Este documento trata sobre la circunferencia como una de las cuatro curvas cónicas. Explica que la circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos equidistantes de un punto fijo llamado centro. Deriva la ecuación estándar y general de la circunferencia a partir de su definición geométrica. Finalmente, presenta ejemplos y ejercicios para practicar el hallazgo de ecuaciones de circunferencias dadas sus características.

1. Rufino José Cuervo - Centro La Circunferencia 1
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DOCENTE: Víctor de Jesús Osorio Rodríguez
ÁREA: Matemáticas
TEMA: Geometría Analítica: La Circunferencia
Logro: Deduce y grafica la circunferencia a partir de su ecuación. Halla la ecuación general de la
circunferencia con centro y radio dados.
SECCIONES CÓNICAS
Estudiaremos cuatro curvas que por su importancia y aplicaciones en algunas ramas de la ciencia,
es necesario considerarlas. Cada una de estas curvas se describirá como un lugar geométrico y se
demostrará que cada una de ellas es la gráfica de una ecuación cuadrática en x o y, que se puede
representar como caso especial de la ecuación general siguiente:
Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0
En la cual los coeficientes A, B y C no son todos cero.
Estas cuatro curvas son: la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola, llamadas
CÓNICAS debido a que se pueden describir como las curvas que se generan al intersectarse un
plano con un cono circular.
LA CIRCUNFERENCIA
De las cuatro curvas cónicas, la circunferencia es la más simple y geométricamente se describe
como la intersección de un cono recto circular y un plano paralelo a la base del cono, como se
muestra en la Figura:
DEFINICIÓN. La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que
participan de la propiedad de equidistar de un punto fijo llamado centro.

2. Rufino José Cuervo - Centro La Circunferencia 2
1. ECUACIÓN COMÚN DE LA CIRCUNFERENCIA.
Para deducir la ecuación de esta curva, cuyas características
geométricas son bien conocidas, supondremos que el centro es el Figura2
punto C(h, k) y que el radio es una constante a, como se muestra en la
Figura2.
Sea M(x, y) un punto cualquiera de la circunferencia con centro en
C(h, k) y radio igual a a. Por definición, el radio es una constante, por
lo que la condición de movimiento de M es:
MC  CONSTANTE  a (1)
Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos, tenemos:
MC  ( x  h)²  ( y  k )² , Sustituimos en (1): a  ( x  h)²  ( y  k )²
Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad, nos queda:
a²  ( x  h)²  ( y  k )² Lo que es igual a: ( x  h)²  ( y  k )²  a²
Esta es la ecuación común (Estándar) de la circunferencia, correspondiente a una ecuación
cartesiana, cuyos parámetros, además del radio a, son la abscisa h y la ordenada k del centro, cuyas
coordenadas deben tomarse siempre con signo contrario al que tenga en la ecuación.
EJEMPLOS
1. En el caso de la circunferencia ( x  3)²  ( y  2)²  36 , tendremos que:
h = 3 , k = -2 y que a² = 36. Por tanto: a = 6
Es decir:
Centro: C(3,-2); Radio: a = 6
2. Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en (5,2) y radio igual a 4.
SOLUCIÓN
De acuerdo con los datos tenemos: h = 5, k = 2 y a = 4.
Sustituyendo en la ecuación (1) estos valores, se tiene: ( x  5)²  ( y  2)²  16
3. Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en (-3,4) y radio igual a 5.
SOLUCIÓN
De acuerdo al enunciado se tiene:
h = -3; k = 4 y a = 5. Por tanto: a² = 25
Según la ecuación (1), sustituyendo estos valores tenemos: ( x  (3))²  ( y  4)²  25 , es
decir: ( x  3)²  ( y  4)²  25
Es perfectamente claro que cuando una circunferencia tiene su centro en el origen, h = 0 y k= 0, la
ecuación simplemente es: x ²  y ²  a ²
La posición y tamaño de la circunferencia depende de las tres constantes arbitrarias h, k y a.
“El pesimista, se queja del viento; “El valor perfecto consiste en hacer,
el optimista, espera que cambie; sin testigos, lo que seríamos capaces
el realista, ajusta las velas”. de hacer delante de todo el mundo”.
William Arthor Ward La rochefoucauld.

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2. ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA.
En muchos problemas se presenta desarrollada la ecuación de la circunferencia, en cuyo caso
interesa saber conocerla y poder determinar su centro y su radio. Por lo pronto vamos a desarrollar
la ecuación común (1) y establecer ciertas conclusiones.
( x  h)²  ( y  k )²  a² (1)
x²  2hx  h²  y²  2ky  k ²  a²  0
En donde solo x e y son variables. Tomando A  2h ; B  2K y C  h²  k ²  a ²
Llegamos a la ecuación general de la circunferencia:
x²  y ²  Ax  By  c  0
Consecuentemente una circunferencia se representa por una ecuación de segundo grado.
Ejemplo1.
Demos la ecuación general de la circunferencia de radio 5 con centro en (-3, 2).
Solución:
Primero sustituimos estos valores en la forma estándar, desarrollamos los cuadrados y simplificamos
términos. Aquí, h = - 3; k=2; y a = 5. De modo que:
( x  (3))²  ( y  2)²  5²
( x  3)²  ( y  2)²  25
x²  6 x  9  y ²  4 y  4  25  0
x²  y ²  6 x  4 y  9  4  25  0
x²  y ²  6 x  4 y  12  0 Ecuación General
Nota: Una diferencia básica entre la ecuación estándar y la ecuación general, de la circunferencia, es
que la primera revela las coordenadas del centro y el radio del círculo.
Ejercicios
1. Encuentre la ecuación estándar y la ecuación general de la circunferencia que tiene las
siguientes propiedades y trace la gráfica:
a. Centro en (2, 1) y radio 5
b. Centro en el origen y radio 3
c. Centro en (3, 2) y radio 4
d. Tiene centro en (2, 1) y pasa por (3, 4)
2. Trace la circunferencia descrita por cada ecuación.
a. x²  y ²  6 x  8  0
b. x²  y ²  10 x  0
c. 3x²  3 y ² - 12x  6y  0
d. x²  y ² - 4x  3y  4  0
“Si el deseo por alcanzar la meta “Este es el castigo más importante del culpable:
Vive poderosamente en nosotros, no ser absuelto por el tribunal de su propia
No nos faltarán los medios de alcanzarlo conciencia ”.
Y transformarlo en realidad”. Juvenal
Albert Einstein