Este documento trata sobre los números irracionales. Explica que los números irracionales tienen decimales infinitas no periódicas y no pueden expresarse como fracciones. Describe la historia de su descubrimiento y algunas propiedades como la conmutativa y asociativa. Además, clasifica los números irracionales en algebraicos y trascendentes y menciona ejemplos famosos como pi y e.

1. Números irracionales
KARLA PATRICIA SOTO ORTEGA
ALINE ALEJANDRA VILCHIS SANCHEZ

2. “
”
Historia de los numero
irracionales
Aparentemente Hipaso (un estudiante de Pitágoras) descubrió los números irracionales
intentando escribir la raíz de 2 en forma de fracción (se cree que usando geometría). Pero en
su lugar demostró que no se puede escribir como fracción, así que es irracional.

3. Definición
Los números irracionales tienen como
definición que son números que poseen
infinitas cifras decimales no periódicas,
que por lo tanto no pueden ser
expresados como fracciones.

4. Notación de los
números irracionales
La representación gráfica de los números
irracionales se la hace con la letras
mayúsculas así: R - Q. Pero el símbolo no
se representa en las ecuaciones al no
constituir una estructura algebraica, en
ocasiones se los puede ver como R/Q
como la representación de números
irracionales por definición.

5. Propiedades de los números
irracionales
Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se
cumple la propiedad conmutativa según la cual el orden de los
factores no altera el resultado, por ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así
como en la multiplicación, π×ϕ=ϕ×π.
Propiedad asociativa: donde la distribución y agrupación de los
números da como resultado el mismo número, de manera
independiente a su agrupación, siendo (ϕ+π)+e=ϕ+ (π+e); y de
la misma manera con la multiplicación, (ϕ×π) ×e=ϕ× (π×e).
.

6. Propiedad cerrada: es decir que el resultado de la suma,
resta, multiplicación, división o potenciación de un
número irracional, siempre será un número irracional.
Sin embargo la propiedad cerrada no se cumple en el
caso de la radicación.
Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la
suma de números irracionales, es decir que para cada
número tiene su negativo que lo anula, por ejemplo π-
π=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que
da como resultado 1, es decir ϕ×1/ϕ=1

7. Clasificación de los números racionales
• Número algebraico.- se les llama así a los números irracionales que
surgen de resolver alguna ecuación algebraica y se escribe con un
número finito de radicales libres o anidados. En general, las raíces no
exactas de cualquier orden se encuentran dentro de este conjunto, es
decir las raíces cuadradas, cúbicas, etc.
• Número trascendente.- este es un número irracional que no puede ser
representado a través de un número finito de radicales libres o anidados,
estos provienen de otro tipo de operaciones llamadas funciones
trascendentes utilizadas mucho en trigonometría, logaritmos,
exponenciales, etcétera.

8. Números irracionales famosos
Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un
millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son
estos:
3,1415926535897932384626433832795 (y sigue...)
El número e (el número de Euler) es otro número
irracional famoso. Se han calculado muchas cifras
decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los
primeros decimales son:
2,7182818284590452353602874713527 (y sigue...)

9. La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos son:
1,61803398874989484820... (y más...)
Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales.
Ejemplos:
√3 1,7320508075688772935274463415059 (etc)
√999,9498743710661995473447982100121 (etc)
Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales.

10. Números En fracción
¿Racional o
irracional?
5 5/1 Racional
1,75 7/4 Racional
.001 1/1000 Racional
√2
(raíz cuadrada de 2)
? ¡Irracional!

11. Fuentes de consulta
• http://numerosirracionales.com/
• http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/numeros-irracionales.
html
• http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapI/1_4_n
um_irrac.htm