NÚMEROS REALES

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-diego hidalgo burneo- CURSO DE APTITUD NUMÉRICA
dxhidalgoo@utpl.edu.ec | 0981158237 | agosto de 2015
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SALIR
NÚMEROS REALES | 6UNIVERSIDAD TÉCNICA PARTICULAR DE LOJA
Figura 1:
Distribución de color de la repetición de dígitos de pi.
Nota. Fuente: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Pi_digits_distribution.svg

Mapaconceptual
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EXPLICACIÓNA
SITUACIÓN INICIALB
ACTIVIDADESC
ACTIVIDAD DE CIERRED
diego hidalgo burneo | agosto de 2015
6. NÚMEROS REALES
curso de aptitud numérica
REFERENCIASE

a.explicación
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Representa números en la recta real.1
Encuentra los elementos de una serie o sucesión.2
Utiliza potencias y logaritmos.3
Aplica las características y propiedades de los números reales a la
resolución de problemas.4
6. NÚMEROS REALES

b.Situacióninicial
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«… incluye tanto a los números racionales … como a los números
irracionales».1
número real
1 https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
6. NÚMEROS REALES
Que no puede expresarse como fracción.
Figura 2:
Afamados números irracionales.
Nota. Fuente:
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Real_number_line.svg

c.actividades
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 Exposición de fundamentos
teóricos.C.1. ANTICIPACIÓN
 Resolución de ejercicios en
clase.
C.2. CONSTRUCCIÓN
 Resolución de tarea.C.3. CONSOLIDACIÓN
6. NÚMEROS REALES

C.1.anticipación
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El conjunto ℝ6.1.
La recta numérica6.2.
Propiedades6.3.
Sucesiones y series6.4.
Potencia: exponencial y logarítmica6.5.
6. NÚMEROS REALES
Los números π y e6.6.

6.1.elconjuntoℝ
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6. NÚMEROS REALES
REALES
RACIONALES IRRACIONALES
NO ENTEROS ENTEROS
NEGATIVOS POSITIVOSCERO
ℝ
ℚ
ℤ
ℕ

6.2.larectanumérica
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6. NÚMEROS REALES
Figura 3:
La recta numérica.
Nota. Fuente: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Integers-line.svg

6.3.propiedades
6. NÚMEROS REALES
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AXIOMAS DE IGUALDAD
AXIOMAS DE UN CUERPO
SUSTRACCIÓN Y DIVISIÓN
PROPIEDADES DE LOS NEGATIVOS
LEYES DE LA CANCELACIÓN
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
AXIOMAS DE ORDEN

6.3.propiedades
6. NÚMEROS REALES
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AXIOMA DE REFLEXIÓN
𝑎 = 𝑎
AXIOMA DE SIMETRÍA
si 𝑎 = 𝑏, entonces 𝑏 = 𝑎
AXIOMA DE TRANSITIVIDAD
si 𝑎 = 𝑏 y 𝑏 = 𝑐, entonces 𝑎 = 𝑐
AXIOMA DE SUSTITUCIÓN
si 𝑎 = 𝑏, entonces 𝑎 se puede sustituir por 𝑏
en cualquier enunciado matemático

6.3.propiedades
6. NÚMEROS REALES
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AXIOMA DE CERRADURA
𝑎 + 𝑏 ∈ ℝ y 𝑎 x 𝑏 ∈ ℝ
AXIOMA DE ASOCIATIVIDAD
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
𝑎 𝑥 𝑏 𝑥 𝑐 = 𝑎 𝑥 𝑏 𝑥 𝑐
AXIOMA DE LOS ELEMENTOS IDENTIDAD
𝑎 + 0 = 𝑎 y 𝑎 𝑥 1 = 𝑎
AXIOMA DE LOS ELEMENTOS INVERSOS
𝑎 + −𝑎 = 0 y b x
1
b
= 1
siguiente

6.3.propiedades
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anterior
AXIOMA DE CONMUTATIVIDAD
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 y 𝑎 𝑥 𝑏 = 𝑏 𝑥 𝑎
AXIOMA DE DISTRIBUCIÓN
𝑎 𝑥 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 𝑥 𝑏 + (𝑎 𝑥 𝑐)

6.3.propiedades
6. NÚMEROS REALES
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SUSTRACCIÓN
𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏)
DIVISIÓN
𝑎 ÷ 𝑏 = 𝑎 𝑥
1
𝑏

6.3.propiedades
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SUMA
𝑠𝑖 𝑎 = 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐
𝑠𝑖 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 = 𝑏
PRODUCTO
𝑠𝑖 𝑎 = 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 𝑥 𝑐 = 𝑏 𝑥 𝑐
𝑠𝑖 𝑎 𝑥 𝑐 = 𝑏 𝑥 𝑐, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 = 𝑏

6.3.propiedades
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−(−𝑎) = 𝑎
− 𝑎 + 𝑏 = −𝑎 − 𝑏
− 𝑎 − 𝑏 = −𝑎 + 𝑏
−1 𝑎 = −𝑎
𝑎 −𝑏 = −𝑎 𝑏 = −𝑎𝑏
−𝑎 −𝑏 = 𝑎𝑏

6.3.propiedades
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𝑎
𝑏
= 𝑐 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑎 = 𝑏𝑐
𝑎 ÷ 0 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛𝑖𝑛𝑔ú𝑛 𝑎
0 ÷ 𝑏 = 0
𝑎 0 = 0
𝑎𝑏 = 0 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑎 = 0 o b = 0

6.3.propiedades
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CERRADURA
𝑠𝑖 𝑎 > 𝑏 𝑦 𝑏 > 𝑐, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 + 𝑏 > 0 𝑦 𝑎𝑏 > 0
TRICOTOMÍA
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑎, 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑎 > 0 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑎 = 0
𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑎 < 0
LEY DE TRANSITIVIDAD
𝑆𝑖 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑏 < 𝑐, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 < 𝑐

6.4.sucesionesyseries
6. NÚMEROS REALES
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Una sucesión aritmética es
aquella en la que se suma el
mismo número a cada
término a fin de obtener el
siguiente.
an+1 = an + d
Una sucesión geométrica es
aquella en la que se multiplica
por un mismo número cada
término a fin de obtener el
siguiente.
an+1 = r x an
d = diferencia común
a = primer término
n = número del término
an = n-ésimo término
Sn = suma de los prime-
ros n términos
r = razón común
a = primer término
n = número del término
an = n-ésimo término
Sn = suma de los prime-
ros n términos

6.5.potencia:exponencialy
6. NÚMEROS REALES
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EXPONENTES
Si m es un entero positivo, entonces
bm = b x b… x b
donde hay m factores iguales a b
LOGARITMOS
El logaritmo de un número es el exponente al cual debe elevarse
una base determinada para obtener dicho número.
log 𝑏 𝑥 = 𝑛

6. NÚMEROS REALES
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𝑏 𝑚
𝑥 𝑏 𝑛
= 𝑏 𝑚+𝑛
(𝑏 𝑚
)
𝑛
=𝑏 𝑚𝑛
𝑏 𝑚
𝑏 𝑛
= 𝑏 𝑚−𝑛
𝑏1
= 𝑏
𝑏0
= 1
(𝑏−𝑚
) =
1
𝑏 𝑚

6. NÚMEROS REALES
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log 𝑏(𝑥/𝑦) = log 𝑏 𝑥 − log 𝑏 𝑦
log 𝑏 𝑥 𝑝
= 𝑝 log 𝑏 𝑥
log 𝑏 𝑥 = log 𝑏 𝑤 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑤
log 𝑏(𝑥𝑦) = log 𝑏 𝑥 + log 𝑏 𝑦

6.losnúmerosπye
6. NÚMEROS REALES
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2,71833,1416

C.2.construcción
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RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS
6. NÚMEROS REALES
ENUNCIADO
Desarrolle los ejercicios contenidos en el documento “6. NÚMEROS REALES (ejercicios
propuestos)” enviado a su correo electrónico.

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RESOLUCIÓN DE TAREA
C.3.consolidación
6. NÚMEROS REALES
ENUNCIADO
Desarrolle los ejercicios contenidos en el documento “6. NÚMEROS REALES (ejercicios
propuestos)” enviado a su correo electrónico.

D.Actividaddecierre
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 Contenidos teóricos.
 Resolución de ejercicios y tarea.
EVALUACIÓN
6. NÚMEROS REALES

E.referencias
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DE LOS CONTENIDOS
 Colaboradores de Wikipedia. (19 de julio de 2015). Número real. Wikipedia, la
enciclopedia libre. Recuperado el 24 de julio de 2015 de
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
 Rees, P., Sparks, F. & Rees, C. (1997). Álgebra. México D.F.: McGraw-Hill.
¿CÓMO CITAR ESTA PRESENTACIÓN?
 Hidalgo Burneo, D. (2015). Números reales [diapositivas]. En Curso de
fortalecimiento de aptitud numérica, desarrollado entre el 30 de julio y el 7 de
agosto de 2015. Loja: Universidad Técnica Particular de Loja. Disponible en
http://bit.ly/1VIRrGN
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