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C 2C 2 MAGNITUDES FÍSICAS.MAGNITUDES FÍSICAS.
• Magnitudes fMagnitudes fíísicas escalares ysicas escalares y
vectoriales. Algebra vectorial.vectoriales. Algebra vectorial.
•EjemplosEjemplos
Bibliog. Sears, FBibliog. Sears, Física universitaria 1999,ísica universitaria 1999,
Hewitt, Física conceptual 1999Hewitt, Física conceptual 1999
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y (m)
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O
origen
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θ
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Relacion entre (x,y) y (r,θ)
y (m)
x (m)
O
origen
abcisa
ordenada
(x,y)
θ
r
θcosrx =
θrseny =
θtan=
x
y22
yxr +=
VectoresVectores
Notación A
Módulo A > 0
A
Dirección ϕθ,
x
y
z
θ
ϕ
Ap
ϕ
x
y
PropiedadesPropiedades
de Vectoresde Vectores
• Dados A y B, si A = B entonces A = B
• Todo vector se puede desplazar paralelamente a
si mismo
A

B

C

CBA

==
Suma deSuma de
VectoresVectores
B
A
R
B
A C
C
Ley del polígono
El vector resultante es
aquel que vector que va
desde el origen del primer
vector hasta el extremo del
ultimo
A

B

C

D

Entonces si se tiene los
siguientes vectores
El vector resultante
de la suma de todos
ellos será:
A
 B

C

D

DCBAR

+++=
R

PropiedadesPropiedades
de Vectoresde Vectores
A
Opuesto
-A
Nulo 0 = A + ( )-A
Vector unitario A
A


=μ
µ
µ= ˆAA

PropiedadesPropiedades
de la suma dede la suma de
VectoresVectores
Ley
Conmutativa
ABBAR +=+=
Ley Asociativa
C)BA)CBAR

++=++= ((
Diferencia
B-AR

=
)B(-AR

+=
A
B A
-B
R
Ley conmutativa
¿Como se explica esta regla?
Los vectores A y B pueden ser
desplazados paralelamente para
encontrar el vector suma
B
R
=
A+B
A
B R
=
B+A
(Método paralelogramo)
B R
=
A+B
Multiplicación de un vector por un
escalar
Dado dos vectores ByA

Se dicen que son paralelos si BA

α=
BAsi

↑↑> 0α
BAsi

↑↓< 0α
BAsi

==1α
A

B

AB

2
1
=
A

B

AB

4
1
−=
Ejemplo 8:
Hallar el vector resultante de la suma de los
siguientes vectores
A B
C
A B
CR = 2
Vectores unitarios en el plano
iˆjˆ
x
y
iˆ Vector unitario en la dirección del eje x+
jˆ Vector unitario en la dirección del eje y+
Vectores unitarios en el espacio
x
y
z
iˆ
jˆ
kˆ
RepresentaciónRepresentación
de un vectorde un vector
x
y
z
θ
ϕ
A
Ax
Ay
Az
θsenAAx ϕcos=
θsenAsenAy ϕ=
θcosAAz =
222
zyx AAAAA ++==

kAjAiAA zyx

++=
Observaciones:
Las componentes rectangulares de
un vector dependen del sistema
coordenado elegido.
La magnitud del vector no cambia.
Permanece invariante en cualquier
sistema coordenado
Determínese la resultante de los
siguientes vectores
+
A

4u 3u
B

BAR

+=
7u
+
A

B

8u 4u =
BAR

+=
4u
Observamos que, cuando los vectores
están en la misma dirección podemos
determinar fácilmente su magnitud
¿Que sucede si los vectores no están en
la misma dirección ? , ¿ podremos
determinar directamente su magnitud ?
4u
3u
A

B

La magnitud en este caso no puede determinarse
directamente , por lo que debemos tratar de
buscar otra forma de determinarla
BAR

+=
A

B

yA

xA

xB

yB

4u
3u
5u
6u
8u
10u
yA

xA

xB

yB

4u
3u
6u
8u
yx AAA

+=
yx BBB

+=
yy BA

+
xx BA

+
10u
5u
yyxx BABAR

+++=
Por pitagoras podemos ahora determinar la
magnitud del vector resultante uR 55510 22
=+=
yA

x
A

xB

yB

xC
y
C

xD

y
D

yyyyy
DCBAR

+++=
xxxxx
DCBAR

+++=
x
R

y
R

15 u
5 u
yx
RRR

+=
105R =
x
y
z
(x1,y1,z1)
(x2,y2,z2)
A

Dados los puntos
indicados el vector que
los une esta
representado por
x
y
z
(x1,y1,z1)
(x2,y2,z2)
A

k)z(zj)y(yi)x(xA 121212
ˆˆˆ −+−+−=

ProductoProducto
escalar de dosescalar de dos
vectoresvectores
θABBA cos=⋅

cosθAAB =
Proyección de A sobre B
cosθBBA =
Proyección de B sobre A
1ˆˆ =⋅ii
1ˆˆ =⋅ jj
0ˆˆ =⋅ ji
0ˆˆ =⋅kj
0ˆˆ =⋅ki
xAiA =⋅ ˆ

1ˆˆ =⋅kk
yAjA =⋅ ˆ

zAkA =⋅ ˆ

ZZYYXX BABABABA ++=⋅

ProductoProducto
vectorial de dosvectorial de dos
vectoresvectores BAC

×=
θABC sen=
0iˆiˆ

=× 0ˆˆ

=× jj
0ˆˆ

=×kk
kji ˆˆˆ =× ikj ˆˆˆ =×
jik ˆˆˆ =×
)kˆBjˆBiˆB()kˆAjˆAiˆA(BAC zyxzyx
++×++=×=

YZZYX BABAC −=
zxxzy BABAC −=
xyyxz BABAC −=
Demostrar:
Determinese la suma de los siguientes vectores:
Ejemplo 1:
k5j8i3A ˆˆˆ ++=

kji-5B ˆ3ˆ2ˆ −+=

kji4C ˆ2ˆ7ˆ −−=

Ejemplo 2:
8m
10m
5m
A

B

C

Determine la suma de los
vectores indicados
x
y
z
Ejemplo 9
Dados los vectores:
kˆ3jˆ5iˆ4B
kˆ5jˆ3iˆ3A
−+=
−+=


Determine :
a) El producto escalar entre ellos.
b)el producto vectorial entre ambos
e) el ángulo que forman entre sí.
Tarea 9c, 9d y 10

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