Medidas descriptivas numericas

ESTADÍSTICA
APLICADA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA”
ÁREA DE EDUCACIÓN
DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA
U.C: ESTADÍSTICA EDUCATIVA

SANTA ANA DE CORO;MAYO DE 2010

1 Licdo. Anthony Ramos

ESTADÍSTICA
APLICADA

Índice de Contenidos

Tema 1.3 Medidas Descriptivas Numéricas

Tema 1.3.1 Medidas de Tendencia Central: (datos no agrupados y

agrupados)

1.3.1.1 Media Aritmética.

1.3.1.2 Mediana.

1.3.1.3Moda.

Tema 1.3.2 Medidas de Dispersión Absoluta: (datos no agrupados y

agrupados)

1.3.2.1 Rango.

1.3.2.2 Varianza.

1.3.2.3 Desviación Estándar.

Tema 1.3.3 Medidas de Dispersión Relativa:

1.3.3.1 Coeficiente de Variación.


ESTADÍSTICA
APLICADA

Tema Nº 1.3.1 Medidas de Tendencia Central

Medidas de Tendencia Central: llamadas medidas de localización y
sirven para determinar los valores centrales de una distribución; se da; para
datos agrupados y no agrupados.

Las medidas de tendencia central tales como: media aritmética (valor
medio), mediana (valor central) y moda valor más común la podemos
definir como aquellos cuyo valor central obtenido se considera típico del
conjunto de datos del cual procede.

1) Datos no Agrupados: cuando los datos se representan en forma
individual. (45, 70, 63, 14).
A) Media Aritmética: es el centro físico del conjunto de datos, el valor
más representativo del producto y se calcula con:

Donde:
X=  Xi Xi: Valores dados.
n: número total de
observaciones.
n

Ejemplo Resuelto: Se tiene las calificaciones de 12 alumnos calcular el
promedio.

13 15 12 17 16 17
17 18 20 20 19 15


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13  15  12  17  16  17  17  18  20  20  19  15 199
X= = = 16.58
12 12
Interpretación: la calificación promedio del grupo es de 16,58 puntos.
Consideraciones:
 Todo conjunto de observaciones posee una media y es única.
Ejercicio Propuesto:

Si se tienen los siguientes 12 datos, calcule la media:

20 5 9 8 5 11 7 8 14 9 8 13
2






B) Mediana (Me): es el punto o valor central de todas las
observaciones.
 n (Impar): valor central del conjunto ordenado en forma ascendente.
 Es decir que si el número de datos es impar la mediana será el valor
central, si es par tomaremos como mediana la media aritmética de
los dos valores centrales.





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n 1
 n (Par): se utiliza la formula
2
Ejemplo Resuelto:

Se ordena
12 13 15 15 16 17 17 17 18 20 20 20 de forma
ascendente.
6.5

Como son 12 observaciones, entonces n= 12 (es Par).

n  1 12  1 13
   6.5 Lugar donde está la Mediana.
2 2 2

17  17 34
Luego:   17 El valor de la Mediana.
2 2

Interpretación: el valor es 17 puntos es la mediana, porque divide la serie
de datos en dos partes iguales.

Ejercicio Propuesto: tomando los datos anteriores calcular la media.

20 5 9 8 5 11 7 8 14 9 8 13

Se ordenan los datos de forma ascendente:

Como n es 12 y es (par), se usa la formula (n+1)/2:


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C) Moda ó Modo: valor más común o frecuente dentro del conjunto
(Mo) puede ser:

 1 moda Unimodal
 2 modas Bimodal
 3 modas o más Multimodal

Es decir:

IMPORTANTE: en la moda, puede haber más de una moda; pero en la
media aritmética y mediana solo debe haber una (1).

Ejemplo Resuelto:

12 13 15 15 16 17 17 17 18 20 20 20

(Mo): 17 y 20 (Bimodal).

Ejercicio Propuesto: tomando los datos anteriores calcular la moda.

20 5 9 8 5 11 7 8 14 9 8 13

Se ordenan los datos de forma ascendente:


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Tema 1.3.1

Medidas de Dispersión: son parámetros o indicadores estadísticos que
muestran la distancia que existe entre los datos y la media aritmética, es
decir permiten retratar la distancia de los valores de la variable a un cierto
valor central, o que permite identificar la concentración de los datos de un
sector del recorrido de la variable. Dentro de los estadísticos más utilizados
para medir la dispersión, podemos contar: el rango, la varianza, la
desviación estándar entre otros.

1) Datos no Agrupados: Una vez determinado el punto medio de un
conjunto de datos, nuestra búsqueda se dirige a las medidas de dispersión.

Rango: diferencia entre el valor máximo y mínimo del conjunto de
observaciones indica la amplitud (distancia entre el primer y el último
valor.). Se le llama también ancho o recorrido.
Ejemplo Resuelto:

12 13 15 15 15 16 17 17 17 18 20 20 20

R: valor Máximo - Valor Mínimo
R: 20-12
R: 8
Interpretación: Significa que la variabilidad máxima entre los datos
(calificaciones) es de 8 puntos.


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Varianza: (S2): La varianza de las observaciones X1 ,X2,….Xn es el
promedio del cuadrado de las distancias entre cada observación y media
del conjunto. La dispersión de un conjunto de datos es pequeña o grande si
los valores se agrupan en forma cerrada o se dispersan ampliamente en
torno a su media, respectivamente. Las medidas de dispersión que toman en
consideración lo anterior son, precisamente, la varianza y la desviación
estándar.

S2 Valor Ato bastante dispersos
S2 Valor Bajo bastantes agrupados.
Fórmula de la Varianza

( Xi  x) 2
S2=  n  1
Donde:
Xi = valores de la muestra.
x = media aritmética de la muestra.
n= numero total de observaciones.

Ejemplo Resuelto :
5 7 9 4

(5  6,25) 2  (7  6,25) 2  (9  6,25) 2  (4  6,25) 2
s 
2

4 1

(1,25) 2  (0,75) 2  (2,75) 2  (2,25) 2
s 
2

4 1


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1,56  0,56  7,56  5,06 14,74
s2     4,91
3 3

Ejercicio Propuesto:

20 5 9 8 5 11 7 8 14 9 8 13

Con las siguientes calificaciones calcula la varianza para datos no
agrupados.

Desviación Típica:
Es la raíz cuadrada de la varianza, su fórmula es:

S = √varianza (S2)


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Ejemplo Resuelto:

S = √4,91=2,21

Interpretación: : La calificación promedio de la sección es de 6,25 puntos
con una desviación estándar de más o menos de 2,21 puntos.

Calcula la desviación estándar a la varianza de la página anterior:


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Datos Agrupados: cuando están los datos están organizados en una
distribución de frecuencia.

Se tiene las calificaciones de 15 estudiantes de una sección de la
asignatura matemática la cual se organizo en la siguiente tabla de
frecuencia:

(k) Límites fa Fac Xi
Clases Reales (Frecuencia (Frecuencia Marca de
Li-Ls absoluta) absoluta Clase
acumulada)
11-12 10,5 12,5 3 3 11,5
13-14 12,5 14,5 2 5 13,5
15-16 14,5 16,5 4 9 15,5
17-18 16,5 18,5 5 14 17,5
19-20 18,5 20,5 1 15 19,5
n= 15

A) Media Aritmética ó Promedio: se calcula con la siguiente fórmula:

Xi * fa (11,5 * 3)  (13,5 * 2)  (15,5 * 4)  (17,5 * 5)  (19,5 *1)
X   
n 15

Xi * fa 34,5  27  62  87,5  19,5 230,5
X     15,37
n 15 15

Interpretación: El promedio general de la sección es de 15,37 puntos.


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B) Mediana:

(n / 2  Fac )
Md  Li  *C
fa
Donde:

 Li= límite inferior de la clase donde está la media.
 n/2= Este cociente nos da la posición aproximada de la mediana en
la distribución, de acuerdo al número de datos Frecuencia
Acumulada (fac) hasta la clase anterior a ella.

 fac: es la frecuencia acumulada anterior a la clase medianal.
 fa: Frecuencia absoluta de la clase medianal.
 C: Amplitud de la clase medianal.
(k) Límites Fa Fac Xi
acumulada)
11-12 10,5 12,5 3 3 11,5
13-14 12,5 14,5 2 5 13,5
15-16 14,5 16,5 4 9 15,5
17-18 16,5 18,5 5 14 17,5
19-20 18,5 20,5 1 15 19,5

Límite inferior Frecuencia absoluta
Frecuencia acumulada anterior
donde está la absoluta donde se
clase medianal donde se encuéntrala
encuentra la clase clase medianal
medianal

Clase Medianal


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Continuando con el ejemplo anterior:

n
Se busca el intervalo donde está la mediana calculando
2
y luego tomamos la frecuencia absoluta acumulada más próxima a este
valor.
n 15
   7,5
2 2 (lugar o posición)

 C= 2

 Li=14,5
(15 / 2  5)
 Md  14,5  *2
4

(7,5  5)
Md  14,5  *2
4
(2,5)
Md  14,5  *2
4
(5)
Md  14,5 
4
Md  14,5  1,25
Md  15,75 Resultado

Interpretación: el elemento 7,5 tiene 15,75 puntos que es el valor que
tiene 50% de las observaciones por encima y el otro 50% por debajo.

C) Moda ó Modo: se calcula con la clase que tiene mayor frecuenta
absoluta, utilizando la siguiente fórmula:
d1
Mo: Li + C ( )
d1  d 2


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 d1= Diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la
frecuencia absoluta inmediatamente anterior.
 d2= Diferencia entre la frecuencia absoluta de la clase modal y la
frecuencia absoluta de la clase siguiente.
 Li= Límite inferior de la clase modal (La de mayor frecuencia)
 C= Amplitud de clase modal.

(k) Límites Fa Fac Xi
acumulada)
11-12 10,5 12,5 3 3 11,5
13-14 12,5 14,5 2 5 13,5
15-16 14,5 16,5 4 9 15,5
17-18 16,5 18,5 5 14 17,5
19-20 18,5 20,5 1 15 19,5

Límite inferior de la d1= Diferencia entre la d2= Diferencia entre la
clase modal frecuencia absoluta de frecuencia absoluta de
(La de mayor la clase modal y la la clase modal y la
frecuencia) clase anterior clase siguiente
(5-4)=1 (5-1)=4

Clase Modal
d1= 5-4 =1
d2= 5-1 =4
C= 2
L= 16,5

Mo= Li+C 

d1   1 
  16,5  2
1
  16,5  2 
 d1  d 2  1 4  5


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 16,5  20,2  16,5  0,4  16,9 Resultado.

Interpretación: 16,9 puntos es la calificación o valor más frecuente en las
observaciones.

d1= fi de la clase modal (fi frecuencia absoluta de arriba).
d2= fi de la clase modal (fi frecuencia absoluta de abajo).

Importante: La clase modal es aquella que tiene mayor frecuencia
absoluta.

Medidas de Dispersión

a) Rango: límite superior de la útil clase menos (-) el límite inferior de a
clase inicial.
R= Límite superior-Límite Inferior
R= 20-11
R= 9
(k) Límites fa Xi
Clases Reales (Frecuencia Marca de Clase
Li-Ls absoluta)

11-12 10,5 12,5 3 11,5
13-14 12,5 14,5 2 13,5
15-16 14,5 16,5 4 15,5
17-18 16,5 18,5 5 17,5
19-20 18,5 20,5 1 19,5

Interpretación: Significa que la variabilidad máxima entre los datos
(calificaciones) es de 9 puntos.


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b) Varianza (S2): La varianza es una medida razonablemente, busca la
variabilidad debido a que si michas de las diferencias son grandes, entonces
el valor de la varianza será grande o pequeño.

Límites
fa Xi
(k) Reales
(Frecuencia Marca de (Xi-X)2
Clases Li-Ls
absoluta) Clase

11-12 10,5 12,5 3 11,5 (11,5 -15,37)2
13-14 12,5 14,5 2 13,5 (13,5-15,37)2
15-16 14,5 16,5 4 15,5 (15,5-15,37)2
17-18 16,5 18,5 5 17,5 (17,5-15,37)2
19-20 18,5 20,5 1 19,5 (19,5-15,37)2

Ejemplo: Tomamos el resultado de la media aritmética o promedio del
ejemplo anterior:

Media
X= 15,37 Aritmética

Límites
fa Xi
(k) Reales
(Frecuencia Marca de fa*(Xi-X)2
Clases Li-Ls
absoluta) Clase

11-12 10,5 12,5 3 11,5 44,93
13-14 12,5 14,5 2 13,5 6,99
15-16 14,5 16,5 4 15,5 0,07
17-18 16,5 18,5 5 17,5 22,68
19-20 18,5 20,5 1 19,5 17,06
∑91,73


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Utilizamos la fórmula de la varianza:

S
 fa * ( Xi  X ) 2

 VARIANZA
n 1

S
 91,73  6,55
14

c) Desviación Estándar: Es la raíz cuadrada de la varianza.

S= S 2 = 6,55  = 2,56

Interpretación: La calificación promedio de la sección es de 15,37 puntos
con una desviación estándar de más o menos de 2,56 puntos.

El rango de :

D. E - X + D.E

2,56 - (15,37) + 2,56

Interpretación: Se dice entonces que entre 12,81 puntos y 17,93 puntos es
el rango donde están la mayoría de las calificaciones.


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COEFICIENTE DE VARIACIÓN:

Esta medida sirve para comparar las dispersiones de dos o más
distribuciones, establece la relación entre la desviación estándar y la media
aritmética y se expresa generalmente en por cientos:

Utilizando el ejemplo anterior

0

=16%

Interpretación: los datos tienen una variabilidad de 16% .

Vamos a imaginar que realizamos otra tabla de frecuencias
calculando las medidas de tendencia central y de dispersión la cual arrojo
como resultado en la desviación típica 1,05 y media aritmética 11,01
procedemos a calcular el coeficiente de variación

0

=9,50%

Interpretación: los datos tienen una variabilidad de 9,50% .


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