Este documento define las variables de estado de un sistema dinámico como el conjunto mínimo de variables necesarias para describir completamente el comportamiento del sistema. Explica que las variables de estado pueden o no tener significado físico o ser medibles, y que no son únicas para un sistema dado. Además, describe métodos para transformar ecuaciones diferenciales en ecuaciones de estado y resolver ecuaciones de estado lineales en tiempo discreto usando la matriz de transición de estado o la transformada z.

1. República Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Autor:
Kenni Pino
CI:24.089.030
Prof:
Ing. DIÓGENES
RODRÍGUEZ Julio, 2018

2. Variables de Estado
Definición
Las variables de estado de un sistema
dinámico son las que forman el conjunto más
pequeño de variables que determinan el
estado del sistema dinámico. Si se necesitan
al menos n variables x1, x2... xn para describir
por completo el comportamiento de un
sistema dinámico (por lo cual una vez que se
proporciona la entrada para t>=t0 y se
especifica el estado inicial t=t0 el estado
futuro del sistema se determina por completo),
tales n variables son un conjunto de variables
de estado.
❏ Las variables de estado pueden tener o no
sentido físico.
❏ Las variables de estado pueden o no ser
medibles.
❏ Para un mismo sistema dinámico las
variables de estado no son únicas; de
hecho, se pueden definir infinitos conjuntos
de variables que sirvan como variables de
estado.
Características

3. Variables de Estado
Método para transformar Ecuaciones
Diferenciales en ecuaciones de Estados.
A partir de la función de transferencia, se obtiene la ecuación diferencial, se
definen las variables de estado y se busca su dinámica, como se indica a
continuación.

4. Variables de Estado
Construir las Ecuaciones de Estado utilizando los modelos matemáticos.
En el análisis en el espacio de estado se tratará con tres tipos de variables que están
involucradas en el modelado de sistemas dinámicos: las variables de entrada, las de
salida y las de estado.
Para sistemas (lineales o no lineales) de tiempo discreto variantes en el tiempo, la
ecuación de estado se puede escribir como:
y la ecuación de salida como:

5. Variables de Estado
Para los sistemas lineales de tiempo discreto variantes en el tiempo, la ecuación de estado
y la ecuación de salida se pueden simplificar a:
La presencia de la variable t en los argumentos de las matrices A(t), B(t), C(t) y D(t) implica
que estas matrices varían con el tiempo.
Si la variable t no aparece en forma explícita en estas matrices, se supone que son
invariables en el tiempo, es decir, constantes.

6. Variables de Estado
Representación de los sistemas en ecuaciones de estados.
para representar sistemas de ecuaciones de estado, existen las:
Formas canónicas para ecuaciones en el espacio de estado en tiempo discreto.
La ecuación anterior se puede escribir en la forma de la función de transferencia pulso como:
O bien

7. Variables de Estado
Métodos de solución de ecuaciones de Estados.
Método de solución de ecuaciones de estado lineal en tiempo discreto e
invariante en el tiempo:
En general, las ecuaciones de tiempo discreto son más fáciles de resolver que las
ecuaciones diferenciales, porque las primeras pueden resolverse simplemente
mediante un procedimiento de recursividad. Éste es bastante sencillo y
conveniente para cálculos digitales.
Considere las siguientes ecuación de estado y ecuación de salida:

8. Variables de Estado
Métodos de solución de ecuaciones de Estados.
Matriz de transición
de estado.
Observe que es posible
escribir la solución de la
ecuación de estado
homogénea
En la forma
En la ecuación x(k), se puede ver que la solución x(k + 1) = Gx(k) es simplemente una
transformación del estado inicial.

9. Variables de Estado
Métodos de solución de ecuaciones de Estados.
Método de la transformada z a la solución de las
ecuaciones de estado en tiempo discreto
A continuación se presenta la solución de una
ecuación de estado en tiempo discreto
mediante el método de la transformada z.
Considere el sistema en tiempo discreto
descrito por la ecuación .
x(k + 1) = Gx(k) +
Hu(k)
Si se toma la transformada z de ambos lados de la ecuación se obtiene
zX(z) - zx(0) = GX(z) + HU(z)
Donde X(z) = Z[x(k)] y U(z) = Z [u(k)]. Entonces
(zI - G)X(z) = zx(0) + HU(z)

10. GrAcIaS PoR Su AtEnCiÒn...