Este documento define variables de estado y ecuaciones en el espacio de estado para representar sistemas dinámicos. Explica cómo transformar ecuaciones diferenciales ordinarias en ecuaciones de estado y obtener la función de transferencia a partir de la representación en espacio de estado. También cubre métodos para solucionar ecuaciones de estado como controlabilidad y observabilidad.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN PORLAMAR
ESCUELA: INGENIERÍA DE SISTEMAS
Variables de estado
Integrante :
Jairo Rodríguez
CI:21.437.870
Porlamar ,Julio de 2016

2. DEFINICIONES
• Variables de estado
• Las variables de estado son el subconjunto más pequeño de variables de un sistema
que pueden representar su estado dinámico completo en un determinado instante.
Estas variables de estado deben ser linealmente independientes; una variable de
estado no puede ser una combinación lineal de otras variables de estado. El número
mínimo de variables de estado necesarias para representar un sistema dado, n, es
normalmente igual al orden de la ecuación diferencial que define al sistema.
• .

3. ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADO
• Las ecuaciones en espacio de estado manejan tres tipos de variables:
• Las variables de entrada, o vector de entrada u(t) = [u1(t), u2(t),… , ur(t)]T
• Las variables de salida, o vector de salida y(t) = [y1(t), y2(t),…, ym(t)]T
• Las variables de estado, o vector de estado x(t) = [x1(t), x2(t),…, xn(t)]T
• Donde n, m y r, representan el número de variables de estado, salida y entrada
respectivamente. La expresión general de estas ecuaciones es la siguiente:

4. ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADO
• Para un sistema no lineal:
• X &(t) = f (x,u,t) Ecuación de estado
• y(t) = g (x,u,t) Ecuación de salida
• Para un sistema lineal
• X & (t) = A (t)x (t)+ B (t ) u(t) Ecuación de estado
• (t ) = C (t)x (t)+ D(t)u(t) Ecuación de salida
•
• A (t) se denomina matriz de estado B (t) se denomina matriz de entrada C (t) se denomina
matriz de salida.
• D(t) se denomina matriz de transición directa

5. ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADO
• Si las funciones o vector de funciones f y g, o las matrices A, B, C y D comprenden
explícitamente el tiempo el sistema se denomina variable en el tiempo, en el caso
contrario el sistema se denomina invariante en el tiempo. En el caso de un sistema
lineal invariante en el tiempo (LTI) las ecuaciones de estado se escriben entonces
como:
• X &(t) = E x (t)+ Bu(t) Ecuación de estado
• Y (t) = Cx (t)+ Du(t) Ecuación de salida

6. REPRESENTACIÓN DE SISTEMAS DINÁMICOS EN
EL ESPACIO DE ESTADO
• Cualquier ecuación diferencial de orden n se puede expresar como una ecuación de
estado de primer orden en notación vectorial-matricial. Se presenta a continuación
las técnicas para la obtención de estas ecuaciones de estado para dos ecuaciones
diferenciales comunes.

7. REPRESENTACIÓN EN ESPACIO DE
ESTADO A PARTIR DE ECUACIONES
DIFERENCIALES ORDINARIAS
• Caso de una ecuación ordinaria de orden n en donde la función excitadora no incluye términos derivativos Sea el siguiente
sistema de orden n:
• n n-1
• y+ a1 y +L+ an-1 y& + an y = u
• n-1
Suponiendo que las condiciones iníciales y(0), y&(0), L y (0) y la entrada u(t ) para un tiempo t ³ 0
•
Son conocidas , Entonces las variables de estado deben ser totales que definan completamente el comportamiento
futuro del sistema. Bajo esta premisa se puede entonces escoger como variables de estado:
• n-1
• x1 = y; x2 = y &;

8. RELACIÓN ENTRE FUNCIÓN DE
TRANSFERENCIA Y ESPACIO DE ESTADO
• Se puede obtener la función de transferencia de un sistema expresado en espacio de estado mediante una
expresión simple.
• Para el sistema expresado en espacio de estado en forma matricial:
• x& = Ex + Bu
• y = Cx + Du
• Las transformadas de Llapase están dadas por:
• sX (s)- x(0) = AX (s)+ BU (s) Y (s) = CX (s)+ DU (s)
• Como la función de transferencia se define como la relación entre la trasformada de Laplace de la salida y la
transformada de Laplace de la entrada cuando las condiciones iníciales son cero:
• G(s) = Y (s)
• X (s)
• Se supone entonces que la condición inicial x(0) es igual a cero, se obtiene entonces que la expresión de las
transformadas será:
• sX (s)- AX (s) = BU(s) ó (sI - A)X (s) = BU(s)

9. RELACIÓN ENTRE FUNCIÓN DE
TRANSFERENCIA Y ESPACIO DE ESTADO
• Pre multiplicando ambos miembros de la ecuación por (si - A)-1 se obtiene:
• X (s) = (si - A)-1 BU (s)
• Y al sustituirse esta expresión en la ecuación de salida obtenemos:
• Y (s) = (C(sI - A)-1 B + D)U (s)
•
Por lo tanto:
•
G(s) = C(sI - A)-1 B + D

10. MÉTODO PARA TRANSFORMAR
ECUACIONES DIFERENCIALES EN
ECUACIONES DE ESTADOS
• De Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de
entrada, suponiendo que todas las condiciones iníciales se hacen iguales a cero.
Esta forma de representar sistemas se denomina representación externa, ya que
atiende a las señales presentes en sus terminales de entrada y salida. Su función de
transferencia será:

11. MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE
ECUACIONES DE ESTADOS.
• Controlabilidad
• La condición de controlabilidad de estados implica que es posible, mediante
entradas admisibles, dirigir los estados desde cualquier valor inicial a cualquier valor
final dentro de un intervalo de tiempo. Un modelo de espacio de estados continuo
e invariante en el tiempo es controlable si y solo si:

12. MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE
ECUACIONES DE ESTADOS.
• La observabilidad es la medida de cuán correctamente los estados internos de un
sistema pueden ser inferidos conociendo las salidas externas. La observadlidad y la
controlabilidad son matemáticamente duales.
• Un modelo de espacio de estados continuo e invariante en el tiempo
es observable si y solo si:

13. CONCLUSIONES
• Las variables de estado son el subconjunto más pequeño de variables de un sistema
que pueden representar su estado dinámico completo en un determinado instante.
Además se dio a conocer que Tradicionalmente la transformada de Laplace ha sido
muy usada en sistemas de control y aún hoy día todavía lo es, sin embargo,
restringe mucho el campo de aplicación, ya que sólo es apropiada para estudiar
sistemas lineales.
• Con esto resalta al convertir una representación de espacio de estado a la forma de
función de transferencia puede perderse información interna sobre el sistema,
pudiendo por ejemplo describir un sistema como estable aun cuando la
representación de espacio de estado indica que es inestable en ciertos puntos.