1) La recta en el plano se define mediante un sistema de coordenadas, un punto origen y vectores base. 2) Las ecuaciones de una recta incluyen su forma paramétrica, vectorial y general. 3) La pendiente de una recta se puede obtener a partir de su inclinación, vector director o ecuación general.

1. I
LA RECTA EN EL PLANO:
* Sistemade referencia:Sea el conjunto de los puntos del plano. Un punto arbitrario del mismo
(O) y una basede vectores i, T forman un sistemade referenciadel plano, que simbolizamos
l^ l-: ill
como {O, I i, j }}.O recibeel nombrede origende coordenadas plano,en dicho sistema
del
de referencia.
Si tomamosun punto A del plano, dicho punto, con O,
determina un vector bA .
(+l
El vector 1 OA l puedeexpresarse función de los
en
-: -.¡l {- --" } ->
l
v e c t o r e1 i , j i '
s tOAi=x i+y.;
l------+ I
A las coordenadas( x , y ) d et o A i T, T } ," lesllamacoordenadas puntoA enel
del
"n {
f (++))
sistemade referencia to.ti.jij
S i t o m a m o d o sp u n t o sA ( x ' , y r ) y B ( x z , y z ) ,
s
f+) t----->l {-----=}
-v A'?'
o b s e r v a m o s qtu e l : l O B i - { O A } =
AB
-
---> --->
f ---> l + +
-' *.-')'l'"'' + JAB i:(*ri*y, j )-(xr i +y' j ) +
c tL'
-) ->
AB l=(xz-xr)i +(yt-yr) j
"Las coordenadas tÁÉ l se obtienenrestandoordenadamente coordenadas extremo
de las del
menoslas coordenadas origen A ".
del
t Distancia entre dos puntos : Definimos distanciaentre dos puntos A y B (d(A, B)) como el
módulo del vector ÁB- + d ( 4 ,B ) : (*z -*r)2 +(yz-yr)2
"Para obtener la distancia entre dos puntos se calcula la raíz cuadradade la diferencia de sus
más la diferenciade susordenadas cuadrado".
abscisas cuadrado,
al al
* Punto medio de un segmento: Sean A y B dos puntosdel planoy M (x,,, y.) el
puntomedio¿" hÉ.
=, I
que
Se observa {aÉ= } { ANrf
i"i {t.
( * r - x ' ) i * ( yz - y ) Í : z [ ( x , n x r ) T + 0 - - y ' ) T ]
-
(
= 2 x r - 2 -x t - + * * = t - 2* X 2
xr
l*r-^'
| - Y t = t^! ¡ - - 2 . , - + - ,' ,. ,= Y t + Y z
v y
r
flz 2
"Las coordenadas punto medio, M, del segmentoAB se obtienencomo media aritmética de
del
las coordenadas los extremosdel segmento".
de

2. * Ecuaciónde la recta:
Unpunto Po(xo,yo)) u n v e c t o r7 : u"T*uuid"fin.n u n a r e c t a ,r , c o m o e l l u g a r
geométricode los puntosdel plano alineadoscon Ps segúnla direcciónde I .
Llamaremosecuaciónde la recta a la expresron
analíticade estapropiedad.
Así, si P(x,y)e r = Ñ tti
- t4É l: ^?, es
decir,
(x- xe)T+ - vo)J: 1,1v" u, i)
0 T+ (l)
j
que es la Ecuaciónvectorial de la recta.
f¡
- x0 = Avx + l,v"
De (l):
lx
<^ o
l
=AV.
I"=*ol"vn
+
(2) = Ecuacionesparamétricas r ->
de
lV-Vn
lv=vo
X-Xo -Y-Yo
Siv*yv, sonno nulos = (3) = Ecuación r en forma continua.
de
V,
De (3): vyx+(-v.)y+(v * y o- v v x o ) : 0 , d o n d e i v v : A i - v , : B ; v * y o- v y x o : L
s
quedará Ax+Bv+C:0 = Ecuacióngeneral (o implícita) de r
La ecuacióngeneralde la recta serápues, una ecuaciónde primer grado en X € y , y con vector
--->
v:(-B,A).
* Inclinación.
Pendiente:
Llamamosinclinación g, de la rectaal ánguloque forma con el semieje
, positivode abscisas.
A la tangentetrigonométricade la inclinación le llamaremospendiente (m) de la recta y será
conocidasiempreque conozcamos
algunode los siguientes
datos:
a) la inclinación -+ m : tg g
vv
b) el vector director de la recta, ? -) tg q : : m
vx
A
general la recta, A x + B y + C:0
c) la ecuación de
B
AC --:
d) si despejamos"y" de la ecuacióngeneralde la recta 3 .BB x mx+b =
= F +;Tbl = explícita r
Ecuación de
seráel coeficientedex, m,
lapendiente yeltérmino independiente, el valorde la
b,
"y" del punto de la rectacon x : 0, al que llamaremosordenada el origen, de la recta.
en

3. -2
e ) s i c o n o c e m o s d o s p u n t ors x r , y r ) y P z ( x z , y z ) d e r : c a l c u l a m o s
P ( {r,tr}:
-./ Vv
' =:--:------:--:-
Yr-Y,
:(x2-x1) I +(yu-yr) t= m -
vx Xz -Xt
* Ecuaciónde la recta a partir de un punto y la pendiente: (Ecuaciónpunto-pendiente)
f Seauna recta r de la que conocemos
Y
P( ¡i':
' un punto Po(x o, y o) y la pendiente m.
Un P(x , y) pertenecerá esarecta si
a
la pendienteque define con Pq es,
precisamente,m :
P(x,y) e r = - *Vn:mfX-X = Ecuaciónpunto-pendiente.
--X0
* Casosparticulares:
Si m:0 -) vy=0 - + RECTAHOzuZONTAL
Ecuación:
Si q:90o -+ v,:0 -) no existela pendientede r
_) RECTAVERTICAL.
Ecuación:
. 3) Si m : I ó I decimosque la rectatiene la direcciónde las bisectrices primer y
del
y (BPC ó BSC)
respectivamente,
tercer o del segundo cuartocuadrantes,
serán:
Susecuaciones
BPC: y-0:l(x-0) =
F:xl ó
x-y:0
BSC= y- 0: - I ( x- 0) = lJ: l*-l
x*y:0

4. Edited by Foxit Reader
Copyright(C) by Foxit Corporation,2005-2009
For Evaluation Only.
* Ángulo entredos rectas:
Seandosrectas
: rr = Ar x * B r y + C 1: 0 (?=-BrñA'-ñ
f z = A z x * B zy + C 2 : 0 (ü:- Brñ n r - ñ d ep e n d i e n t e s r e s p e c t i v a s
,Br82
l T l r A- : A 2
':- 1 '
f,
Corrección:
- Llamamosángulode las dos rectasal ángulo agudo
+ q
¿" 'll
m1= -A1/B1 que forman. Se puedeobtenera partir del cosenodel
I Z
ángulo,e, que forman i t ü '
m2=-A2/B2
vr vz A,A, + B,B,
cosQ:
v tv z dl+t) ef+ej
-0t -+ tg q: tg cr, - tg cr, ffiz -ffir
Porotrapartee:02
, tgq:
I + tg cr,2'tg
cr,r I + mr'm,
*Si11I12 = cosg:0 e ArA::-BrBr -4
A, B,
--:- =|
t---Tl --
I tllt: |
Bt A2 | *rl
"Dos rectasperpendiculares una inversade la otra y cambiadade signo"
tienen suspendientes,
*Sirlll 12 + tgq=0 = t*,:*;
"Dos rectasparalelas
tienenpendientes
iguales"
* Distanciade un punto a una recta: "Es la longitud del segmentoperpendiculartrazado punto
del
a la recta".
Sealarecta = Ax+By+C:0
r
director ,' : -g i+ ni.
devector
. J ^->
d ( P .r ) Seobservaque n :A i +B j es
r= Ax+By+C:0 perpendicul a r
ar f? nt: ol.
A(xo. yo) ?-t-e, e.)
La distanciade P a la recfa r será la proyección de ÁÉ sobre n siendo A un punto
cualquiera r (por lotanto A xo -| B yo + C : 0):
de
d(P, r):
A(xr -xe)+B(yr -yo) t_
JA'z.# t-
:t-l lAx¡ +By' +Cl
l - |
I L) ^) |
| /A-+rJ- |

5. "Paraobtenerla distanciase un punto a una recta, se sustituyenen la ecuacióngeneralde la recta
las coordenadas particulares punto P(xr , yr) y el resultado,
genéricasx, y por las coordenadas del
en valor absoluto,se divide por el módulo del vecto, ? , normal a r , A2 +82

6. EJERCICIOS
Númeroscomplejos
z1: 3 , zz: - 4 i , 4 : 1 -
1.-Escribiren forma polar'. . [ 1i , r ^ = -1+ J J i , z 5 = -J i - vrJ= .
l
2.- Escribiren forma binómica: 21: 2 ¡ , 2 2 : 4 5 n , z t : 6 st,
3 6 T
21 1
3 . - S i 2 1= 7 * 2 i , 2 2 : 3 - i : ¿zt+22, z1-222, Zl'22,
jr Zl , ,32?
z2
-z +zJi i
'4 -27
5.- Hallar las raíces:
6.-Hallarx,y si ==y+zi
1+2i
7.- Hallar las coordenadas afijo del complejo resultantede girar
del z:2 +3i un ángulo a :
a) a:90o , b) o:720o , c) o:60o: 1) afavordelreloj 2)encontradelreloj.
La rectaen el plano
1.- Hallar: a) Ecuación los lados.
de
b) Ecuaciónde las alturasy el ortocentro.
y
c) Ecuaciónde las medianas el baricentro.
y
d) Ecuaciónde las mediatrices el circuncentro.
)t:' l l -' -
e) Longitudde los lados.
| Área del triángulo.
2.- Si A(3,2), halla la ecuación
de: por A
a) rectahorizontal b) recta vertical por A
c) IIBPCpor A d) ll 5x+2y-13 =0 por A e ) J _ 5x + 2 y - 1 3 : 0 p o r A
3.- Halla la ecuación de la recta que pasa por P(4, 5) y que forma con los ejes un triángulo de
area 40 u2.
4.- ABCD es un paralelogramo donde A(- l, - 3) , 8(6, 0) , C(8"2) : ¿D ? ¿Area?
5.- A(- 1, 3) y C(3, - 3) son los vértices la basede un triánguloisósceles.
de Halla la posición
del tercervértice se sabe
si queestáen r : x+2y - 15 = 0.
6 . - a ) E c u a c i ó n d l a r e c t a q u e p a s a p oP ( 2 , - 3 ) y f o r m a 4 5 o c o n r = 3 x - 4 y + 7 : 0 .
e r
b) Ecuaciónde la rectaque pasapor P y forma con r un ángulo ü,, con tg a : 2.
7.- La bisectrizde dos rectascomo lugar geométrico.
Aplícalo a :
fr= x+2y-7:0 y r=2x+y-17=0.
con vértice recto
8.- Halla las coordenadas tercer vértice de un triángulo rectánguloisósceles,
del
en A(0, 0) y el otro vérticeen B(3,4).

7. 2
a=
9 . - E c u a c i ó n d e l a r e c t a p a r a l e lr a 2x-y +5:0 c u y a d i s t a n c i aP ( l , l ) s e a 2 .
a
1 0 . -E c u a c i ó n d e l a r e c t a s p a r a l e lra s a 3 x - 4 y + 5 : 0
= quedistandeestarecfa2unidades.
11.- Ecuación la rectasque pasan
de por A(2. 0) y distan J1 ¿"t origen.
12.- A(0,0) y B(2, l) sonvértices Halla la posiciónde los otros
consecutivos un cuadrado.
de
dos vértices. (Dos soluciones)
13.- A(0, 0) y B( l, 3) sonvértices ¿Posición los otrosdos vértices?.
opuestos un cuadrado
de de
1 4 . -r , : 3x+4y-12:0 y rz= 5x+6y-30:0 fomanconlosejesuncuadrilátero.
Halla su perímetroy su área.
1 5 . - A ( 0 , 0 ) , B ( 3 , 1 ) y C ( 1 , k ) f o r m a n u n t r i á n g u ld e á r e a3 u 2 ¿ k ? .
o (Dossoluciones)
1 6 . - A ( 3 , 5 ) y B ( 7 , 1 ) s o n v é r t i c e s c o n s e c u t i v o s d e u n r e c t á n gB Co . C e s t á e n l a b i s e c t r i z
A ul D
¿Posiciónde C y D? ¿Area?
del 2oy 4ocuadrantes.
1 7 . - H a l l a e ls i m é t r i c o d e ( 3 , 2 ) r e s p e c t o dle r e c t a 2 x + y - 3 : 0 .
P a