Matemáticas creativas: Talleres lúdicos para secundaria

ESCUELA SIEMPRE ABIERTA
Verano 2010

Taller: Matemáticas
creativas

Secundaria

ESCUELA SIEMPRE ABIERTA

VERANO 2010

La Escuela Siempre Abierta en su fase de verano, ofrece a las alumnas y a los alumnos
que cursan la educación primaria y secundaria en el Distrito Federal, opciones atractivas e
innovadoras de aprendizaje, recreación, socialización y ejercitación.

La propuesta lúdico-formativa se ha articulado en siete ejes rectores: Habilidades
matemáticas, Habilidades lingüísticas, Ciencias, Formación cívica y ética, Artes,
Educación Física y Habilidades para el uso de tecnologías de la información y la
comunicación. Cada uno de estos ejes incorpora talleres específicos, diseñados por
especialistas de distintas instituciones y organismos tanto púbicos como privados, así
como por los equipos técnicos de la Administración Federal de Servicios Educativos en el
Distrito Federal.

Para apoyar a los docentes que coordinarán cada uno de los talleres de la Escuela
Siempre Abierta se ha preparado esta carpeta de trabajo, en la que se presenta el detalle
de las actividades a realizar en cada uno de los talleres y ciclos, así como el material que
se utilizará en cada una de ellas. La carpeta incluye:

• Un Cuadro concentrado con el nombre, el propósito y los materiales que se
utilizarán en las sesiones de trabajo contempladas en cada taller.

• Una sección denominada Aprendizajes esperados; en ella se explica los
aprendizajes que debe lograr el alumno con la actividad en términos de
conocimientos, habilidades, actitudes y/ o valores.

• Un apartado denominado Organización del grupo; en éste se describe la
mecánica de trabajo de cada una de las actividades.

• La sección Desarrollo de la sesión indica tres momentos claramente delimitados:
el desarrollo de las actividades, la puesta en común de los productos generados y
el cierre de la sesión:

o Desarrollo de las actividades. Aquí se describen las actividades o pasos
que deben desarrollar los alumnos.

o Puesta en común de los productos. Se presentan indicaciones para que los
alumnos socialicen las actividades realizadas, compartan sus productos y
comenten sus apreciaciones sobre lo que sus compañeros hicieron.

o Cierre de la sesión. En este apartado se señalan las preguntas o consignas
que pueden ayudar a los alumnos a identificar lo que aprendieron en la
sesión. Estas preguntas o consignas deben permitir al monitor darse
cuenta que los aprendizajes esperados se han alcanzado o bien, lo que
tendría que reforzar en la siguiente sesión para que los alumnos lo logren.

• En la sección Orientaciones específicas para el monitor, se ofrecen
sugerencias para el monitor en términos de aquellos aspectos que se consideran
importantes de atender por él mientras los alumnos realizan las actividades o
mientras utilizan un material.

Es muy importante señalar que las actividades que integran la carpeta son flexibles y
constituyen la guía para el trabajo de los monitores de la Escuela Siempre Abierta.

ÍNDICE

TALLER:

“MATEMÁTICAS CREATIVAS”

Páginas

PROGRAMACIÓN GENERAL DE SESIONES 2

1. Cubopol
5
2. Las tablas del Rey Salomón
11
3. El geoplano
20
4. El calculista
26
5. Carrera de caballos 31
6. El cubo loco
36
7. Vasos y corcholatas
41
8. Pintando cubos
44

9. Dibujando cubos
48

10. Cuádrate con los triángulos
56
11. El mosaiquero
61
12. Cuadrados, cuadritos y magia.
67
13. Figuras que crecen
72
14. El tangrama
76
15. Laberinto de decimales
82
HORARIO PARA EL MAESTRO

1

PROGRAMACIÓN GENERAL DE LAS SESIONES

EJE RECTOR: MATEMÁTICAS
NOMBRE DEL TALLER: MATEMÁTICAS CREATIVAS
NIVEL: SECUNDARIA

Actividad Propósitos Tiempo Material

Explorar, analizar, deducir y
conceptualizar las
propiedades del algunos
polígonos regulares e Popotes
1.-Cubopol
irregulares (cuadriláteros, 60 minutos Listón cola de rata
triángulo y hexágono) y de Hoja de trabajo
algunos poliedros (cubo,
pirámide triangular, pirámide
cuadrangular).

Que el alumno desarrolle
2.- Las tablas del profundice en los principios Hojas de trabajo
Rey Salomón del sistema de numeración 60 minutos Tablas del Rey Salomón
decimal y de bases distintas Tablas de conversiones
de 10.

Resolver problemas que
impliquen identificar las Geoplano
3.-El geoplano
características generales de 60 minutos Ligas
polígonos de tres y cuatro Hojas de trabajo
lados.

Utilizar la calculadora para
4.-El calculista generalizar y estimar Calculadora aritmética
60 minutos
resultados al resolver Hojas de trabajo
problemas.

Comparar eventos
probabilísticos a fin de
distinguir que una actividad
Tableros
5.- Carrera de aleatoria se rige por reglas
Dados cúbicos
caballos que son posibles de conocer. 60 minutos
Fichas
Hojas de trabajo

2

Actividad Propósitos Tiempo Material

Mediante un arreglo
manipulable de cubos Cartulina
6.-El cubo loco
demostrar que una misma 60 minutos Tijeras
área puede contener Cinta mágica o Diurex
volúmenes distintos.

20 Corcholatas iguales
Distinguir diversas Cartulina
situaciones de azar en Un vaso desechable de
7.- Vasos y eventos que son mutuamente diferente tamaño para
corcholatas excluyentes. Determinar la 60 minutos cada equipo.
forma en que se puede Una bolsa de igual
calcular la probabilidad de tamaño para cada
ocurrencia. equipo.

habilidades matemáticas que
le ayuden a enfrentar con
éxito, distintos temas de Hoja de trabajo
8.- Pintando cubos
geometría, especialmente 60 minutos Hoja perspectiva
aquellos en los que debe Colores
imaginar elementos no
visibles de los cuerpos
geométricos.

habilidades matemáticas que
le ayuden a enfrentar con
9.- Dibujando éxito, distintos temas de Hoja de trabajo
cubos geometría, especialmente 60 minutos Hoja perspectiva
aquellos en los que debe Colores
imaginar elementos no
visibles de los cuerpos
geométricos.

Comprobar geométricamente
la validez del Teorema de
10.- Cuádrate con Pitágoras por equivalencia
Tangrama
los triángulos entre áreas de figuras planas, 60 minutos
Hojas de trabajo
en el caso particular del
triángulo rectángulo isósceles
utilizando el tangrama.

3

Mosaicos de papel (al
Conocer las características menos 2 copias
de los polígonos que fotostáticas del anexo 2)
permiten cubrir el plano y Teselado de Escher
realizar recubrimientos del (anexo1)
11.- El mosaiquero plano. Tijeras
60 minutos
Colores
Cartulina
Superficie plana
Pegamento

Construir el conjunto de
Hojas blancas o
Cantor a fin generar patrones
12.- Cuadrados, cuadriculadas
y determinar la expresión
cuadritos y magia. 60 minutos Colores
general para el enésimo
Calculadora
término de una sucesión
numérica y figurativa.

Determinar una expresión
general para definir el Geoplano (papel
13.-Figuras que
enésimo término en punteado)
crecen 60 minutos
Lápices de colores
sucesiones numéricas y
figurativas.

Resolver problemas de suma
y resta que impliquen el uso
14.- El tangrama de números fraccionarios Tangrama
60 minutos
Hojas de trabajo
mediante el uso de material
concreto.

Identificar las propiedades de
15.- Laberinto de densidad, escritura y valor Calculadora
decimales 60 minutos
posicional de los números Hoja de trabajo
con punto decimal.

4

1. CUBOPOL

APRENDIZAJES ESPERADOS

• Que los alumnos trabajen en equipos en un ambiente cooperativo para construir el
cubopol. Se pretende además que al manipular el cubopol puedan visualizar, identificar
y reconocer características generales de polígonos y poliedros.

• La intención didáctica es utilizar el cubopol para explorar, analizar, deducir y
conceptualizar las propiedades del algunos polígonos regulares e irregulares
(cuadriláteros, triángulo y hexágono) y de algunos poliedros (cubo, pirámide triangular,
pirámide cuadrangular).

ORGANIZACIÓN DEL GRUPO

Para la realización de esta actividad se sugiere organizar a los alumnos en equipos de 2 o 4
elementos, esto dependerá de la disponibilidad de material y de la cantidad de alumnos para
realizar la actividad.

DESARROLLO DE LA SESIÓN

Consideraciones previas
Al inicio de la clase se debe favorecer una lluvia de ideas, para ello podrán hacerse preguntas
como las siguientes: (5 min)

¿Qué es un polígono?
¿Qué tipo de polígonos conocen?
¿Qué diferencia existe entre un polígono regular e irregular?
¿Cuáles son los elementos de un polígono (lados, ángulos, vértices)?
¿Cuál es la diferencia entre un polígono y un poliedro?
¿Qué tipo de poliedros conocen?
¿Cuántas caras tiene un cubo, una pirámide cuadrangular? ¿cuántos vértices? ¿cuántas
aristas?

A través de la lluvia de ideas generada por los alumnos se definirá a los polígonos y a los
poliedros a partir de sus características y propiedades más generales.

Secuencia de actividades

5

1. ¡Construyamos nuestro cubopol! En equipos de 4 personas los alumnos procederán a armar
el cubopol (cubo hecho de popotes), para hacerlo se requieren 12 popotes y un trozo de
listón cuya longitud sea igual a 17 popotes por alumno. El procedimiento para armar el
cubopol se describe a continuación: (Tiempo 20 min)

a. Debe hacerse pasar el listón dentro de los b. Posteriormente deben hacerse pasar por el
popotes y formar la siguiente figura. Al listón tres popotes más y formar la
final debe anudarse para evitar que se siguiente figura. Al final también debe
desarme. anudarse y debe regresarse el listón a
través del último popote.

c. Deben introducirse dos popotes más y formar la d. Después del paso anterior, la
siguiente figura, después deberá hacerse un nudo construcción debe verse como
en los puntos indicados con el número 1. sigue. Observa la ubicación del
nudo y del listón. Procura ocultar
los nudos dentro de los popotes.

e. Nuevamente deben introducirse dos popotes y f. Después del paso anterior, la
después deberá hacerse un nudo más en los construcción debe verse como sigue.
puntos indicados con el número 1.

1 1

g. Finalmente se introduce el último popote, y
después debe hacerse el último nudo. La
construcción debe verse como sigue. Observa Una vez construido, los alumnos
que al final se corta el excedente de listón. tendrán que explorar el cubopol,
primero para encontrar las figuras
planas que pueden formarse y para
reconocer sus características y
posteriormente, para formar la
estructura de algunos cuerpos e
identificar sus características
generales.

6

2. Pedir a los alumnos que con el cubopol construyan distintos polígonos y que los dibujen en
los siguientes espacios a partir de los siguientes criterios: (Tiempo 10 min)

Figuras cuyos lados y ángulos interiores Figuras cuyos lados o ángulos interiores
miden lo mismo sean distintos

Al terminar de dibujar todos los distintos polígonos que hayan encontrado deberán comparar los
resultados con sus compañeros a fin de ver si les faltan algunos y validar si los han dibujado en
los mismos espacios. Posterior a ello deberán responder las siguientes preguntas:

• Escribe el nombre de las figuras que dibujaste en el recuadro de la izquierda:
_________________________________________________________________
• ¿Son estas figuras polígonos regulares? ____________
• Justifica tu respuesta: ____________________________________________________
______________________________________________________________________

3. Pedir a los alumnos que construyan distintos poliedros y que los dibujen escribiendo el
nombre de cada uno de ellos: (10 min)
Después de haber realizado la actividad anterior responde lo
siguiente:
POLIEDROS
• Número de aristas que tiene:
Cubo ____
Pirámide cuadrangular____
Pirámide triangular _______
• Número de vértices que tiene:
Cubo ____
Pirámide cuadrangular____
• Número de caras que tiene:
Cubo ____ Pirámide cuadrangular____

7

“CUBOPOL” (Tiempo estimado 15 min)
Nombre: ______________________________________________

1. Considera los polígonos que formaste y completa la siguiente tabla:

Nombre Representación Nº de lados Nº de vértices Regular (si – no)

2. Dibuja las siguientes imágenes en la tabla según corresponda:

Cuadriláteros regulares Cuadriláteros irregulares

8

Puesta en común de los productos

Al finalizar los alumnos en equipos deberán enunciar las características de los polígonos
regulares e irregulares

Completa la tabla:
Nombre Imagen No. De caras No. De vértices No. De Aristas

9

Cierre de la sesión

Un dodecaedro es un poliedro con caras pentagonales. Observa la siguiente figura y
determina el número de caras, vértices y aristas que tiene.

DODECAEDRO

No. De caras ________
No. De vértices ________
No. De aristas ________

Al final compara tus resultados con otro compañero.

ORIENTACIONES ESPECÍFICAS PARA EL MONITOR

Al armar el cubopol considere la construcción dirigida, es decir el profesor podrá mostrar
la forma en que puede manipularse el cubopol, o bien que otros alumnos muestren la
forma en que lo manipulan a quienes tengan dificultad para formar las figuras y poliedros
que son posibles de armar.
Es primordial que los alumnos vean en la figura la característica que se pretende
observar. Por ejemplo, los lados de los polígonos, la descomposición del hexágono en
triángulos equiláteros, la congruencia de los lados y ángulos, etcétera.
Es muy importante que los alumnos anoten como conclusión las propiedades generales
de los polígonos y que puedan desarrollar la imaginación espacial a fin de poder
determinar e imaginar las características geométricas de otros poliedros.

Por otro lado es importante que el profesor en todo momento:

Anime a los participantes a expresar sus opiniones y dudas.

Favorezca la cooperación y el respeto mutuo.

Genere la confianza del alumno y promueva la participación de todos los
integrantes del grupo.

Acepte los “errores” de los participantes como un elemento inherente al proceso de
aprendizaje.

Genere oportunidades para que los alumnos elijan y resuelvan problemas por sí
mismos.

Valore los esfuerzos y logros alcanzados.

10

2. LAS TABLAS DEL REY SALOMÓN


• Que los alumnos analicen y comprendan los principios del sistema de numeración
posicional a través de una actividad integradora.

• Que los alumnos profundicen en los principios del sistema de numeración decimal
y de bases distintas de 10.


Se recomienda iniciar la actividad de manera grupal, para ello deben utilizarse “Las
Tablas del Rey Salomón”, puede crearse una historia ficticia en la que se diga al
estudiante que se encontraron una tablas mágicas que pertenecieron al Rey Salomón,
último Rey del pueblo de Israel y considerado el hombre más sabio que ha existido en la
tierra. Las tablas encontradas son mágicas y permiten adivinar el número que está
pensando una persona.


Debe iniciarse con el truco de las Tablas del Rey Salomón, debe pedirse a los alumnos
que elijan un número del 1 al 31, que se fijen bien en qué tablas se encuentran y el
profesor deberá adivinar cuál es ese número: (10 min)

Las tablas del Rey Salomón se encuentran en el anexo 1.


1. Una vez que todos hayan descubierto el truco de las tablas el profesor pedirá a los
alumnos que resuelvan las siguientes operaciones. (los números están en base 2)

2. La actividad anterior servirá sólo para introducir a los alumnos a la conversión de
números de base 10 a base 2 y viceversa. Completa los espacios en blanco de tal
forma que las equivalencias entre los números en base 2 y base 10 sean correctas:

11

Número en Equivalente Número en Equivalente
base 2 en base 10 base 2 en base 10
0 111
1 8
10 9
3
100 1010
5 11
6 12
13

3. La siguiente plantilla servirá para convertir cualquier número de base 2 a base 10 o
viceversa. (10 min): Ejemplo, si se quiere formar el número 12, deberán elegirse los
números necesarios para formarlo, en este caso tendría que ser desde el 8 hacia
abajo, de tal forma que ponemos un 1 en la fila del 8 y otro en la del 4 y en los demás
se escribe un 0 y ya está. Intenta hacerlo con otros números.

4. Ahora intenta hacerlo al revés, primero escribe el número en base 10 y después su
equivalente en base 2.

5. Ahora intenta hacerlo para otra base que no sea 2, por ejemplo base 4. Sólo debes
recordar que ahora puedes elegir hasta 3 veces un número, por ejemplo, el número
23, significa que utilizó 2 veces el 4 y tres veces el 1

12


6. Para saber cómo se construyen las tablas del Rey Salomón debes utilizar una tabla de
conversiones de base 2 a base 10, debes iniciar en 1 y terminar en 31. Observa las
regularidades en la tabla. Utiliza 5 rectángulo, anota en uno de ellos los números en
base 10 donde aparece el número 1, en otro rectángulo anota los número en base 10
donde aparece el número 1 correspondientes a la 2ª columna y así sucesivamente. Al
final compáralas con las que se utilizaron al principio.

13


7. Contesta la siguientes preguntas:
a. ¿Por qué crees que el sistema de numeración que utilizamos se dice que es
decimal?______________________________________________________

b. ¿Cuántas cifras utiliza el sistema de numeración de base 2? _____________

c. ¿Cuántas cifras utiliza el sistema de numeración de base 8? _____________

d. Comenta con tus compañeros lo siguiente: Si el sistema de numeración base 2
utiliza menos símbolos que el de base 10, ¿por qué utilizamos el de base 10?


Es común ver que algunos estudiantes tengan dificultades para imaginar los arreglos con
cubos, en tal caso y como en la ficha anterior se recomienda que el profesor considere la
posibilidad de mostrar algunos arreglos sencillos con material concreto para favorecer el
desarrollo de esta habilidad.




Genere la confianza del alumno y promueva la participación de todos los integrantes
del grupo.

aprendizaje.

Genere oportunidades para que los niños elijan y resuelvan problemas por sí
mismos.


14

ANEXO 1

1 3 5 7

9 11 13 15

17 19 21 23

25 27 29 31

15

2 3 6 7

10 11 14 15

18 19 22 23

26 27 30 31

16

4 5 6 7

12 13 14 15

20 21 22 23

28 29 30 31

17

8 9 10 11

12 13 14 15

24 25 26 27

28 29 30 31

18

16 17 18 19

20 21 22 23

24 25 26 27

28 29 30 31

19

3. EL GEOPLANO


• Que los alumnos utilicen el geoplano para representar, identificar y modelar
triángulos y cuadriláteros para reconocer, identificar y comunicar sus
características generales.

• Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen identificar las
características generales de polígonos de tres y cuatro lados.


Para la realización de esta actividad se sugiere que el profesor inicie contando
brevemente la historia del Geoplano, debe precisarse que se trabajará con el geoplano
cuadrangular y se recomienda que las actividades se resuelvan por equipos de 2
personas.



EL GEOPLANO

El geoplano fue inventado por el matemático y pedagogo egipcio Galeb Gattegno
(1911-1988) con el propósito de enseñar geometría a niños pequeños. Consiste en
una superficie plana en la que se dispone, de manera regular, una serie de puntos.
Dependiendo de cómo estén colocados estos puntos se distinguen varios tipos de
geoplanos, aunque los que más se utilizan son el geoplano triangular, el cuadrado o
cuadrangular y el circular.

Geoplano triangular Geoplano cuadrado Geoplano circular

20


1. Traza con ligas en el geoplano todas las rectas que pasan por un punto. (5 min)

Recorridos sobre un geoplano

2. La figura muestra un geoplano de tamaño 5 x 5 con un camino que va de esquina a
esquina desde A hasta B y que visita una y sólo una vez cada nudo de la cuadrícula (no
se permiten caminos en diagonal) (10 min).

a) Estudia qué otros recorridos de mismo tipo
puedes encontrar.

b) ¿Hay algún camino simétrico al anterior?

__________________________________

c) ¿Cómo son entre sí las longitudes de estos
caminos? _______________________

3. ¿Cuántos triángulos diferentes puedes formar sobre un geoplano? _________

• Forma en el geoplano todos los triángulos distintos posibles y dibújalos a
continuación (10 min):

21

• ¿Podrás formar un triángulo equilátero en el geoplano? ________________
• Utiliza el geoplano para justificar tu respuesta.

4. Construir al menos 3 triángulos rectángulos diferentes al dado y obtener su área (5
min):

5. Une cuatro puntos con una liga y forma en el geoplano todos los cuadriláteros que se
puedan construir en él (15 min):

22

• Escribe el nombre de cada cuadrilátero que formaste y clasifícalos a partir del
paralelismo entre sus lados:

CUADRILÁTEROS CON LADOS CUADRILÁTEROS SIN LADOS
PARALELOS PARALELOS

7. Ahora forma todos los cuadrados posibles que puedan formarse en el geoplano.
¿Cuántos cuadrados distintos encontraste? ___________


8. Compara tus respuestas con tus compañeros

9. Construir en el geoplano las siguientes figuras, escribe su nombre y obtén su área.

10. Traza dos figuras que no sean comunes y pídele a un compañero que obtenga el área
de ellas (10 min):

23


Construir una figura cualquiera y obtener su área. Registrar en hoja lo de puntos. Por
ejemplo:

24


El uso del geoplano dentro del salón de clases es una herramienta poderosa que permite
tratar de manera concreta distintos temas de la geometría, se recomienda al profesor que
al iniciar la actividad se estimule a los estudiantes a formar con las ligas, distintas figuras
en el geoplano, después poco a poco lo llevará hacia la realización de la actividad
propuesta en esta ficha de trabajo.




del grupo.

aprendizaje.

mismos.


25

4. EL CALCULISTA


• Que los alumnos realicen un uso adecuado e inteligente de la calculadora
aritmética. Deben además estimar, calcular, generalizar y predecir resultados a
partir de la observación de patrones numéricos que pueden obtenerse con la
calculadora.

• Que os alumnos utilicen la calculadora para generalizar y estimar resultados al
resolver problemas.


Para la realización de esta actividad se sugiere que inicien el trabajo de manera individual,
a fin de poder buscar estrategias diversas para resolver las primeras actividades y
confrontar después las estrategias utilizadas. Posteriormente los alumnos deberán
organizarse en equipos de 2 elementos a fin de confrontar sus resultados.


Puede iniciarse esta actividad haciendo una introducción al uso del teclado de la
calculadora para encontrar algunas regularidades: (5 min)
Resta a cada número el que se encuentra debajo de él,
también puedes hacerlo por parejas o tercias. Observa
el resultado:

Intenta hacerlo pero ahora en forma vertical.

Descubre otras
regularidades y
compártelas con
tus compañeros.

26

1. Teclea en la calculadora las siguientes secuencias y escribe a un lado el resultado.
(10 min)

4 + =

4 + = =

4 + = = = __________________

• ¿Qué resultado aparecerá en la calculadora después de oprimir 11 veces la tecla
igual?____
• ¿Cuántas veces debes oprimir la tecla igual para que aparezca el número 124?__
• Con referencia a la actividad anterior, completa la siguiente tabla.

N° de veces que 6 45 7.5
oprime la tecla =
2
5 30 37.5
7 315
12
15

2. Teclea en tu calculadora la secuencia siguiente y escribe el resultado a la derecha (5
min).

3 X =
_________________

3 X = = __________________

3 X = = =

• Al oprimir la tecla “=” ¿Qué operación estás realizando en la calculadora? _______
3. Con base en la actividad anterior, realiza las siguientes operaciones: (5 min)
• 41 =___________
27
• 42 =___________
• 43 =___________
• 44 =

• 21 =___________
• 22 =___________
• 23 =___________
• 24 =___________
• 25 =___________

4. Con el uso de tu calculadora resuelve las operaciones siguientes y observa con
atención los resultados obtenidos. (5 min)
a) 22 - 12 = ________
b) 32 - 22 = ________
c) 42 - 32 = ________
d) 52 - 42 = ________
e) 62 - 52 = ________
• Explica brevemente cómo hacer para obtener el resultado sin utilizar la
calculadora: ________________________________________________________
¿Cuál es el resultado de 502 – 492 = ______________

5. Calcula mentalmente las siguientes operaciones.
7 2 - 62 = __________
2 2
51 - 50 = __________
1002 - 992 = __________
• ¿Qué observas en éstas operaciones? Explica: ________________________
______________________________________________________________

6. Empleando la calculadora realiza los siguientes cálculos, observa con atención el
resultado. ¿Qué sucede con la cifra que corresponde a las unidades? __________ ¿Y
con las decenas? ___________

• 51 =____ 52=____ 53=_____ 54=______ 55=_______ 56=_______ 57=________

Puedes predecir la cifra correspondiente a las unidades de 5100 _______________
Puedes predecir la cifra correspondiente a las decenas de 5100 ________________
Puedes predecir la cifra correspondiente a las centenas de 5100 _______________
• 71 =____72=____73=_____74=______ 75=_______ 76=_______ 77=________

28

Puedes predecir la cifra correspondiente a las unidades de 7100 _______________
Puedes predecir la cifra correspondiente a las decenas de 7100 ________________
• Explica brevemente como hiciste para encontrar las respuestas de los
ejercicios anteriores. ______________________________________________
__________________________________________________________________

7. Observa lo que sucede al realizar las siguientes multiplicaciones, ¿podrás resolver
toda la actividad haciendo los cálculos mentalmente, utilizando la calculadora sólo
para las tres primeras operaciones? _______

11 x 11 = _____________________________
11 x 111= _____________________________
11 x 1111= _____________________________
11 x 11111= _____________________________
11 x 111111= _____________________________
11x 1111111= _____________________________
11 x 11111111= _____________________________
11 x 111111111= _____________________________


8. ¡Con la calculadora al revés!
Con tus compañeros, resuelve las siguientes operaciones y encuentra el mensaje al
voltear la calculadora:

• En 1492 Cristóbal Colón descubrió América, él viajaba con (1) contramaestre, al
salir del puerto de Palos en España, la Reina Isabel le regaló (x 2) botellas de vino,
de las cuales les saldrían (x 17) copas, pero en medio del mar, ¿qué fue lo que les
faltaba? ________________


9. Inventa ahora tú, un mensaje y compártelo con un compañero. Para ello puedes usar
las palabras OSOS, GLOBOS, BESOS, BEISBOL, OLEE, GOOL.

29


Es importante que el profesor considere la dificultad que tienen algunos alumnos para
identificar regularidades y patrones numéricos, es por ello que se recomienda pedir a los
estudiantes que verbalicen la forma en que resuelven los ejercicios. En los casos en los
que los estudiantes no logren generalizar, se recomienda que el profesor formule
preguntas que ayuden a descubrir el patrón. Las preguntas pueden ser, del tipo: ¿Qué
observas en la cifra de las unidades?, ¿Qué pasaría si cambiamos este número por otro?
¿Podrías resolver un ejercicio similar sin utilizar calculadora?, etcétera.




del grupo.

aprendizaje.

mismos.


30

5. CARRERA DE CABALLOS


• Que los alumnos convivan en un ambiente de competencia en situaciones en las
que interviene el azar, se pretende además que reflexionen y comparen dos o más
eventos probalísticos.

• Que los alumnos comparen eventos probabilisticos a fin de distinguir que una
actividad aleatoria se rige por reglas que son posibles de conocer.


Comente al grupo que imaginen que van a las carreras de caballos y se convertirán en
apostadores. Deberán reunirse en equipos de 6 integrantes, incluso podrían ser 12
integrantes, cada uno elige su caballo favorito al cual le seguirán la pista en un tablero.


Inicie la actividad proporcionando a cada equipo un tablero (anexo 1) y un dado. Comente
que deben imaginar que están en una carrera de caballos en donde todos los caballos
tienen la oportunidad de avanzar una posición cuando se lance el dado.

Pregunte: ¿Qué caballo creen que llegará primero a la meta? ______________________
¿Por qué? _______________________________________________________________

Induzca a los alumnos a identificar un evento en el que interviene el azar y un evento
seguro. (5 min)

1. ¡Arrancan!
Los alumnos van a jugar una carrera de caballos. Primero elegirán libremente uno
y le asignarán un nombre.
Posteriormente iniciarán la carrera, para ello, por turnos deberán lanzar un dado y
avanzará una casilla el caballo que tenga el número de puntos que corresponda al
dado.
Gana el primero que llegue a la meta. (15 min)

31

CARRERA DE CABALLOS

Después de que un jugador gane plantee las siguientes preguntas:
¿Qué caballo ganó la carrera?____________________________________________
¿Qué caballo(s) quedó (aron) en segundo lugar?_____________________________
¿Existe la posibilidad de que gané la carrera el caballo con el número 10?_________
¿Y el caballo 1? ¿Por qué?_____________________
¿Crees qué algún caballo tiene mayor posibilidad de ganar la carrera? ____________
¿Por qué?____________________________________________________________

2. La siguiente actividad es similar a la anterior pero ahora se necesitan 12 personas,
mismas que deberán utilizar el tablero que se encuentra en el anexo 1.

NÚMERO DE TIRADA
Nombre

META
del
caballo
1 2 3 4 5 6 7 8 9

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Explique a los alumnos que ahora lanzarán dos dados. La suma de los resultados indicará
el número de caballo que debe avanzar una posición. Gana el primero que llegue a la
meta. (15 min)

Al final analicen los resultados y respondan a las siguientes preguntas:

¿Cuál caballo no conviene elegir?
¿Por qué?_________________________________________________________

32

¿Qué caballo(s) tiene(n) mayor posibilidad de ganar la carrera? _______________
¿Por qué?_________________________________________________________

¿Existe la posibilidad de que el caballo con el número 12 gane la carrera?_______
¿Por qué?_________________________________________________________
¿Cuántas veces lanzaron los dados?_______________________


3. Posteriormente, por turno los equipos lanzarán dos dados. Pida que sumen los puntos
de los dados y completen la siguiente tabla: (20 min)

Primer dado

+ 1 2 3 4 5 6

1
Segundo dado

2

3

4

5

6
Después de
lanzar los dos dados responda las siguientes preguntas:
¿Cuál suma es más probable que caiga?_______________

¿Cuál suma es menos probable que caiga? _______________

¿Cuáles número (s) nunca caerá (n)?_________________


33

4. Para concluir pida que realicen piensen en el lanzamiento de dos dados y contesten
las siguientes preguntas:

a) ¿Qué es más probable que en los dos dados caigan en número par o impar?
b) ¿Qué es más probable que la suma de sus caras sea 10 o que en ambas caras
aparezca el mismo número? Expliquen su respuesta. (5 min).


Debe prever el tiempo suficiente para analizar todas las respuestas y detenerse en las que
haya diferencias. Hay que centrar la atención sobre todo en los dos últimos incisos,
analizando algunas respuestas para ver si los alumnos logran distinguir lo que son eventos
compuestos.
Respecto a las reglas del juego, si juegan tres o cuatro jugadores en la versión de la suma,
se encontrarán que muchas veces sale un valor de la suma correspondiente a un caballo que
no ha elegido nadie, por lo que bastantes tiradas no servirán para que avance ninguno de los
caballos seleccionados. Una forma de solucionar lo anterior es que en ese caso cada jugador
elija dos caballos distintos, con lo cual al participar seis u ocho caballos la partida es más
dinámica.
El orden en que se recomienda plantear este juego en clase es:

Primero utilizar la suma; cuando ya han jugado varias veces entonces se podrá plantear
el caso que se resuelve con una resta. Una vez acabado los dos lo más importante es
hacer el estudio matemático de por qué un caballo u otro avanza más rápido. Este
análisis es fácil de hacer por los alumnos pues sólo tienen que construir dos tablas de
valores con los posibles resultados, tanto para la suma como para la resta.

Al hacer el estudio anterior se puede observar que el 7 tiene ventaja (se puede
aprovechar para hacer ver la razón por la que en las películas de casinos, quienes
lanzan los dados siempre quieren un 7) en el caso de la suma. Sin embargo los
resultados previstos teóricamente se pueden ver alterados por el azar. Por ello
cuando se lanzan los dados, en algunos grupos puede ser que gane el caballo con
dorsal 6 u 8 o incluso más alejados del 7. Lo mismo ocurre con el 1 en la diferencia,
aunque en este caso al haber dos puntos de diferencia entre ese valor y el siguiente
(que es el 2), es más raro que no gane el caballo 1.

Invite a los alumnos a predecir que caballo ganaría la carrera si al lanzar el dado
avanza una posición el caballo que tenga dicho número. Proponga que jueguen
algunas partidas y comprueben si es acertada o creen que deben modificarla, sugiera
un registro de los lugares que ocupo cada caballo y las casillas en donde quedaron.

34

Anexo 1
Tablero para la carrera de caballos

35

6. EL CUBO LOCO


• Que los alumnos calculen el volumen de cuerpos geométricos y además
visualicen, comprendan y deduzcan que una misma área puede contener distintos
volúmenes.

• Que los alumnos demuestran mediante un arreglo manipulable de cubos que una
misma área puede contener volúmenes distintos.


Se recomienda construir el material en equipos de dos personas para que los alumnos
trabajen de manera colaborativa a fin de que puedan pegar y armar eficientemente un
arreglo de cubos, el cual servirá como material para el desarrollo de la actividad.


Puede iniciarse esta actividad haciendo un breve reconocimiento de las características
geométricas de un cubo, para ello pueden hacerse la siguiente actividad: (5 min)

• Recuerda cuáles son los elementos de un cuerpo geométrico:

• Escriba el número de elementos que tienen los siguientes cuerpos geométricos:

36

Caras ______________ Caras ______________ Caras ______________

Vértices ____________ Vértices ____________ Vértices ____________

Aristas _____________ Aristas _____________ Aristas _____________


¡Manos a la obra¡
1. Para hacer el cubo loco necesitamos 8 cubos del mismo tamaño, deben ser rígidos y
de preferencia que tengan una arista igual o mayor que 10cm. Si no tenemos los
cubos, construyámoslos en la cartulina, para hacerlo puedes utilizar la siguiente
plantilla:

Pestaña

• Es importante que nuestro cubo tenga al final una “pestaña en una arista”

37

2. Para construir nuestro “cubo loco” debemos seguir los siguientes pasos:

A. Debemos tener 8 cubos, los cuales pegaremos de 2 en 2 como se muestra en la
imagen, observa que deben la pestaña servirá para que tengan movilidad como si
fuera una bisagra:

B. Posteriormente debemos pegarlos de tal forma que queda dos tiras de 4 cubos,
cada una como se muestra en la figura (Observa cómo se unen a partir de las
pestañas):

Esta parte es movible

C. Finalmente deben unirse los dos bloques de 4 cubos de la forma siguiente
(Recuerde que en todos los casos las pestañas deben permitir la movilidad entre
los cubos)

38


3. Por fin tenemos nuestro cubo loco, manipúlalo y observa los cuerpos geométricos que
puedes formar. Podrás observar que al menos se forman 3 distintos. Comparte tus
resultados con tus compañeros.Obtén el volumen y el área total de cada uno y
dibújalos a continuación.

Figura 1

Área total _____________

Volumen _____________

Figura 2

Área total _____________

Volumen _____________

Figura 3

Área total _____________

Volumen _____________

39


4. Después de manipular el cubo loco y de obtener el área total y volumen de los
cuerpos geométricos que se pueden formar a partir de él, responde las siguientes
preguntas:
• ¿Cómo son entre si el volumen de los cuerpos geométricos que formaste en la

actividad anterior? __________________________

• ¿Cómo es entre sí el área total de los 3 c uerpos? ____________________

• A partir de lo anterior escribe una conclusión a la que puedas llegar: ______

___________________________________________________________

___________________________________________________________


El trabajo con material concreto en temas de geometría favorece el desarrollo de
habilidades tales como la imaginación espacial. El cubo loco puede convertirse en una
herramienta poderosa para lograr que el alumno pueda darse cuenta que una misma área
puede contener distintos volúmenes.
Para la realización del cubo loco, se recomienda que el docente lo haga paso a paso,
debe cuidarse que los alumnos peguen correctamente las piezas, se recomienda además
hacer el trabajo por equipos de 2 personas para que los alumnos construyan el cubo loco
en dos ocasiones y puedan así interiorizar la construcción del mismo.




del grupo.

aprendizaje.

Genere oportunidades para que los niños elijan y resuelvan problemas por sí mismos.


40

7. VASOS Y CORCHOLATAS


• Que los alumnos reflexionen y distingan diversas situaciones de azar en eventos
que son independientes.

• Que los alumnos distingan diversas situaciones de azar en eventos que son
mutuamente excluyentes. Determinar la forma en que se puede calcular la
probabilidad de ocurrencia.


Para la realización de esta actividad se sugiere trabajar en grupo para explorar los
conocimientos de los alumnos respecto a la organización de información, específicamente
el uso de tablas, graficas, espacio muestral, punto muestral y azar. Después organice a
los alumnos en equipos de 2 o 3 elementos, dependiendo de la disponibilidad de material
y de la cantidad de alumnos para realizar la actividad.


Individualmente determinen todas las posibilidades que resultan al lanzar una moneda,
dibújenlas, al terminar contesten las siguientes preguntas: (10 min)
Todos los posibles eventos que
resultan de un experimento aleatorio
reciben el nombre de “espacio
c) ¿Qué es más probable que caiga sol o águila?________________________
t l”
d) ¿Por qué?____________________________

Indique que van a realizar el experimento para comprobar su predicción, para ello solicite
que un alumno lleve el registro en el pizarrón de la frecuencia con la que cae sol o águila,
y otro alumno lance 10 veces la moneda.

¿Qué cayó más veces sol o águila?___________________-

Guíe a los alumnos a deducir que al lanzar la moneda sol y águila tienen la misma
posibilidad de salir, porque se trata de un evento equiprobable.

41


4. Proporcione una bolsa de igual tamaño a cada equipo, pida que coloquen la cartulina
en una superficie rígida y en la bolsa las 20 corcholatas. Plantee la siguiente situación:

“Imaginen que dejo caer las corcholatas ¿Cómo creen que caerían las corcholatas: boca
arriba, de lado o boca abajo?”

Pida que en cada equipo realicen el experimento; que dejen caer las corcholatas
contenidas en la bosa sobre la cartulina y elaboren una tabla de registro como la que
se muestra:

Posición Número de
tachuelas
Boca arriba
Boca abajo
De lado
Total

Apoyándose de los resultados de la tabla anterior, invite a cada equipo a predecir lo que
pasaría si sólo usaran 10 corcholatas. Pida que comenten en su equipo y después que un
representante pase a realizar el experimento de colocar 10 corcholatas en el vaso y
dejarlas caer para verificar. (15 min)

5. A cada equipo entregue un vaso de diferente tamaño. Pida que lo lancen al aire 20
veces y registren en una tabla las posiciones en que cae. (5 min)

Posición Vaso
Parado
De cabeza
De lado
Total

6. Después elaboren una gráfica de barras para representar la información de la tabla.
Cuando terminen, comparen las gráficas de cada equipo, los vasos que usaron y
analicen los resultados con base a las siguientes preguntas:

¿A qué equipo le cayó más veces el vaso parado?________________

¿A cuál le cayó más veces de cabeza? _______________________

¿A cuál le cayó más veces boca arriba? ______________________

¿Qué es más probable que caiga; el vaso de lado, de cabeza o boca arriba?
_______________________ Justifica tu respuesta (10 min)

42


7. Escribe 5 ejemplos de experimentos en donde intervenga el azar y explica tus
respuestas. (5 min)


Es conveniente que durante el desarrollo de esta actividad ayude a los alumnos a
entender las reglas del juego, anticipar resultados, pues se pretende introducir a los
alumnos en la reflexión de situaciones en las que se sabe lo que va a pasar y otras en las
cuales no e posible saberlo. Esto sin precisar que en algunos casos el saber puede
deberse a la falta de información, mientras que en otros no es posible obtener la
información porque se está, precisamente, en situaciones de azar, para ello se sugiere
realizar otros experimentos azarosos como: lanzar monedas, dados, las carrera de
caballos, etc.
Asimismo, conviene que el profesor en todo momento:


Genere la confianza del alumno.

Promueva la participación de todos los integrantes del grupo.


43

8. PINTANDO CUBOS


• Que los alumnos desarrollen las habilidades matemáticas de imaginación y
visualización espacial para determinar las características geométricas de cuerpos
geométricos para los elementos no visibles.

• Que los alumnos desarrollen habilidades matemáticas que les ayuden a enfrentar
con éxito distintos temas de geometría, especialmente aquellos en los que deben
imaginar elementos no visibles de los cuerpos geométricos.


Se recomienda iniciar la actividad de manera individual, posteriormente la segunda parte
(Generalización) es recomendable hacerla en equipos de dos personas.

La parte final de la actividad es de suma importancia hacer la confrontación de resultados
y la socialización de manera grupal.


Puede iniciarse esta actividad haciendo un breve reconocimiento de las habilidades que
tienen los alumnos respecto a la imaginación espacial, para ello se recomienda realizar la
siguiente actividad: (15 min)

• El siguiente arreglo fue hecho con tres cubos, a partir de esta vista determina:

¿Cuántas caras son visibles? ______________
¿Cuántas caras no pueden ser vistas desde esta
perspectiva? _____________________
¿Cuántos vértices no pueden ser vistos desde esta
perspectiva? _____________________
• Observa el siguiente arreglo de cubos:

¿Cuántos cubos faltan para
completar tres pisos? ______

44

DIBUJA LAS CARAS VISTAS DE MANERA
FRONTAL LATERAL DERECHA SUPERIOR

¿Cuántos cubos faltan para
completar tres pisos? ______

DIBUJA LAS CARAS VISTAS DE MANERA
FRONTAL LATERAL DERECHA SUPERIOR


A continuación se presentan algunos arreglos con cubos, obsérvalos con atención y
responde las preguntas que se presentan (20 min):

Figura 1

Al pintar los cubos sin ser separados
¿Cuántos cubos quedarán pintados de…?

a) Una cara ________
b) Dos caras ________
c) Tres caras ________
45
d) Sin pintar ________
¿Con cuántos cubos se formó
ésta en la figura?

Figura 3

Al pintar los cubos sin ser separados
¿Cuántos cubos quedarán pintados de…?

i) Una cara ________
j) Dos caras ________
k) Tres caras ________
l) Sin pintar ________

¿Con cuántos cubos se formó
ésta en la figura? ________


Llena la tabla con base en la información anterior si consideramos que las siguientes
figuras conservan el mismo patrón. (10 min)

Número de Cubos con 1 Cubos con 2 Cubos con 3 Cubos sin Total de
figura cara pintada caras caras pintar cubos
pintadas pintadas
1
2
3
5
10
...
n

46


cubos, en tal caso se recomienda que el profesor considere la posibilidad de mostrar
algunos arreglos sencillos con material concreto para favorecer el desarrollo de esta
habilidad.
Al final es recomendable llegar a la generalización para ello debe retomarse la fórmula del
producto notable de un binomio al cubo.




del grupo.

aprendizaje.

Genere oportunidades para que los niños elijan y resuelvan problemas por sí mismos.


47

9. DIBUJANDO CUBOS


• Que los alumnos desarrollen las habilidades matemáticas de imaginación y
visualización espacial para determinar las características geométricas de cuerpos
geométricos para los elementos no visibles.

• Que los alumnos desarrollen habilidades matemáticas que les ayuden a enfrentar
con éxito, distintos temas de geometría, especialmente aquellos en los que deben
imaginar elementos no visibles de los cuerpos geométricos.


Se recomienda iniciar la actividad de manera individual, posteriormente la segunda parte
es recomendable hacerla en equipos de dos personas.

Dependiendo el número de alumnos y del material disponible se recomienda dar 10 cubos
por equipo, mismos que pueden estar formados por 2, 3 o 4 integrantes.


Puede iniciarse esta actividad haciendo recordatorio de la actividad anterior, para ello se
recomienda realizar la siguiente actividad: (15 min)

1. El siguiente arreglo fue hecho con cubos, a partir de esta vista determina:

¿Cuántos cubos tiene? ______

¿Cuántos cubos tienen una cara pintada? ______

¿Cuántos tienen dos caras pintadas? ______

¿Cuántos tienen tres caras pintadas? _____


2. En equipos utilicen los cubos y las siguientes perspectivas para formar las
construcciones correspondientes. Antes de hacerlas traten de predecir cuántos
cubos serán necesarios para la construcción. Al final dibújenlas en la retícula para
perspectiva, pueden utilizar la que se incluye en el anexo 1: (20 min)

48

3. A continuación se muestra una retícula con perspectiva y algunas construcciones,
imagina que las construcciones se “acuestan” en la dirección que indica la flecha.
Dibuja como queda al final la construcción como se muestra en el caso a) (15 min):

52


cubos, en tal caso y como en la ficha anterior, se recomienda que el profesor considere la
53

posibilidad de mostrar algunos arreglos sencillos con material concreto para favorecer el
desarrollo de esta habilidad.




del grupo.

aprendizaje.

mismos.


54

10. CUÁDRATE CON LOS TRIÁNGULOS


• Que los alumnos comprueben geométricamente la validez del Teorema de
Pitágoras por equivalencia entre áreas de figuras planas, en el caso particular del
triángulo rectángulo isósceles utilizando el tangrama.


Para la realización de esta actividad se sugiere que cada alumno tenga un tangrama y el
docente retome la actividad de la sesión 3 (el tangrama).

Después los alumnos deberán organizarse en equipos de 3 o 4 personas para iniciar la
actividad.


Para iniciar, retome los conocimientos referentes al área de cada pieza del tangrama
utilizado en la sesión 3. Después explore la noción de semejanza y congruencia de
triángulos mediante una lluvia de ideas, puede usar las siguientes preguntas: (10 min)

a. ¿Cuánto miden los lados del triángulo 1?
b. ¿Cuánto miden los lados del triángulo 2?
c. ¿Cómo son entres sí las medidas de los lados del
triángulo 1 y 2?
d. Menciona otra característica que tengan en común
los triángulos 1 y 2
e. ¿Qué tienen en común el triángulo 5 y 7?
f. ¿Qué tienen en común los triángulos 1 y 5?
g. ¿Qué tienen en común los triángulos 1, 3 y 5?
h. ¿Qué diferencias encuentras entre los triángulos 1, 3
y 5?

Guíe a los alumnos a deducir la diferencia entre semejanza y congruencia, así como los
elementos y características del triángulo rectángulo isósceles (catetos, hipotenusa, ángulo
recto).

56


1. Pedir a los alumnos que clasifiquen los distintos triángulos y que los dibujen en los
siguientes espacios a partir de los siguientes criterios: (Tiempo 10) min)

Triángulos que tengan la misma área y la Triángulos que tengan diferente área y
misma medida en sus lados y ángulos. diferente medida en sus lados, pero la
misma medida en sus ángulos

Cuando dos triángulos tienen la misma medida en sus lados correspondientes, sus
ángulos y área, se dice que son congruentes.

Cuando dos triángulos son semejantes entre sí, tienen la misma medida en sus ángulos
interiores correspondientes y la medida de sus lados son proporcionales entre sí pero sus
áreas son distintas.

Al terminar de dibujar las parejas de triángulos congruentes y semejantes deberán
comparar sus resultados con sus compañeros a fin de validar sus respuestas. Posterior a
ello deberán completar las siguientes definiciones:

• Dos triángulos son congruentes entre sí cuando:
__________________________________________________________________
• Dos triángulos son semejantes entre sí cuando:
__________________________________________________________________
• Los triángulos rectángulos isósceles se caracterizan por:
__________________________________________________________________

2. Pida a los alumnos que trabajen en equipos de cuatro integrantes, junten sus
tangramas y realicen lo siguiente: (15 min)

Como actividades previas se sugiere además realizar las siguientes:

Pedir a los alumnos que Respecto al área total del
identifiquen por su nombre a los tangrama determina la fracción
lados de un triángulo rectángulo que representan los triángulos:
isósceles, de tal forma que:
57

______ del área total

H
IP
O
CATETO

TE
N
U
SA
______ del área total

CATETO ______ del área total

Tomen el triángulo que tiene un área de colóquenlo sobre una superficie firme y
seleccionen dos triángulos con los que se pueda construir un cuadrado sobre el lado
hipotenusa:

1
16

58

Con las piezas sobrantes arma un cuadrado sobre cada uno de los lados iguales del
triángulo (catetos).

1 1
Coloca aquí
las piezas 8 8
que formen
este
1
cuadrado 16
Coloca aquí
las piezas
que formen
este
cuadrado

Contesta las siguientes preguntas:
a) ¿Qué piezas del tangrama utilizaste en la actividad anterior?
_____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
b) ¿Cuál es el área de cada pieza?___________________________________________
_____________________________________________________________________
c) ¿Cuál es el área total de las figuras utilizadas para formar uno de los catetos ?______
d) Suma el área de los cuadrado construidos sobre los catetos ¿Qué resultado
obtuviste?
_______________________________________
e) ¿Cómo son entres sí las áreas de la suma de los cuadrados formados en los catetos,
respecto al cuadrado formado en la hipotenusa? _____________________________
cu rm s s
te fo za la
es e e uí
qu pi aq

ra n
do
ad e
n
Po

C
A
Pon aquí las
piezas
que formen 1
este cuadrado
8

Pon aquí las piezas
que formen este
cuadrado
B
59

3. Solicite a los alumnos que ahora coloquen como base el triángulo de área ,
proponga que sobre los catetos e hipotenusa construyan un cuadrado, de tal forma
que al sumar las áreas de los cuadrados pequeños (catetos) obtengan el área del
cuadrado mayor (hipotenusa). (15 min)

a) ¿Cuál es el área del cuadrado que se forma en la hipotenusa?__________

b) ¿Cuál es el área del cuadrado que se forma en uno de los catetos?__________

c) Al sumar el área de los cuadrados que se forman en los catetos, ¿qué resultado
obtienes?______

d) Justifica tu respuesta.


En grupo, propicie un momento de argumentación fundamentado en las equivalencias
entre las áreas de las diferentes piezas. Para ello, el docente debe permitir que el alumno
compruebe sus resultados de forma aritmética y geométrica, es decir, mediante las
operaciones con fracciones o empalmando las piezas sobre el cuadrado mayor. También
puede pedir que realicen la actividad anterior para el triángulo faltante.


Propicie que el alumno genere una conclusión respecto a las áreas de los cuadrados
construidos sobre los catetos del triángulo y él para de la hipotenusa.


Es probable que los alumnos tengan dificultades con el manejo y acomodo de las piezas,
por lo que se les puede orientar al respecto. Durante la actividad se precisarán los
términos: triángulo rectángulo, cateto, hipotenusa, cuadrado, área. Con la manipulación
de los diferentes triángulos como base se pretende que relacionen las áreas de los
cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo, para que
concluyan que “en todo triángulo rectángulo el área de los dos cuadrados construidos
sobre los catetos es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa”.

Incluso puede llegarse, si el profesor lo considera pertinente, a que construyan la
expresión algebraica que representa esta relación.

Por otro lado, es importante que el profesor en todo momento:
del grupo.
aprendizaje.
mismos.

60

11. EL MOSAIQUERO


• Que los alumnos analicen y exploren las características de los polígonos regulares
con los que se puede cubrir un plano.


Es importante que organice a los alumnos desde una sesión anterior, para que lleven -de
manera individual- iluminados y recortados los polígonos que contienen las fotostáticas.

Para la sesión debe organizar al grupo en equipos de cinco integrantes.


Inicie la sesión planteando la pregunta: ¿Alguien ha oído hablar de M. C. Escher?
después de escuchar las respuestas de los alumnos narré la historia de Escher:
“Maurits Cornelius Escher nació en 1898 en Leeuwarden (Países Bajos) y fue un famoso
artista a quien le gustaba cambiar la percepción de la realidad. Fue el pionero en
incorporar figuras como reptiles, aves, peces y otros, en las configuraciones de mosaicos,
no era matemático pero destaco por la composición geométrica de sus mosaicos, y que
una manera de lograr cubrir el plano consiste en usar diversos polígonos regulares que
dan una composición llamada teselación”.
Indiqué a los alumnos qué hablarán de las configuraciones de mosaicos y crearán un
mosaico con su propio diseño usando algunos polígonos. Para ello, retome los elementos
vistos en la sesión “el cubopol” respecto a la clasificación de polígonos y sus
características (lados, ángulos, vértices). (10 min)

1. Muestre uno de los teselados de Escher (anexo1 )Organizados en equipos, explique
que van a cubrir ese mosaico y cuestione (20 min):
a. ¿Cuáles de los polígonos regulares que taren pueden usar para cubrir el plano,
sin que se traslapen las figuras, que no queden huecos y tengan en común sólo
lados o vértices?_________________
b. Utilicen un mismo polígono para cubrir cada uno de los siguientes planos:

61

¿Con cuáles de las figuras pudieron cubrir el plano?
¿Qué característica tienen los polígonos que permiten cubrir el plano?
¿Cuántas figuras coinciden en los vértices dentro del plano?
¿Cuáles son los polígonos regulares con los que no se puede cubrir el plano y a
qué creen que se deba?

2. Proponga que tracen un triángulo equilátero, y señalen uno de sus ángulos:

60°

A

¿Qué medida tiene cada ángulo del triángulo?____________________
Construye triángulos que coincidan con el vértice A
a. ¿Cuántos triángulos coinciden con el vértice A? ________________
b. ¿Cuánto suman los ángulos que coinciden en ese vértice? _______________
c. Existe alguna relación entre la medida de los ángulos y cubrir el plano? ¿por
qué?
Es importante que después de la actividad todos los alumnos lleguen a la conclusión de
que solamente se puede cubrir el plano con los cuadrados, hexágonos regulares y
triángulos equiláteros, debido a que la medida de sus ángulos interiores es divisor de 360.
(10 min)

62


3. Sugiera que por equipos intenten empalmar cuadrados y triángulos de tal manera que
cubran la superficie de la cartulina completamente, sin dejar huecos y sin encimarlos y
cuestione:
a) ¿Puedes crear un diseño que se repita?________________
b) Intenta cubrir la superficie con triángulos y hexágonos. ¿Existe más de una
posibilidad?______________________


4. Para finalizar, solicite que lo expongan ante el grupo. (10 min).


Se sugiere pedir a los alumnos que investiguen acerca de los teselados elaborados por
Escher, o bien, que el profesor presente algunos de sus trabajos (al final se presentan
imágenes de algunos teselados elaborados por Escher).

También se les puede pedir que busquen, en revistas o libros, imágenes de mosaicos con
diversas figuras geométricas para mostrar a sus compañeros al inicio de la sesión.
Además se harán comentarios acerca de lugares donde hayan observado recubrimientos
de diversas superficies, como en plazas, iglesias, tiendas, zócalos, etc. Para la primera
actividad se pueden utilizar además polígonos regulares de siete, ocho, nueve lados, etc.

Puede proponer al alumno que realice la actividad 2, pero con el cuadrado, pentágono y
hexágono.



Genere la confianza del alumno y promueva la participación de todos los
mismos.

Valore los esfuerzos y logros alcanzados cuando los alumnos muestren sus
mosaicos.

63

Anexo1

Teselados de Escher

64

12. CUADRADOS, CUADRITOS Y MAGIA


• Que los alumnos encuentren patrones aritméticos y expresiones algebraicas a
partir de construcciones geométricas.

• Que los alumnos construyan el conjunto de Cantor a fin generar patrones y
determinar la expresión general para el enésimo término de una sucesión
numérica y figurativa.


Para la realización de esta actividad cada alumno debe tener una hoja blanca, en la
primera fase de la sesión los alumnos deberán trabajar de forma individual y en la
segunda fase organizarse en equipos de 3 o 4 personas. (5 min)


Pida a los alumnos que con la hoja obtengan un cuadrado de la mayor área posible e
indique que ese cuadrado tiene de área una unidad. Presente una breve narración de la
versión del conjunto de Cantor mostrando cada una de sus etapas de evolución enfatice
en que cada vez que se realice una transformación se hablará de una etapa. (5 min)

1. Considera que el siguiente cuadrado tiene área igual a una unidad (A = 1) y coloca los
datos que se te piden (5 min)

Etapa 0
No de cuadrados _________
Área _______

2. Divide el cuadrado en cuatro cuadrantes iguales, después ilumina el cuadrado
superior derecho:

El cuadrado inicial tenía de área una unidad
y no había ninguna división. ¿En cuántas
partes se ha dividido el cuadrado en esta
primera etapa?____________

¿Cuántas de esas partes no están
iluminadas?___________

¿Qué parte del cuadrado quedó sin 67
iluminar?______________

Puede sugerir a los alumnos el uso de la regla para realizar las divisiones o bien el
doblado e papel. Durante la obtención de la parte que queda sin iluminar explore las
respuestas de los alumnos y cerciórese que estén convencidos que el área es (10
min).

3. Para realizar la segunda etapa, deberás dividir los cuadros restantes en cuatro
cuadrados iguales, después debes iluminar los cuadrantes equivalentes al primero
que coloreaste:

En esta segunda etapa ¿cuántas de partes del
cuadrado no están iluminadas?___________
. ¿Qué parte del cuadrado quedó sin
iluminar?______________

Explica brevemente tu respuesta.

_______________________________________
_______________________________________

Se sugiere que el docente enfatice en que cada etapa se refiere a una iteración; así
mismo proponga que realicen una nueva etapa (tercera), guíe al alumno al uso de las
fracciones para representar la región sin iluminar.

Para la tercera etapa

a. Para la tercera etapa (iteración) debes repetir los pasos anteriores; divide los
cuadrados restantes en cuatro partes. Ilumina los cuadrantes equivalentes al
primero que coloreaste (10 min):

Etapa 3

No de cuadrados en total_________
Número de cuadros sin iluminar_________
Área de la región sin iluminar_______

68

4. Reunidos en equipo completen la siguiente tabla con base en la información obtenida
en las etapas anteriores:

Etapa Área
Fracciones Decimales

1 1.0

2

3

4

5

6

7

10

…

n

69


Debe promover la validación de estrategias de solución enfatizando que al realizar todo
correctamente se obtiene la siguiente sucesión de áreas (10 min):

1
E =
0 1

3
E =
1 4

9
E =
2 16

27
E =
3 64

81
E =
4 256

En la séptima iteración ¿cuál será la fracción que representa el área sin iluminar? ____

_____________________________________________________________________

Explica brevemente cómo hacer para obtener el área que representa la etapa diez.

¿Qué observas en esta sucesión , , , …?

Promueva que expresen como potencias el área de las regiones sin iluminar (10 min):

¿Existe alguna operación con la que puedas expresar , , , …? ________

Escríbela_________________

La sucesión anterior puede ser representada mediante potencias; observa la
información, resuelve las potencias y escribe los resultados

30
E 0 = 0 = _________
4

70

31
E1 = 1 = _________
4

32
E 2 = 2 = _________
4

33
E 3 = 3 = _________
4

34
A 4 = 4 = _________
4

Expresa como potencias:

A10 =
A =
25
A100 =

Escribe una expresión para encontrar el área de la región sin iluminar para cualquier
etapa. ¿Qué le pasa el área de la región sin iluminar después de la iteración 1000?


Es probable que los alumnos tengan dificultades con las divisiones de los cuadrados.
Guíelos de tal manera que siempre iluminen el mismo cuadrante que al inicio.

También es importante propiciar un momento justificación de procedimientos así como el
manejo de la expresión general. Para ello, el docente debe permitir que el alumno
compruebe sus resultados de forma aritmética y geométrica, es decir, mediante las
iteraciones en el cuadrado y las operaciones por conteo o potencias. Asimismo, cuestione
a los alumnos a cerca de las áreas conforme se realizan las iteraciones.

Además, no olvide que en todo momento debe:
Animar a los participantes a expresar sus opiniones y dudas.
Favorecer la cooperación y el respeto mutuo.
Generar la confianza del alumno y promueva la participación de todos los
Valorar los esfuerzos y logros alcanzados

71

13. FIGURAS QUE CRECEN


• Que los alumnos encuentren una expresión general que represente el enésimo
término de una sucesión figurativa usando procedimientos personales.

• Que los alumnos determinen una expresión general para definir el enésimo
término en sucesiones numéricas y figurativas.


Para la realización de esta actividad organice equipos de 3 alumnos y proporcione un
geoplano a cada equipo.



4. Comente a los alumnos que construirán varios polígonos, retome los conocimientos
correspondientes a perímetro y área. Indique que llamarán puntos en la frontera a los
que forman el perímetro. Proponga que en el geoplano formen los siguientes
rectángulos y contesten lo que se pide:

a. ¿Cuántos puntos tiene la primera figura en la frontera?______________

b. ¿Cuántos puntos tiene la segunda figura? ________________

72

c. ¿Cuántos puntos hay en la tercera figura?_______________

d. Si continuamos trazando las figuras en el geoplano; ¿cuántos puntos tendrá la
figura 5? __________________Explica tu respuesta.

e. ¿Cuántos puntos tendrá en su frontera la figura 20? __________

5. Explore y confronte las estrategia que usaron los alumnos para recocer la regularidad
y obtener los resultados, prueben la validez del procedimiento a induzca a la
obtención de una regla general. (10 min)

3. Indique a los alumnos que ahora van a trabajar con triángulos como los que se
muestran a continuación:

a) Contesta lo que se pide:

¿Cuántos puntos tiene en la frontera la primera figura?______________

¿Cuántos puntos tiene la segunda figura? ________________

¿Cuántos puntos hay en la tercera figura?_______________

Si continuamos trazando las figuras ¿cuántos puntos tendrá la figura 7? ______Explica tu
respuesta.

73

Completa la siguiente tabla:

No de Figura Clavos en la frontera Clavos en el interior

1 6 0
2 9
3 12
4
5 10
6 21
7 24
…
10
…
30
…
100
…
N

Explica cómo obtuviste tus resultados:

Observa que en la segunda columna obtienes una sucesión determinada por 6, 9, 12, 15,
18,… ¿Cuánto va saltando cada vez los números de la lista?_____________

Escribe una expresión general para cualquier figura. Comprueba tu respuesta. (25 min)


4. Verifique que todos los alumnos completaron la tabla, confronte las estrategias de
los alumnos y sugiera algunas opciones para identificar el patrón y generalizar en
términos de n, (diferencias finitas). (10 min)

74


5. Para concluir sugiera a los alumnos que encuentren una expresión general para la
sucesión generada en la tercera columna y comprueben la validez de la expresión general
para las primeras cinco figuras. (5 min)

a. Utiliza la lista de resultados obtenidos en la tercera columna y escribe los
primeros cinco términos de la sucesión:
______, ________, _______, ________, ______

b. ¿Existe una expresión general para esta sucesión? Compruébalo.


En el primer inciso se espera que los alumnos no tengan dificultad en encontrar los
términos de la sucesión que se pide. Sin embargo, en de los triángulos, específicamente
en la tercera columna tal vez sea necesario ayudarlos. Por ejemplo, se les puede sugerir
que encuentren la relación que existe entre el número de la posición de la figura y el
número de puntos, el crecimiento de los lados del triángulo.

Asimismo, es necesario que:

Promueva el uso del lenguaje coloquial para las expresiones y guíe, de tal manera
que los alumnos relacionen con el lenguaje matemático.

Durante en trabajo con los alumnos anime a los alumnos a expresar sus opiniones
y dudas.

Favorezca la cooperación y respeto.

Utilice los “errores” de los participantes como un elemento inherente al proceso de
aprendizaje.

75

14. EL TANGRAMA


• Que los alumnos utilicen material concreto para representar, identificar, operar y
modelar repartos y operaciones con números fraccionarios.

• Que los alumnos desarrollen la habilidad de estimar resultados al resolver
problemas que impliquen sumar o restar fracciones con distinto denominador.

• Que los alumnos resuelvan problemas de suma y resta que impliquen el uso de
números fraccionarios mediante el uso de material concreto.


Para la realización de esta actividad se sugiere que inicien el trabajo de manera individual,
a fin de poder buscar estrategias diversas para resolver las primeras actividades y poder
confrontar después las estrategias utilizadas.

Posteriormente los alumnos deberán organizarse en equipos de 2, 3 o 4 personas, lo cual
dependerá de la disponibilidad de material y de la cantidad de alumnos para realizar la
actividad.


El problema que los estudiantes tienen con la comprensión de las fracciones se debe,
entre otras cosas, a la pobreza de significados a los que son enfrentados durante el
estudio de este tema durante la educación básica.

A manera de exploración iniciaremos con un sencillo cuestionario, esto es con la intención
de ver las concepciones que tienen respecto al tema de las fracciones antes de trabajar
con esta ficha de trabajo. (Tiempo 10 min)

LAS FRACCIONES

Nombre: ____________________________________________________________

1. Escribe brevemente, ¿qué entiendes por fracción? ____________________________
________________________________________________________________________

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Matemáticas creativas: Talleres lúdicos para secundaria

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