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               UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
                     “FRANCISCO DE MIRANDA”
                         ÁREA DE EDUCACIÓN
              DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA
                    U.C: ESTADÍSTICA EDUCATIVA




                 SANTA ANA DE CORO;MAYO DE 2010




   1                                      Licdo. Anthony Ramos
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                                  Índice de Contenidos

   Tema 1.3 Medidas Descriptivas Numéricas

   Tema 1.3.1 Medidas de Tendencia Central: (datos no agrupados y

   agrupados)

              1.3.1.1 Media Aritmética.

              1.3.1.2 Mediana.

              1.3.1.3Moda.

   Tema 1.3.2 Medidas de Dispersión Absoluta: (datos no agrupados y

   agrupados)

              1.3.2.1 Rango.

              1.3.2.2 Varianza.

              1.3.2.3 Desviación Estándar.

   Tema 1.3.3 Medidas de Dispersión Relativa:

              1.3.3.1 Coeficiente de Variación.




   2                                                     Licdo. Anthony Ramos
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                 Tema Nº 1.3.1 Medidas de Tendencia Central

   Medidas de Tendencia Central: llamadas medidas de localización y
   sirven para determinar los valores centrales de una distribución; se da; para
   datos agrupados y no agrupados.


          Las medidas de tendencia central tales como: media aritmética (valor
   medio), mediana (valor central) y moda valor más común la podemos
   definir como aquellos cuyo valor central obtenido se considera típico del
   conjunto de datos del cual procede.




       1) Datos no Agrupados: cuando los datos se representan en forma
          individual. (45, 70, 63, 14).
       A) Media Aritmética: es el centro físico del conjunto de datos, el valor
   más representativo del producto y se calcula con:

                                                          Donde:
                                     X=  Xi              Xi: Valores dados.
                                                          n: número total de
                                                          observaciones.
                                            n

   Ejemplo Resuelto: Se tiene las calificaciones de 12 alumnos calcular el
   promedio.

                                13 15 12 17 16 17
                               17 18 20 20 19 15




   3                                                   Licdo. Anthony Ramos
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        13  15  12  17  16  17  17  18  20  20  19  15      199
   X=                                                             =        = 16.58
                                   12                                  12
   Interpretación: la calificación promedio del grupo es de 16,58 puntos.
   Consideraciones:
        Todo conjunto de observaciones posee una media y es única.
           Ejercicio Propuesto:

           Si se tienen los siguientes 12 datos, calcule la media:

           20     5       9      8       5       11     7       8       14     9     8     13
                  2

       
       
       
       



       B) Mediana (Me): es el punto o valor central de todas las
       observaciones.
        n (Impar): valor central del conjunto ordenado en forma ascendente.
        Es decir que si el número de datos es impar la mediana será el valor
           central, si es par tomaremos como mediana la media aritmética de
           los dos valores centrales.
       




       




   4                                                                Licdo. Anthony Ramos
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                                           n 1
         n (Par): se utiliza la formula
                                             2
        Ejemplo Resuelto:

                                                                    Se ordena
        12 13 15 15 16 17 17 17 18 20 20 20                         de    forma
                                                                    ascendente.
                                   6.5


       Como son 12 observaciones, entonces n= 12 (es Par).

       n  1 12  1 13
                      6.5 Lugar donde está la Mediana.
         2     2     2

                17  17 34
       Luego:              17 El valor de la Mediana.
                   2     2

   Interpretación: el valor es 17 puntos es la mediana, porque divide la serie
   de datos en dos partes iguales.


   Ejercicio Propuesto: tomando los datos anteriores calcular la media.


   20      5      9     8    5      11     7      8   14     9      8     13


   Se ordenan los datos de forma ascendente:



   Como n es 12 y es (par), se usa la formula (n+1)/2:




   5                                                     Licdo. Anthony Ramos
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    C) Moda ó Modo: valor más común o frecuente dentro del conjunto
   (Mo) puede ser:

         1 moda                Unimodal
         2 modas                Bimodal
         3 modas o más               Multimodal


   Es decir:




        IMPORTANTE: en la moda, puede haber más de una moda; pero en la
        media aritmética y mediana solo debe haber una (1).

        Ejemplo Resuelto:

               12 13 15 15 16 17 17 17 18 20 20 20

        (Mo): 17 y 20 (Bimodal).


   Ejercicio Propuesto: tomando los datos anteriores calcular la moda.

   20     5     9     8     5      11   7      8    14    9      8       13

   Se ordenan los datos de forma ascendente:




   6                                                  Licdo. Anthony Ramos
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                                   Tema 1.3.1

   Medidas de Dispersión: son parámetros o indicadores estadísticos que
   muestran la distancia que existe entre los datos y la media aritmética, es
   decir permiten retratar la distancia de los valores de la variable a un cierto
   valor central, o que permite identificar la concentración de los datos de un
   sector del recorrido de la variable. Dentro de los estadísticos más utilizados
   para medir la dispersión, podemos contar: el rango, la varianza,             la
   desviación estándar entre otros.




   1) Datos no Agrupados: Una vez determinado el punto medio de un
   conjunto de datos, nuestra búsqueda se dirige a las medidas de dispersión.


   Rango: diferencia     entre el valor máximo y mínimo del conjunto de
   observaciones indica la amplitud (distancia entre el primer y el último
   valor.). Se le llama también ancho o recorrido.
   Ejemplo Resuelto:

               12 13 15 15 15 16 17 17 17 18 20 20 20

              R: valor Máximo - Valor Mínimo
              R: 20-12
              R: 8
   Interpretación: Significa que la variabilidad máxima entre los datos
   (calificaciones) es de 8 puntos.




   7                                                    Licdo. Anthony Ramos
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         Varianza: (S2): La varianza de las observaciones X1 ,X2,….Xn es el
   promedio del cuadrado de las distancias entre cada observación y media
   del conjunto. La dispersión de un conjunto de datos es pequeña o grande si
   los valores se agrupan en forma cerrada o se dispersan ampliamente en
   torno a su media, respectivamente. Las medidas de dispersión que toman en
   consideración lo anterior son, precisamente, la varianza y la desviación
   estándar.



   S2 Valor Ato            bastante dispersos
   S2 Valor Bajo           bastantes agrupados.
                               Fórmula de la Varianza

                                   ( Xi  x) 2
                              S2=  n  1
   Donde:
       Xi = valores de la muestra.
       x = media aritmética de la muestra.
   n= numero total de observaciones.

   Ejemplo Resuelto :
                          5          7          9        4

         (5  6,25) 2  (7  6,25) 2  (9  6,25) 2  (4  6,25) 2
    s 
       2

                                   4 1

         (1,25) 2  (0,75) 2  (2,75) 2  (2,25) 2
    s 
       2

                            4 1

   8                                                    Licdo. Anthony Ramos
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              1,56  0,56  7,56  5,06 14,74
   s2                                       4,91
                          3               3

   Ejercicio Propuesto:


   20    5      9         8   5   11     7     8      14      9   8    13

  Con las siguientes calificaciones calcula la varianza para datos no
  agrupados.




   Desviación Típica:
         Es la raíz cuadrada de la varianza, su fórmula es:

                              S = √varianza (S2)




   9                                                   Licdo. Anthony Ramos
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   Ejemplo Resuelto:

                              S = √4,91=2,21

   Interpretación: : La calificación promedio de la sección es de 6,25 puntos
   con una desviación estándar de más o menos de 2,21 puntos.



    Calcula la desviación estándar a la varianza de la página anterior:




   10                                                        Licdo. Anthony Ramos
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        Datos Agrupados: cuando están los datos están organizados en una
        distribución de frecuencia.

           Se tiene las calificaciones de 15 estudiantes de una sección de la
        asignatura matemática la cual se organizo en la siguiente tabla de
        frecuencia:


          (k)          Límites             fa                 Fac                Xi
         Clases        Reales         (Frecuencia         (Frecuencia          Marca de
                        Li-Ls          absoluta)            absoluta            Clase
                                                          acumulada)
          11-12       10,5   12,5          3                    3                 11,5
          13-14       12,5   14,5          2                    5                 13,5
          15-16       14,5   16,5          4                    9                 15,5
          17-18       16,5   18,5          5                   14                 17,5
          19-20       18,5   20,5          1                   15                 19,5
                                        n= 15

        A) Media Aritmética ó Promedio: se calcula con la siguiente fórmula:

                  Xi * fa (11,5 * 3)  (13,5 * 2)  (15,5 * 4)  (17,5 * 5)  (19,5 *1)
           X                                                                         
                     n                                 15

               Xi * fa 34,5  27  62  87,5  19,5 230,5
        X                                              15,37
                  n                15                15


        Interpretación: El promedio general de la sección es de 15,37 puntos.




   11                                                           Licdo. Anthony Ramos
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        B) Mediana:

                                            (n / 2  Fac )
                              Md  Li                     *C
                                                   fa
        Donde:

           Li= límite inferior de la clase donde está la media.
           n/2= Este cociente nos da la posición aproximada de la mediana en
            la distribución, de acuerdo al número de datos Frecuencia
            Acumulada (fac) hasta la clase anterior a ella.

           fac: es la frecuencia acumulada anterior a la clase medianal.
           fa: Frecuencia absoluta de la clase medianal.
           C: Amplitud de la clase medianal.
          (k)           Límites            Fa              Fac            Xi
         Clases         Reales         (Frecuencia     (Frecuencia      Marca de
                         Li-Ls          absoluta)        absoluta        Clase
                                                       acumulada)
            11-12     10,5     12,5         3                3             11,5
            13-14     12,5     14,5         2                5             13,5
            15-16     14,5     16,5         4                9             15,5
            17-18     16,5     18,5         5               14             17,5
            19-20     18,5     20,5         1               15             19,5


            Límite inferior                                   Frecuencia absoluta
                                     Frecuencia               acumulada anterior
             donde está la        absoluta donde se
            clase medianal                                    donde se encuéntrala
                                  encuentra la clase             clase medianal
                                      medianal



                                           Clase Medianal



   12                                                      Licdo. Anthony Ramos
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   Continuando con el ejemplo anterior:

                                                               n
   Se busca el intervalo donde está la mediana calculando
                                                               2
    y luego tomamos la frecuencia absoluta acumulada más próxima a este
   valor.
                n 15
                     7,5
                2   2           (lugar o posición)

             C= 2

             Li=14,5
                               (15 / 2  5)
             Md  14,5                    *2
                                     4

                          (7,5  5)
              Md  14,5            *2
                              4
                          (2,5)
              Md  14,5        *2
                            4
                          (5)
              Md  14,5 
                           4
              Md  14,5  1,25
              Md  15,75                   Resultado

   Interpretación: el elemento 7,5 tiene 15,75 puntos que es el valor que
   tiene 50% de las observaciones por encima y el otro 50% por debajo.


        C) Moda ó Modo: se calcula con la clase que tiene mayor frecuenta
          absoluta, utilizando la siguiente fórmula:
                                                 d1
                                Mo: Li + C (            )
                                               d1  d 2




   13                                                       Licdo. Anthony Ramos
ESTADÍSTICA
 APLICADA




         d1= Diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la
           frecuencia absoluta inmediatamente anterior.
         d2= Diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la
           frecuencia absoluta de la clase siguiente.
         Li= Límite inferior de la clase modal (La de mayor frecuencia)
         C= Amplitud de clase modal.


          (k)          Límites               Fa                Fac              Xi
         Clases        Reales            (Frecuencia       (Frecuencia        Marca de
                        Li-Ls             absoluta)          absoluta          Clase
                                                           acumulada)
          11-12      10,5        12,5          3                 3               11,5
          13-14      12,5        14,5          2                 5               13,5
          15-16      14,5        16,5          4                 9               15,5
          17-18      16,5        18,5          5                14               17,5
          19-20      18,5        20,5          1                15               19,5




         Límite inferior de la          d1= Diferencia entre la      d2= Diferencia entre la
             clase modal                frecuencia absoluta de       frecuencia absoluta de
            (La de mayor                  la clase modal y la          la clase modal y la
             frecuencia)                     clase anterior              clase siguiente
                                                (5-4)=1                      (5-1)=4


                                                   Clase Modal
          d1= 5-4 =1
          d2= 5-1 =4
          C= 2
          L= 16,5

          Mo= Li+C 
                   
                             d1                 1 
                                      16,5  2
                                                                  1
                                                        16,5  2 
                          d1  d 2            1 4            5




   14                                                             Licdo. Anthony Ramos
ESTADÍSTICA
 APLICADA




          16,5  20,2  16,5  0,4  16,9           Resultado.

   Interpretación: 16,9 puntos es la calificación o valor más frecuente en las
   observaciones.


         d1= fi de la clase modal (fi frecuencia absoluta de arriba).
         d2= fi de la clase modal (fi frecuencia absoluta de abajo).

   Importante: La clase modal es aquella que tiene mayor frecuencia
   absoluta.

                               Medidas de Dispersión




   a) Rango: límite superior de la útil clase menos (-) el límite inferior de a
   clase inicial.
                     R= Límite superior-Límite Inferior
                                  R= 20-11
                                   R= 9
            (k)         Límites                 fa                   Xi
          Clases        Reales             (Frecuencia        Marca de Clase
                         Li-Ls               absoluta)

          11-12         10,5        12,5          3                     11,5
          13-14         12,5        14,5          2                     13,5
          15-16         14,5        16,5          4                     15,5
          17-18         16,5        18,5          5                     17,5
          19-20         18,5        20,5          1                     19,5

   Interpretación: Significa que la variabilidad máxima entre los datos
   (calificaciones) es de 9 puntos.



   15                                                    Licdo. Anthony Ramos
ESTADÍSTICA
 APLICADA




   b) Varianza (S2): La varianza es una medida razonablemente, busca la
   variabilidad debido a que si michas de las diferencias son grandes, entonces
   el valor de la varianza será grande o pequeño.




                   Límites
                                    fa             Xi
         (k)       Reales
                               (Frecuencia       Marca de          (Xi-X)2
        Clases      Li-Ls
                                absoluta)         Clase

        11-12    10,5   12,5         3             11,5         (11,5 -15,37)2
        13-14    12,5   14,5         2             13,5         (13,5-15,37)2
        15-16    14,5   16,5         4             15,5         (15,5-15,37)2
        17-18    16,5   18,5         5             17,5         (17,5-15,37)2
        19-20    18,5   20,5         1             19,5         (19,5-15,37)2

    Ejemplo: Tomamos el resultado de la media aritmética o promedio del
                            ejemplo anterior:

                                     Media
     X= 15,37                       Aritmética

                   Límites
                                    fa             Xi
         (k)       Reales
                               (Frecuencia       Marca de         fa*(Xi-X)2
        Clases      Li-Ls
                                absoluta)         Clase

        11-12    10,5   12,5         3             11,5            44,93
        13-14    12,5   14,5         2             13,5             6,99
        15-16    14,5   16,5         4             15,5             0,07
        17-18    16,5   18,5         5             17,5            22,68
        19-20    18,5   20,5         1             19,5            17,06
                                                                 ∑91,73




   16                                                     Licdo. Anthony Ramos
ESTADÍSTICA
 APLICADA




   Utilizamos la fórmula de la varianza:



    S
        fa * ( Xi  X )   2

                                VARIANZA
                n 1


    S
          91,73    6,55
           14




   c) Desviación Estándar: Es la raíz cuadrada de la varianza.

        S= S 2 =       6,55  = 2,56

   Interpretación: La calificación promedio de la sección es de 15,37 puntos
   con una desviación estándar de más o menos de 2,56 puntos.


   El rango de :

                                            D. E - X + D.E




                                      2,56 - (15,37) + 2,56


   Interpretación: Se dice entonces que entre 12,81 puntos y 17,93 puntos es
   el rango donde están la mayoría de las calificaciones.




   17                                                         Licdo. Anthony Ramos
ESTADÍSTICA
 APLICADA




   COEFICIENTE DE VARIACIÓN:


         Esta medida sirve para comparar las dispersiones de dos o más
   distribuciones, establece la relación entre la desviación estándar y la media
   aritmética y se expresa generalmente en por cientos:




                         Utilizando el ejemplo anterior

                                                 0


                                                =16%


   Interpretación: los datos tienen una variabilidad de 16% .


         Vamos a imaginar que realizamos otra tabla de frecuencias
   calculando las medidas de tendencia central y de dispersión la cual arrojo
   como resultado en la desviación típica 1,05 y media aritmética 11,01
   procedemos a calcular el coeficiente de variación

                                                 0


                                               =9,50%


   Interpretación: los datos tienen una variabilidad de 9,50% .




   18                                                  Licdo. Anthony Ramos

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  • 1. ESTADÍSTICA APLICADA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA” ÁREA DE EDUCACIÓN DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA U.C: ESTADÍSTICA EDUCATIVA SANTA ANA DE CORO;MAYO DE 2010 1 Licdo. Anthony Ramos
  • 2. ESTADÍSTICA APLICADA Índice de Contenidos Tema 1.3 Medidas Descriptivas Numéricas Tema 1.3.1 Medidas de Tendencia Central: (datos no agrupados y agrupados) 1.3.1.1 Media Aritmética. 1.3.1.2 Mediana. 1.3.1.3Moda. Tema 1.3.2 Medidas de Dispersión Absoluta: (datos no agrupados y agrupados) 1.3.2.1 Rango. 1.3.2.2 Varianza. 1.3.2.3 Desviación Estándar. Tema 1.3.3 Medidas de Dispersión Relativa: 1.3.3.1 Coeficiente de Variación. 2 Licdo. Anthony Ramos
  • 3. ESTADÍSTICA APLICADA Tema Nº 1.3.1 Medidas de Tendencia Central Medidas de Tendencia Central: llamadas medidas de localización y sirven para determinar los valores centrales de una distribución; se da; para datos agrupados y no agrupados. Las medidas de tendencia central tales como: media aritmética (valor medio), mediana (valor central) y moda valor más común la podemos definir como aquellos cuyo valor central obtenido se considera típico del conjunto de datos del cual procede. 1) Datos no Agrupados: cuando los datos se representan en forma individual. (45, 70, 63, 14). A) Media Aritmética: es el centro físico del conjunto de datos, el valor más representativo del producto y se calcula con: Donde: X=  Xi Xi: Valores dados. n: número total de observaciones. n Ejemplo Resuelto: Se tiene las calificaciones de 12 alumnos calcular el promedio. 13 15 12 17 16 17 17 18 20 20 19 15 3 Licdo. Anthony Ramos
  • 4. ESTADÍSTICA APLICADA 13  15  12  17  16  17  17  18  20  20  19  15 199 X= = = 16.58 12 12 Interpretación: la calificación promedio del grupo es de 16,58 puntos. Consideraciones:  Todo conjunto de observaciones posee una media y es única. Ejercicio Propuesto: Si se tienen los siguientes 12 datos, calcule la media: 20 5 9 8 5 11 7 8 14 9 8 13 2     B) Mediana (Me): es el punto o valor central de todas las observaciones.  n (Impar): valor central del conjunto ordenado en forma ascendente.  Es decir que si el número de datos es impar la mediana será el valor central, si es par tomaremos como mediana la media aritmética de los dos valores centrales.   4 Licdo. Anthony Ramos
  • 5. ESTADÍSTICA APLICADA n 1  n (Par): se utiliza la formula 2 Ejemplo Resuelto: Se ordena 12 13 15 15 16 17 17 17 18 20 20 20 de forma ascendente. 6.5 Como son 12 observaciones, entonces n= 12 (es Par). n  1 12  1 13    6.5 Lugar donde está la Mediana. 2 2 2 17  17 34 Luego:   17 El valor de la Mediana. 2 2 Interpretación: el valor es 17 puntos es la mediana, porque divide la serie de datos en dos partes iguales. Ejercicio Propuesto: tomando los datos anteriores calcular la media. 20 5 9 8 5 11 7 8 14 9 8 13 Se ordenan los datos de forma ascendente: Como n es 12 y es (par), se usa la formula (n+1)/2: 5 Licdo. Anthony Ramos
  • 6. ESTADÍSTICA APLICADA C) Moda ó Modo: valor más común o frecuente dentro del conjunto (Mo) puede ser:  1 moda Unimodal  2 modas Bimodal  3 modas o más Multimodal Es decir: IMPORTANTE: en la moda, puede haber más de una moda; pero en la media aritmética y mediana solo debe haber una (1). Ejemplo Resuelto: 12 13 15 15 16 17 17 17 18 20 20 20 (Mo): 17 y 20 (Bimodal). Ejercicio Propuesto: tomando los datos anteriores calcular la moda. 20 5 9 8 5 11 7 8 14 9 8 13 Se ordenan los datos de forma ascendente: 6 Licdo. Anthony Ramos
  • 7. ESTADÍSTICA APLICADA Tema 1.3.1 Medidas de Dispersión: son parámetros o indicadores estadísticos que muestran la distancia que existe entre los datos y la media aritmética, es decir permiten retratar la distancia de los valores de la variable a un cierto valor central, o que permite identificar la concentración de los datos de un sector del recorrido de la variable. Dentro de los estadísticos más utilizados para medir la dispersión, podemos contar: el rango, la varianza, la desviación estándar entre otros. 1) Datos no Agrupados: Una vez determinado el punto medio de un conjunto de datos, nuestra búsqueda se dirige a las medidas de dispersión. Rango: diferencia entre el valor máximo y mínimo del conjunto de observaciones indica la amplitud (distancia entre el primer y el último valor.). Se le llama también ancho o recorrido. Ejemplo Resuelto: 12 13 15 15 15 16 17 17 17 18 20 20 20 R: valor Máximo - Valor Mínimo R: 20-12 R: 8 Interpretación: Significa que la variabilidad máxima entre los datos (calificaciones) es de 8 puntos. 7 Licdo. Anthony Ramos
  • 8. ESTADÍSTICA APLICADA Varianza: (S2): La varianza de las observaciones X1 ,X2,….Xn es el promedio del cuadrado de las distancias entre cada observación y media del conjunto. La dispersión de un conjunto de datos es pequeña o grande si los valores se agrupan en forma cerrada o se dispersan ampliamente en torno a su media, respectivamente. Las medidas de dispersión que toman en consideración lo anterior son, precisamente, la varianza y la desviación estándar. S2 Valor Ato bastante dispersos S2 Valor Bajo bastantes agrupados. Fórmula de la Varianza ( Xi  x) 2 S2=  n  1 Donde: Xi = valores de la muestra. x = media aritmética de la muestra. n= numero total de observaciones. Ejemplo Resuelto : 5 7 9 4 (5  6,25) 2  (7  6,25) 2  (9  6,25) 2  (4  6,25) 2 s  2 4 1 (1,25) 2  (0,75) 2  (2,75) 2  (2,25) 2 s  2 4 1 8 Licdo. Anthony Ramos
  • 9. ESTADÍSTICA APLICADA 1,56  0,56  7,56  5,06 14,74 s2     4,91 3 3 Ejercicio Propuesto: 20 5 9 8 5 11 7 8 14 9 8 13 Con las siguientes calificaciones calcula la varianza para datos no agrupados. Desviación Típica: Es la raíz cuadrada de la varianza, su fórmula es: S = √varianza (S2) 9 Licdo. Anthony Ramos
  • 10. ESTADÍSTICA APLICADA Ejemplo Resuelto: S = √4,91=2,21 Interpretación: : La calificación promedio de la sección es de 6,25 puntos con una desviación estándar de más o menos de 2,21 puntos. Calcula la desviación estándar a la varianza de la página anterior: 10 Licdo. Anthony Ramos
  • 11. ESTADÍSTICA APLICADA Datos Agrupados: cuando están los datos están organizados en una distribución de frecuencia. Se tiene las calificaciones de 15 estudiantes de una sección de la asignatura matemática la cual se organizo en la siguiente tabla de frecuencia: (k) Límites fa Fac Xi Clases Reales (Frecuencia (Frecuencia Marca de Li-Ls absoluta) absoluta Clase acumulada) 11-12 10,5 12,5 3 3 11,5 13-14 12,5 14,5 2 5 13,5 15-16 14,5 16,5 4 9 15,5 17-18 16,5 18,5 5 14 17,5 19-20 18,5 20,5 1 15 19,5 n= 15 A) Media Aritmética ó Promedio: se calcula con la siguiente fórmula: Xi * fa (11,5 * 3)  (13,5 * 2)  (15,5 * 4)  (17,5 * 5)  (19,5 *1) X    n 15 Xi * fa 34,5  27  62  87,5  19,5 230,5 X     15,37 n 15 15 Interpretación: El promedio general de la sección es de 15,37 puntos. 11 Licdo. Anthony Ramos
  • 12. ESTADÍSTICA APLICADA B) Mediana: (n / 2  Fac ) Md  Li  *C fa Donde:  Li= límite inferior de la clase donde está la media.  n/2= Este cociente nos da la posición aproximada de la mediana en la distribución, de acuerdo al número de datos Frecuencia Acumulada (fac) hasta la clase anterior a ella.  fac: es la frecuencia acumulada anterior a la clase medianal.  fa: Frecuencia absoluta de la clase medianal.  C: Amplitud de la clase medianal. (k) Límites Fa Fac Xi Clases Reales (Frecuencia (Frecuencia Marca de Li-Ls absoluta) absoluta Clase acumulada) 11-12 10,5 12,5 3 3 11,5 13-14 12,5 14,5 2 5 13,5 15-16 14,5 16,5 4 9 15,5 17-18 16,5 18,5 5 14 17,5 19-20 18,5 20,5 1 15 19,5 Límite inferior Frecuencia absoluta Frecuencia acumulada anterior donde está la absoluta donde se clase medianal donde se encuéntrala encuentra la clase clase medianal medianal Clase Medianal 12 Licdo. Anthony Ramos
  • 13. ESTADÍSTICA APLICADA Continuando con el ejemplo anterior: n Se busca el intervalo donde está la mediana calculando 2 y luego tomamos la frecuencia absoluta acumulada más próxima a este valor. n 15    7,5 2 2 (lugar o posición)  C= 2  Li=14,5 (15 / 2  5)  Md  14,5  *2 4 (7,5  5) Md  14,5  *2 4 (2,5) Md  14,5  *2 4 (5) Md  14,5  4 Md  14,5  1,25 Md  15,75 Resultado Interpretación: el elemento 7,5 tiene 15,75 puntos que es el valor que tiene 50% de las observaciones por encima y el otro 50% por debajo. C) Moda ó Modo: se calcula con la clase que tiene mayor frecuenta absoluta, utilizando la siguiente fórmula: d1 Mo: Li + C ( ) d1  d 2 13 Licdo. Anthony Ramos
  • 14. ESTADÍSTICA APLICADA  d1= Diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la frecuencia absoluta inmediatamente anterior.  d2= Diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la frecuencia absoluta de la clase siguiente.  Li= Límite inferior de la clase modal (La de mayor frecuencia)  C= Amplitud de clase modal. (k) Límites Fa Fac Xi Clases Reales (Frecuencia (Frecuencia Marca de Li-Ls absoluta) absoluta Clase acumulada) 11-12 10,5 12,5 3 3 11,5 13-14 12,5 14,5 2 5 13,5 15-16 14,5 16,5 4 9 15,5 17-18 16,5 18,5 5 14 17,5 19-20 18,5 20,5 1 15 19,5 Límite inferior de la d1= Diferencia entre la d2= Diferencia entre la clase modal frecuencia absoluta de frecuencia absoluta de (La de mayor la clase modal y la la clase modal y la frecuencia) clase anterior clase siguiente (5-4)=1 (5-1)=4 Clase Modal d1= 5-4 =1 d2= 5-1 =4 C= 2 L= 16,5 Mo= Li+C   d1   1    16,5  2 1   16,5  2   d1  d 2  1 4  5 14 Licdo. Anthony Ramos
  • 15. ESTADÍSTICA APLICADA  16,5  20,2  16,5  0,4  16,9 Resultado. Interpretación: 16,9 puntos es la calificación o valor más frecuente en las observaciones. d1= fi de la clase modal (fi frecuencia absoluta de arriba). d2= fi de la clase modal (fi frecuencia absoluta de abajo). Importante: La clase modal es aquella que tiene mayor frecuencia absoluta. Medidas de Dispersión a) Rango: límite superior de la útil clase menos (-) el límite inferior de a clase inicial. R= Límite superior-Límite Inferior R= 20-11 R= 9 (k) Límites fa Xi Clases Reales (Frecuencia Marca de Clase Li-Ls absoluta) 11-12 10,5 12,5 3 11,5 13-14 12,5 14,5 2 13,5 15-16 14,5 16,5 4 15,5 17-18 16,5 18,5 5 17,5 19-20 18,5 20,5 1 19,5 Interpretación: Significa que la variabilidad máxima entre los datos (calificaciones) es de 9 puntos. 15 Licdo. Anthony Ramos
  • 16. ESTADÍSTICA APLICADA b) Varianza (S2): La varianza es una medida razonablemente, busca la variabilidad debido a que si michas de las diferencias son grandes, entonces el valor de la varianza será grande o pequeño. Límites fa Xi (k) Reales (Frecuencia Marca de (Xi-X)2 Clases Li-Ls absoluta) Clase 11-12 10,5 12,5 3 11,5 (11,5 -15,37)2 13-14 12,5 14,5 2 13,5 (13,5-15,37)2 15-16 14,5 16,5 4 15,5 (15,5-15,37)2 17-18 16,5 18,5 5 17,5 (17,5-15,37)2 19-20 18,5 20,5 1 19,5 (19,5-15,37)2 Ejemplo: Tomamos el resultado de la media aritmética o promedio del ejemplo anterior: Media X= 15,37 Aritmética Límites fa Xi (k) Reales (Frecuencia Marca de fa*(Xi-X)2 Clases Li-Ls absoluta) Clase 11-12 10,5 12,5 3 11,5 44,93 13-14 12,5 14,5 2 13,5 6,99 15-16 14,5 16,5 4 15,5 0,07 17-18 16,5 18,5 5 17,5 22,68 19-20 18,5 20,5 1 19,5 17,06 ∑91,73 16 Licdo. Anthony Ramos
  • 17. ESTADÍSTICA APLICADA Utilizamos la fórmula de la varianza: S  fa * ( Xi  X ) 2  VARIANZA n 1 S  91,73  6,55 14 c) Desviación Estándar: Es la raíz cuadrada de la varianza. S= S 2 = 6,55  = 2,56 Interpretación: La calificación promedio de la sección es de 15,37 puntos con una desviación estándar de más o menos de 2,56 puntos. El rango de : D. E - X + D.E 2,56 - (15,37) + 2,56 Interpretación: Se dice entonces que entre 12,81 puntos y 17,93 puntos es el rango donde están la mayoría de las calificaciones. 17 Licdo. Anthony Ramos
  • 18. ESTADÍSTICA APLICADA COEFICIENTE DE VARIACIÓN: Esta medida sirve para comparar las dispersiones de dos o más distribuciones, establece la relación entre la desviación estándar y la media aritmética y se expresa generalmente en por cientos: Utilizando el ejemplo anterior 0 =16% Interpretación: los datos tienen una variabilidad de 16% . Vamos a imaginar que realizamos otra tabla de frecuencias calculando las medidas de tendencia central y de dispersión la cual arrojo como resultado en la desviación típica 1,05 y media aritmética 11,01 procedemos a calcular el coeficiente de variación 0 =9,50% Interpretación: los datos tienen una variabilidad de 9,50% . 18 Licdo. Anthony Ramos