Raz. matematica

23 24COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 2do Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 2do Año Secundaria
PROBLEMAS SOBRE TANTO POR CIENTO
Los problemas de tanto por Ciento se plantean
como una regla de tres, teniendo en cuenta que: A
toda cantidad hay que considerarla como un cien
por ciento cuando no sufre ninguna variación.
PROBLEMAS RESUELTOS
01.De qué número es 208 el 4% más?
Solución:
Al número que se busca se le representa por
su 100%.Como 208 es el 4% más que el
número que se busca. Entonces 208 será el
100% + 4% = 104% del número que se
busca. Luego:
104% ……………208
100% …………… X
X = (100%)(208)/104% = 200.
02.De qué número es 918 el 12 ½% más?
Solución:
112,5%…………… 918
100% …………… X
X = (100%)(918)/112,5 = 816.
03.De qué número es 276 el 8% menos?
Solución:
Al número que se busca se le representa por
su 100%. Como 276 es el 8% menos que el
número que se busca. Luego:
92% ……… 276
100% ……… X
X= (100%)(276)/92% = 300.
04.De qué número es 514,71 el ¼% menos?
Solución:
99,75%……... 514,71
100% ……… X
X= (100%)(514,71)/99,75% = 516
05.De un terreno de 50 hectáreas; se vende el
16% y se arrienda el 14%. Cuántas hectáreas
quedan?
Solución:
Según el enunciado del problema; se tiene: lo
que se vende y se arrienda es el: 16% + 14%
= 30% lo que es el 100%. 30% =
70%.
Luego:
100% ………. 50 Ha.
70% ………. X Ha
X=(70%) (50 Ha)/100 = 35 Ha.
06.Si Manuel gasta el 8 1/7% de su dinero y se
queda con S/. 6430. El dinero que tenía al
comienzo es:
Solución:
Según el enunciado del problema, se tiene: Al
dinero de Manuel se le representa por su
100%. Al gastar 8 1/7% de su dinero, se
queda con: 99 7/7% - 8 1/7% =91 6/7%.
Luego:
91 6/7% ……… S/.6430
100% ……… X
X=(6430)( 100%)/ 91 6/7% =S/. 7000
07.Pedro vende un libro ganando 5 3/5% del
precio de compra y obtiene una ganancia de
S/ 5,60 El precio del libro es:
Solución:
Si el 5 3/5% del precio de compra es S/. 5,60.
El 100% que es el precio del libro será X.
Luego:
Si el 5 3/5% del precio de compra es S/. 5,60.
El 100% que es el precio del libro será X.
Luego:
5 3/5% ……… S/. 5,60
100% ………. X
X= (100%)(5,60)/5,6 =S/. 100.
08.Una persona no quiso vender una casa
cuando le ofrecían S/. 384 000 con lo cual
hubiera ganado el 28% del costo y algún
tiempo después tuvo que venderla por S/. 375
000 . El porcentaje del costo que ganó es de:
Solución:
Cálculo del precio de costo:
Si se representa por 100% el precio de costo,
los S/. 384 000 son el 100% + 28% = 128%.
Luego:
128% …….S/. 384 000
100% ……. X
X = (100%) (384 000)/128%
X = S/. 300 000.
Cálculo del % de ganancia:
Al venderla gano
S/. 375 000-S/. 300 000 = S/. 75 000.
Luego:
100% …….. S/. 300 000
X …….. S/. 75 000
X = (100%) (S/. 75 000)/ S/. 300 000
X = 25%.
09.Si 8 hombres hacen un trabajo en 12 días.
¿Cuál es el incremento en porcentaje en el
número de días requeridos para hacer el
trabajo cuando se disminuye 2 hombres?.
Solución:
Según el enunciado del problema, se tiene:
8 hom …….. 12 días
6 hom ……… X
X = (6 hom.) (12 días)/8 hom. = 16 días.
Entonces el incremento del numero de días:
16 - 12 = 4 días. El porcentaje de este
incremento será:
12 días …….. 100%
4 días …….. X
X = (4 días) (100%)/ 12 días = 33 1/3%.
PRÁCTICA DE CLASE
Resuelve los siguientes planteamientos.
a) 300 b) 600 c) 500
d) 200 e) N.a.
a) 1250 b) 1300 c) 1200
d) 1500 e) N.a.
03.De qué número es 264 el 50 % más?
a) 200 b) 176 c) 180
d) 150 e) N.a.
S2RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S2RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
III
PORCENTA

a) 300 b) 270 c) 176
d) 280 e) N.a.
05.De qué número es 700 el 30% meno?
a) 800 b) 1000 c) 1500
d) 1300 e) N.a.
06.De qué número es 860 el 14% menos?.
a) 1000 b) 1200 c) 700
d) 820 e) N.a.
07.Si Luis tuviera un 10% más de la edad que
tiene, su edad sería 66 años. ¿Cuál es su edad
actual?
a) 60 años b) 50 años c) 70 años
d) 55 años e) N.a.
08.Si Pedro tuviera el 20% más de la edad que
tiene tendría 60 años. ¿Cuántos años tiene
actualmente?
a) 50 b) 60 c) 70
d) 72 e) N.a.
09.Si yo tuviera el 20% más del dinero que
tengo, tendría S/. 180. Si del dinero que tengo
gasto el 50%. ¿Cuánto me sobraría?
a) 80 b) 70 c) 75
d) 60 e) 30
10.Si de las naranjas que tuve, hubiera comido el
20% menos; me sobrarían 400 naranjas.
¿Cuántas naranjas tuve?
a) 300 b) 350 c) 400
d) 500 e) Na.
11.Una persona al vender una casa por S/. 48
994, perdió el 6,5% sobre el costo. ¿Cuánto
costó la casa?.
a) 52400 b) 50200 c) 52000
d) 53000 e) N.a.
12. Qué porcentaje del costo se gana cuando se
vende en S/. 8000 lo que ha costado S/. 6000?
a) 30% b) %,333 c) %,330
d) 35% e) N.a.
13. Qué porcentaje de la venta se gana cuando se
vende en S/. 8000, lo que ha costado S/.
6000?.
a) 20% b) 25% c) 30%
d) 40% e) 50%
14. Un fertilizante contiene 32% de nitrato y el
10% de nitrato es nitrógeno puro. ¿Qué
porcentaje del fertilizante es nitrógeno puro?.
a) 3,2 % b) 4% c) 4,5%
d) 6% e) 7%
15. De los soldados que participaron en una
batalla, 80 perdieron un ojo, 70 perdieron una
oreja y el 35% quedó ileso. Se sabe que el
25% de los que perdieron un ojo también
perdieron una oreja. ¿Cuántos soldados
combatieron?
a) 100 b) 200 c) 300
d) 400 e) 700
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01
a) 100 b) 200 c) 250
d) 300 e) 350
02.De qué número es 157,50 el 12 1/2% más?
a) 120 b) 140 c) 160
d) 180 e) 200
03.De qué número es 264 el 5 3/5 % más?
a) 150 b) 200 c) 230
d) 250 e) 270
a) 150 b) 200 c) 230
d) 250 e) 270
05.De qué número es 798 el 1/4 % meno?
a) 600 b) 700 c) 800
d) 400 e) 500
06.De qué número es 850 el 16 2/3% menos?.
a) 860 b) 930 c) 980
d) 1000 e) 1020
07.Si Luis tuviera un 8% más de la edad que
actual?
a) 25 b) 30 c) 35
d) 40 e) 50
08.Si Pedro tuviera el 20% más de la edad que
tiene tendría 72 años. ¿Cuántos años tiene
actualmente?
a) 50 b) 55 c) 60
d) 65 e) 70
tengo, tendría S/. 280.Si del dinero que tengo
gasto el 40%. ¿Cuánto me sobraría?
a) 120 b) 130 c) 140
d) 125 e) 135
10.Si de las manzanas que tuve, hubiera comido
el 10% menos; me sobrarían 360 manzanas.
¿Cuántas manzanas tuve?
a) 300 b) 400 c) 450
d) 500 e) 600
11.El 15% de 32 es el 12% de N entonces.
¿Cuánto vale N?
a) 40 b) 42 c) 36
d) 38 e) 45
12.El 30% de 16 es el 6% de N entonces.
¿Cuánto vale N?
a) 80 b) 40 c) 60
d) 30 e) 50
13.¿Qué porcentaje del doble del 60% de un
número es el 30% del 20% de los 2/5 del
mismo número?
a) 2% b) 10% c) 20%
d) 24% e) 15%
14.¿Qué porcentaje del cuádruplo de 40% de un
número es el 50% del 40% de los 2/5 del
mismo número?
a) 12% b) 14% c) 20%
d) 34% e) 5%
15.¿Qué porcentaje de la mitad del 60% de un
número es el 15% del 85% de la quinta parte
del mismo número?
a) 8,5 b) 9,6% c) 60%
d) 8% e) 85%
TAREA DOMICILIARIA
01.¿De qué número es 420 el 40% más?
a) 200 b) 250 c) 300
d) 350 e) 400
02.¿De qué número es 500 el 25% más?
a) 400 b) 420 c) 450
d) 500 e) 550

03.¿De qué número es 470 el 6% menos?
a) 200 b) 300 c) 400
d) 500 e) 550
a) 850 b) 800 c) 750
d) 650 e) 700
a) 500 b) 450 c) 520
d) 550 e) 600
06.Si Julio tuviera un 10% más de la edad que
actual?
a)17, 18 b) 16, 18 c) 18, 18
d) 19, 18 e) 20, 19
07.Si Carlos tuviera el 20% menos de la edad
que tiene tendría 40 años. ¿Cuántos años
tiene actualmente?
a) 45 b) 50 c) 55
d) 40 e) 60
tengo, tendría S/. 600. Si del dinero que tengo
gastó el 60%. ¿Cuánto me sobraría?
a) 156 b) 158 c) 160
d) 165 e) 170
09.Si de los televisores que tuve, hubiera
vendido 30% menos; me sobrarían 140
computadoras. ¿Cuántas computadoras tuve?
a) 145 b) 150 c) 200
d) 185 e) 155
Hay personas que disponen de grandes cantidades
de dinero y están en condiciones de dar prestado
a otras personas que necesitan para trabajar con
ese dinero.
A la persona que tiene se le llama capitalista o
prestamista y a la que solicita prestado el dinero
es el prestatario.
Cuando el capitalista da un dinero prestado pone
como condición, que se le pague de interés, un %
anual o mensual o anual o sea una cantidad de
soles por cada 100 soles que da prestado durante
un mes o un año y conociendo este % se puede
saber cuanto se le debe dar por todo el dinero
prestado durante el tiempo determinado.
Hay instituciones públicas nacionales e
internacionales que se encargan de dar prestado
dinero a otras instituciones para obras
reproductivas con muchas ventajas, así por
ejemplo BID (Banco Internacional de Desarrollo)
da prestado con garantía del Gobierno hasta con
3% anual y hasta 20 años.
El proceso que se sigue para resolver los
problemas de interés es el mismo para resolver,
un problema de regla de tres compuesta.
CAPITAL: Es la cantidad de dinero que se da
prestado, lo representamos por C.
INTERÉS: Es la utilidad o beneficio que se
obtiene por el capital prestado, lo representamos
por I. También se le puede llamar rédito.
TANTO POR CIENTO: Es la ganancia convenida
por cada 100 soles durante un año. Se le
representa por %. A veces el % puede ser durante
un mes o un día.
Para fines de cálculos el % debe estar en años
para ser reemplazado en la fórmula.
TIEMPO: Es el lapso de tiempo que tiene en su
poder el prestatario el capital que prestó: El
tiempo lo representamos por T. El tiempo puede
estar dado en años, meses o días.
Cuando el tiempo está dado en años y meses se
tiene que convertir a meses, por conveniencia.
La fórmula que se utilizará para calcular el interés
es:
100
T.%.C
I = ; si "T" está en años.
1200
T.%.C
I = ; si "T" está en meses.
36000
T.%.C
I = ; si "T" está en años.
PROBLEMAS RESUELTOS
01.Una capitalista ha prestado S/. 4500 al 15%
anual durante 3 años. ¿Qué interés recibirá
por su dinero?.
Solución:
Primer Método: Razonado
Si 100 soles gana un interés de 15 soles
durante 1 año.
4500 soles ganará un interés de X soles
durante 3 años.
Razonamos así:
si 100 soles gana un interés de 15 soles
durante un año, 4500 soles ganará un interés
de
(4500)(15) / (100) en un año. O sea : 675
soles.
Luego en tres años ganará: (657 ) ( 3) = 2025
soles.
Segundo Método: por Formula
I =
100
TC.%.
; "T" en años
REGLA DE

I =
100
3154500 ..
= 2025 soles
∴ EL interés que recibirá el capitalista es de
2025 soles.
02.¿Qué interés producirá un capital de 18 300
soles al 16% anual durante 2 años y 8 meses?.
Solución:
Primero debemos tener en cuenta el %, debe
estar en forma anual y el tiempo, está en años
y meses, entonces lo convertimos en meses.
Tiempo = 2 x 12 +8 = 32 meses
Si 100 soles de capital gana 16 soles de
interés en 12 meses
18 300 soles de capital ganará:
(18 300) (16) / (1200) en 12 meses, o sea: 244
soles.
Luego en dos años, 8 meses ganará:
(244 ) (32) = 7 808 soles.
Segundo Método: por Formula
1200
T.%.C
I = ; "T" está en meses.
1200
32.16.18300
I = 7808=
soles
∴ El interés que recibirá el capitalista es de
7808 soles.
03.Hallar el interés producido por un capital de
S/. 24 700 que ha estado impuesto al 18%
anual durante 2 años, 4 meses y 15 días.
Solución:
Convertimos el tiempo en días:
Tiempo = 2 x 360+4 x 30+15 = 855 días
Si 100 soles de capital gana 18 soles de
interés en 360 días.
24 700 soles de capital ganará:
(24700)(18)/(36000) en 360 días o sea: 12,35.
Luego en dos años 4 meses y 15 días:
(12,35) (855) = 10559,25 soles
Segundo Método:
36000
T.%.C
I = ; "T" está en días
36000
855.18.24700
I = = 10 559,25
soles
∴ El interés producido es de 10 559,25 soles.
PRÁCTICA DE CLASE
Desarrolle los siguiente problemas.
01.Hallar el interés de S/. 800 al 32 ¾ % anual
en 2 años.
a) 524 b) 624 c) 500
d) 600 e) N.A
02.Halla el interés de S/. 350 al 2 ½ % mensual
en 18 meses.
a) 150 b) 157,50 c) 155,5
d) 156 e) N.a
03.Halla el interés de 9000 soles al 32 ½ % anual
en 120 días.
a) 975 b) 875 c) 965
d) 850 e) N.a.
04.Qué monto al 25% anual en 15 meses ha
producido S/. 131,25?.
a) 131,5 b) 31,75 c)131,25
d)131 e) N.a
05.Qué capital al 0,04% diario en 9 meses ha
ganado S/. 86,4 ?.
a) 680 b) 800 c) 700
d) 780 e) N.a
06.¿A qué tasa de interés anual deben ser
colocados S/. 7200 para que en dos años, 3
meses y 5 días produzcan un interés de S/.
4075?.
a) 25% b) 20% c) 15%
d) 19% e) N.a
07.Si S/. 2700 han producido S/. 144 en 5 meses
y 10 días, ¿a qué % anual fueron impuestos?.
a.10% b.11% c.12%
d)13% e. N.a
08.Por cuantos días estuvieron colocados S/.
6400 al 0,09% diario, que nos produjeron S/.
547,20 de ganancia?.
a. 84 b. 65 c . 95
d. 70 e. N.a
09.Halla el interés de S/. 4200 al 0,08% diario en
1 año y 20 días.
a) 1200.7 b) 1106 c) 1290,6
d) 1276,8 e) N.a
10.Qué monto al 2 ½ % mensual en 45 días ha
producido S/. 25,5?.
a) 86 b) 85,4 c) 78,4
d) 84,5 e) N.a
11.¿Qué interés produce un capital de S/.4000 al
ser prestado al 7.5%, trimestral durante 1 año
3 meses?.
a) S/. 900 b) 1200 c) 1500
d) 1800 e) 21000
12.¿Qué capital produce mayor interés anual?.
I. S/. 18000 al 6% trimestral.
II. S/. 24000 al 9% semestral
III. S/. 28800 al 30% bianual.
a) sólo I b) sólo II c) Sólo III
d) I y II e) igual interés
13.Hallar la tasa de interés trimestral a la que se
ha prestado un capital durante 1 año, 5 meses
y 12 días, de tal manera que el interés
producido sea el 29% del capital.
a) 20% b) 40% c) 10%
d) 5% e) 8%
14.A qué tasa de interés trimestral se ha
impuesto un capital que en 6 años 3 meses
produce un interés que es el 60% del monto.
a) 6% b) 7% c) 8%
d) 9% e) 10%
15.Si el interés de un capital a los 4 meses y
medio es S/. 360. ¿Cuál será dicho capital, si
al año 3 meses genera un monto de S/. 2750?

a) S/. 1250 b) 1000 c) 1750
d) 1550 e) 1450
16.Hallar la tasa de interés anual a la que se debe
imponer un capital, para que en 2 años genere
un monto que sea el 140% del capital.
a) 16% b) 18% c) 20%
d) 22% e) 24%
17.El interés de un capital obtenido en 4 meses
es el 20% del monto. ¿Qué porcentaje del
monto es el interés que se obtendrá en 9
meses, del mismo capital prestado a la misma
tasa de interés?
a) 30% b) 60% c) 24%
d) 44% e) 36%
18.Una suma de S/. 45000 es prestado por 7
meses 9 días al 20% cuatrimestral. ¿Qué error
se conoce al considerar el año común en vez
del año comercial?.
a) S/. 210 b) 215 c) 225
d) 220 e) 230
19.Martín impone los 4/7 de su capital al 4% y el
resto al 5% y resulta un interés anual de S/
3100. ¿Qué cantidad fue impuesta al 4%?.
a) S/. 42500 b) 40000 c) 58000
d) 30000 e) 28000
20.Un capital colocado a interés simple por 8
meses produjo un monto de S/. 92400. Si el
mismo capital se hubiera impuesto al mismo
rédito por un año, el monto sería S/.103600.
¿Cuál es la tasa de interés?.
a) 48% b) 8% c) 4%
d) 3% e) 7%
PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 02
01.¿Qué renta diaria produce 120 millones de
soles si se colocó al 6%?
a) S/ 10000 b) S/ 20000 c) 30000
d) S/ 40000 e) N.a.
02.¿Qué tiempo estuvo colocado un capital, si al
colocarse el 5% tetramestral se cuadriplicó?
a) 120 meses b) 8 años c) 20 años
d) 100 meses e) N.a.
03.Hallar el capital de una persona sabiendo
que los 21/83 impuestos al 8% y el resto al
6%, le da una renta anual de S/ 1080.
a) 265 000 b) 10600 c) 15900
d) 106000 e) 159000
04.En cuánto se convertirá un capital de S/ 8000
prestado al 0,5% mensual, durante 2 años y 6
meses?
a) S/ 1200 b) 9200 c) 8800
d) 8600 e) N.a.
05.¿Durante cuánto tiempo estuvo prestado un
capital al 5% de interés anual. Si los intereses
producidos alcanzan al 40% del capital?
a) 10 años b) 8 años c) 6 años
d) 4 años e) N.a.
06.¿Cuál es el interés producido por S/ 16000 al
9% anual durante 140 días?
a) 540 b) 560 c) 570
d) 620 e) 760
07.¿Cuál es el capital que impuesto al 5% da S/
750 de interés anual?
a) 15000 b) 16000 c) 1500
d) 4000 e) N.a.
08.¿A qué tanto por ciento hay que imponer S/
12000 para tener S/ 1140 de interés en 2
años?
a) 4,5% b) 4,75% c) 5%
d) 5,7% e) 3%
09.Se han colocado a un mismo tanto dos
capitales, uno de S/ 12000 durante 60 días y
otro de S/ 8000 durante 30 días. el primer
capital ha producido S/ 80 más que el
segundo la imposición se hizo al:
a) 4% b) 4,5% c) 5%
d) 6% e) N.a.
10.Un capital impuesto durante un año al 3%
produce $21 más que otro impuesto 9 meses
al 4%. ¿Cuál es la diferencia de dichos
capitales?
a) $ 800 b) $ 750 c) $ 900
d) $ 700 e) $ 1000
11.Se tiene dos capitales que suman 33000, al
colocarse el menor capital 40% y el mayor al
60 % después de un año 9 meses, el interés
del mayor es igual al monto producido por el
menor. Hallar el capital del menor.
a) 15600 b) 186600 c) 12600
d) 20600 e) 10600
12.¿Qué interés produce 120000 en 2 meses, 10
días al 16% cuatrimestral?
a) 12000 b) 11200 c) 10000
d) 11800 e) 13500
13.¿Qué capital es aquel que colocado al 5%
anual durante 10 meses produce S/ 3300
menos que si se impusiera al 5% mensual
durante el mismo tiempo?
a) 7000 b) 7100 c) 7200
d) 7050 e) 7250
14.Se prestó un capital por 1 año y el monto fue
5500 u.m. Si se hubiera prestado por 2 años el
monto sería 6000. ¿Cuál fue la tasa?
a) 5% b) 20% c) 10%
d) 25% c) 15%
15.Hallar el interés cuatrimestral que produce
1200 soles al 2,1 semanal
a) 224 b) 194,4 c) 432
d) 326 e) 323,2
TAREA DOMICILIARIA
01.Halla el Interés de 900 soles al 32 1/2 %
anual en 120 días
a) 975 b) 875 c) 965
d) 850 e) N.a.
02.¿Qué monto al 25% anual en 15 meses ha
producido S/ 131,25?
a) 131,5 b) 131,75 c) 131,25
d) 131 e) N.a.
03.¿Qué capital al 0,04 diario en 9 meses ha
ganado S/ 86,4?
a) 680 b) 800 c) 700
d) 780 e) N.a.
04.¿A qué tasa de interés anual deben ser
colocados S/ 7200 para que en dos años, 3
meses y 5 días produzcan un internes de S/
4075?
a) 25% b) 20% c) 15%
d) 19% e) N.a.
05.Si S/. 2700 han producido S/ 144 en 5 meses
y 10 días, ¿A qué % anual fueron impuestos?
a) 10% b) 11% c) 12%
d) 13% e) N.a.
06.Por cuántos días estuvieron colocados S/
6400 al 0,09% diario, que nos produjeron S/
547,20 de ganancia?
a) 84 b) 65 c) 95
d) 70 e) N.a.
07.Halla el interés de S/ 4200 al 0,08% diario en
1 año y 20 días.
a) 1200,7 b) 1106 c) 1290,6
d) 1276,8 e) N.a.
08.¿Qué monto al 2 1/2% mensual en 45 días ha
producido S/ 25,5?
a) 86 b) 85,4 c) 78,4

d) 84,5 e) N.a.
09.¿Cuántos años deben colocarse S/ 5700 al
2,5% mensual para que nos dé una ganancia
de S/ 5130?
a) 84 b) 65 c) 95
d) 70 e) N.a.
10.Halla el interés de S/ 350 al 21/2 % mensual
en 18 meses.
a) 150 b) 157,50 c) 155,5
d) 156 e) N.a.
INTRODUCCIÓN:
En el medio comercial, no siempre se dispone de
un capital para la adquisición inmediata de un
bien. Por que es casi imposible comprar un bien
al contado, para lo cual se estableció un sistema
de compra al crédito, en el cual se firman
documentos que constituyen la garantía de las
promesas de pago en fechas determinadas para
ubicarnos en la teoría, veamos el siguiente
ejemplo:
Un trabajador, con el esfuerzo de su trabajo logro
ahorrar $ 900.
El día 4 Setiembre va de compras, a una tienda
con la finalidad de adquirir un equipo de sonido y
se da con la sorpresa que dicho equipo cuesta $
1200 entonces César (deudor) establece un
compromiso de pago por el saldo con la empresa
(crédito) para formalizar la deuda el trabajador
firma un documento comercial (letra de cambio)
por S/.380 (valor nominal) pagando el 2 de enero
del segundo año (fecha de vencimiento) pero, el
trabajador se libera de la deuda el 3 de
Noviembre de este año, pagando S/.340 (valor
actual).
Se observa que no pago S/. 360 sino S/. 340 esto
se debe a que cancelo su deuda 60 días antes de
vencimiento (tiempo de vencimiento) es decir que
le hicieron un descuento de S/.40 (descuento)
Luego:
D = Vn – Va
Donde:
D: Descuento
Vn: Valor nominal
Va: Valor actual
LETRA CAMBIO
Es un documento comercial, donde una persona,
llamado “deudor”, se compromete a pagar una
determinada suma de dinero a otra persona
llamada “Acreedor”, al cabo de cierto tiempo,
Valor Nominal (VN)
Es el valor que va impreso en la letra de cambio.
Fecha de Vencimiento (FV)
Fecha limite para poder hacer efectivo una letra
de cambio.
Valor Actual (VA)
Es el beneficio para el deudor por hacer efectivo
una letra de cambio antes de la fecha de
vencimiento.
NOTA:
El tiempo transcurrido desde el 3 de Noviembre
(2000) al 2 de Enero (2001) se le conoce como
tiempo de descuento (T)
DESCUENTO COMERCIAL (DC)
Es el interés que generaría el valor nominal bajo
una tasa de descuento durante el tiempo de
vencimiento. Analicemos en general una letra de
cambio en un gráfico de tiempo.
t
Vn
DcVac
DC = Vn x r % x t Vn = Vac + DC
PRACTICA DE CLASE
01.Se tiene una letra de S/. 8000 pagadera en 50
días al 15% anual. Esta letra fue negociada
luego de 20 días de la firma. Calcular el
descuento comercial.
a) 200 soles b) 100 soles c) 300 soles
d) 500 soles e) N.a.
02.¿Cuál es el descuento comercial de una letra
de 720 soles al 16% anual en un plazo de 25
días?
d) 30 soles e) N.a.
03.Un comerciante debe pagar una letra de S/.
9000, pero pagó 45 días antes de la fecha de
vencimiento la suma de S/. 8910. ¿Cuál fue la
tasa descontable?
a) 10% b) 8% c) 12%
d) 20% e) N.a.
04.¿Cuál es el valor nominal de una letra que se
vencía dentro de 75 días si al descontarla
comercialmente al 12% anual, ha recibido S/.
15210?
a) S/ 15000 b) S/ 15500 c) S/ 15600
d) S/ 16000 e) N.a.
05.Un negociante debe pagar una letra de S/.
3000. La negocia al 6% de descuento y antes
de 8 meses del vencimiento. ¿Cuál es el valor
actual?
06.El valor nominal de una letras es de S/. 1480
habiéndose recibido 1200 soles. ¿Cuál es el
descuento?
d) 400 soles e) 280 soles
07.El valor actual de una letra es S/. 8000 y el
descuento comercial y el valor nominal está
en la relación de 9 a 29. Hallar el valor
nominal de la letra.
a) 400 soles b) 500 soles c)11600 soles
REGLA DE

08.Si el descuento comercial de una letra es de
S/. 160 y su valor actual es S/. 12000. ¿Cuál
es el valor nominal de la letra?
a) S/ 12160 b) S/ 13 120 c) S/ 15 000
d) S/ 2000 e) N.a.
09.El descuento comercial de una letra de 1500
soles, descontada por 100 días al 6% es de S/.
25. ¿Cuál es el valor efectivo comercial?
10.Se tiene una letra de S/. 4000 pagadera en 50
días al 15% anual. Esta letra fue negociada
luego de 10 días de la firma. Calcular el
descuento comercial.
a) 66,6 soles b) 20 soles c) 30 soles
d) 45 soles e) N.a.
11.¿Cuál es el descuento comercial de una letra
de 1440 soles al 16% anual en un plazo de 50
días?
d) 50 soles e) N.a.
12.Un comerciante debe pagar una letra de
S/. 4500, pero pagó 45 días antes de la fecha
de vencimiento la suma de S/. 4455. ¿Cuál
fue la tasa descontable?
a) 10% b) 12% c) 15%
d) 20% e) 8%
13.Un negociante debe pagar una letra de S/.
1500. La negocia al 6% de descuento y antes
de 8 meses del vencimiento. ¿Cuál es el valor
actual?
14.El valor nominal de una letras es de S/. 2960
habiéndose recibido 2400 soles. ¿Cuál es el
descuento?
d) 600 soles d) N.a.
15.Si el descuento comercial de una letra es de
S/. 200 y su valor actual es S/. 1200. ¿Cuál es
el valor nominal de la letra?
PROBLEMAS PROPUESTOS Nº 03
01.¿Cuál es el valor nominal de una letra que
descontada en 30 días al 6% se ha reducido a
4776 soles?
d) 4750 soles e) 4850 soles
02.Una letra por 225 soles ha sido descontada al
8% anual obteniéndose 217.50 soles. ¿Dentro
de cuántos tiempos (en meses) vencía la
letra?
a) 5 b) 6 c) 7
d) 3 e) 4.5
03.Una letra de 10250, vale hoy 9840. hallar el
vencimiento posible (en días), sabiendo que
el descuento calculado es al 6%
a) 240 b) 250 c) 260
d) 280 e) 350
04.Carlos compró dos televisores a 2020 soles a
16 meses de plazo, pero como pagó antes del
vencimiento obtuvo un descuento de 72.20
soles al 55 anual. ¿Después de cuánto tiempo
de la compra hizo dicho pago?
a) 8 meses 4 días b) 7 meses 22 días
c) 7 meses 24 días d) 8 meses
e) N.a.
05.Se quiere saber el valor nominal de una letra
que se vencía dentro de 45 días y que
descontada comercialmente al 9% anual se ha
recibido $ 11865.
a) $ 11990 b) $ 11960 c) $ 12100
d) $ 12000 e) N.a.
06.La suma de los valores nominales de dos
letras de 8400 soles y se ha recibido por ellas
8280 soles, descontadas al 6% la primera por
2 meses y la segunda por 3 meses. ¿Cuál es
el valor nominal de la segunda en soles?
a) 1200 b) 7200c) 7400
d) 1400 e) 7600
07.El valor nominal de una letra es 3/5 el valor
nominal de otra, se han descontado al 5% por
un mes y doce días la segunda letra ha sido
37 soles. Determinar el descuento de la
primera letra en soles.
a) 15.75 b) 15.60 c) 15.35
d) 15.54 e) 15.25
08.Hallar el descuento de una letra de 81800
soles faltando 70 días para su vencimiento y
que fue descontada al 56% anual
(aproximadamente)
a) 8907 b) 9080c) 9807
d) 6707 e) N.a.
09.Hallar el descuento de una letra de $ 76400
que se desea descontar al 54% anual el 10 de
marzo, siendo su vencimiento el 5 de junio
del mismo año?
a) 980 b) 9970c) 9960
d) 9950 e) N.a.
10.¿Cuál es el valor nominal de una letra que al
ser descontada al 55% anual faltando 72 días
para su vencimiento un descuento de $ 3144?
a) 10560 b) 10530 c) 12340
d) 11525 e) N.a.
11.¿Cuál será el efectivo de una letra de 44500
soles que se desean descontar al 55% anual
faltando 48 días para su vencimiento?
a) 41237 b) 40325 c) 42345
d) 4123 e) 42560
12.Hallar el valor efectivo de una letra de 2400
soles, pagadera al cabo de 1 mes y 12 día,
siendo el descuento del 5%?
a) 1356 b) 2386c) 2286
d) 2380 e) N.a.
13.El valor nominal de una letra, descontada por
5 meses al 4% ha disminuido en 6,50 soles.
¿Cuál es su valor actual?
a) 350, 6 b) 367,5 c) 384,6
d) 370,5 e) 383,5
14.Una letra de 1500 soles, descontada por 90
días, se ha reducido a 1485 soles. ¿Cuál es el
tanto por ciento de descuento?
a) 3% b) 4% c) 5%
d) 6% e) 7%
15.Hallar el valor actual de un pagaré de 4800
soles, descontada por dos años y dos meses,
al 5%
a) 43000 b) 4230c) 4280
d) 4250 e) 4280
TAREA DOMICILIARIA
01.¿Cuál es el valor nominal de una letra que,
descontada por 30 días el 6%, se ha reducido
a 4,776 soles?
a) 3000 b) 3800c) 4000
d) 4900 e) N.a.

02.Deducir el descuento que corresponde a una
letra de 370 soles, al 6% realizada en 60 días
antes del vencimiento
a) 33,5 b) 37,4 c) 30,5
d) 36,5 e) N.a.
03.¿Cuál será el valor nominal de una letra a
guiarse dentro d 60 días, si al descontarse al
48% anual, se desea obtener $ 95000 en
efectivo?
a) 103261 b) 102261 c) 103320
d) 102261 e) N.a.
04.El valor nominal de una letra que descontada
por 30 días al 16 % y que se ha reducido a
S/ 3582, se:
a) S/. 3500 b) S/. 3600 c) S/. 3700
d) S/. 3880 e) N.a.
05.El valor nominal de una letra que descontada
por 30 días al 16 % y que se ha reducido a
S/ 6582, se:
a) S/. 3500 b) S/. 3600 c) S/. 3700
d) S/. 3880 e) N.a.
ÁNGULO
S
Definición:
Es aquella figura geométrica formada por dos
rayos que tiene el mismo origen.
A dichos rayos se les denomina lados y al origen
común vértice del ángulo.
O
A
B
Región interior
del ángulo AOB
θ
Elementos:
Lados: OA y OB
Vértice: 0
Notación: Ángulo AOB: ∠ AOB
Medio del ángulo AOB: m ∠ AOB
m ∠AOB = θ
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
Es aquel rayo ubicado en la región interior del
ángulo cuyo origen es el vértice de dicho ángulo
y que forma con sus lados, ángulos de igual
medida
α
α
O B
P
A
En la figura OP : bisectriz del ángulo AOB
Entonces:
m ∠ AOP = m ∠ POB
CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS
Según sus medidas:
Ángulo Agudo. Es aquel ángulo cuya medida es
mayor que 0º y menor que 90º.
β
O B
A
En el gráfico el ∠ AOB es agudo, entonces:
0º < β <90º .
Ángulo Recto. Es aquel cuya medida es igual a
90º.
β
O B
A
En el gráfico ∠ AOB es recto, entonces:
β = 90º .
Ángulo obtuso. Es aquel ángulo cuya medida en
mayor a 90º y menor que 180º
β
O B
A
En el gráfico ∠ AOB es obtuso, entonces
90º < β < 180º .
Según la posición de sus lados:
Ángulos Adyacentes. Son dos ángulos que
tienen el mismo vértice y además están situados a
distinto lado de un lado común.
β
O
B
A
α
θ
C
En el gráfico los ángulos AOB y BOC son
adyacentes. Se cumple: θ = α + β
Ángulos Consecutivos:
Se denomina así dos o más ángulos que son
adyacentes con sus inmediatos.
β
O
B
A
α
θ
Eγ
C
D
En la figura los años AOB, BOC, COD, y DOE
son consecutivos. Entonces:
M ∠ AOE = α + β + θ + γ .
Ángulo opuestos por el vértice:
Son dos ángulos que tiene el mismo vértice y
además los lados de uno de ellos son las
prolongaciones de los lados del otro en sentido
contrario.
O
A
M
NB
βα
En la figura los ángulos AOB y MON son
opuestos por el vértice.
Se cumple: m ∠ AOB = m ∠ MON
Es decir: α = β
Ángulos Complementarios:
Son dos ángulos cuya suma de sus medidas es
igual a 90º
α
A
β
M
N
B
O Q
En la figura se tiene los ángulos complementarios
AOB y MQN. Entonces:
α + β = 90º .
Sea:
C(α): complemento de α
Entonces:

C(α) = 90º - α .
Ángulos Suplementarios
Son do ángulos cuya suma de sus medidas es
igual a 180º.
x y
B
A M
N
En la figura se tiene los ángulos suplementarios
AOB y NQN
Entonces:
x + y = 180º
Sea:
S(x): suplemento de x
Entonces: S(x) = 180º - x
PRÁCTICA DE CLASE
01.Da cuatro ejemplos (familiares) que te den la
idea de:
a) ángulo;
b) ángulo agudo;
c) ángulo recto;
d) ángulo obtuso;
e) rectas perpendiculares entre sí;
f) dos rectas secantes;
g) dos ángulos complementarios;
h) dos ángulos suplementarios
02. Define:
a) ángulo ..................................................
b) ángulo agudo .......................................
c) ángulo obtuso ......................................
d) rectas perpendiculares entre sí ..............
e) ángulos suplementarios ........................
f) ángulos complementarios .....................
03. Dibuja:
a) un ángulo de 40º;
b) un ángulo recto;
c) un ángulo obtuso;
d) dos rectas secantes;
e) dos ángulos complementarios;
f) dos ángulos suplementarios
04.Completa
a) AoB)<
representa ...............................
b) vértice de un ángulo es .........................
c) un ángulo recto mide ...........................
d) L1 __ L2
significa ..................................
e) Si uno de dos ángulos complementario
miden 72º, el otro ángulo mide............
f) Si uno de dos ángulos suplementarios
mide 148º, el otro ángulo mide.............
g) Si en dos ángulos complementarios, uno
es el doble del otro, los ángulos
miden ..................................................
05.Una circunferencia tiene ............................
grados ...................................... minutos
y ...................... segundos.
06.Escribe
a) 34 grados 87 minutos 5 segundos
b) 9 grados 21 segundos
c) 108 grados 32 minutos
d) 44 minutos 36 segundos
07.Simplificar
a) 8º 183' 147" b) 11º 251' 121"
c) 241' 378" d) 2º 3688"
e) 14º 728' f) 1º 55' 328"
g) 6830" h) 1936' 10840"
08.¿Cuántos segundos hay en:
a) 7º 21' 9" b) 13º 28' 146"
c) 18º 32' d) 6º 1625"
e) 40' 6241" f) 158'
09.¿Cuántos minutos hay en:
a) 4º 340' 425" b) 15º 625'
c) 1240' 850" d) 5º 1429"
e) 6248" f) 4536' 48"
10.¿Cuántos grados hay en:
a) 47º 180' 1688" b) 17º 245' 726"
c) 708' d) 5420"
e) 49' 1200" f) 60' 2532"
11.Calcula
a) 3º 8' 14" + 5º 13' 8"
b) 45ª 27' 41" + 1º 49' 50"
c) 78º 105' 69" + 47º 120' 132"
d) 32º 47' + 17º 97"
e) 6º 49' 61" + 10º 31' 48" + 15º 71' 83"
12.Calcula
a) 69º 18' 42" – 37º 12' 36"
b) 44º 21' 27" – 17º 19' 48"
c) 103º 8' 78" – 86º 40' 25"
d) 33º 90" – 29º 31
e) 49º 65' – 17º 81"
f) [26º 31' 47" + 16º 59' 65"] – 27º 2' 1"
13.Calcula
a) 9º 11' 23" x 4
b) 21º 7' 12" x 10
c) 61' 27" x 12
d) 18º 41" x 15
e) 22º 17' x 19
f) 341" x 30
14.Calcula
a) 15º 55' 50" ÷ 5
b) 72º 243' 198" ÷ 9
c) 150º 350' 410" ÷ 10
d) 147º 126 ÷ 7
15.Resuelve:
a) Si uno de dos ángulos complementa-rios
mide 45º 3' 18". ¿Cuánto mide el otro?
b) Si uno de ángulos suplementarios mide
88º 65' 410" ÷ 10?
c) El complemento de 15º 16' 17" es ........
.............................................................
d) El suplemento de 101º 18" es ..............
.............................................................
e) el complemento de 36' 78" es ...............
.............................................................
f) El suplemento de 136º 25" es ..............
.............................................................

PROBLEMA PROPUESTOS Nº 04
01. En la figura. Calcular BOA

47º
B
A O C
a) 47º b) 133º c) 123º
d) 143º e) 113º
02.Si BOA

= COB

= DOC

.Calcular
de COA

B
A O
C
D
a) 60º b) 90º c) 120º
d) 100º e) 110º
03.Si DOB

=130º. Calcular de COB

B
D O C
a) 60º b) 50º c) 30º
d) 40º e) 20º
04.De la figura calcular "x"
2x+10º x+40º
a) 30º b) 50º c) 60º
d) 20º e) 25º
05. De la figura calcular "x"
x
5x
a) 20º b) 15º c) 10º
d) 30º e) 25º
06.Calcular el valor de "x" para que OB sea
bisectriz de COA

.
x
5x
C
B
A
O
a) 15º b) 13º c) 14º
d) 16º e) 20º
07.Calcular la medida del mayor de tres ángulos
que están en la relación de 3,5 y 7, sabiendo
que el complemento de la suma de las
medidas de los ángulos es 15º.
a) 48º b) 25º c) 30º
d) 35º e) 45º
08.El complemento de la medida de un ángulo es
igual al doble de la medida de dicho ángulo.
Hallar la medida de dicho ángulo.
a) 15º b) 20º c) 30º
d) 45º e) 60º
09.Hallar el complemento de 78º 46' 27"
a) 11º12'32" b) 11º42'33" c) 11º13'33"
d) 11º23'43" e) N.a.
10.Dos ángulos adyacentes suplementarios sus
medidas se diferencian en 50º. Hallar la
medida del mayor.
a) 100º b) 105º c) 110º
d) 115º e) N.a.
11.De qué ángulo debe restarse los 2/3 de la
medida de su complemento para obtener 5º
a) 19º b) 29º c) 39º
d) 49º e) N.a.
12.En la figura, hallar m )<COM si m )<
BOC - m )<AOC = 24º
OM : bisectriz del )<AOB
B
M
C
A
O
a) 12º b) 18º c) 20º
d) 24º e) N.a.
13.La suma del complemento más el suplemento
de cierto ángulo es igual a 130º. Hallar la
medida de dicho ángulo.
a) 50º b) 60º c) 70º
d) 80º e) 90º
14.¿De qué ángulo se debe restar su
complemento para obtener 10º?
a) 30º b) 40º c) 50º
d) 60º e) 70º
15.Si un ángulo se le resta su complemento,
resulta igual a la cuarta parte de su
suplemento. Hallar la medida del ángulo.
a) 135º b) 70º c) 80º
d) 60º e) 90º
16.Si un ángulo le restamos su suplemento
resulta igual al triple de su complemento.
Hallar el complemento de dicho ángulo.
a) 60º b) 30º c) 90º
d) 0º e) 50º
17.Calcular la medida de un ángulo, sabiendo
que su complemento es a su suplemento como
1 es 10.
a) 30º b) 70º c) 80º
d) 90º e) 0º
18.De que ángulo, se debe restar la quinceava
parte del triple de su complemento para
obtener 6º.
a) 15º b) 12º c) 20º
d) 30º e) 45º
19.La suma de los suplementos de dos ángulos
es igual a 260º y la diferencia de sus
complementos es igual a 40º. Determinar la
medida del menor ángulo.
a) 70º b) 40º c) 50º
d) 35º e) 30º
20.Si el complemento de la diferencia de dos
ángulos es igual al suplemento de la suma de
dichos ángulo. Determine uno de los ángulos.
a) 30º b) 24º c) 45º
d) 60º e) 90º

TAREA DOMICILIARIA
En cada pregunta (01,02,03) coloca una "V" si la
expresión es verdadera y con una "F" si es falsa
01.
a) En una recta hay un número
finito de puntos.......................... ( )
b) Dospuntosdeterminanunasolarecta ( )
c) En un plano hay un número finito
de rectas. ......................... ( )
d) Dos rectas paralelas se interceptan
en un punto............. ( )
02.
a) Si α<) =89º, α es un ángulo
obtuso
( )
b) Dos rectas perpendiculares
forman un ángulo de 91º........... ( )
c) Dos rectas perpendiculares
forman un ángulo de 89º59'60". ( )
d) Dos rectas paralelas son secantes.. ( )
03.Si x e y son ángulos complementarios,
x)< = 13º, entonces y)< =
a) 67º b) 76º c) 167º d) 77º
04.El valor de x es:
x / 2
x
a) 60º b) 50º c) 70º d) 56º
05.El valor de x es:
130º
x
a) 67º b) 57º c) 77º d) 75º
06.Dos circunferencias tiene:
a) 43200' b) 21600' c) 21000 d) 43000
07.18489" es
a) 5º10'9" b) 5º8'10" c) 6º8'9" d) 5º8'9"
08.En 360' 10800" hay
a) 8º b) 9º c) 10º d) 7º
09.(23º 728" – 18º 35') + 2º70'92" es igual a:
a) 7º48'40" b) 7º48' c) 7º40"
d) 6º48'40"
10.(25º37" x 12) – 300º6'24" es igual a
a) 3º1'2" b) 3º2'1" c) 3º1' d) 1'
11.El suplemento de 8742" es
a) 74º34'18" b) 117º c) 17º34'18"
d) 170º24'
12.Si uno de dos ángulos complementarios mide
125' 420", el otro mide.
a) 62º48' b) 60º48' c) 61º48' d) 87º48'

SOLUCIONARIO
Nº
Ejercicios Propuestos
01 02 03 04
01 D B C B
02 B C A C
03 D C A D
04 A B E B
05 C B D B
06 E B B C
07 E A D D
08 C B A C
09 A D B C
10 B D E B
11 A C A C
12 A B A A
13 A C E C
14 E C B C
15 A C C D
16 D
17 C
18 C
19 E
20 C
GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL
copyright 2003

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