Este documento trata sobre sistemas de control en tiempo discreto. Introduce conceptos como ecuaciones en diferencia, la transformada en Z, propiedades de la transformada en Z, función de transferencia discreta y representación en espacio de estado. Explica que los sistemas en tiempo discreto se caracterizan por magnitudes que varían en instantes específicos y cómo estos conceptos se aplican en el análisis y diseño de sistemas de control digitales.

1. Republica Bolivariana De Venezuela
Instituto Universitario Politécnico
´´Santiago Mariño´´
Extensión Caracas
SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO
Autor: Ariuska Bastardo
C.I V-26966129
Caracas, Mayo 2021

2. INDICE
 Introducción al Control Discreto
 Ecuaciones en Diferencia
 Transformada en Z
 Propiedades de la Transformada en Z
 Transformada Inversa de Z
 Función de Transferencia Discreta
 Representación en Espacio de Estado
 Matriz de Transferencia Discreta

3. INTRODUCCIÓN AL CONTROL
DISCRETO
• Un sistema en tiempo discreto viene caracterizado por magnitudes que varían solo
en instantes específicos de tiempo.
• Estas magnitudes o señales en tiempo discreto r(k ) toman valores r(t1 ),r(t2 ), , r(tn)

4. Además de los sistemas inherentemente discretos, se incluyen también en esta
categoría los sistemas continuos muestreados con r(k ) formada por
r(T ), r(2T ), …, r(nT )
INTRODUCCIÓN AL CONTROL
DISCRETO

5. INTRODUCCIÓN AL CONTROL
DISCRETO

6. INTRODUCCIÓN AL CONTROL
DISCRETO
• Sistema de Control Discreto
Un sistema de control discreto es aquel que incluye un computador digital en el bucle
de control para realizar unprocesamiento de señal

7. • La salida de la planta es continua y es realimentada a través de un transductor que
convierte la señal de salida en señal eléctrica.
• La señal de error continuo es convertida a señal digital a través del circuito de
muestreo (periodo T) y reconstrucción S&H (Sample and Hold) y del convertidor
A/D, proceso llamado codificación
INTRODUCCIÓN AL CONTROL
DISCRETO

8. • El convertidor A/D (encoder) convierte la señal continua en señal digital binaria,
mediante un proceso de cuantificación
INTRODUCCIÓN AL CONTROL
DISCRETO

9. • El computador digital procesa la secuencia de valores de entrada digital a través de
un algoritmo y produce una salida digital , según establezca la ley de control
• Esta señal de control habrá de ser transformada de nuevo a señal continua como
entrada a la planta (acción de filtrado de la planta).
INTRODUCCIÓN AL CONTROL
DISCRETO

10. • El convertidor D/A y el circuito de reconstrucción (Hold) convierten la secuencia de
valores en una señal continua, proceso llamado decodificación
INTRODUCCIÓN AL CONTROL
DISCRETO

11. • El circuito de reconstrucción (Hold) retiene el valor de salida del convertidor D/A
justo un periodo T.
Efecto del Hold
• El uso del control discreto presenta ventajas e inconvenientes frente al control
analógico.
• Hay diversos campos de aplicación del control digital.
INTRODUCCIÓN AL CONTROL
DISCRETO

12. INTRODUCCIÓN AL CONTROL
DISCRETO

13. INTRODUCCIÓN AL CONTROL
DISCRETO

14. INTRODUCCIÓN AL CONTROL
DISCRETO

15. INTRODUCCIÓN AL CONTROL
DISCRETO

16. ECUACIONES EN DIFERENCIA
La descripción de los sistemas en tiempo discreto viene definida por ecuaciones
en diferencia, que relacionan la señal de salida y(k ) con la señal de entrada u(k )

17. • Ecuación en diferencias del sistema, en general
f ( y(k ),y(k- 1), ...,y(k- n), u(k ),u(k- 1), ...,u(k- n)) = 0
• Definiendok - n = l entonces k = n + l y quedaría
f ( y(l+ n),y(l+ n - 1), ...,y(l ),u(l+ n),u(l+ n - 1), ...,u(l )) = 0
• Los sistemas en tiempo discreto lineales e invariantes en el tiempo (LTI), vendrán
definidos por
an ×y(k+ n) + … +a1 ×y(k+ 1) + a0 ×y(k ) = bn× u(k+ n) + … + b0× u(k )
con y(0),y(1), …,y(n - 1)C.I.
ECUACIONES EN DIFERENCIA

18. • El algoritmo de control del computador digital podrá ser expresado como una
ecuación en diferencias
• Ejemplo: controlador PI discreto
ECUACIONES EN DIFERENCIA

19. • A partir de la ecuación en diferencias, se pueden obtener los valores de salida
dadas las condiciones iniciales y la entrada por simple recurrencia
• Se obtiene una expresión para calcular y(n),y(n+ 1), ...a partir de y(0), ...,y(n -
1)y las condiciones iniciales.
• Este método no permite obtener el termino gral. y(k)
ECUACIONES EN DIFERENCIA

20. TRANSFORMADA EN Z
• La transformada en Z de una señal x(k), con x(k) = 0 para k < 0
• La transformada en Z juega el mismo papel que la transformada de Laplace,
pudiéndose describir una señal Discreta x(k) por su transformada X (z).

21. • Transformada en Z de Señales
TRANSFORMADA EN Z

22. PROPIEDADES DE
TRANSFORMADA EN Z
• Linealidad
• Desplazamiento a la derecha
• Desplazamiento a la izquierda

23. • Amortiguación
• Multiplicación por
• Teorema del Valor Final
PROPIEDADES DE
TRANSFORMADA EN Z

24. PROPIEDADES DE
TRANSFORMADA EN Z

25. TRANSFORMADA INVERSA DE Z
• La transformada Z-1 permite obtener una señal x(k ) a partir de X ( z ). Se procede
a la descomposición en fracciones simples de X (z), más que de z X ( z ).
• Se calculan los coeficientes kij de la descomposición en fracc. simples mediante el
método de los residuos

26. • Para raíces pk simples
siendo l el número de raíces simples
• Para raíces pk repetidas, de orden de multiplicidad rj,
TRANSFORMADA INVERSA DE Z

27. TRANSFORMADA INVERSA DE Z

28. • Una vez determinados los coeficientes kij, se calculará utilizando las relaciones x(k
) -X ( z ) de la tabla de transformadas Z, aplicadas a las fracciones simples
obtenidas, tal que
• para raíces reales simples
para raíces reales múltiples
TRANSFORMADA INVERSA DE Z

29. • Existe un método más sencillo para obtener a partir de X ( z ), mediante división
directa, pues
Grado N ( z ) £ grado D( z )
• Procediendo a la división directa, se obtendrá
TRANSFORMADA INVERSA DE Z

30. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
DISCRETA
• La función de transferencia de un sistema en tiempo discreto LTI es la relación
entre la transformada en Z de la salida y la transformada en Z de la entrada con
condiciones iniciales nulas,

31. • Para un sistema LTI característico
tomando la transformada en Z, y considerando condiciones iniciales nulas
con m < n, en general.
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
DISCRETA

32. • También es frecuente expresar z -1 G( z ) en términos de
• A partir de G( z ) y la entrada R( z ) es posible obtener la salida Y ( z ) según
Y( z ) =G( z ) × R( z )
Y Aplicar Z -1 para obtener la sucesión de valores y(k )
FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
DISCRETA

33. REPRESENTACIÓN EN ESPACIO
DE ESTADO
• Los métodos basados en el espacio de estado permiten el análisis y diseño de
sistemas de control discreto que presentan múltiples entradas y múltiples salidas
(MIMO).
• El estado de un sistema es la menor colección de variables llamadas var. de estado
0 kT = t x ( k ) = {x1 ( k), x 2 ( k), K, x n ( k ) } tal que conocidas en junto con la
entrada para determinan unívocamente la salida para . kT ≥ 0 kT ≥

34. • La dinámica del sistema multivariable (MIMO) será descrita a través de un sistema
de ecuaciones en diferencia de primer orden en la forma
• x(k+ 1) =f ( x(k ), u(k ))
• y(k ) =g( x(k ), u(k ))
siendo f y g las funciones de transición y lectura del sistema.
• Los diferentes componentes del vector de estado forman el espacio de estado
REPRESENTACIÓN EN ESPACIO
DE ESTADO

35. • En el estudio que se va a realizar a continuación se va a restringir al caso de
sistemas lineales e invariantes en el tiempo (LTI), en cuyo caso las funciones de
transición y lectura toman la forma
• x(k+ 1)= G × x(k ) + H × u(k )
• y(k ) = C × x(k ) + D × u(k )
Siendo G, H, C y D las matrices de representación en espacio de estado.
• Existen diferentes representaciones en espacio de estado según sea la elección del
vector de estado.
REPRESENTACIÓN EN ESPACIO
DE ESTADO

36. • Considerando el sistema LTI descrito por la ecuación en diferencias
• y(k+ n) + a1 ×y(k+ n - 1) + … + an × y(k )= b0 × u(k n) + …bn × u(k )
con función de transferencia
Se van a ver dos formas de representación en espacio de estado
REPRESENTACIÓN EN ESPACIO
DE ESTADO

37. • Forma Canónica de Control
REPRESENTACIÓN EN ESPACIO
DE ESTADO

38. • Forma Canónica de Observación

39. MATRIZ DE TRANSFERENCIA
DISCRETA
• Al igual que la función de transferencia describía la dinámica de un sistema SISO en
tiempo discreto, es posible también definir la llamada matriz de transferencia para un
sistema MIMO.
• Partiendo de un sistema con r entradas y m salidas, representado en espacio de estado
por
x(k+ 1)= G ×x(k ) + H× u(k )
y(k )= C ×x(k ) +D × u(k )
aplicando la Z se obtiene

40. MATRIZ DE TRANSFERENCIA
DISCRETA
• Reorganizando
• por tanto, la matriz de transferencia vendrá dada por