Este documento describe los siete sistemas cristalinos y las catorce redes de Bravais. Explica que un cristal consiste en un patrón que se repite periódicamente en tres dimensiones, formando una red. Las posibles redes se agrupan en los siete sistemas cristalinos dependiendo de las orientaciones y longitudes de los vectores de traslación. También introduce los conceptos de celda unidad y celda unidad primitiva para representar la red, y explica que sólo existen catorce redes de Bravais posibles.

1. ” Año de la Promoción de la Industria Responsable y Compromiso
Climático
UNIVERSIDAD NACIONAL
DEL CALLAO
FACULTAD DE CIENCIAS
NATURALES Y MATEMÁTICA
CELDA UNIDAD Y LAS
REDES DE BRAVAIS
“LOS SIETE SISTEMAS CRISTALINOS”
ALUMNO:
MARCO ANTONIO ALPACA CHAMBA
ESCUELA PROFESIONAL DE:
FÍSICA
Ciudad universitaria, 20 de Noviembre del 2014

2. TEORÍA.
Un cristal se puede definir como un sólido que consiste en un patrón que se repite
periódicamente a sí misma en las tres dimensiones. Este patrón puede consistir de un
único átomo, grupo de átomos u otros compuestos. La disposiciónperiódica de dichos
patrones en un cristal está representada por una red. Una red es un objeto matemático
que consiste de un arreglo periódico de puntos en todas las direcciones del espacio. Un
patrón está localizado en cada punto de la red. Un ejemplo de una red de dos
dimensiones se muestra en la figura. 1 (a). Con el patrón indicado en la figura. 1 (b), se
puede obtener el cristal de dos dimensiones en la figura. 1 (c), el cual muestra que un
patrón está asociado con cada punto de la red.
La figura. 1. Ejemplo de (a) una red bidimensional, (b) patrón, y (c) cristal de dos
dimensiones que ilustra un patrón asociado con cada punto de la red.
Una red puede ser representado por un conjunto de vectores de traslación como se
muestra en la red bidimensional (vectores A, B) y tridimensional (vectores A, B, C) en
las figura. 1 (a) y en la figura. 2, respectivamente. La red es invariante después de
traslaciones a través de cualquiera de estos vectores o cualquier suma de un número
entero de estos vectores. Cuando se elige un punto de origen en un punto de la red, la
posición de todos los puntos de la red se puede determinar por un vector que es la
suma de los números enteros de vectores de traslación. En otras palabras, cualquier
punto de la red en general, puede ser representado por un vector R tal que:
(1,1), donde , son los elegidos vectores de
traslación y los coeficientes numéricos son números enteros.
Todas las posibles redes se pueden agrupar en los siete sistemas cristalinos que se
muestran en la Tabla 1.1, dependiendo de las orientaciones y las longitudes de los
vectores de traslación. Ningún cristal puede tener una estructura distinta a una de estas
de las siete clases indicadas en la Tabla 1.1.
Unos pocos ejemplos de cristales cúbicos incluyen Al, Cu, Pb, Fe, NaCl, CsCl, C (forma
de diamante), de Si, GaAs; cristales tetragonales incluyen In, Sn, TiO2; cristales
ortorrómbicos incluyen S, I, U; cristales monoclínicos incluyen Se, P; cristales triclínicos
incluyen KCrO2; cristales trigonales incluyen As, B, Bi; y cristales hexagonales incluyen
Cd, Mg, Zn y C (forma de grafito).

3. La figura. 2. Ejemplo de una red tridimensional, con vectores de traslación y los ángulos
entre dos vectores. Al tomar el origen en un punto de la red, la posición de cualquier
punto de la red se puede determinar por un vector que es la suma de los números
enteros de vectores de traslación.
Tabla 1.1. Los siete sistemas cristalinos.
Sistemas cristalinos. Longitudes axiales y angulares.
Cúbico. Tres ejes iguales en ángulos rectos
Tetragonal. Tres ejes en ángulos rectos, dos idénticos.
.
Ortorrómbico. Tres ejes distintos en ángulos rectos.
Trigonal Tres ejes iguales, igualmente inclinados
.
Hexagonal. Dos ejes iguales coplanares a 120°, el tercer eje en ángulo recto.
Monoclínico. Tres ejes distintos, un par en ángulo recto y el otro no.
Triclínico. Tres ejes distintos, inclinados desigualmente y ninguno en ángulo recto.

4. CONCEPTO DE CELDA UNIDAD.
Una red se puede considerar como un arreglo periódico de celdas idénticas
compensado por los vectores de traslación mencionados anteriormente. Estas redes
llenan todo el espacio sin ningún vacío. Dicha red se denomina celda unidad.
Puesto que hay muchas maneras diferentes de elegir los vectores de traslación, la
elección de una celda unidad no es única y todas las celdas unitarias no tienen que
tener el mismo volumen (área). La figura. 3 muestra varios ejemplos de celdas unitarias
para una red bidimensional. El mismo principio se puede aplicar cuando se elige una
celda unidad para una red tridimensional.
La figura. 3. Tres ejemplos de posibles celdas unitarias para una red bidimensional.
Las celdas unitarias están delimitados con líneas continuas. El mismo principio se
puede aplicar para la selección de una celda unidad en tres dimensiones.
La celda unitaria que tiene el volumen más pequeño se llama la celda unidad primitiva.
Una celda de unidad primitiva es tal que cada punto de la red de la red, sin excepción,
puede ser representado por un vector tal como el de la ecuación. (1.1). Un ejemplo de
celda unidad primitiva en una red tridimensional se muestra en la figura. 4. Los vectores
que definen la celda unidad, , son vectores de la base de la red de la celda
unidad primitiva.
La elección de una celda unidad primitiva tampoco no es única, pero todas las posibles
celdas unitarias primitivas son idénticas en sus propiedades: tienen el mismo volumen,
y cada uno contiene un solo punto de la red. El volumen de una celda unidad primitiva
se encuentra a partir del álgebra vectorial:
(1.2).

5. La figura. 4. Celda tridimensional y una celda unidad primitiva correspondiente definida
por la base de tres vectores.
El número de celdas unitarias primitivas en un cristal, N, es igual al número de átomos
de un tipo particular, con una posición particular en el cristal, y es independiente de la
elección de la celda unidad primitiva:
.
Una celda unidad primitiva es en muchos casos caracterizado por vectores de la red no
ortogonales (como en la figura 2). Como se quiere visualizar la geometría de
coordenadas ortogonales, una celda unidad convencional (pero no necesariamente una
celda unitaria primitiva), se utiliza a menudo. En la mayoría de los cristales
semiconductores, una celda unidad como tal se elige como un cubo, mientras que la
celda primitiva es un paralelepípedo, y es más cómodo de utilizar debido a su forma
geométrica más sencilla.
Una celda unitaria convencional puede contener más de un punto de la red. Para
ilustrar cómo contar el número de puntos de la red en una celda unidad determinada
vamos a utilizar la figura. 5 que representa diferentes celdas unitarias cúbicas.
En nuestras notaciones ni es el número de puntos en el interior, nf es el número de
puntos en las caras (cada nf es compartido por dos celdas), y nc es el número de
puntos en las esquinas (cada nc punto es compartida por ocho esquinas). Por ejemplo,
el número de átomos por celda unidad en la celda fcc (Fig. 5 (c)) (ni= 0, nf=6, y nc = 8)
es:
(1.3).

6. Cúbica simple. Cúbica Centrada en el cuerpo. Cúbica centrada en la cara.
La figura. 5. Celdas unidad tridimensionales: cúbica simple (izquierda), cúbica centrada
en el cuerpo (bcc) (medio), y cúbica centrada en las caras (fcc) (derecha).
Redes de Bravais.
Debido a que una red tridimensional está constituido de celdas unitarias que son
trasladados uno del otro en todas las direcciones para llenar todo el espacio, sólo
existen 14 de estas redes diferentes. Ellos se ilustran en la figura. 6 y cada uno es
llamado una red de Bravais después del nombre de Bravais (1848).
En la misma manera que ningún cristal puede tener una estructura distinta de aquellas
en las siete clases indicadas en la Tabla 1.1, ningún cristal puede tener una red
diferente de aquellas 14 redes de Bravais.

7. Figura 6. REDES DE BRAVAIS