Para hallar una base de un espacio vectorial, se deben cumplir dos pasos: 1) Encontrar un conjunto generador mediante vectores linealmente independientes. 2) Demostrar que dicho conjunto es linealmente independiente. Esto garantiza que el conjunto es una base del espacio vectorial.

2. BASE

3. PASOS PARA HALLAR UNA
BASE
Hallar el conjunto
generador
Probar que es L.I.

5. Ejemplo:
𝑾 = 𝒙, 𝒚, 𝒛 /𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ ℝ
𝑺 = 𝟏, 𝟎, 𝟎 ; 𝟎, 𝟏, 𝟎 ; 𝟎, 𝟎, 𝟏
𝟎, 𝟎, 𝟎 = 𝜶 𝟏, 𝟎, 𝟎 + 𝜷 𝟎, 𝟏, 𝟎 + 𝜸 𝟎, 𝟎, 𝟏
𝑺. 𝑬
𝜶 = 𝟎
𝜷 = 𝟎
𝜸 = 𝟎
∴ ∃! 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄
𝒔𝒊 𝑨 ≠ 𝟎 → ∃! 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄
∴ 𝑺 𝒆𝒔 𝑳𝑰

6. Si 𝑆 es 𝐿𝐼 ˄
∴𝑺 𝒆𝒔 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒅𝒆 𝑾

8. Ejemplo (anterior):
𝑾 = 𝒙, 𝒚, 𝒛 /𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ ℝ
𝑺 = 𝟏, 𝟎, 𝟎 ; 𝟎, 𝟏, 𝟎 ; 𝟎, 𝟎, 𝟏
𝑾 = 𝒙, 𝒚, 𝒛 /𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ ℝ
𝑾 = 𝒙, 𝟎, 𝟎 , 𝟎, 𝒚, 𝟎 , (𝟎, 𝟎, 𝒛)/𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ ℝ
𝑾 = 𝑥 𝟏, 𝟎, 𝟎 , 𝒚 𝟎, 𝟏, 𝟎 , 𝒛(𝟎, 𝟎, 𝟏)/𝒙, 𝒚, 𝒛 ∈ ℝ
𝑺 = 𝟏, 𝟎, 𝟎 ; 𝟎, 𝟏, 𝟎 ; 𝟎, 𝟎, 𝟏
∴< 𝑺 > = 𝑾

9. Si 𝑆 es 𝐿𝐼 ˄
∴ 𝑺 𝒆𝒔 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒅𝒆 𝑾

11. Dim(W) = Dim(V) – N° restricciones
Dim(V) = n
donde N° de vectores de la base

12. Ejemplo:
• Hallar el conjunto generador
𝑾 = 𝒙, 𝒚, 𝒛 /𝒚 = 𝒙 + 𝒛
𝑾 = 𝒙, 𝒙 + 𝒛, 𝒛 /𝒙, 𝒛 ∈ ℝ
𝑾 = 𝒙, 𝒙, 𝟎 + (𝟎, 𝒛, 𝒛)/𝒙, 𝒛 ∈ ℝ
𝑾 = 𝒙 𝟏, 𝟏, 𝟎 + (𝟎, 𝟏, 𝟏)/𝒙, 𝒛 ∈ ℝ
𝑺 = 𝟏, 𝟏, 𝟎 , (𝟎, 𝟏, 𝟏) 𝑺 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂 𝒂 𝑾
∴< 𝑺 >= 𝑾
Notamos que el N° de vectores de s no es igual a

13. 1. Tenemos la base S pero podemos observar que para
que se cumpla que sea base de R3 tienen que haber tres
vectores en la base, por lo que aumentamos un vector a
la base S que la restricción y lo ponemos
seguido a los que ya teníamos.
𝑺′ = 𝟏, 𝟏, 𝟎 , 𝟎, 𝟏, 𝟏 , (𝟏, 𝟎, 𝟏)
El vector (𝟏, 𝟎, 𝟏)no cumple que y= x+z
2. Ahora tenemos que es de dimensión tres por lo tanto
tenemos la primera condición para que sea base de R3.
Dim (S’)=3

14. 3. Ahora demostramos si es LI para completar una base
de ℝ 3.
𝑺′ = 𝟏, 𝟏, 𝟎 ; 𝟎, 𝟏, 𝟏 ; (𝟏, 𝟎, 𝟏)
𝜶 𝟏, 𝟏, 𝟎 + 𝜷 𝟎, 𝟏, 𝟏 + 𝜸(𝟏, 𝟎, 𝟏) = (𝟎, 𝟎, 𝟎)
𝑺. 𝑬
𝜶 + 𝜸 = 𝟎
𝜶 + 𝜷 = 𝟎
𝜷 + 𝜸 = 𝟎
𝟏 𝟎 𝟏
𝟏 𝟏 𝟎
𝟎 𝟏 𝟏
𝟎
𝟎
𝟎
≈
f2 ← f2 − f1
𝟏 𝟎 𝟏
𝟎 𝟏 −𝟏
𝟎 𝟏 𝟏
𝟎
𝟎
𝟎
≈
f3 ← f3 − f2

15. 𝟏 𝟎 𝟏
𝟎 𝟏 −𝟏
𝟎 𝟎 𝟐
𝟎
𝟎
𝟎
≈
f3 ←
1
2
f3
𝟏 𝟎 𝟏
𝟎 𝟏 −𝟏
𝟎 𝟎 𝟏
𝟎
𝟎
𝟎
≈
f2 ← f2 + f3
f1 ← f1 − f3
𝟏 𝟎 𝟎
𝟎 𝟏 𝟎
𝟎 𝟎 𝟏
𝟎
𝟎
𝟎
∴ ∃! 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄
𝒔𝒊 𝑨 ≠ 𝟎 → ∃! 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄
∴ 𝑺′
𝒆𝒔𝑳𝑰
∴ 𝑺′
𝒆𝒔 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒅𝒆 𝑹 𝟑