El documento explica conceptos fundamentales del cálculo infinitesimal como límites, derivadas e integrales. Específicamente, define qué son los infinitesimales y cómo se usan en el cálculo. Explica que el matemático que desarrolló el concepto de límite de función en el siglo XVII fue Arquímedes y sus trabajos sobre teoremas mecánicos. Finalmente, ofrece definiciones intuitivas y formales de límites de funciones y explica gráficamente qué es una derivada.

2. 1.- ¿Qué es el cálculo infinitesimal?
• Un infinitesimal o infinitésimo se puede definir como una cantidad infinitamente
pequeña, se usa en el cálculo infinitesimal, se definen estrictamente como límites y se
suelen considerar como números en la práctica.
El cálculo infinitesimal o cálculo de infinitesimales constituye una parte muy importante
de la matemática moderna. Es normal en el contexto matemático, por simplificación,
simplemente llamarlo cálculo.
El cálculo, como algoritmo desarrollado en el campo de la matemática, incluye el
estudio de los límites, derivadas, integrales y series infinitas.

3. 2.- ¿Qué matemático desarrolló el
concepto de límite de función en el
siglo XVII?
• La teoría de límites se encontraron principalmente en los teoremas mecánicos que es un
trabajo de Arquímedes que contiene el primer uso documentado de los infinitesimales.
Inicialmente se pensó que el trabajo original se había perdido, pero fue redescubierto
en el célebre palimpsesto de Arquímedes. Este texto incluye el «reporte del método
mecánico», llamado así porque se basa en la ley de la palanca (que fue demostrada por
primera vez por Arquímedes) y del centro de gravedad, que había encontrado en
muchos casos especiales.

4. 3.- Idea intuitiva de límite. Idea formal
de límites.
• Idea intuitiva -> Cuando se trabaja con funciones frecuentemente nos interesa
averiguar el comportamiento de una determinada función cuando la variable
independiente, x, se aproxima a un determinado valor, a. En otras palabras: queremos
averiguar si la función se aproxima a un determinado valor, b, aumenta
indefinidamente, disminuye indefinidamente o no tiene un comportamiento claramente
definido.
• Observa la gráfica de la siguiente función: f(x) = 2(0,68)x
Podemos ver en la gráfica que a medida que los valores de x están más próximos a cero
los valores de la función “aproximan” más a uno.

5. • Observa la gráfica de esta otra función:
Se puede observar claramente que cuando los valores de x se “aproximan” a -2 los
valores funcionales de se hacen cada vez mayores.
• Observa la gráfica de esta otra función:
En este caso podemos ver que a medida que los valores de x se hacen mayores los
valores funcionales se van “aproximando” cada vez más a cero.

6. 4.- Límites de funciones en un punto.
• (límite de f(x) cuando x tiende a c) es el comportamiento de la función cuando x se
aproxima a c, sin importar si es por la derecha o por la izquierda.
• Si , decimos que . Análogamente, cuando los dos límites laterales son o .
• Si los dos límites laterales no toman el mismo valor, se dice que no existe el límite en
un punto en que la función es continua

7. 5.- Propiedades de los límites de
funciones

8. 6.- ¿Qué es una indeterminación?
¿Cuántas existen?
• Indeterminación significa que la aplicación de las propiedades de los
límites tal como las hemos enunciadas no son válidas.
En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para
resolver cada una de las indeterminaciones.
• Tipos de indeterminación
1. Infinito partido por infinito
2. Infinito menos infinito
3. Cero partido por cero
4. Cero por infinito
5. Cero elevado a cero
6. Infinito elevado a cero
7. Uno elevado a infinito

9. 7.- Calculo de límites con
indeterminaciones

10. • Infinito / infinito

11. • Número / 0
Cuando nos sale una indetermnación de un numero partido 0 debemos calcular los
límites laterales , sustituyendo por lo que tienda la X.

12. 8.- ¿Qué es la derivada de una
función? Demostración gráfica
• En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que
cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La
derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la
rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo
considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se
habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
La derivada de la función en el punto marcado
equivale a la pendiente de la recta tangente (la
gráfica de la función está dibujada en negro; la
tangente a la curva está dibujada en rojo).