguales.
En otras palabras, tenemos que:
1
5
=
1×2
5×2
=
2
10
=
1×3
5×3=
3
15

77
=
1×4
5×4
=
4
20
.
Notemos que, al acomodar los numeradores y los denominadores en una tabla, cada que el
numerador aumenta una unidad, el denominador aumenta cinco unidades:
Numerador Denominador
1 5
2 10
3 15
4 20
Observemos que si tomamos cualesquiera dos renglones de la tabla,
1 5
4 20
al hacer la multiplicación cruzada, obtenemos una igualdad:
1×20=4×5=20.
Ejercicio.
Decir que uno de cada tres gatos prefieren Woskies es lo mismo que decir que un tercio de los gatos las
prefieren.
Llamemos P el número de gatos del pueblo de Juan. Haga una tabla suponiendo que
P=3000,6000,9000,12000,15000 .
Solución:
Si a uno de cada tres gatos les gustan las Woskies, entonces cuando hay un pueblo de P=3000 gatos,
a 1000 les gustan los Woskies. En general:
Total Les gustan No les gustan
3000 1000 2000
6000 2000 4000
9000 3000 6000
12000 4000 8000
15000 5000 10000
Esto tiene un representación gráfica:

78
En esta situación, decimos que la variable del eje vertical (el número de gatos que prefieren
Woskies) es directamente proporcional a la variable del eje horizontal (el número total de gatos de
pueblo).
En todos los casos (sin importar la población), la fracción de los gatos a los que les gustan las
Woskies es:
1
3
=
1000
3000
=
2000
6000
=
3000
9000
=
4000
12000
=
5000
15000
.
Decimos, entonces, que el número de gatos a los que les gustan las Woskies es proporcional al número
total de gatos y, además, decimos que la constante de proporcionalidad es
1
3
o 1:3 (que se lee: uno a
tres).
Asímismo, en todos los casos (sin importar la población), la fracción de los gatos a los que no les
gustan las Woskies es:
2
3
=
2000
3000
=
4000
6000
=
6000
9000
=
8000
12000
=
10000
15000
.
Decimos, entonces, que el número de gatos a los que no les gustan las Woskies es proporcional al
número total de gatos y, además, decimos que la constante de proporcionalidad es
2
3
o 2:3 (que se lee:
dos a tres).
Si la población total de los gatos se representa por un diagrama circular, la población de los gatos
que gustan de las Woskies queda representaba abajo por el área sombreada:

79
De la misma manera, la población de los gatos que no gustan de las Woskies queda representaba
abajo por el área sombreada:
El total de los gatos es:
Es decir:
1
3
+
2
3
=1=100%.

80
Ejemplo. En general, dadas dos fracciones
p
q
y
m
n
son equivalentes si:
p
q
=
m
n
,
lo cual ocurre si y sólo si podemos encontrar un factor común k tal que:
m=k×p,
n=k×q,
lo cual ocurre si y sólo si:
p×n=q×m,
en efecto:
p×n=p×k×q,
y:
q×m=q×k×p,
y, como el orden de los factores no afecta al producto, tenemos que:
p×n=p×k×q=m=q×k×p=q×m.
Por ejemplo, para p=2, q=4, m=1 y n=2, tenemos que:
2
4
=
1
2
.
Cada rebanada de pastel de abajo está dividida en k=2 pedazos arriba en la figura anterior.
Esto ocurre si y sólo si podemos encontrar un factor común k tal que:
2=k×1,
4=k×2.
Claramente, podemos concluir que:
k=2.
Podemos, además, verificar que:
p×n=q×m,
en efecto:
2×2=4×1=4.
En otras palabras, podemos cancelar un factor común de k=2:

81
2
4
=
2×1
2×2
=
1
2
.
Ejercicio.
Consideremos el caso p=21, q=18, m=7 y n=6; explique por qué
21
18
=
7
6
.
Solución:
Hagamos la representación en diagrama circular:
Cada rebanada de pastel de abajo está dividida en k=3 pedazos arriba en la figura anterior.
Esto ocurre si y sólo si podemos encontrar un factor común k tal que:
21=k×7,
18=k×6.
Claramente, podemos concluir que:
k=3.
Podemos, además, verificar que:
p×n=q×m,
en efecto:
21×6=18×7=126.
En otras palabras, podemos cancelar un factor común de k=3:
21
18
=
3×7
3×6
=
7
6
.

82
Capítulo 6
Conocimiento de diversas representaciones de un número fraccionario: con cifras, mediante la
recta numérica, con superficies, etc., análisis de las relaciones entre la fracción y el todo.
La misma fracción se puede representar de varias maneras:
 como fracción ordinaria: 1/8
 como fracción decimal: 0.125
 gráficamente, en la recta numérica
 gráficamente, como un diagrama de pastel
Para pasar de la representación ordinaria de una fracción a la representación decimal, hay que encontrar
una fracción equivalente con el denominador 10, 100, 1000 u otra potencia de 10. Por ejemplo,
1/2 = 1x5 / 2x5 = 5/10 = 0.5;
3/4 = 3x25 / 4x25 = 75/100 = 0.75;
1/8 = 1x125 / 8x125 = 125/1000 = 0.125.
Si el denominador de la fracción se obtiene multiplicando (tal vez varias veces) los números 2 y 5 (por
ejemplo, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, …) se puede hallar la representación exacta decimal de la fracción.
Ésta se puede encontrar aplicando el algoritmo usual de la división del numerador entre el
denominador:
En cualquier otro caso, la representación decimal de la fracción es infintamente larga:
1/3 = 0.3333333333333333333333333333333333333333333333…
Ejercicio.
¿Por qué una fracción con el denominador 125 se puede escribir como una fracción decimal? ¿Cuántos
dígitos tendrá después del punto decimal? ¿Y con el denominador 625?

83
Solución.
Como 125 = 5x5x5, es divisor de una potencia de 10:
1000=10x10x10=(5x2)x(5x2)x(5x2)=5x5x5x2x2x2=125x8.
Como fracción decimal, tendrá a lo más 3 dígitos después del punto decimal. De modo similar,
625=5x5x5x5 y, entonces 625x16 = 10000.
La fracción correspondiente tendrá a lo más 4 dígitos después del punto decimal.
Ejercicio.
a) Hallar las representaciones decimales de las fracciones 3/4, 11/8, 7/25, 21/20.
b) Hallar las representaciones decimales infinitas de las fracciones 1/7, 1/9, 2/11.
c) Encontrar fracciones ordinarias con el denominador más pequeño que representan las fracciones
decimales 0.2, 1.8, 1.5, 0.36.
Para representar un número fraccionario en la recta numérica, se usa exactamente el mismo
procedimiento que para los números enteros: el número fraccionario se representa por un intervalo cuya
longitud es igual al número representado y cuyo extremo izquierdo es el cero. Para fracciones, esto
significa lo siguiente: primero el intervalo de 0 a 1 se divide en intervalitos iguales cuyo número es
igual al denominador de la fracción; después, se toman la cantidad de ellos igual al numerador:
Ejercicio.
Ya no aguanto, por las noches el perro que tiene mi vecino ladra cada dos horas y me despierta. Si
todavía faltan 2/3 partes de la noche para que amanezca ¿cuántas veces más me despertará esta noche el
perro que tiene mi vecino? La noche dura ocho horas; el perro ladra la primera vez al caer la noche y
última vez al amanecer. ¿Cuántas veces ladra el perro en el transcurso de la noche?
Solución.
En la recta numérica, representemos la noche de dos maneras distintas: subdividida en terceras partes
(arriba de la recta) y en horas (abajo de la recta). Se ve directamente del dibujo que, en el transcurso de
las últimas 2/3 partes de la noche, el perro todavía ladrará 3 veces. En total, el perro ladrará 5 veces.

84
Notemos que este problema también se puede resolver por medio un cálculo. Primero, contestemos las
segunda pregunta. Al terminar un intervalo de 2 horas el perro ladra 1 vez; así, ladrará 8/2 =4 veces.
También, ladra al iniciar la noche; en total, ladrará 4 + 1= 5 veces.
Ahora, los 2/3 de la noche duran 8 x 2/3 = 16/3 = 5 1/3 horas. Este tiempo incluye
16/3 ÷ 2 = 8/3 = 2 2/3 intervalos de dos horas. En dos intervalos de dos horas, habrá 3 ladridos, en los
2/3 de un intervalo no habrá ninguno que ya no contamos.
En realidad, esta solución también se apoya implícitamente en la representación gráfica del tiempo en la
recta numérica, así que el primer argumento es preferible por ser más sencillo.
Sin embargo, el argumento puramente visual (sin cálculos) falla cuando los números son más grandes.
Ejercicio.
Si en el problema anterior, el perro ladra cada dos minutos (en lugar de cada dos horas) ¿cuántas veces
va a ladrar en 2/3 partes de la noche?
Solución.
Las 16/3 horas que quedan de la noche consisten de 16/3 x 60 = 320 minutos, o de 320/2 = 160
intervalos de 2 minutos. En estos 160 intervalos se escucharán 160+1= 161 ladridos.
Por supuesto, también existen fracciones negativas, representadas por intervalos que se dibujan desde el
cero hacia la derecha. Para hablar de ellas, se necesita ampliar el concepto de la fracción, permitiendo
como numerador cualquier número entero, positivo o negativo, y como denominador, cualquier número
entero no cero.
Ejercicio.
¿De qué lado del cero en la recta numérica se encuentra una fracción cuyo tanto el numerador como el
denominador son negativos?
Solución.
Un número positivo multiplicado por uno negativo es negativo; y uno negativo multiplicado por uno
negativo es positivo. Por lo tanto, como el valor de la fracción multiplicado por su denominador

85
(negativo) da el numerador negativo, la fracción representa un número positivo, o sea, un número
ubicado por la derecha del cero en la recta numérica.
Otro modo de representar fracciones es por medio de los llamados diagramas de pastel (que así se
llaman por ser redondos y por consistir en rebanadas). El pastel representa el número 1; se divide en
rebanadas iguales, tantas cual es el denominador de la fracción y se toma el número de rebanadas igual
al numerador:
Ejercicio.
Representar las fracciones 2/7, 8/5, 5/5 y 4/5
a) En la recta numérica;
b) Con un diagrama de pastel.
Por supuesto, los diagramas de pastel no tienen que ser redondos:
Sin embargo, la forma redonda se puede usar para fracciones con cualquier denominador.
Ejercicio.
La clase de deportes dura 2 horas y en ella siempre queremos jugar futbol y basquetbol. La semana
pasada empezamos las clase jugando futbol y cuando nos dimos cuenta ya era muy tarde para jugar
basquetbol, la clase pasada nos pasó lo contrario. Con el objetivo de que en cada clase nos de tiempo de
jugar los dos deportes decidimos por votación dividir el tiempo de la clase entre cada uno de los
deportes y respetar la división. Decidimos que ½ del tiempo de la clase la dedicaremos a jugar futbol,
3/8 partes a jugar basquetbol y 1/8 del tiempo a que el profesor pase lista y a que organicemos los
equipos de ambos juegos.

86
a) Si identificamos cada hora de tiempo con un círculo, representa gráficamente la división que
hicimos de las dos horas de la clase.
b) ¿Cuánto tiempo jugaremos futbol cada clase? y ¿cuánto tiempo jugaremos basquetbol?
Solución.
Es conveniente dividir el tiempo total de la clase entre ocho ya que cada una de las fracciones que
utilizamos para dividir el tiempo de la clase es equivalente a alguna fracción con denominador 8. Si
identificamos cada hora de tiempo con un círculo, entonces el tiempo total que dura la clase está
representado por dos círculos. Dividir el total de tiempo de la clase entre ocho partes iguales es
equivalente a dividir cada uno de estos dos círculos en cuatro partes iguales, cada parte corresponde a la
cuarta parte de 1 hora, esto es, a 15 minutos.
El tiempo que jugaremos futbol es de 1/2 del tiempo de la clase y corresponde a uno de éstos dos
círculos y a 1/2 x 2= 2/2 = 1 hora. El tiempo que jugaremos basquetbol es de 3/8 partes del tiempo de la
clase y corresponde a tres partes del otro círculo y (como cada parte es de 15 minutos) a 3 x 15=45
minutos. El resto de este último círculo y del tiempo restante, que es de 15 minutos, corresponde al
tiempo que se dedicará al pase de lista y a la organización de ambos juegos.
Ejercicio.
Valeria es la mejor bailarina de “Just Dance” de la escuela, la semana pasada ganó un torneo que
consistió en dos días de competencias. En ambos días compitió primero en equipo con Laura, luego con
María y al final sola. La cuarta parte de los puntos que ganó el primer día los obtuvo bailando con
Laura, la octava parte con María y el resto sola. La mitad de los puntos que ganó el segundo día los
obtuvo bailando con Laura, la cuarta parte con María y el resto sola.
¿Qué fracción de los puntos totales del torneo obtuvo bailando con Laura? ¿Qué fracción obtuvo
bailando con María?

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