Este documento proporciona información sobre funciones exponenciales y logarítmicas. Explica que una función exponencial tiene la forma f(x)=bx donde b es la base mayor que cero. También describe las propiedades de estas funciones, como que si b es mayor que uno, f(x) aumenta a medida que x aumenta. Además, presenta ejemplos de crecimiento exponencial como poblaciones bacterianas y costos con tasas anuales.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALESEducación
El documento presenta una unidad didáctica sobre sistemas de ecuaciones no lineales para estudiantes de 4o de ESO. La unidad incluye ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones no lineales y sus soluciones.
El documento presenta diferentes tipos de problemas de razonamiento lógico, incluyendo problemas sobre relaciones familiares, ordenamiento de información, cuadros de decisiones y ordenamiento circular. El objetivo es desarrollar habilidades como captar ideas centrales, razonar situaciones abstractas, y relacionar premisas para sacar conclusiones válidas. Se proveen ejemplos de problemas y su resolución para familiarizar al lector con este tema.
Este documento presenta un libro de texto sobre física dirigido a estudiantes preuniversitarios. El objetivo del libro es enseñar las leyes físicas fundamentales y cómo aplicarlas para resolver problemas. El conocimiento de la física permitirá comprender los fenómenos naturales observables en el universo y la vida diaria. El libro consta de 16 unidades, cada una con explicaciones teóricas, problemas y tareas.
Este documento presenta diferentes métodos para factorizar polinomios, incluyendo: factor común, agrupación de términos, trinomios cuadrados perfectos, diferencia de cuadrados, suma y diferencia de potencias, y polinomios que contienen factores de la forma x + a.
Este documento presenta 25 preguntas de selección múltiple sobre cálculo integral. Las preguntas abarcan temas como la solución de integrales indefinidas y definidas, el cálculo de áreas y volúmenes, y el uso de integrales en economía. El documento proporciona un cuadernillo de preguntas para una evaluación nacional sobre cálculo integral.
Este documento presenta información sobre conjuntos y subconjuntos. Explica que un conjunto A está incluido en otro conjunto B cuando todos los elementos de A se encuentran en B. Se denota esta relación de inclusión como A ⊂ B. También define propiedades de la inclusión como que el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto, y que todo conjunto es subconjunto de sí mismo. Finalmente, menciona que la inclusión se puede representar gráficamente mediante diagramas de Venn-Euler.
I. La división algebraica involucra dividir dos polinomios llamados dividendo y divisor para obtener el cociente y residuo. Estos cuatro polinomios cumplen la identidad fundamental de la división.
II. Existen métodos como el de Horner y Ruffini para dividir polinomios.
III. El teorema del resto establece que el resto de dividir un polinomio P(x) entre (x - n) es igual a P(n). Esto permite obtener el resto sin realizar la división.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALESEducación
El documento presenta una unidad didáctica sobre sistemas de ecuaciones no lineales para estudiantes de 4o de ESO. La unidad incluye ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones no lineales y sus soluciones.
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I. La división algebraica involucra dividir dos polinomios llamados dividendo y divisor para obtener el cociente y residuo. Estos cuatro polinomios cumplen la identidad fundamental de la división.
II. Existen métodos como el de Horner y Ruffini para dividir polinomios.
III. El teorema del resto establece que el resto de dividir un polinomio P(x) entre (x - n) es igual a P(n). Esto permite obtener el resto sin realizar la división.
El documento es un mapa mental creado por Michael Pérez el 4 de octubre de 2015 para la I.U.P Santiago Mariño en Maracaibo, Venezuela. El mapa mental resume información sobre la República Bolivariana de Venezuela y el Ministerio del poder popular para la educación superior.
The document discusses the top 3 best places. It does not provide any details about specific locations or reasons they are considered the best. The document gives a very high-level statement about a top 3 list but does not elaborate on what is included in that list.
A empresa anunciou um novo produto que combina hardware e software para fornecer uma solução completa para clientes. O produto oferece recursos avançados de inteligência artificial e aprendizado de máquina para ajudar os usuários a automatizar tarefas complexas. Analistas esperam que o produto ajude a empresa a crescer em novos mercados e aumentar sua receita nos próximos anos.
El documento presenta un informe de investigación científica realizado por el equipo #7-Tecnoinvestigacion liderado por Esteban Gil Urrea, un estudiante de grado 9-E en la Institución Educativa Tecnológica Industrial Simona Duque bajo la supervisión de la profesora Alba Inés Giraldo.
El documento clasifica las variables aleatorias en discretas y continuas. Las variables discretas solo pueden tomar valores dentro de un conjunto numerable finito, como la cantidad de hermanos. Las variables continuas pueden tomar cualquier valor decimal dentro de un intervalo, como la estatura de una persona.
El documento trata sobre funciones exponenciales y logarítmicas, incluyendo ejemplos de crecimiento poblacional exponencial, interés compuesto, y cálculos con logaritmos. Explica conceptos como la base natural e y cómo las funciones exponenciales y logarítmicas son funciones inversas.
Este documento presenta los fundamentos matemáticos de una asignatura. Incluye secciones sobre números, redondeo, razones y variación proporcional, porcentajes, logaritmos, series y sucesiones, y uso de Excel. Los objetivos son que los estudiantes adquieran las bases matemáticas necesarias para abordar con éxito los capítulos posteriores y realizar cálculos matemáticos utilizando diferentes conceptos.
El documento presenta información sobre números reales, funciones exponenciales y logarítmicas, y conceptos matemáticos como reglas de exponentes, interés compuesto, escala de Richter y ley de enfriamiento. Explica las propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas, y provee ejemplos para ilustrar su uso en diversos contextos como crecimiento bacteriano, inversiones y medición de sismos.
El documento presenta información sobre números reales, funciones exponenciales y logarítmicas, y conceptos matemáticos como reglas de exponentes, interés compuesto, ecuaciones y gráficas. Explica las propiedades de funciones exponenciales y logarítmicas, y provee ejemplos para ilustrar conceptos como reglas de exponentes, interés compuesto, escala de Richter y ley de enfriamiento. También define ecuaciones matemáticas y describe tipos de gráficas lineales y cuadráticas.
El documento presenta información sobre números reales, funciones exponenciales y logarítmicas, y conceptos matemáticos como el teorema de Pitágoras y las identidades trigonométricas. Explica las propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas, y provee ejemplos de su aplicación en áreas como el crecimiento bacteriano y la ley de enfriamiento de Newton. También define conceptos como la pendiente de una recta y tipos de gráficas lineales y cuadráticas.
El documento presenta varios ejemplos y problemas relacionados con funciones exponenciales y el cálculo de interés compuesto. Incluye ejemplos de evaluación de funciones exponenciales, gráficas de funciones, un modelo exponencial para la diseminación de virus, y cálculos de interés compuesto de forma anual, semestral, trimestral, mensual, diaria y continua.
Este documento trata sobre funciones exponenciales y logarítmicas. Explica las funciones exponenciales y cómo se usan para modelar el crecimiento poblacional. Luego introduce las funciones logarítmicas, definiendo los logaritmos y estableciendo la relación entre las formas exponencial y logarítmica. Finalmente, cubre las propiedades y leyes de los logaritmos.
1) El documento presenta conceptos matemáticos relacionados con números racionales e irracionales, funciones logarítmicas, razón de cambio promedio y razón de cambio instantáneo. 2) Explica cómo demostrar que 2 no es un número racional a través de una contradicción algebraica. 3) Detalla cómo calcular la razón de cambio promedio entre dos intervalos de tiempo a partir de una gráfica de población.
1) El documento presenta conceptos matemáticos relacionados con números racionales e irracionales, funciones logarítmicas, razón de cambio promedio y razón de cambio instantáneo.
2) Explica cómo demostrar que 2 no es un número racional a través de una contradicción al asumir lo contrario.
3) Describe cómo calcular la razón de cambio promedio entre dos puntos a partir de una gráfica que muestra cambios en la población de peces.
Este documento presenta las funciones exponenciales y logaríticas. Explica que la función exponencial con base a se define para todos los números reales x y que las funciones exponenciales más comunes son las de base 2, 3, 10 y e. También define la función logarítmica y explica que el logaritmo en base a de un número x es el número y tal que a elevado a y es igual a x. Además, resume algunas aplicaciones como el crecimiento poblacional, la desintegración radiactiva y el pH.
El documento explica las funciones logarítmicas y sus propiedades. Define el logaritmo como la función inversa de la función exponencial, y explica que para cualquier número positivo x, el logaritmo de x con base a (loga(x)) es el exponente al que hay que elevar a para obtener x. Presenta ejemplos de cómo convertir expresiones entre sus formas exponencial y logarítmica, y cómo resolver ecuaciones utilizando esta propiedad. Finalmente, grafica funciones logarítmicas y explica sus características.
EL SIGUIENTE TRABAJO ADEMAS DE SER PARTE DE UNA ASIGNACIÓN ES UN MÉTODO PRACTICO DE FAMILIARIZARSE CON LA TERMINOLOGÍA MATEMÁTICA A TRAVÉS DEL MISMO TAMBIÉN SE AGILIZA E INCENTIVA LA CAPACIDAD DE INVESTIGAR ,ANALIZAR E INTERACTUAR CON DISTINTOS CONCEPTOS
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1) El documento presenta conceptos matemáticos relacionados con números racionales e irracionales, funciones logarítmicas, razón de cambio promedio y razón de cambio instantáneo.
2) Explica cómo demostrar que 2 no es un número racional a través de una contradicción al asumir lo contrario.
3) Describe cómo calcular la razón de cambio promedio entre dos puntos a partir de una gráfica que muestra cambios en la población de peces.
Este documento presenta las funciones exponenciales y logaríticas. Explica que la función exponencial con base a se define para todos los números reales x y que las funciones exponenciales más comunes son las de base 2, 3, 10 y e. También define la función logarítmica y explica que el logaritmo en base a de un número x es el número y tal que a elevado a y es igual a x. Además, resume algunas aplicaciones como el crecimiento poblacional, la desintegración radiactiva y el pH.
El documento explica las funciones logarítmicas y sus propiedades. Define el logaritmo como la función inversa de la función exponencial, y explica que para cualquier número positivo x, el logaritmo de x con base a (loga(x)) es el exponente al que hay que elevar a para obtener x. Presenta ejemplos de cómo convertir expresiones entre sus formas exponencial y logarítmica, y cómo resolver ecuaciones utilizando esta propiedad. Finalmente, grafica funciones logarítmicas y explica sus características.
EL SIGUIENTE TRABAJO ADEMAS DE SER PARTE DE UNA ASIGNACIÓN ES UN MÉTODO PRACTICO DE FAMILIARIZARSE CON LA TERMINOLOGÍA MATEMÁTICA A TRAVÉS DEL MISMO TAMBIÉN SE AGILIZA E INCENTIVA LA CAPACIDAD DE INVESTIGAR ,ANALIZAR E INTERACTUAR CON DISTINTOS CONCEPTOS
1) Las expresiones exponenciales describen el crecimiento exponencial como en la reproducción celular, donde cada célula se divide en dos. 2) Las funciones logarítmicas están relacionadas a las exponenciales, donde el logaritmo de un número es el exponente a elevarse para obtener ese número. 3) Las ecuaciones exponenciales y logarítmicas involucran a la incógnita en el exponente o dentro del logaritmo respectivamente, y pueden resolverse utilizando propiedades de exponenciales y logaritmos.
Este documento presenta un resumen de contenidos matemáticos relacionados con números reales e irracionales. Incluye definiciones de números racionales e irracionales, operaciones con números reales, expresiones decimales, raíces cuadradas y ejercicios de práctica.
1) Las expresiones exponenciales describen el crecimiento exponencial de células al dividirse, como 2x células en la reproducción x. Las funciones exponenciales y logarítmicas están relacionadas, donde el logaritmo representa el exponente al que se eleva la base para obtener el número.
2) Las propiedades clave de las funciones exponenciales y logarítmicas incluyen sumar exponentes, dividir bases elevadas a exponentes, y cambiar entre sistemas logarítmicos usando las bases 10, e,
El documento trata sobre funciones exponenciales y logarítmicas. Introduce las funciones exponenciales y sus aplicaciones en interés compuesto y crecimiento poblacional. Luego introduce las funciones logarítmicas, sus gráficas y propiedades. Incluye ejemplos para ilustrar el uso de funciones exponenciales y logarítmicas.
El documento resume las funciones exponenciales y logarítmicas, incluyendo sus gráficas y aplicaciones en interés compuesto, crecimiento poblacional y depreciación. Explica cómo estas funciones se usan para modelar situaciones donde cantidades cambian a tasas porcentuales fijas en cada periodo de tiempo.
Este documento presenta una introducción a los diferentes tipos de números, incluyendo números naturales, enteros, racionales e irracionales. También describe propiedades de los números reales y operaciones matemáticas como suma, resta, multiplicación y división de números reales y polinomios.
Este documento describe las funciones exponenciales y sus características. Explica que hay 4 tipos de funciones exponenciales dependiendo de los valores de a y b. También analiza conceptos como dominio, imagen, crecimiento, intersección con los ejes, y provee ejemplos para ilustrar estos conceptos.
1. 04/03/2010 1 FUNCIONES EXPONENCIALES UNIDAD 4 Y LOGARITMICAS
2. Una función exponencial es una función de la forma f (x)=bx donde la base es b> 0, el dominio son todos los números reales y el ámbito son todos los números reales positivos. ☺EJEMPLO. Trazar las graficas de las funciones 3x y (1/3)x ☺SOLUCION Se elaborara la tabla de valores para la primera función con ayuda de la calculadora 04/03/2010 2 FUNCION EXPONENCIAL
4. 04/03/2010 4 Se elabora la tabla de valores para la segunda función, con ayuda de la calculadora .
5. En la figura 4.2 se muestra la grafica de la función 04/03/2010 5
6. PROPIEDADES DE LA FUNCION EXPONENCIAL Para toda b>0, la función f(x)=bx se llama función exponencial con base b. la función tiene las siguientes propiedades : El dominio son todos los números reales El ámbito o rango son todos los números reales positivos Si b>1, cuando aumenta x aumenta, f(x) aumenta Si 0<b<1, cuando x aumenta, f(x) disminuye Si b=1, f(x) es la función constante f(x)=1 04/03/2010 6
7. Para comprender esto podríamos responder la pregunta ¿Cuál es la potencia x de b?. Así evaluar y=37 equivale a determinar que y= 2187; lo cual se puede hacer mediante la calculador 04/03/2010 7
8. El uso mas común de la función exponencial es el estudio del crecimiento y decaimiento exponenciales. Por ejemplo, la expresión “la población crece exponencialmente” puede ser expresada en forma matemática por medio de la función: F=F(t)=FobK Donde: b> 1 ☺Fo= Cantidad presente en el tiempo t=0 K es una cantidad positiva que depende de la tasa de crecimiento 04/03/2010 8
9. Ejemplos de poblaciones que crecen de manera exponencial son las siguientes: El crecimiento de una población de bacterias esta dado por: B(t) = 2t El crecimiento de la población del mundo (en billones) se puede expresar como: P(t)= 4(2)t/35 El crecimiento de los costos de los artículos, si se tiene una tasa anual del 12%, se expresa como, al considerar un costo inicial de algún articulo de 100 pesos; C(t)= 100 (1.2)t 04/03/2010 9
10. EJEMPLO Algunas cuentas de ahorros pagan 5.5% de interés capitalizable trimestralmente, ¿Cuál será la tasa de porcentaje anual efectiva en tal cuenta? SOLUCIÓN Si se depositan 100 pesos en una cuenta de ahorros de este tipo y calculamos el monto al final del año, se puede determinar la tasa de porcentaje anual. P=100(1+0.055/4)4=105.61 Por lo tanto, la tasa de porcentaje anual es 5.61% 04/03/2010 10
11. LA BASE NATURALLa base natural de la función que mas frecuentemente se encuentra en las aplicaciones es un numero irracional. Para ver como ocurre esto, consideremos la formula para determinar el monto acumulado en una cuenta con interés compuesto, la cual esta dada por. At= P (1+I/n)nt DONDE I= tasa de interés. t= numero de años, n= numero de veces al año en que se compone el interés, P= capital y A= monto acumulado después de t años. Para simplificar el problema considere que se invirtió $1 por un año a una tasa de interés del 100%; es decir, P= I t= 1. Por lo que, la expresión anterior se reduce: A=(1+1/n)n 04/03/2010 11
12. ¿Qué ocurre cuando n aumenta? Esto es, si invertimos $1 durante un año al 100% ¿Cuánta diferencia hay en que tan a menudo se capitaliza el interés? Se encontrara la cantidad redituada si el interés se compone anualmente, semestralmente, semanalmente, etc., hasta llegar a horas; esto se logra haciendo n=1,2,4,12,52,380,8640. En la siguiente tabla se encontrara la información . 04/03/2010 12
14. Observe que se reciben aumentos sustanciales hasta los cálculos semanales (52) o diarios (360) y después los aumentos son insignificantes. De hecho no importa que tan a menudo se capitalice el interés, el monto acumulado no excede un numero que es aproximadamente 2.7182818 y se denota por el símbolo e 04/03/2010 14
15. La base natural tiene muchas aplicaciones ya que describe el crecimiento continuo. Si el interés se capitalizara continuamente, se podría escribir la formula de interés compuesto como la función: At=Pelt Ejemplo: El municipio de Llera de Juárez en Tamaulipas tenia una población de 15000 habitantes en 1980 y crece de acuerdo a la función y=y0e0.04t donde t esta dado en años ¿cuál será su población en el año 2000? Solución Utilizando la función se tiene; Y=15000 e0.04(20)= 33383 habitantes, t=20 04/03/2010 15
16. 4.5 FUNCIONES LOGARITMICAS Para cada b> 1 existe una función llamada la función logaritmo en la base b. La aseveración , es equivalente a la aseveración . Note que en el exponente es y, donde . El echo de que el logaritmo, es un exponente. Es la potencia a la cual la base b debe ser elevada para obtener x . Analice los datos de la sig. Tabla: 04/03/2010 16
18. 04/03/2010 18 Ejemplo: trazar la grafica de la función solución: para obtener los valores de esta grafica se elaborara la tabla siguiente:
19. En la figura 4.3 se presenta la grafica de la función 04/03/2010 19
20. PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN LOGARITMO. 1 L(1)=0, para cualquier b>1. 2 El dominio de L(x) son todos los números reales positivos 3 El ámbito o rango de L(x)son todos los números reales 4 A medida que x aumenta, L(x) aumenta La relación entre la función exponencial y la función logaritmo es la misma que la que hay entre la función de elevar al cuadrado y la raíz cuadrada aplicada a números positivos. 04/03/2010 20
21. Cuando elevamos al cuadrado un numero positivo c, se obtiene . Si luego se extrae la raíz cuadrada de se regresa a c. Por ejemplo: si se considera b=3 y x=9, entonces se eleva el 3 a la novena potencia y se obtiene 19638. después, obteniéndose el logaritmo de 19638 en base 3, se regresa al 9. alternativamente si tomamos el logaritmo de 9 en la base 3 se tiene 2; si después se eleva 3 a la segunda potencia se regresa al 9. 04/03/2010 21
22. PRINCIPIOS DE LOS LOGARITMOS Para localizar los logaritmos de números pequeños y grandes que se pueden expresar en notación científica, se usan los principios algebraicos de los logaritmos que se derivan de las exponenciales y que a continuación se presentan . Para cualquier base b>1 y cualesquiera números reales positivos r y s; 1 2 3 04/03/2010 22
23. Ejemplo: utilizando los principios anteriores despejar la variable x de: Log (x+3) + log(x)=1 Solución: log (x+3) + log (x) = 1 por el principio 1 se puede expresar como: Log(x(x+3))=1 por la definición de logaritmo se tiene factorizando se obtendrá: toma solo el valor positivo ya que no se puede obtener el log de un valor negativo X=2 04/03/2010 23
24. Ejemplo: calcular el valor de Solución: se toma entonces Log Log Log Log log10=1 Log Log En general, si el numero real x se expresa en notación científica: Entonces: el entero c se llama la característica de x y log m se llama la mantisa de c 04/03/2010 24
25. Crecimiento logarítmico. Algunas cantidades carecen en forma logarítmica. El ejemplo típico que presenta en este caso es el del sonido en el cual se señala que la intensidad del sonido es directamente proporcional al logaritmo de la potencia del sonido. Es decir: N=N(I)=10log(I/Io) Donde: N=numero de decubeles (intensidad del sonido) I=potencia del sonido en watts por cm cuadrado Io=constante que presenta la potencia del sonido justo por debajo del umbral de audición ( aproximadamente watts por centímetro cuadrado). La grafica de N=10log(I/Io)se presenta en la figura 4.4 04/03/2010 25
27. ECUACIONES EXPONENCIALE S Y LOGARITMICAS existen algunas aplicaciones que requieren la solución de una ecuación que incluye una función logarítmica o exponencial, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo: La población mundial en 1975 fue de cerca de 4 billones y se ha duplicado cada 35 años. Suponiendo que esta tasa de crecimiento continua, estimas el año en el cual la población mundial alcanzara: (a)32 billones, (b)37 billones. 04/03/2010 27
28. Solución: Si P(y) representa la población del año, entonces: P(y)= Por lo que: 32= 3=(y-1975)/35 2080=y 04/03/2010 28
29. Por lo tanto, la población alcanzara los 32 billones en el año 2080 y los 37 billones en el año de 2087.33, si continua la tasa de crecimiento señalada. Ejemplo: Los materiales traslucidos tienen la propiedad de reducir la intensidad de la luz que pasa atraves de ellos, 1 hoja de un mm de espesor de un cierto plástico translucido reduce la intensidad de la luz en 8%. ¿Cuántas hojas de este tipo se necesitan para reducir la intensidad de un haz de luz a un 25% de su valor original? Solución: cada hoja de plástico reduce la intensidad de luz al 92% de su valor original. Por lo que: Por lo tanto con 17 hojas seria suficiente 04/03/2010 29
30. ejercicios 1.- Resuelva mediante la calculadora: A) 54.37 B)(-3.25)101 C) (2)102 x (5)3.15 2.- trazar las siguientes graficas de las funciones exponenciales: A) Y=4 B) Y=2-3 C) Y=1+3 3.- Una hoja de papel tiene 0.076 mm de espesor. Doblándola una vez da un espesor de dos hojas ¿Qué espesor tendrá la hoja si se doblo 20 veces? 4.- Si se depositan 1500 en una cuenta de ahorros ¿Cuánto tendrá al final de 5 años si el interés es: A) 5.25% capitalizable trimestralmente B)5% capitalizable semestralmente 04/03/2010 30
31. 5.- Usted compro un anillo por $200, ¡Cuánto valdrá este anillo en 10 años si: a)El valor aumenta 12% cada año? b)Su valor después de t años esta dado por ? 6.- despeje x sin calculadora: (a) (b) (c) 7.-despeja x usando la calculadora: (a) (b) (c) 8.-trace las graficas de las siguientes funciones: (a)y=log x (b)y=Ln x (c)y=4+log x (d) 04/03/2010 31
32. 9.- un temblor de tierra registro 8.7 en la escala de Richter, ¿Cuántas veces es mas fuerte este que uno de 5.5 en la misma escala? 10.-¿en que año la población mundial llegara a los 25 billones y en cual a los 50 billones de habitantes, de acuerdo con el ejemplo mostrado en paginas anteriores? 04/03/2010 32