El documento describe las propiedades de los números primos y su importancia en las matemáticas. Los números primos son números divisibles únicamente entre 1 y sí mismos, y son fundamentales para descomponer y construir todos los demás números. También tienen aplicaciones importantes en criptografía y codificación de información.

2. El número que etiqueta a este nuevo año, 2017, es, como todos, un número interesante con
muchas propiedades. Algunas de ellas os las listo ahora (sacadas de Number Gossip):
Es un número primo (divisible solamente entre 1 y 2017).
Es un número deficiente, ya que sus divisores, excepto el propio número, suman menos que
dicho número.
Es un número odioso, al tener una cantidad impar de unos en su expansión binaria:
2017=11111100001_{(2}
Por otro lado, 2017 es uno de los números para los que
la función Phi de Euler.
Para terminar con este interesante número, comentar que 2017 es el número de poliominós fijos
de tamaño 8 que son convexos por columnas.
siendo la función Phi de
Euler.

3. Todos deberían saber qué es un número primo. Pero ¿por qué? ¿Qué tienen de especial estos
números para que sean tan importantes? Su presencia, su naturaleza y su utilidad los convierten
en elementos imprescindibles e inherentes de las matemáticas. Sin embargo, esto no contesta a
nuestra pregunta. Al menos de manera directa. ¿Para qué los empleamos "realmente"?
La especial naturaleza de estos números les da una
importancia fundamental en matemáticas.
¿Qué es un número primo?
Vamos a repasar la cuestión básica que puede que muchos no recuerden: ¿qué son los números
primos? Estas cifras se caracterizan por ser divisibles únicamente entre sí mismos y uno. El resto de
número se denomina compuestos. Ejemplos de números primos son el 2, 3, 5, 7, 11... La cantidad
de números primos es infinita, tal y como describió Euclides en la antigua Grecia, que es también la
primera referencia a estos números que tenemos. Entre otras cosas, es importante saber que el
número 1 no se considera ni compuesto ni primo, por convenio. Los números primos de Mersenne,
llamados así en honor al filósofo Marine Mersenne, no solo son primos, sino que han de ser una
potencia de dos menos uno (es decir, [2^n] - 1). Estos números son importantes por sí mismos,
ahora veremos por qué.

4. Los números primos, en definitiva, estos son los "ladrillos" con los que se
construyen todos los números (compuestos).
José Santiago García Cremades, matemático, comunicador científico y profesor.
"A mi me gusta ver los números primos como los arquitectos de los otros
números", nos explica, "pero, sin embargo, a los números primos no los
construye nadie. Son arquitectos huérfanos. Esto es lo que los hace tan
interesantes. Construyen a los demás números pero nadie sabe cómo los han
construido a ellos". Análogamente, Santiago nos explica que para Euclides los
números primos podrían ser a los números como los átomos a la materia.
Su especial naturaleza los hace verdaderamente excepcionales. Por ejemplo, a
pesar de que existen diversos algoritmos para tratar de encontrarlos y definirlos,
lo cierto es que su aparición parece totalmente aleatoria, siendo impredecibles.
"De momento se supone que su distribución es caótica. Aunque hay una
hipótesis que supone un patrón en su acumulación, que determinó ya Gauss.

5. Es una pregunta abierta muy interesante ya que si encontráramos un
patrón en esta distribución caótica, podría dar mucha información
sobre de dónde venimos", afirma. "Si determinamos el caos,
estaríamos más cerca de entender algunos sucesos naturales que
también parecen caóticos". Por todo ello, los números primos han
captado la atención de los matemáticos más importantes de la historia
por suponer un auténtico reto intelectual, por su belleza o, en
ocasiones, por su utilidad.
En la base de las matemáticas
Probablemente cualquier cultura con conocimientos matemáticos ha intuido la
existencia e importancia de los números primos. Aunque no es hasta Grecia
cuando tenemos constancia escrita de la consciencia sobre ellos, estos números
están en la base de las matemáticas de civilizaciones mucho más antiguas. Los
números primos son imprescindibles en el Teorema Fundamental de la
Aritmética. "Cualquier número se descompone en un producto único de números
primos", nos explica Santi, "para cualquier número del uno al infinito existe una

6. ¿Para qué sirven los números primos?
Vayamos al grano. ¿Para qué nos sirven? ¿Cómo los usamos y qué nos
solucionan? En primer lugar, como acabamos de decir, los número
primos sirven para asentar las bases de cualquier (y digo cualquier)
número. Aunque otras culturas nunca han hecho demostración de
conocer la teoría existente tras estos números, como explicábamos, sí
que han mostrado que conocían estos números aunque fuese de forma
intuitiva. Y es que sin ellos no podemos elaborar algoritmos y cálculos
complejos. Actualmente las matemáticas están en la base de todo
nuestro conocimiento técnico/científico. Sin conocer los números
primos, cómo determinarlos y qué implicaciones teóricas tienen no
podríamos hacer nada de lo que hacemos.

7. "Hablando de los números primos muy grandes", explica Santi al
preguntarle por los números primos de Mersenne, "hay dos aspectos.
Uno útil y otro muy inútil. Pero que es curioso y bonito. El inútil es
esto de hallar el número primo más grande del mundo. No tiene
ninguna utilidad, ni siquiera para la teoría matemática". Pero
entonces, ¿por qué seguimos buscando? "Hay una cosa que sí que es
muy útil en matemática aplicada. Los números primos muy grandes,
que se obtienen con el algoritmo que busca los números primos de
Mersenne, permiten obtener un código criptográfico muy seguro".
Efectivamente, los números primos de gran tamaño, pueden
emplearse para codificar cualquier tipo de información de manera
segura. "Si tu coges un par de números grandísimos primos y
multiplicas, para poder obtener los originales que lo constituían es
dificilísimo. Esto lo usan los bancos en los números de seguridad, las
transferencias bancarias y otras operaciones".

8. Con los dos números originales la codificación se revierte fácilmente. "Multiplicar
es fácil, pero encontrar el divisor es mucho más complejo", explica el matemático.
Los números primos, además, aparecen en la naturaleza de manera espontánea,
como aparecen ellos mismos en la sucesión numérica.También se emplean a nivel
de marketing y negocio ya que representan números interesantes
económicamente hablando: "si te fijas, cuando ponen un cubo con quintos de
cerveza, suelen poner un número primo de botellines, tres, cinco o siete. Pero
soléis ir de dos en dos, cuatro amigos o tres. Al final, el cubo se queda
insuficiente e invita a comprar otro cubo más". Y es que, como decíamos, los
números primos están presentes en la vida cotidiana y donde menos lo esperas:
Bien sea en los años de reproducción de una chicharra, en la sucesión de